Bất đẳng thức

Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng 4 III. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki 1. Chứng minh: (ab + cd) 2 £ (a 2 + c 2 )(b 2 + d 2 ) BĐT Bunhiacopxki 2. Chứng minh: +£ sinxcosx2 3. Cho 3a – 4b = 7. Chứng minh: 3a 2 + 4b 2 ³ 7. 4. Cho 2a – 3b = 7. Chứng minh: 3a 2 + 5b 2 ³ 725 47 . 5. Cho 3a – 5b = 8. Chứng minh: 7a 2 + 11b 2 ³ 2464 137 . 6. Cho a + b = 2. Chứng minh: a 4 + b 4 ³ 2. 7. Cho a + b ³ 1 Chứng minh: +³ 22 1 ab 2 Lời giải: I. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản: 1. Cho a, b > 0 chứng minh: ++ æö ³ ç÷ èø 3 33 abab 22 (*) (*) Û ++ æö -³ ç÷ èø 3 33 abab 0 22 Û ()( ) +-³ 2 3 abab0 8 . ĐPCM. 2. Chứng minh: ++ £ 22 abab 22 («) ÷ a + b £ 0 , («) luôn đúng. ÷ a + b > 0 , («) Û +++ -£ 2222 ab2abab 0 42 Û () - ³ 2 ab 0 4 , đúng. Vậy: ++ £ 22 abab 22 . 3. Cho a + b ³ 0 chứng minh: ++ ³ 33 3 abab 22 Û () ++ £ 3 33 abab 82 Û ( ) ( ) £ 22 3baab0 Û ()( ) +£ 2 3baab0 , ĐPCM. 4. Cho a, b > 0 . Chứng minh: +³+ ab ab ba («) («) Û +³+ aabbabba Û ()() ³ abaabb0 Û () ( ) ³ abab0 Û ( )( ) -+³ 2 abab0 , ĐPCM. 5. Chứng minh: Với a ³ b ³ 1: +³ + ++ 22 112 1ab 1a1b («) Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 1 PHẦN I: LUYỆN TẬP CĂN BẢN I. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản: 1. Cho a, b > 0 chứng minh: ++ æö ³ ç÷ èø 3 33 abab 22 2. Chứng minh: ++ £ 22 abab 22 3. Cho a + b ³ 0 chứng minh: ++ ³ 33 3 abab 22 4. Cho a, b > 0 . Chứng minh: +³+ ab ab ba 5. Chứng minh: Với a ³ b ³ 1: +³ + ++ 22 112 1ab 1a1b 6. Chứng minh: ( ) +++³++ 222 abc32abc ; a , b , c Î R 7. Chứng minh: ( ) ++++³+++ 22222 abcdeabcde 8. Chứng minh: ++³++ 222 xyzxyyzzx 9. a. Chứng minh: ++++ ³³ abcabbcca ;a,b,c0 33 b. Chứng minh: ++++ æö ³ ç÷ èø 2 222 abcabc 33 10. Chứng minh: ++³-+ 2 22 a bcabac2bc 4 11. Chứng minh: ++³++ 22 ab1abab 12. Chứng minh: ++³-+ 222 xyz2xy2xz2yz 13. Chứng minh: +++³-++ 4422 xyz12xy(xyxz1) 14. Chứng minh: Nếu a + b ³ 1 thì: +³ 33 1 ab 4 15. Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh: a. ab + bc + ca £ a 2 + b 2 + c 2 < 2(ab + bc + ca). b. abc ³ (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a) c. 2a 2 b 2 + 2b 2 c 2 + 2c 2 a 2 – a 4 – b 4 – c 4 > 0 Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng 2 II. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI: 1. Chứng minh: +++³³ (ab)(bc)(ca)8abc;a,b,c0 2. Chứng minh: ++++³³ 222 (abc)(abc)9abc;a,b,c0 3. Chứng minh: ( )( )( ) ( ) +++³+ 3 3 1a1b1c1abc với a , b , c ³ 0 4. Cho a, b > 0. Chứng minh: + æöæö +++³ ç÷ç÷ èøèø mm m1 ab 112 ba , với m Î Z + 5. Chứng minh: ++³++³ bccaab abc;a,b,c0 abc 6. Chứng minh: + ³-³ 69 23 xy 3xy16;x,y0 4 7. Chứng minh: +³- + 42 2 1 2a3a1 1a . 8. Chứng minh: ( ) >- 1995 a1995a1 , a > 0 9. Chứng minh: ( ) ( ) ( ) +++++³ 222222 a1bb1cc1a6abc . 10. Cho a , b > 0. Chứng minh: æö ++£++ ç÷ èø +++ 222222 abc1111 2abc abbcac 11. Cho a , b ³ 1 , chứng minh: ³-+- abab1ba1 . 12. Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4. Chứng minh: xyz ³ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1) 13. Cho a > b > c, Chứng minh: ( )( ) ³ 3 a3abbcc . 14. Cho: a , b , c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh: a) b + c ³ 16abc. b) (1 – a)(1 – b)(1 – c) ³ 8abc c) æöæöæö +++³ ç÷ç÷ç÷ èøèøèø 111 11164 abc 15. Cho x > y > 0 . Chứng minh: ( ) +³ - 1 x3 xyy 16. Chứng minh: a) + ³ + 2 2 x2 2 x1 ,"x Î R b) + ³ - x8 6 x1 , "x > 1 c) + ³ + 2 2 a5 4 a1 17. Chứng minh: ++ ++£> +++ abbccaabc ;a,b,c0 abbcca2 18. Chứng minh: +£ ++ 22 44 xy1 4 116x116y , "x , y Î R 19. Chứng minh: ++³ +++ abc3 bcacab2 ; a , b , c > 0 Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 3 20. Cho a , b , c > 0. C/m: ++£ ++++++ 333333 1111 abc ababcbcabccaabc 21. Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh: a. +++³ 4 abcd4abcd với a , b , c , d ³ 0 (Côsi 4 số) b. ++³ 3 abc3abc với a , b , c ³ 0 , (Côsi 3 số ) 22. Chứng minh: ++³++ 333222 abcabcbaccab ; a , b , c > 0 23. Chứng minh: ++³ 39 4 2a3b4c9abc 24. Cho =+ x18 y 2x , x > 0. Định x để y đạt GTNN. 25. Cho =+> - x2 y,x1 2x1 . Định x để y đạt GTNN. 26. Cho =+>- + 3x1 y,x1 2x1 . Định x để y đạt GTNN. 27. Cho =+> - x51 y,x 32x12 . Định x để y đạt GTNN. 28. Cho =+ - x5 y 1xx , 0 < x < 1 . Định x để y đạt GTNN. 29. Cho + = 3 2 x1 y x , x > 0 . Định x để y đạt GTNN. 30. Tìm GTNN của ++ = 2 x4x4 f(x) x , x > 0. 31. Tìm GTNN của =+ 2 3 2 f(x)x x , x > 0. 32. Tìm GTLN của f(x) = (2x – 1)(3 – 5x) 33. Cho y = x(6 – x) , 0 £ x £ 6 . Định x để y đạt GTLN. 34. Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3 £ x £ 5 2 . Định x để y đạt GTLN 35. Cho y = (2x + 5)(5 – x) , -££ 5 x5 2 . Định x để y đạt GTLN 36. Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) , - 1 2 £ x £ 5 2 . Định x để y đạt GTLN 37. Cho = + 2 x y x2 . Định x để y đạt GTLN 38. Cho ( ) = + 2 3 2 x y x2 . Định x để y đạt GTLN Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng 8 7. Chứng minh: +³- + 42 2 1 2a3a1 1a («) («) Û ++++³ + 4422 2 1 aaa14a 1a . Áp dụng BĐT Côsi cho 4 số không âm: + + 442 2 1 a,a,a1, 1a ( ) ++++³+= ++ 4424422 4 22 11 aaa14aaa14a 1a1a 8. Chứng minh: ( ) >- 1995 a1995a1 («) , a > 0 («) Û >-Û+> 19951995 a1995a1995a19951995a +>+=++++³= 14243 1995 1995199519951995 1994soá a1995a1994a11 11995a1995a 9. Chứng minh: ( ) ( ) ( ) +++++³ 222222 a1bb1cc1a6abc . ° ( ) ( ) ( ) +++++=+++++ 222222222222222 a1bb1cc1aaabbbccca ÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 6 số không âm: ° +++++³= 6 222222222666 aabbbccca6abc6abc 10. Cho a , b > 0. Chứng minh: æö ++£++ ç÷ èø +++ 222222 abc1111 2abc abbcac ° £= + 22 aa1 2ab2b ab , £= + 22 bb1 2bc2c bc , £= + 22 cc1 2ac2a ac ° Vậy: æö ++£++ ç÷ èø +++ 222222 abc1111 2abc abbcac 11. Cho a , b ³ 1 , chứng minh: ³-+- abab1ba1 . ° ( ) ( ) =-+³-=-+³- aa112a1,bb112b1 ° ³-³- ab2ba1,ab2ab1 ° ³-+- abab1ba1 12. Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4. C/m: xyz ³ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1) ° ( ) ( ) =-+=-+++- xx11x1xyz3 ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =-+-+-+-³ 2 4 x1x1y1z14x1y1z1 Tương tự: ( ) ( ) ( ) ³ 2 4 y4x1y1z1 ; ( ) ( ) ( ) ³ 2 4 z4x1y1z1 Þ xyz ³ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1). 13. Cho a > b > c, Chứng minh: ( )( ) ³ 3 a3abbcc . ° ( ) ( ) ( )( ) =-+-+³ 3 aabbcc3abbcc Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 5 Û + ³ ++ ++ 22 1111 0 1ab1ab 1a1b Û ( ) ( ) ( ) ( ) +³ ++++ 22 22 abaabb 0 1a1ab1b1ab Û ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +³ ++++ 22 ababab 0 1a1ab1b1ab Û - æö -³ ç÷ + ++ èø 22 baab 0 1ab 1a1b Û ( )( ) æö -+ ³ ç÷ ç÷ + ++ èø 22 22 baaabbba 0 1ab 1a1b Û ( )( ) ( ) ( )( ) ³ +++ 2 22 baab1 0 1ab1a1b , ĐPCM. ÷ Vì : a ³ b ³ 1 Þ ab ³ 1 Û ab – 1 ³ 0. 6. Chứng minh: ( ) +++³++ 222 abc32abc ; a , b , c Î R Û ( ) ( ) ( ) -+-+-³ 222 a1b1c10 . ĐPCM. 7. Chứng minh: ( ) ++++³+++ 22222 abcdeabcde Û -++-++-++-+³ 2222 2222 aaaa abbaccaddaee0 4444 Û æöæöæöæö -+-+-+-³ ç÷ç÷ç÷ç÷ èøèøèøèø 2222 aaaa bcde0 2222 . ĐPCM 8. Chứng minh: ++³++ 222 xyzxyyzzx Û ++ ³ 222 2x2y2z2xy2yz2zx0 Û ( ) ( ) ( ) -+-+-³ 22 2 xyxzyz0 9. a. Chứng minh: ++++ ³³ abcabbcca ;a,b,c0 33 ÷ ++³++ 222 abcabbcca ÷ +++++++++ æö =³ ç÷ èø 2 222 abcabc2ab2bc2caabbcca 393 Û ++++ ³ abcabbcca 33 b. Chứng minh: ++++ æö ³ ç÷ èø 2 222 abcabc 33 ÷ ( ) ( ) ++=+++++ 222222222 3abcabc2abc ( )( ) ³+++++=++ 2 222 abc2abbccaabc Þ ++++ æö ³ ç÷ èø 2 222 abcabc 33 10. Chứng minh: ++³-+ 2 22 a bcabac2bc 4 Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng 6 Û ( ) ++-³ 2 22 a abcbc2bc0 4 Û ( ) æö ³ ç÷ èø 2 a bc0 2 . 11. Chứng minh: ++³++ 22 ab1abab Û ++ ³ 22 2a2b22ab2a2b0 Û -+++++++³ 2222 a2abba2a1b2b10 Û ( ) ( ) ( ) -+-+-³ 222 aba1b10 . 12. Chứng minh: ++³-+ 222 xyz2xy2xz2yz Û ++-+-³ 222 xyz2xy2xz2yz0 Û (x – y + z) 2 ³ 0. 13. Chứng minh: +++³-++ 4422 xyz12x(xyxz1) Û +++-+ ³ 442222 xyz12xy2x2xz2x0 Û ( ) ( ) ( ) -+-+-³ 2 22 22 xyxzx10 . 14. Chứng minh: Nếu a + b ³ 1 thì: +³ 33 1 ab 4 ° a + b ³ 1 Þ b ³ 1 – a Þ b 3 = (1 – a) 3 = 1 – a + a 2 – a 3 Þ a 3 + b 3 = æö -+³ ç÷ èø 2 111 3a 244 . 15. Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh: a. ab + bc + ca £ a 2 + b 2 + c 2 < 2(ab + bc + ca). ÷ ab + bc + ca £ a 2 + b 2 + c 2 Û (a – b) 2 + (a – c) 2 + (b – c) 2 ÷ >->->- abc,bac,cab Þ >-+ 222 ab2bcc , >-+ 222 ba2acc , >-+ 222 ca2abb Þ a 2 + b 2 + c 2 < 2(ab + bc + ca). b. abc ³ (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a) ÷ ( ) > 2 22 aabc Þ ( )( ) >+-+- 2 aacbabc ÷ ( ) > 2 22 bbac Þ ( )( ) >+-+- 2 bbcaabc ÷ ( ) > 2 22 ccab Þ ( )( ) >+-+- 2 cbcaacb Þ ( )( )( ) >+-+-+- 222 222 abcabcacbbca Û ( ) ( ) ( ) >+-+-+- abcabcacbbca c. 2a 2 b 2 + 2b 2 c 2 + 2c 2 a 2 – a 4 – b 4 – c 4 > 0 Û 4a 2 b 2 + 2c 2 (b 2 + a 2 ) – a 4 – b 4 – 2a 2 b 2 – c 4 > 0 Û 4a 2 b 2 + 2c 2 (b 2 + a 2 ) – (a 2 + b 2 ) 2 – c 4 > 0 Û (2ab) 2 – [(a 2 + b 2 ) – c 2 ] 2 > 0 Û [c 2 – (a – b) 2 ][(a + b) 2 – c 2 ] > 0 Û (c – a + b)(c + a – b)(a + b – c)(a + b + c) > 0 . đúng ° Vì a , b , c là ba cạnh của tam giác Þ c – a + b > 0 , c + a – b > 0 , a + b – c > 0 , a + b + c > 0. Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 7 II. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI: 1. Chứng minh: +++³³ (ab)(bc)(ca)8abc;a,b,c0 ÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm: Þ +³ ab2ab , +³ bc2bc , +³ ac2ac Þ ( )( )( ) +++³= 222 abbcac8abc8abc . 2. Chứng minh: ++++³³ 222 (abc)(abc)9abc;a,b,c0 ÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm: Þ ++³ 3 abc3abc , ++³ 3 222222 abc3abc Þ ( ) ( ) ++++³= 3 222333 abcabc9abc9abc . 3. Chứng minh: ( )( )( ) ( ) +++³+ 3 3 1a1b1c1abc , với a , b , c ³ 0. ÷ ( ) ( ) ( ) +++=+++++++ 1a1b1c1abcabacbcabc. ÷ ++³ 3 abc3abc , ++³ 3 222 abacbc3abc ÷ ( )( )( ) ( ) +++³+++=+ 3 3 222 33 1a1b1c13abc3abcabc1abc 4. Cho a, b > 0. Chứng minh: + æöæö +++³ ç÷ç÷ èøèø mm m1 ab 112 ba , với m Î Z + ÷ + æöæöæöæöæö +++³++=++ ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ èøèøèøèøèø ³= mmmmm mm1 ababba 1121.122 babaab 242 5. Chứng minh: ++³++> bccaab abc;a,b,c0 abc ÷ Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm: +³= 2 bccaabc 22c abab , +³= 2 bcbabac 22b acac , +³= 2 caababc 22a bcbc Þ ++³++ bccaab abc abc . 6. Chứng minh: + ³-³ 69 23 xy 3xy16;x,y0 4 («) («) Û ++³ 6923 xy6412xy Û ( ) ( ) ++³ 3 3 23323 xy412xy Áp dụng BĐT Côsi cho ba số không âm: () () ++³= 33 2332323 xy43xy412xy . Tuyn tp Bt ng thc Trn S Tựng 12 Du = xy ra ( ) = ộ - =-= ờ = ở 2 x3 x12 x14 x1(loaùi) 2x1 Vy: Khi x = 3 thỡ y t GTNN bng 5 2 26. Cho =+>- + 3x1 y,x1 2x1 . nh x y t GTNN. ữ + =+- + 3(x1)13 y 2x12 ữ p dng bt ng thc Cụsi cho hai s khụng õm ( ) + + 3x11 , 2x1 : ( ) ( ) ++ =+--=- ++ 3x1133x1133 y2.6 2x122x122 Du = xy ra ( ) ( ) ộ =- ờ + ờ =+= ờ + = ờ ở 2 6 x1 3x112 3 x1 2x13 6 x1(loaùi) 3 Vy: Khi =- 6 x1 3 thỡ y t GTNN bng - 3 6 2 27. Cho =+> - x51 y,x 32x12 . nh x y t GTNN. ữ - =++ - 2x151 y 62x13 ữ p dng bt ng thc Cụsi cho hai s khụng õm - - 2x15 , 62x1 : + =+++= 2x1512x151301 y2. 62x1362x133 Du = xy ra ( ) ộ + = ờ - ờ =-= ờ - -+ = ờ ở 2 301 x 2x15 2 2x130 62x1 301 x(loaùi) 2 Vy: Khi + = 301 x 2 thỡ y t GTNN bng + 301 3 28. Cho =+ - x5 y 1xx , 0 < x < 1 . nh x y t GTNN. Trn S Tựng Tuyn tp Bt ng thc 9 14. Cho: a , b , c > 0 v a + b + c = 1. Chng minh: a) b + c 16abc. + ổử ỗữ ốứ 2 bc bc 2 ( ) +- ổửổử Ê==- ỗữỗữ ốứốứ 22 2 bc1a 16abc16a16a4a1a 22 ( )( ) ( ) ( ) ( ) ộự -= = Ê-=+ ởỷ 22 2 4a1a1a4a4a1a112a1abc b) (1 a)(1 b)(1 c) 8abc (1 a)(1 b)(1 c) = (b + c)(a + c)(a + b) = 2bc.2ac.2ab8abc c) ổửổửổử +++ ỗữỗữỗữ ốứốứốứ 111 11164 abc +++ ổửổử += ỗữỗữ ốứốứ 4 2 1aabc4abc 1 aaa + 4 2 14abc 1 bb + 4 2 14abc 1 cc ữ ổửổửổử +++ ỗữỗữỗữ ốứốứốứ 111 11164 abc 15. Cho x > y > 0 . Chng minh: ( ) + - 1 x3 xyy ữ ( ) ( ) ( ) ( ) - =-++= 3 xyy 1 VTxyy33 xyyxyy 16. Chng minh: a) + + 2 2 x2 2 x1 ++ 22 x22x1 +++ 22 x112x1 b) + - x8 x1 = -+ =-+-= x1999 x12x16 x1x1x1 c. ( ) ( ) +++=+ 222 a1424a14a1 + + 2 2 a5 4 a1 17. Chng minh: ++ ++Ê> +++ abbccaabc ;a,b,c0 abbcca2 Vỡ : + ab2ab ị Ê= + ababab ab2 2ab , Ê= + bcbcbc bc2 2bc , Ê= + acacac ac2 2ac ++++ abcabbcca , da vo: ++++ 222 abcabbcca . ++++ ++ÊÊ +++ abbccaabbcacabc abbcca22 Tuyn tp Bt ng thc Trn S Tựng 10 18. Chng minh: +Ê ++ 22 44 xy1 4 116x116y , "x , y ẻ R ( ) =Ê= + + 222 422 xxx1 8 116x2.4x 14x ( ) =Ê= + + 222 422 yyy1 8 116y2.4y 14y ữ +Ê ++ 22 44 xy1 4 116x116y 19. Chng minh: ++ +++ abc3 bcacab2 ; a , b , c > 0 t X = b + c , Y = c + a , Z = a + b. a + b + c = 1 2 (X + Y + Z) +-+-+- === YZXZXYXYZ a,b,c 222 ộự ổửổửổử ++=+++++- ỗữỗữỗữ ờỳ +++ốứốứốứ ởỷ abc1YXZXZY 3 bcacab2XYXZYZ [ ] ++-= 13 2223 22 . Cỏch khỏc: ổửổửổử ++=+++++- ỗữỗữỗữ ++++++ ốứốứốứ abcabc 1113 bcacabbcacab ( )( )( ) [ ] ổử =+++++++- ỗữ +++ ốứ 1111 abbcca3 2bcacab ữ p dng bt ng thc Cụsi cho ba s khụng õm: ( ) ( ) ( ) [ ] ổử +++++++-= ỗữ +++ ốứ 111193 abbcca3 2bcacab22 20. Cho a , b , c > 0. C/m: ++Ê ++++++ 333333 1111 abc ababcbcabccaabc ( ) ( ) ( ) +=+-++ 3322 ababaabaabab ị ( ) ( ) ++++=++ 33 ababcabababcababc , tng t ( ) ( ) ++++=++ 33 bcabcbcbcabcbcabc ( ) ( ) ++++=++ 33 caabccacaabccaabc ữ ( ) ( ) ( ) ++ ổử Ê++= ỗữ ++++++++ ốứ 1111abc VT ababcbcabccaabcabcabc Trn S Tựng Tuyn tp Bt ng thc 11 21. p dng BT Cụsi cho hai s chng minh: a. +++ 4 abcd4abcd vi a , b , c , d 0 (Cụsi 4 s) ữ ++ ab2ab,cd2cd ữ ( ) ( ) +++ 4 abcd2abcd22ab.cd4abcd b. ++ 3 abc3abc vi a , b , c 0 , (Cụsi 3 s ) ữ ++++ +++ 4 abcabc abc4.abc 33 ++++ 4 abcabc abc 33 ++++ ổử ỗữ ốứ 4 abcabc abc 33 ++ ổử ỗữ ốứ 3 abc abc 3 ++ 3 abc3abc . 22. Chng minh: ++++ 333222 abcabcbaccab ; a , b , c > 0 + 32 aabc2abc , + 32 babc2bac , + 32 cabc2cab ( ) +++++ 333222 abc3abc2abcbaccab ị ( ) ( ) ++++ 333222 2abc2abcbaccab , vỡ : ++ 333 abc3abc Vy: ++++ 333222 abcabcbaccab 23. Chng minh: ++ 39 4 2a3b4c9abc ữ p dng bt ng thc Cụsi cho 9 s khụng õm: =++++++++ 3339 4444 VTaabbbcccc9abc 24. Cho =+ x18 y 2x , x > 0. nh x y t GTNN. ữ p dng BT Cụsi cho hai s khụng õm: =+= x18x18 y2.6 2x2x Du = xy ra === 2 x18 x36x6 2x , chn x = 6. Vy: Khi x = 6 thỡ y t GTNN bng 6 25. Cho =+> - x2 y,x1 2x1 . nh x y t GTNN. ữ - =++ - x121 y 2x12 ữ p dng bt ng thc Cụsi cho hai s khụng õm - - x12 , 2x1 : =+++= x121x1215 y2. 2x122x122 Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng 16 ° ( ) æö -£++ ç÷ èø 22 2349 3a5b3a5b 35 35 Û 3a 2 + 5b 2 ³ 735 47 . 5. Cho 3a – 5b = 8. Chứng minh: 7a 2 + 11b 2 ³ 2464 137 . ÷ -=- 35 3a5b7a11b 711 ÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số - 35 ,7a,,11b 711 : ° ( ) æö -£++ ç÷ èø 22 35925 7a11b7a11b 711 711 Û 7a 2 + 11b 2 ³ 2464 137 . 6. Cho a + b = 2. Chứng minh: a 4 + b 4 ³ 2. ÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski: ° ( ) ( ) =+£++ 22 2ab11ab Û a 2 + b 2 ³ 2 ° ( ) ( ) ( ) £+£++ 2244 2ab11ab Û a 4 + b 4 ³ 2 7. Cho a + b ³ 1 Chứng minh: +³ 22 1 ab 2 ° ( ) ( ) £+£++Û+³ 222222 1 1ab11abab 2 Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 13 ° ( ) -+ =+=++³+=+ x51x5xxx1x1x f(x)55255255 1xx1xx1xx Dấu “ = ‘ xảy ra Û æö =Û=Û= ç÷ èø 2 x1xx55 55x 1xx1x4 (0 < x < 1) ° Vậy: GTNN của y là + 255 khi - = 55 x 4 29. Cho + = 3 2 x1 y x , x > 0 . Định x để y đạt GTNN. ° + =+=++³= 3 3 22223 x11xx1xx13 x3 2222 4 xxxx ° Dấu “ = ‘ xảy ra Û == 2 xx1 22 x Û = 3 x2 . ° Vậy: GTNN của y là 3 3 4 khi = 3 x2 30. Tìm GTNN của ++ = 2 x4x4 f(x) x , x > 0. ° ++ =++³+= 2 x4x444 x42x.48 xxx ° Dấu “ = ‘ xảy ra Û = 4 x x Û x = 2 (x > 0). ° Vậy: GTNN của y là 8 khi x = 2. 31. Tìm GTNN của =+ 2 3 2 f(x)x x , x > 0. ° æö æö +=++++³= ç÷ ç÷ èø èø 3 2 2222 2 5 33335 2xxx11x15 x5 3333 27 xxxx ° Dấu “ = ‘ xảy ra Û =Û= 2 5 3 x1 x3 3 x Û x = 2 (x > 0). ° Vậy: GTNN của y là 5 5 27 khi = 5 x3 . 32. Tìm GTLN của f(x) = (2x – 1)(3 – 5x) ° f(x) = –10x 2 + 11x – 3 = æöæö = +£ ç÷ç÷ èøèø 2 2 11x1111 10x310x 10204040 ° Dấu “ = “ xảy ra Û = 11 x 20 Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng 14 ° Vậy: Khi = 11 x 20 thì y đạt GTLN bằng 1 40 . 33. Cho y = x(6 – x) , 0 £ x £ 6 . Định x để y đạt GTLN. ÷ Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm x và 6 – x (vì 0 £ x £ 6): ° ( ) ( ) =+-³- 6x6x2x6x Þ x(6 – x) £ 9 ° Dấu “ = “ xảy ra Û x = 6 – x Û x = 3 ° Vậy: Khi x = 3 thì y đạt GTLN bằng 9. 34. Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3 £ x £ 5 2 . Định x để y đạt GTLN. ÷ y = (x + 3)(5 – 2x) = 1 2 (2x + 6)(5 – 2x) ÷ Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 6 và 5 – 2x , æö -££ ç÷ èø 5 3x 2 : ° ( ) ( ) ( )( ) =++-³+- 112x652x22x652x Þ 1 2 (2x + 6)(5 – 2x) £ 121 8 ° Dấu “ = “ xảy ra Û 2x + 6 = 5 – 2x Û =- 1 x 4 ° Vậy: Khi =- 1 x 4 thì y đạt GTLN bằng 121 8 . 35. Cho y = (2x + 5)(5 – x) , -££ 5 x5 2 . Định x để y đạt GTLN. ÷ y = (2x + 5)(5 – x) = 1 2 (2x + 5)(10 – 2x) ÷ Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 5 , 10 – 2x , æö -££ ç÷ èø 5 x5 2 : ° ( ) ( ) ( )( ) ++-³+- 2x5102x22x5102x Þ 1 2 (2x + 5)(10 – 2x) £ 625 8 ° Dấu “ = “ xảy ra Û 2x + 5 = 10 – 2x Û = 5 x 4 ° Vậy: Khi = 5 x 4 thì y đạt GTLN bằng 625 8 36. Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) , - 1 2 £ x £ 5 2 . Định x để y đạt GTLN ÷ y = 3(2x + 1)(5 – 2x) ÷ Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 1 , 5 – 2x , æö -££ ç÷ èø 15 x 22 : ° ( ) ( ) ( )( ) ++-³+- 2x152x22x152x Þ (2x + 1)(5 – 2x) £ 9 ° Dấu “ = “ xảy ra Û 2x + 1 = 5 – 2x Û x = 1 Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 15 ° Vậy: Khi x = 1 thì y đạt GTLN bằng 9. 37. Cho = + 2 x y x2 . Định x để y đạt GTLN ° +³= 22 2x22x2x2 Û ³ + 2 1x 22 2x Þ £ 1 y 22 ° Dấu “ = “ xảy ra Û =Þ 2 x2vàx>0x=2 ° Vậy: Khi = x2 thì y đạt GTLN bằng 1 22 . 38. Cho ( ) = + 2 3 2 x y x2 . Định x để y đạt GTLN ° +=++³ 3 222 x2x113x.1.1 Û ( ) ( ) +³Þ£ + 2 3 22 3 2 x1 x227x 27 x2 ° Dấu “ = “ xảy ra Û =Û=± 2 x1x1 ° Vậy: Khi =± x1 thì y đạt GTLN bằng 1 27 . III. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki 1. Chứng minh: (ab + cd) 2 £ (a 2 + c 2 )(b 2 + d 2 ) («) BĐT Bunhiacopxki («) Û ++£+++ 222222222222 ab2abcdcdabadcbcd Û +-³ 2222 adcb2abcd0 Û ( ) -³ 2 adcb0 . 2. Chứng minh: +£ sinxcosx2 ÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số 1 , sinx , 1 , cosx : ° += sinxcosx ( ) ( ) +£++= 2222 1.sinx1.cosx11sinxcosx2 3. Cho 3a – 4b = 7. Chứng minh: 3a 2 + 4b 2 ³ 7. ÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số 3,3a,4,4b : ° ( ) ( ) +=+£++ 22 3a4b3.3a4.4b343a4b Û 3a 2 + 4b 2 ³ 7. 4. Cho 2a – 3b = 7. Chứng minh: 3a 2 + 5b 2 ³ 725 47 . ÷ -=- 23 2a3b3a5b 35 ÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số - 23 ,3a,,5b 35 : Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng 20 ++ ++£ 222 abc xyz 2R (a, b, c là các cạnh của DABC, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp). Dấu “=” xảy ra khi nào? 36. (Đại học 2002 dự bị 3) Giả sử x, y là hai số dương thay đổi thoả mãn điều kiện x + y = 5 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = + 41 x4y 37. (Đại học 2002 dự bị 5) Giả sử a, b, c, d là 4 số nguyên thay đổi thoả mãn 1 ≤ a < b < c < d ≤ 50. Chứng minh bất đẳng thức: ++ +³ 2 acbb50 bd50b và tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = + ac bd . 38. (Đại học 2002 dự bị 6) Cho tam giác ABC có diện tích bằng 3 2 . Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB và h a , h b , h c tương ứng là độ dài các đường cao kẻ từ các đỉnh A, B, C. Chứng minh rằng: æö æö ++++³ ç÷ ç÷ èø èøabc 111111 3 abchhh 39. (Đại học khối A 2003) Cho x, y, z là 3 số dương và x + y + z £ 1. Chứng minh rằng: +++++³ 222 222 111 xyz82 xyz 40. (Đại học khối A 2003 dự bị 1) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = sin 5 x + 3 cosx 41. (Đại học khối A 2003 dự bị 2) Tính các góc của tam giác ABC, biết rằng: -£ ì ï í - = ï î 4p(pa)bc(1) ABC233 sinsinsin(2) 2228 trong đó BC = a, CA = b, AB = c, p = ++ abc 2 . 42. (Đại học khối A 2005) Cho x, y, z là các số dương thoả mãn : ++= 111 4 xyz . Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 17 PHẦN II. ĐỀ THI ĐẠI HỌC 1. (CĐGT II 2003 dự bị) Cho 3 số bất kì x, y, z. CMR: ++++³+ 222222 xxyyxxz+zyyz+z 2. (CĐBC Hoa Sen khối A 2006) Cho x, y, z > 0 và xyz = 1. Chứng minh rằng: x 3 + y 3 + z 3 ³ x + y + z. 3. (CĐKTKT Cần Thơ khối A 2006) Cho 3 số dương x, y, z thoả x + y + z £ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x + y + z + ++ 111 xyz 4. (CĐSPHCM khối ABTDM 2006) Cho x, y là hai số thực dương và thoả x + y = 5 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = + 41 x4y . 5. (CĐKTKT Cần Thơ khối B 2006) Cho 4 số dương a, b, c, d. Chứng minh bất đẳng thức: +++ ++++++++ abcd abcbcdcdadab < 2 6. (CĐKT Cao Thắng khối A 2006) Chứng minh rằng nếu x > 0 thì (x + 1) 2 æö ++ ç÷ èø 2 12 1 x x ³ 16. 7. (CĐKTKTCN1 khối A 2006) Cho 3 số dương a, b, c. Ch. minh rằng: ++++++ ++³ abcabcabc 9 abc 8. (CĐKTYTế1 2006) Cho các số thực x, y thay đổi thoả mãn điều kiện: y £ 0; x 2 + x = y + 12. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: A = xy + x + 2y + 17 9. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006) Cho x, y, z > 0; x + y + z = xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = xyz. 10. (Học viện BCVT 2001) Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c thoả mãn điều kiện: a + b + c = 1 thì: æö ++³++ ç÷ èø abcabc 111abc 3 333333 11. (ĐH Đà Nẵng khối A 2001 đợt 2) Cho ba số dương a, b, c thoả a 2 + b 2 + c 2 = 1. Chứng minh: ++³ +++ 222222 abc33 2 bccaab 12. (ĐH Kiến trúc HN 2001) Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng 18 Cho các số a, b, c thoả: ì ++= ï í ++= ï î 222 abc2 abbcca1 Chứng minh: -££-££-££ 444444 a;b;c 333333 13. (Học viện NH TPHCM khối A 2001) Cho DABC có 3 cạnh là a, b, c và p là nửa chu vi. Chứng minh rằng: æö ++³++ ç÷ èø 111111 2 papbpcabc 14. (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001) Cho 3 số x, y, z > 0. Chứng minh rằng: ++£++ +++ 323232222 2y 2x2z111 xyyzzxxyz 15. (ĐH PCCC khối A 2001) Ch. minh rằng với a ≥ 2, b ≥ 2, c ≥ 2 thì: +++ ++> bccaab logalogblogc1 16. (ĐH Quốc gia HN khối D 2001) Ch. minh rằng với mọi x ≥ 0 và với mọi a > 1 ta luôn có: x a + a – 1 ≥ ax. Từ đó chứng minh rằng với 3 số dương a, b, c bất kì thì: ++³++ 333 333 abcabc bca bca 17. (ĐH Thái Nguyên khối D 2001) Cho a ≥ 1, b ≥ 1. Chứng minh rằng: -+-£ ab1ba1ab (*) 18. (ĐH Vinh khối A, B 2001) Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3 thì: 3a 2 + 3b 2 + 3c 2 + 4abc ≥ 13 19. (ĐH Y Thái Bình khối A 2001) Cho a, b, c là những số dương và a + b = c. Ch. minh rằng: +> 222 333 abc 20. (ĐHQG HN khối A 2000) Với a, b, c là 3 số thực bất kì thoả điều kiện a + b + c = 0. Chứng minh rằng: 8 a + 8 b + 8 c ≥ 2 a + 2 b + 2 c 21. (ĐHQG HN khối D 2000) Với a, b, c là 3 số thực dương thoả điều kiện: ab + bc + ca = abc. Chứng minh rằng: +++ ++³ 222222 b2ac2ba2c 3 abbcca 22. (ĐH Bách khoa HN khối A 2000) Cho 2 số a, b thoả điều kiện a + b ≥ 0. Ch. minh rằng: ++ æö ³ ç÷ èø 3 33 abab 22 23. (ĐHSP TP HCM khối DE 2000) Cho 3 số a, b, c bất kì. Chứng minh các BĐT: Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 19 a) a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca b) (ab + bc + ca) 2 ≥ 3abc(a + b + c) 24. (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000) Cho 3 số dương a, b, c thoả điều kiện abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = ++ +++ 222222 bccaab abacbcbacacb 25. (ĐH Thuỷ lợi II 2000) Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c ta đều có: (a + 1).(b + 1).(c + 1) ≥ ( ) + 3 3 1abc 26. (ĐH Y HN 2000) Giả sử x, y là hai số dương thoả điều kiện += 23 6 xy . Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng x + y. 27. (ĐH An Giang khối D 2000) Cho các số a, b, c ≥ 0. Chứng minh: a c + 1 + b c + 1 ≥ ab(a c – 1 + b c – 1 ) 28. (ĐH Tây Nguyên khối AB 2000) CMR với mọi x, y, z dương và x + y + z = 1 thì xy + yz + zx > + 18xyz 2xyz 29. (ĐH An Ninh khối A 2000) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ≥ 3 ta đều có: n n + 1 > (n + 1) n 30. (CĐSP Nha Trang 2000) Cho 2 số thực a, b thoả điều kiện: a, b ≥ –1 và a + b = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = +++ a1b1 31. (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000) Chứng minh BĐT sau đây luôn luôn đúng với mọi số thực x, y, z bất kì khác không: ++³ ++ 222222 1119 xyzxyz BĐT cuối cùng luôn đúng Þ BĐT cần chứng minh đúng. 32. (ĐH Y Dược TP HCM 1999) Cho 3 số a, b, c khác 0. Chứng minh: ++³++ 222 222 abcabc bca bca 33. (ĐH Hàng hải 1999) Cho x, y, z ≥ 0 và x + y + z ≤ 3. Chứng minh rằng: ++££++ +++ +++ 222 xyz3111 21x1y1z 1x1y1z 34. (ĐH An ninh HN khối D 1999) Cho 3 số x, y, z thay đổi, nhận giá trị thuộc đoạn [0;1]. Chứng minh rằng: 2(x 3 + y 3 + z 3 ) – (x 2 y + y 2 z + z 2 x) ≤ 3 (*) 35. (Đại học 2002 dự bị 1) Gọi x, y, z là khoảng cách từ điểm M thuộc miền trong của DABC có 3 góc nhọn đến các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng: