Luận án Tiến sĩ tính liên tục holder và sự ổn định của nghiệm phương trình mongeampere

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRẦN VĂN THỦY TÍNH LIÊN TỤC HOLDER VÀ SỰ ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPERE LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - Năm 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRẦN VĂN THỦY TÍNH LIÊN TỤC HOLDER VÀ SỰ ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPERE Chuyên ngành: Tốn Giải Tích Mã số: 9.46.01.02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Văn Trào Hà Nội - Năm 2018 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan Luận án thực tác giả Trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn PGS TS Nguyễn Văn Trào; đề tài Luận án mới, kết Luận án hoàn toàn cơng trình sử dụng Luận án chưa cơng bố trước Nghiên cứu sinh Trần Văn Thủy Lời cảm ơn Tôi cảm thấy thật may mắn học mái trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội, hướng dẫn PGS TS Nguyễn Văn Trào Bằng tất lịng kính trọng mình, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Thầy tận tâm dạy bảo, dùi dắt đường học tập nghiên cứu Đặc biệt q trình học nghiên cứu sinh Tơi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Xuân Hồng, Thầy góp ý, bảo giúp đỡ tơi q trình học tập, đặc biệt giai đoạn học nghiên cứu sinh để hồn thành Luận án Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới tất Thầy Cô khoa Toán - Tin, tổ Lý Thuyết Hàm, thành viên nhóm Seminar Giải tích phức - trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội Đặc biệt GS TSKH Lê Mậu Hải GS TS Nguyễn Quang Diệu trao đổi lời góp ý vơ q báu Thầy Hà Nội, tháng năm 2018 NCS Trần Văn Thủy Mục lục Kí hiệu Mở đầu 11 Tổng quan cỏc nghiờn cu Tớnh liờn tc Hă older nghiệm phương trình MongeAmpère phức 17 1.1 Sự tồn nghiệm toán Dirichlet 17 1.2 Tính liờn lc Hăolder ca nghim bi toỏn Dirichlet 24 Sự ổn định nghiệm phương trình Monge-Ampère phức 39 2.1 Nguyên lý so sánh cho hàm lớp Cegrell 39 2.2 Sự hội tụ theo dung lượng hàm đa điều hòa 42 2.3 Tính ổn định nghiệm phương trình Monge-Ampère phức 52 Thác triển cực đại hàm đa điều hòa 3.1 Tính chất hàm thuộc lớp Cegrell 3.2 Sự hội tụ theo dung lượng hàm thác triển 56 56 cực đại 60 Kết luận kiến nghị 69 Danh mục cơng trình sử dụng luận án 71 Tài liệu tham khảo 72 Kí hiệu • C(Ω): Tập hợp hàm liên tục Ω • C ∞ (Ω): Tập hợp hàm trơn vơ hạn Ω • C0∞ (Ω): Tập hợp hàm trơn vơ hạn có giá compact Ω • C 0,α (Ω): Tập hợp hàm liên tục -Hăolder trờn ã L (): Khụng gian cỏc hm đo Lebesgue, bị chặn h.k.n Ω • L∞ loc (Ω): Không gian hàm đo Lebesgue, bị chặn địa phương h.k.n Ω • Lp (Ω): Khơng gian hàm khả tích bậc p Ω • Lploc (Ω): Khơng gian hàm khả tích địa phương bậc p Ω • PSH(Ω): Tập hợp hàm đa điều hịa Ω • PSH− (Ω): Tập hợp hàm đa điều hòa âm Ω • MPSH(Ω): Tập hợp hàm đa điều hòa cực đại Ω • (ddc u)n = ddc u ∧ · · · ∧ ddc u: Toán tử Monge-Ampère u • M A (Ω, φ, f ): Bài tốn Dirichlet tốn tử Monge-Ampère • u (Ω, φ, f ): Nghiệm toán M A (Ω, φ, f ) • uj ր u: Dãy {uj } hội tụ tăng tới u • uj ց u: Dãy {uj } hội tụ giảm tới u • uj → u: Dãy {uj } hội tụ tới u • Cn (U, Ω): Dung lượng tương đối tập U ⊂ Ω • A B : Tồn số C > cho A ≤ CB Mở đầu Lý chọn đề tài Toán tử Monge-Ampère phức đối tượng đóng vai trị trung tâm lý thuyết đa vị, hướng nghiên cứu thu hút nhiều nhà toán học giới quan tâm, hướng phát triển mạnh mẽ gặt hái nhiều thành tựu hai thập niên qua số nhà toán học như: P ˚ Ahag, E Bedford, Z Blocki, U Cegrell, L.H Chinh, R Czy˙z, J.P Demailly, V Guedj, L.M Hải, P.H Hiệp, N.X Hồng, T.V Khanh, N.V Khuê, S Kolodziej, B.A Taylor, Y Xing, A Zeriahi, , xem [1-42] Một hướng nghiên cứu quan trọng tốn tử MongeAmpère phức toán Dirichlet M A(Ω, φ, f ) Từ năm 1976 đến 2016, tác giả gặt hái nhiều kết quan trọng toán này, với trường hợp từ Ω miền giả lồi chặt, bị chặn có biên trơn Cn tới Ω miền giả lồi bị chặn với biên lớp C , đa điều hòa loại m Như vậy, toán M A(Ω, φ, f ) miền giả lồi khơng trơn đa điều hịa loại m vấn đề mở Tiếp theo, cho dãy hàm đa điều hòa {uj }, ta quan tâm đến hội tụ theo Cp -dung lượng với p = {n − 1, n}, hội tụ yếu dãy độ đo Monge-Ampère phức tương ứng {(ddc uj )n }, mối liên hệ chúng Đã có nhiều cơng trình nghiên cứu vấn đề như: [14], [32], [41], [42] Cụ thể, tác giả điều kiện định hội tụ theo Cp -dung lượng với p = {n − 1, n} dãy hàm {uj } đảm bảo hội tụ yếu dãy độ đo Monge-Ampère phức tương ứng {(ddc uj )n } ngược lại Tuy nhiên, việc nghiên cứu số điều kiện đủ để có tương đương hội tụ theo Cn -dung lượng dãy hàm {uj } hội tụ yếu dãy toán tử Monge-Ampère phức tương ứng, dựa sở để nghiên cứu tính ổn định nghiệm phương trình Monge-Ampère phức vấn đề mở Tiếp tục hướng nghiên cứu này, quan tâm tới vấn đề thác triển hàm đa điều hòa u tới miền lớn hơn, đặc biệt hàm thác triển cực đại Theo suốt hướng này, tác giả quan tâm tới vấn đề tồn thác triển dưới, thác triển cực đại u, nghiên cứu nhiều tính chất chúng, độ đo Monge-Ampère phức hàm thác triển dưới, thác triển cực đại Như vậy, vấn đề hội tụ theo Cn -dung lượng hàm thác triển cực đại toán mở Từ vấn đề nêu trên, chọn hướng nghiên cứu với đề tài luận án "Tính liên tục Holder ổn định nghiệm phương trình Monge-Ampere" Mục đích nghiên cứu Từ thành tựu đạt gần đây, mục đích Luận án là: • Nghiên cứu toán Dirichlet toán tử Monge-Ampère phức miền giả lồi khơng trơn, đa điều hịa loại m • Tìm điều kiện đủ dãy hàm {uj } ⊂ PSH(Ω) để có tương đương hội tụ theo Cn -dung lượng dãy hàm {uj } hội tụ yếu dãy độ đo Monge-Ampère phức tương ứng • Nghiên cứu tính ổn định nghiệm phương trình Monge-Ampère phức • Nghiên cứu hội tụ theo Cn -dung lượng dãy hàm thác triển cực đại • Tiếp tục nghiên cứu tìm hiểu, để tìm vấn đề nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu ◦ Hàm đa điều hòa dưới, thác triển cực đại hàm đa điều hòa ◦ Các lớp hàm đa điều hòa U Cegrell giới thiệu, nghiên cứu phát triển nhiều tác giả ◦ Toán tử Monge-Ampère phức ◦ Bài toán Dirichlet tốn tử Monge-Ampère phức ◦ Phương trình Monge-Ampère phức nghiệm chúng lớp hàm Cegrell ◦ Các tính chất hội tụ theo Cn -dung lượng hàm đa điều hòa hàm thác triển cực đại hàm đa điều hịa Phương pháp nghiên cứu • Ứng dụng phương pháp kỹ thuật truyền thống nhà toán học sử dụng, nghiên cứu Giải tích phức • Tham gia seminar nhóm, seminar Tổ môn để thường xuyên trao đổi, thảo luận, nghiên cứu vấn đề vướng mắc, vấn đề 61 Tiếp theo, ta có số đánh giá cho hàm thác triển cực đại hàm đa điều hòa với giá trị biên độ đo MongeAmpère chúng ˆ miền siêu lồi bị chặn Cn Mệnh đề 3.2.2 Cho Ω ⊂ Ω ˆ với f ≥ g Ω Giả sử u ∈ F a (Ω, f ) cho f ∈ E(Ω), g ∈ E(Ω) u ≥ g Ω\K với K tập compact Ω Khi đó, S := Su,g ∈ ˆ g) F a (Ω, ˆ (ddc S)n ≤ 1K∩{S=u} (ddc u)n + (ddc g)n Ω ˆ Hơn nữa, (ddc S)n = ((Ω\K) ∩ {−∞ < S < g}) ∪ (Ω ∩ {S < u}) ˆ g) Ta đặt Chứng minh Theo Mệnh đề 3.1.2, ta có S ∈ F a (Ω, v := (sup{ϕ ∈ PSH(Ω) : ϕ ≤ u K})∗ Khi đó, v ∈ F(Ω), v ≥ u Ω (ddc v)n = (Ω\K) Do u ≥ g ˆ Từ Định lý 1.1 [33] ta suy Ω\K , nên S = Sv,g Ω (ddc S)n = Ω ∩ {S < min(v, g)} (ddc S)n ≤ 1Ω (ddc v)n + (ddc g)n Điều suy ra, (ddc S)n = Ω ∩ {S < min(u, g)} (3.3) 62 (ddc S)n 1K∩{v=−∞} (ddc v)n + 1K∩{S=v}{v>−∞} (ddc v)n n (3.4) n + 1K∩{S=g}{g>−∞} (dd v) + (dd g) c c Bây giờ, ta cần chứng minh ˆ (ddc S)n = ((Ω\K) ∩ {−∞ < S < g}) ∪ (Ω ∩ {S < min(u, g)}) ˆ ∩ C(Ω) ˆ Thật vậy, theo Định lý 2.1 [12] tồn {gj } ⊂ E0 (Ω) ˆ tồn {uj } ⊂ E0 (Ω) ∩ C(Ω) cho uj ց u cho gj ց g Ω Ω Đặt hj =   min(uj , gj )  gj Ω ˆ Ω\Ω, ˆ : ϕ ≤ hj Ω}) ˆ ∗ uˆj := (sup{ϕ ∈ PSH− (Ω) ˆ ∩ L∞ (Ω) ˆ uˆj ց S Ω ˆ Dễ dàng thấy u ˆj ∈ PSH− (Ω) ˆ nên theo Hệ 9.2 [4], ta có j ր +∞ Bởi hj ∈ C(Ω) (ddc uˆj )n = {ˆ uj < hj } ˆ Hơn nữa, từ hj ≥ g Ω\K , ta suy ˆ (ddc uˆj )n = (Ω\K) ∩ {ˆ uj < g} Từ đây, theo Mệnh đề 3.1.3 ta suy ˆ (ddc S)n = (Ω\K) ∩ {−∞ < S < g} 63 Kết hợp với (3.3), ta có ˆ (ddc S)n = ((Ω\K) ∩ {−∞ < S < g}) ∪ (Ω ∩ {S < min(u, g)}) Tiếp theo, với E ⊂ K ∩ {S = v} ∩ {v > −∞} tập compact tùy ý Bởi S u v Ω, nên E ⊂ {S + j > u} với j > Từ đó, theo Mệnh đề 4.1 [34] ta có Z E Z  n (dd S) = lim dd max(S + , u) j→+∞ j E Z Z c n ≤ (dd max(S, u)) = (ddc u)n c n c E E Điều suy (ddc S)n ≤ (ddc u)n K ∩ {S = v} ∩ {v > −∞} (3.5) Một cách tương tự, ta chứng minh (ddc S)n ≤ (ddc g)n K ∩ {S = g} ∩ {g > −∞} (3.6) Bây giờ, u ≤ v Ω, Bổ đề 4.1 [1] suy (ddc v)n ≤ (ddc u)n K ∩ {v = −∞} Kết hợp (3.4), (3.5), (3.6), ta suy (ddc S)n 61K∩{v=−∞} (ddc u)n + 1K∩{S=v}∩{v>−∞} (ddc u)n + (ddc g)n ≤1K∩{S=u} (ddc u)n + (ddc g)n Vậy mệnh đề chứng minh 64 ˆ ⋐ Cn miền siêu lồi {Gj } dãy Bổ đề 3.2.3 Cho Ω ⊂ Ω miền siêu lồi bị chặn cho Gj ⋐ Gj+1 ⋐ Ω Ω = ∞ S Gj Giả j=1 sử u ∈ F a (Ω) ta định nghĩa
∗ uj := sup{ϕ ∈ PSH− (Ω) : ϕ ≤ u Ω\Gj } ˆ j ր +∞ Khi đó, Suj ,0 ր h.k.n Ω ˆ Bởi uj ր Chứng minh Đặt Sj := Suj ,0 S := (supj≥1 Sj )∗ Ω ˆ j ր +∞ Theo Định h.k.n Ω, ta có Sj ր S h.k.n Ω lý 1.1 [33] ta suy ˆ (ddc Sj )n ≤ 1Ω∩{Sj =uj } (ddc uj )n Ω (3.7) Bởi uj → h.k.n Ω j → +∞ (ddc u)n triệt tiêu tất tập đa cực, theo Bổ đề 3.1 [14], ta có lim j→+∞ Z − max(uj , −1)(ddc u)n = Ω (3.8) Tiếp theo, theo Hệ 3.3 [14], dãy độ đo {max(S, −1)(ddc Sj )n } hội tụ theo topo yếu tới {max(S, −1)(ddc S)n } Từ đó, (3.7), (3.8) sử dụng Bổ đề 3.3 [1], ta có Z ˆ Ω c n − max(S, −1)(dd S) ≤ lim sup j→+∞ ≤ lim sup j→+∞ Z ˆ Ω Z ˆ Ω − max(S, −1)(ddc Sj )n − max(Sj , −1)(ddc Sj )n 65 ≤ lim sup j→+∞ ≤ lim sup j→+∞ Z Ω Z Ω − max(uj , −1)(ddc uj )n − max(uj , −1)(ddc u)n = Điều suy ˆ − max(S, −1)(ddc S)n = Ω ˆ Vì vậy, theo Định lý 3.8 [13] ta suy S = Ω Bây giờ, ta chứng minh hội tụ theo Cn -dung lượng dãy hàm thác triển cực đại với giá trị biên, dãy hàm đa điều hòa tương ứng chúng hội tụ theo Cn -dung lượng ˆ ⋐ Cn miền siêu lồi f ∈ E(Ω), Định lý 3.2.4 Cho Ω ⊂ Ω ˆ , w ∈ F a (Ω, f ) cho f ≥ g Ω g ∈ E(Ω) Z ˆ Ω c n (dd g) + Z (ddc w)n < +∞ Ω Giả sử {uj } ⊂ F a (Ω, f ) cho uj ≥ w với j ≥ uj → u theo Cn -dung lượng Ω Khi đó, Suj ,g → Su,g theo Cn -dung lượng ˆ Ω Chứng minh Ta xét hai trường hợp Trường hợp w ≥ g Ω\K với K tập compact Ω Đặt Sj := Suj ,g S := Su,g Từ uj ≥ w ≥ g Ω\K , theo Bổ đề 3.2.2 ta 66 có ˆ (ddc Sj )n ≤ 1K∩{Sj =uj } (ddc uj )n + (ddc g)n Ω Ta cần chứng minh {Sjk } dãy dãy {Sj } tồn dãy {Sjkl } dãy {Sjk } cho Sjkl → S theo Cn -dung ˆ l → +∞ Bằng cách thay {Sj } dãy thích lượng Ω k hợp, ta giả sử dãy {Sjk } hội tụ yếu tới hàm đa điều hòa ˆ H Ω ˆ Thật vậy, Ta cần Sjk → H theo Cn -dung lượng Ω đặt  Hk := sup Sjl l≥k ∗ ˆ vk := Ω  sup ujl l≥k ∗ Ω ˆ ∩ C(Ω) ˆ cho K ⊂ Ω ∩ {ˆ Lấy ρ ∈ E0 (Ω) ∩ C(Ω) ρˆ ∈ E0 (Ω) ρ = ρ} ˆ , nên Cho a > 0, Sjk ≤ Hk ≤ g Ω    Sj k Hk ˆ ∩ {g = −∞} , ρˆ = max , ρˆ = ρˆ Ω max a a  Từ đó, theo Bổ đề 3.1 [14], Mệnh đề 3.2.1 Bổ đề 3.2.2 ta có Z      Hk Sj k max lim sup , ρˆ − max , ρˆ (ddc Sjk )n a a k→∞ ˆ Ω      Z Sj k Hk ≤ lim sup , ρˆ − max , ρˆ (ddc ujk )n max a a k→∞ K∩{Sjk =ujk } + lim sup k→∞ Z  ˆ Ω    Sj k Hk , ρˆ − max , ρˆ (ddc g)n max a a  67 ≤ lim sup k→∞ Z h Ω + lim sup k→∞ v  u i jk max , ρ − max , ρ (ddc ujk )n a a      Z Hk Sj k max , ρˆ − max , ρˆ (ddc g)n = a a k ˆ Ω∩{g>−∞} Điều suy ra, lim k→∞ Z  ˆ Ω    Sj k Hk , ρˆ − max , ρˆ (ddc Sjk )n = max a a  Vì vậy, từ Mệnh đề 3.2.1, ta suy Sjk → H theo Cn -dung lượng ˆ Theo Bổ đề 3.2.2, ta suy Ω ˆ (ddc Sjk )n = ({Sjk < g} ∩ (Ω\K)) ∪ (Ω ∩ {Sjk < ujk }), với k ≥ Do Sjk ≥ Sw,g với k ≥ 1, theo Mệnh đề 3.1.3, ta suy ˆ (ddc H)n = ({−∞ < H < g} ∩ (Ω\K)) ∪ (Ω ∩ {−∞ < H < u}) ˆ ta suy Hơn nữa, từ S ≤ u Ω S ≤ g Ω (ddc H)n = {−∞ < H < S} Bởi Hk ≤ vk Ω, ta có H ≤ u Ω, vậy, ˆ H ≤ S Ω ˆ g), Mệnh đề 3.1.4 suy H = S Ω ˆ Do S, H ∈ F a (Ω, ˆ Sjk → S theo Cn -dung lượng Ω 68 Trường hợp Trường hợp tổng quát Cho {Gk } dãy miền siêu lồi bị chặn cho Gk ⋐ Gk+1 ⋐ Ω Ω = ∞ S k=1 Gk Cho ψ ∈ F a (Ω) cho ψ + f ≤ w ≤ f Ω Đặt ϕk = Sψk ,0 , ψk := (sup{ϕ ∈ PSH− (Ω) : ϕ ≤ ψ Ω\Gk })∗ ˆ Do Theo Bổ đề 3.2.3 ta có ϕk ր h.k.n Ω uj ≥ w ≥ f + ψk ≥ g + ϕk Ω\Gk , theo trường hợp 1, ta có Suj ,g+ϕk → Su,g+ϕk theo Cn -dung lượng ˆ Hơn nữa, Ω ˆ |Suj ,g − Su,g | ≤ |Suj ,g+ϕk − Su,g+ϕk | − 2ϕk Ω, ˆ với k ≥ Từ đó, Suj ,g → Su,g theo Cn -dung lượng Ω Kết luận kiến nghị I Kết luận Trong phần này, ta điểm lại kết đạt Luận án Cụ thể, Luận án nghiên cứu toán Dirichlet toán tử MongeAmpère phức miền giả lồi khơng trơn, nghiên cứu tính ổn định nghiệm phương trình Monge-Ampère phức, nghiên cứu hội tụ theo dung lượng dãy hàm đa điều hòa với giá trị biên đạt kết sau • Chứng minh tồn nghiệm toán M A (Ω, φ, f ) trường hợp Ω miền giả lồi Cn , đa điều hòa loại m ã Chng minh tớnh liờn tc Hăolder ca nghim bi toán M A (Ω, φ, f ) trường hợp Ω miền giả lồi Cn , đa điều hịa loại m • Đưa điều kiện đủ dãy hàm đa điều hòa {uj } để có tương đương hội tụ theo Cn -dung lượng dãy {uj } hội tụ yếu dãy độ đo Monge-Ampère tương ứng {(ddc uj )n } • Chứng minh tính ổn định nghiệm phương trình Monge-Ampère phức 70 • Chứng minh số tính chất hàm thác triển cực đại Su,g hàm đa điều hòa u với giá trị biên g • Chứng minh hội tụ theo Cn -dung lượng dãy hàm thác triển cực đại Suj ,g dãy đa điều hòa {uj } với giá trị biên g dãy {uj } hội tụ theo Cn -dung lượng II Kiến nghị Từ kết thu luận án trình nghiên cứu, đề xuất số hướng nghiên cứu sau: • Nghiên cứu tốn M A (Ω, φ, f ) trường hợp Ω miền giả lồi chặt, đa điều hòa loại m f bị chặn gần biên Ω • Nghiên cứu điều kiện dãy hàm đa điều hòa {uj } lớp hàm lớn hơn, để có tương đương hội tụ theo Cn -dung lượng dãy {uj } hội tụ yếu dãy độ đo Monge-Ampère tương ứng {(ddc uj )n } • Nghiên cứu tính ổn định nghiệm phương trình Monge-Ampère phức lớp hàm lớn Cuối cùng, xin trân trọng đón nhận góp ý quý báu quý đọc giả hướng nghiên cứu, vấn đề liên quan tới đề tài luận án để tiếp tục phát triển hướng nghiên cứu Danh mục cơng trình sử dụng luận án [1] N.X Hong, N.V Trao and T.V Thuy (2017), "Convergence in capacity of plurisubharmonic functions with given boundary values", Int J Math., 28(3), Article Id:1750018, 14p DOI:10.1142/S0129167X17500185 [2] N.X Hong and T.V Thuy (2018), "Hăolder continuous solutions to the complex Monge-Ampốre equations in non-smooth pseudoconvex domains", Anal Math Phys., 8, Issue 3, 465–484 [3] L.M Hai, T.V Thuy and N.X Hong (2018), "A note on maximal subextensions of plurisubharmonic functions", Acta Math Vietnam, 43, 137-146 71 Tài liệu tham khảo [1] P ˚ Ahag, U Cegrell, R Czy˙z and P.H Hiep (2009), "Monge-Ampère measures on pluripolar sets", J Math Pures Appl., 92, 613-627 [2] L Baracco, T.V Khanh, S Pinton and G Zampieri (2016), "Hăolder regularity of the solution to the complex Monge-Ampère equation with Lp density", Calc Var PDE, 55-74 [3] E Bedford B.A Taylor (1976), "The Dirichlet problem for a comlex Monge–Ampère equation", Invent Math., 37, 1–44 [4] E Bedford and B.A.Taylor (1982), "A new capacity for plurisubharmonic functions", Acta Math., 149(1,2), 1–40 [5] E Bedford and B.A Taylor (1988), "Smooth plurisubharmonic functions without subextension", Math Z., 198(3), 331-337 [6] Z Blocki (1995), "On the Lp -stability for the complex Monge-Ampère operator", Michigan Math J., 42, 269–275 [7] Z Blocki (1996), "The complex Monge-Ampère operator in hyperconvex domains", Ann Scuola Norm Sup Pisa Cl sci., 23, 721-747 [8] Z Blocki (2006), "The domain of definition of the complex MongeAmpère operator", Amer J Math., 128, 519–530 [9] Z Blocki (2009), "A note on maximal plurisubharmonic functions", Uzbek Math J., 1, 28-32 [10] L Caffarelli, J.J Kohn, L Nirenberg, J Spruck (1985), "The Dirichlet problem for nonlinear second-order elliptic equations, II: complex Monge - Ampère, and uniformly elliptic equations" Comm on Pure and Appl Math., 38, 209-252 [11] U Cegrell (1998), "Pluricomplex energy", Acta Math., 180, 187-217 [12] U Cegrell (2004), "The general definition of the complex MongeAmpère operator", Ann Inst Fourier (Grenoble), 54, 159-179 72 73 [13] U Cegrell (2008), "A general Dirichlet problem for the complex Monge-Ampère operator", Ann Polon Math., 94, 131-147 [14] U Cegrell (2012), "Convergence in Capacity", Canad Math Bull., 55, 242–248 [15] U Cegrell and L Hed (2008), "Subextension and approximation of negative plurisubharmonic functions", Michigan Math J., 56, 593-601 [16] U Cegrell and S Kolodziej (2006), "The equation of complex Monge-Ampère type and stability of solutions", Math Ann., 334, 713729 [17] U Cegrell, S Kolodziej and A Zeriahi (2005), "Subextension of plurisubharmonic functions with weak singularities", Math Z., 250, 7-22 [18] U Cegrell, S Kolodziej and A Zeriahi (2011), "Maximal subextensions of plurisubharmonic functions", Ann Fac Sci Toulouse Math., 20(6), Fascicule Spcial, 101-122 [19] U Cegrell and A Zeriahi (2003), "Subextension of plurisubharmonic functions with bounded Monge-Ampère operator mass", C R Acad Sci Paris, 336, 305-308 [20] U Cegrell, S Kolodziej and A Zeriahi (2005), "Subextension of plurisubharmonic functions with weak singularities", Math Z., 250(1), 7-22 [21] M Charabati (2015), "Hăolder regularity for solutions to complex Monge-Ampère equations", Ann Pol Math., 113(2), 109-127 [22] R Czy˙z and L Hed (2008), "Subextension of plurisubharmonic functions without increasing the total Monge-Ampère mass", Ann Polon Math., 94, 275-281 [23] J.P Demailly, S Dinew, V Guedj, P.H Hiep (2014), "S Kolodziej and A Zeriahi, Hăolder contin-uous solutions to Monge-Ampère equations", J Eur Math Soc (JEMS), 16 (4), 619-647 [24] S Dinew and S Kolodziej (2014), "A priori estimates for the complex Hessian equations", Analysis & PDE., 7(1), 227–244 [25] V Guedj and A Zeriahi (2012), "Stability of solutions to complex Monge-Ampère equations in big cohomology classes", Mathematical Research Letters, 19(5), 1025–1042 [26] V Guedj, S Kolodziej and A Zeriahi (2008), "Hăolder continuous solutions to the complex Monge-Ampốre equations", Bull Lond Math Soc 40(6), 1070-1080 74 [27] L.M Hai and N.X Hong (2014), "Subextension of plurisubharmonic functions without changing the Monge-Ampère measures and applications", Ann Polon Math., 112, 55-66 [28] L.M Hai, N.X Hong and T.V Dung (2015), "Subextension of plurisubharmonic functions with boundary values in weighted pluricomplex energy classes", Complex Var Elliptic Equ., 60, Issue 11, 1580-1593 [29] L.M Hai, N.V Trao and N.X Hong (2014), "The complex MongeAmpère equation in unbounded hyperconvex domains in Cn ", Complex Var Elliptic Equ., 59(12), 1758-1774 [30] P.H Hiep (2008), "Pluripolar sets and the subextension in Cegrell’s classes", Complex Variables and Elliptic Equations, 53(7), 675–684 [31] P.H Hiep (2010), "Hăolder continuity of solutions to the MongeAmpốre equations on compact Kăahler manifolds", Ann Inst Fourier, 60(5), 1857-1869 [32] P.H Hiep (2010), "Convergence in capacity and applications", Math Scand., 107, 90–102 [33] N.X Hong (2015), "Monge-Ampère measures of maximal subextensions of plurisubharmonic functions with given boundary values", Complex Var Elliptic Equ., 60(3), 429-435 [34] N.V Khue and P.H Hiep (2009), "A comparison principle for the complex Monge-Ampère operator in Cegrell’s classes and applications", Trans Am Math Soc., 361(10), 5539-5554 [35] S Kolodziej (1995), "The range of the complex Monge-Ampère operator, II", Indiana Univ Math J., 44, 765-782 [36] S Kolodziej (1996), "Some sufficient conditions for solvability of the Dirichlet problem for the complex Monge-Ampère operator", Ann Pol Math., 65(1), 11-21 [37] S Kolodziej (1998), "The complex Monge-Ampère equation", Acta Math., 180(1), 69-117 [38] S.Y Li (2004), "On the existence and regularity of Dirichlet problem for complex Monge-Ampère equations on weakly pseudoconvex domains", Calc Var PDE, 20, 119-132 [39] H El Mir (1980), "Fonctions plurisousharmoniques et ensembles pluripolaires", Seminaire Lelong-Skoda, Lecture Notes in Math., 822, Springer-Verlarg, 61-76 75 [40] A Simioniuc and G Tomassini (2008), "The Bremermann Dirichlet problem for unbounded domains of Cn ", Manuscr Math., 126(1), 7397 [41] Y Xing (1996), "Continuity of the complex Monge - Ampère operator", Proc Amer Math Soc., 124(2), 457–467 [42] Y Xing (2008), "Convergence in capacity", Ann Inst Fourier (Grenoble), 58(5), 1839-1861