Luận án Tiến sĩ Phân tích phi tuyến ứng xử tĩnh và ổn định của tấm bằng vật liệu FGM rỗng. Nonlinear statics and buckling analysis of functionally graded porous plates

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÊ THANH HẢI * LUẬN ÁN TIẾN SĨ * CHUYÊN NGÀNH: CƠ KỸ THUẬT * MÃ SỐ 9520101 * NĂM 2021 TRƯỜNG ĐẠI HỌC XÂY DỰNG HÀ NỘI Lê Thanh Hải PHÂN TÍCH PHI TUYẾN ỨNG XỬ TĨNH VÀ ỔN ĐỊNH CỦA TẤM BẰNG VẬT LIỆU FGM RỖNG Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật Mã số: 9520101 LUẬN ÁN TIẾN SĨ Hà Nội - Năm 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC XÂY DỰNG HÀ NỘI Lê Thanh Hải PHÂN TÍCH PHI TUYẾN ỨNG XỬ TĨNH VÀ ỔN ĐỊNH CỦA TẤM BẰNG VẬT LIỆU FGM RỖNG Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật Mã số: 9520101 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS TS Trần Minh Tú GS TS Lê Xuân Huỳnh Hà Nội - Năm 2021 i LỜI CAM ĐOAN Tên là: Lê Thanh Hải Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu kết trình bày luận án trung thực, đáng tin cậy không trùng lặp với nghiên cứu khác tiến hành Hà Nội, ngày……tháng……năm 2022 Người cam đoan Lê Thanh Hải ii LỜI CẢM ƠN Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến hai thầy giáo hướng dẫn GS TS Trần Minh Tú GS TS Lê Xuân Huỳnh tận tình hướng dẫn, giúp đỡ, động viên suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận án Tác giả chân thành cảm ơn tập thể thầy cô - Bộ môn Sức bền Vật liệu Trường Đại học Xây dựng Hà Nội quan tâm, tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ suốt thời gian nghiên cứu Bộ môn Tác giả xin cảm ơn tập thể thầy cô giáo, cán Khoa Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Xây dựng Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ suốt trình thực luận án Tác giả trân trọng cảm ơn nhà khoa học, thầy cô giáo bạn đồng nghiệp Seminar Cơ học vật rắn biến dạng đóng góp nhiều ý kiến quý báu có giá trị cho nội dung đề tài luận án Tác giả chân thành cảm ơn thầy cô giáo, bạn đồng nghiệp Khoa Xây dựng, Trường Đại học Vinh quan tâm giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hồn thành tốt nhiệm vụ giảng dạy nhà trường, học tập nghiên cứu hồn thành luận án Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn bạn bè, đồng nghiệp tận tình giúp đỡ động viên suốt trình tác giả học tập, nghiên cứu làm luận án Cuối tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thành viên gia đình ln tạo điều kiện, chia sẻ khó khăn suốt trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận án Tác giả: Lê Thanh Hải iii MỤC LỤC Nội dung Trang LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT vi DANH MỤC CÁC BẢNG viii DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ .x MỞ ĐẦU .1 CHƯƠNG TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 1.1 Tổng quan vật liệu FGM rỗng 1.2 Các loại vật liệu FGM rỗng 1.3 Phương pháp chế tạo bọt kim loại rỗng .8 1.3.1 Luyện bột kim loại (Powder Metallurgy) 1.3.2 Nung kết sợi (Fiber Sintering) 1.3.3 Nung chảy kim loại 1.3.4 Phun khí vào kim loại 10 1.3.5 Đúc thẩm thấu 10 1.4 Tính chất biến đổi trơn vật liệu FGM rỗng 10 1.5 Ứng dụng vật liệu GFM rỗng 13 1.6 Tổng quan nghiên cứu kết cấu vật liệu FGM FGM rỗng 15 1.6.1 Các nghiên cứu phân tích phi tuyến ứng xử uốn kết cấu FGM 15 1.6.2 Các nghiên cứu ổn định sau ổn định kết cấu FGM 17 1.6.3 Các nghiên cứu vật liệu FGM rỗng 19 iv 1.7 Tóm tắt chương .21 CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT TÍNH TỐN TẤM VẬT LIỆU FGM RỖNG CĨ KỂ ĐẾN YẾU TỐ PHI TUYẾN HÌNH HỌC 22 2.1 Mở đầu .22 2.2 Mơ hình vật liệu FGM rỗng .22 2.3 Lý thuyết biến dạng cắt bậc .24 2.3.1 Trường chuyển vị 25 2.3.2 Trường biến dạng 26 2.3.3 Trường ứng suất 27 2.3.4 Trường nội lực .28 2.3.5 Mối liên hệ nội lực chuyển vị .29 2.3.6 Hệ phương trình cân 30 2.3.7 Hệ phương trình cân theo chuyển vị 32 2.4 Lý thuyết cổ điển 34 2.5 Tóm tắt chương .36 CHƯƠNG PHÂN TÍCH PHI TUYẾN ỨNG XỬ UỐN CỦA TẤM BẰNG VẬT LIỆU FGM RỖNG 37 3.1 Mở đầu .37 3.2 Lời giải theo tiếp cận chuyển vị 37 3.2.1 Theo lý thuyết biến dạng cắt bậc 37 3.2.2 Theo lý thuyết cổ điển 43 3.3 Lời giải theo tiếp cận ứng suất 46 3.3.1 Theo lý thuyết biến dạng cắt bậc 46 3.3.2 Theo lý thuyết cổ điển 55 3.4 Kết số thảo luận 59 3.4.1 Ví dụ kiểm chứng .60 v 3.4.2 Khảo sát ảnh hưởng tham số: vật liệu, tải trọng phân bố, điều kiện biên, đàn hồi tham số hình học 64 3.5 Tóm tắt chương .79 CHƯƠNG PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH VÀ SAU ỔN ĐỊNH CỦA TẤM BẰNG VẬT LIỆU FGM RỖNG 81 4.1 Mở đầu .81 4.2 Khái niệm ổn định tiêu chuẩn ổn định tĩnh 81 4.2.1 Khái niệm ổn định ổn định, phân loại 81 4.2.2 Các tiêu chuẩn ổn định tĩnh 84 4.3 Phân tích ổn định theo lý thuyết biến dạng cắt bậc 85 4.4 Phân tích ổn định theo lý thuyết cổ điển .96 4.5 Kết số thảo luận 101 4.5.1 Ví dụ kiểm chứng 101 4.5.2 Khảo sát ảnh hưởng tham số vật liệu, điều kiện biên, đàn hồi, dạng tải trọng, tham số hình học độ khơng hồn hảo ban đầu 105 4.6 Tóm tắt chương .115 KẾT LUẬN 117 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ 119 TÀI LIỆU THAM KHẢO .121 PHỤ LỤC PL1 vi DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT Danh mục ký hiệu Ký hiệu Nội dung ký hiệu a, b Kích thước cạnh chữ nhật h Chiều dày chữ nhật E Mô đun đàn hồi kéo/nén vật liệu G Mô đun đàn hồi trượt vật liệu e0 Hệ số mật độ lỗ rỗng  Hệ số Poisson vật liệu Kw Hệ số độ cứng uốn đàn hồi K sx , K sy Các hệ số độ cứng cắt đàn hồi ztb , zth Toạ độ điểm khảo sát theo phương chiều dày tính từ mặt trung bình mặt trung hồ C Khoảng cách mặt trung hồ mặt trung bình u , v, w Chuyển vị theo phương x, y, zth u0 , v0 , w0 Chuyển vị điểm mặt trung hòa theo phương x, y, zth  x , y Góc xoay pháp tuyến mặt trung hòa quanh hai trục y, x q Tải trọng phân bố tác dụng lên mặt theo phương zth  x ,  y ,  zth Biến dạng dài tỷ đối theo phương x, y, zth  xy ,  xzth ,  yzth Biến dạng góc mặt phẳng xy, xzth, yzth   Các thành phần biến dạng màng   Các thành phần độ cong uốn, xoắn  x ,  y ,  zth Ứng suất pháp mặt có phương pháp tuyến x, y, zth vii  xzth ,  yzth Ứng suất phương z mặt có pháp tuyến trục x, y N x , N y , N xy Các thành phần lực dọc M x , M y , M xy Các thành phần mô men Qxzth , Qyzth Các thành phần lực cắt N x0 , N y0 , N xy Tải trọng nén cạnh Q  Ma trận hệ số đàn hồi vật liệu ks Hệ số hiệu chỉnh cắt A Biểu diễn mặt trung hoà fe Phản lực đàn hồi n, s Phương pháp tuyến tiếp tuyến mặt biên Danh mục chữ viết tắt Chữ viết tắt Nội dung viết tắt FGM Functionally Graded Material (vật liệu có tính biến thiên hay vật liệu biến đổi chức năng) CPT Classical plate theory (lý thuyết cổ điển) FSDT First-oder shear deformation theory (lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất) TSDT Third-order shear deformation theory (lý thuyết biến dạng cắt bậc ba) HSDT Higher-oder shear deformation theory (lý thuyết biến dạng cắt bậc cao) PTHH Phần tử hữu hạn IM Immovable (liên kết tự dịch chuyển mặt phẳng) FM Movable (liên kết tự dịch chuyển mặt phẳng) SSSS Liên kết bốn biên tựa khớp CCCC Liên kết bốn biên ngàm SCSC Liên kết hai cạnh đối diện tựa khớp, hai cạnh lại liên kết ngàm viii DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 3.1 Các hàm dạng X m ( x) Yn ( y ) sử dụng khai triển (3.10) [71, 101]: 41 Bảng 3.2 Độ võng không thứ nguyên w vuông đẳng hướng điều kiện SSSS tác dụng tải trọng phân bố (M = N = 3) .61 Bảng 3.3 Độ võng không thứ nguyên w vuông đẳng hướng điều kiện biên SCSC tác dụng tải trọng phân bố q0  PE1h /a 62 Bảng 3.4 Độ võng không thứ nguyên không thứ nguyên w vuông đẳng hướng tác dụng tải trọng phân bố 62 Bảng 3.5 Độ võng không thứ nguyên w vuông FGM rỗng (Dạng 2) với số số hạng khác khai triển chuỗi lượng giác kép .64 Bảng 3.6 Độ võng không thứ nguyên w vuông FGM rỗng với tỷ số kích thước a/h khác 66 Bảng 3.7 Độ võng không thứ nguyên w vuông dày, vật liệu FGM rỗng điều kiện biên SSSS với tham số tải trọng P khác (FSDT, a/h = 10) 68 Bảng 3.8 Mô men uốn Mx, My [MNm/m] vuông dày, vật liệu FGM rỗng điều kiện biên SSSS với tham số tải trọng P khác (FSDT, a/h = 10) 68 Bảng 3.9 Mô men uốn Mxy [MNm/m] vuông dày, vật liệu FGM rỗng điều kiện biên SSSS với tham số tải trọng P khác (FSDT, a/h = 10) 69 Bảng 3.10 Độ võng không thứ nguyên w vuông mỏng, vật liệu FGM rỗng điều kiện biên SSSS với tham số tải trọng P khác (CPT, a/h = 50) 69 Bảng 3.11 Mô men uốn Mx, My [MNm/m] vuông mỏng, vật liệu FGM rỗng điều kiện biên SSSS với tham số tải trọng P khác (CPT, a/h = 50) 70 Bảng 3.12 Mô men uốn Mxy [MNm/m] vuông mỏng, vật liệu FGM rỗng điều kiện biên SSSS với tham số tải trọng P khác (CPT, a/h = 50) 70 Bảng 3.13 Độ võng không thứ nguyên w vuông dày, vật liệu FGM rỗng (Dạng 2) điều kiện biên SSSS với tham số đàn hồi khác FSDT (a/h = 10) 73 128 [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] Shen H.-S and Wang Z.-X (2010) Nonlinear bending of FGM plates subjected to combined loading and resting on elastic foundations Composite Structures, 92(10): pp 2517-2524 Shen H.-S (2016) Functionally graded materials: nonlinear analysis of plates and shells CRC press Shen H.-S., Xiang Y., Lin F., and Hui D (2017) Buckling and postbuckling of functionally graded graphene-reinforced composite laminated plates in thermal environments Composites Part B: Engineering, 119: pp 67-78 Shen H.-S., Xiang Y., and Lin F (2017) Nonlinear bending of functionally graded graphene-reinforced composite laminated plates resting on elastic foundations in thermal environments Composite Structures, 170: pp 80-90 Shen H.-S., Xiang Y., and Fan Y (2019) A novel technique for nonlinear dynamic instability analysis of FG-GRC laminated plates Thin-Walled Structures, 139: pp 389-397 Smith B., Szyniszewski S., Hajjar J., Schafer B., and Arwade S (2012) Steel foam for structures: A review of applications, manufacturing and material properties Journal of Constructional Steel Research, 71: pp 1-10 Sobhy M (2013) Buckling and free vibration of exponentially graded sandwich plates resting on elastic foundations under various boundary conditions Composite Structures, 99: pp 76-87 Swaminathan K., Naveenkumar D., Zenkour A., and Carrera E (2015) Stress, vibration and buckling analyses of FGM plates—a state-of-the-art review Composite Structures, 120: pp 10-31 Talha M and Singh B (2011) Nonlinear mechanical bending of functionally graded material plates under transverse loads with various boundary conditions International Journal of Modeling, Simulation, and Scientific Computing, 2(02): pp 237-258 Tang H.-P and Zhang Z.-D (1997) Developmental states of porous metal materials Rare Metal Materials and Engineering, 26(1): pp 1-6 Timoshenko S and Gere J.M (1961) Theory of Elastic Stability, McGrawhill Book Co Inc., New York Thai H.-T and Choi D.-H (2011) A refined plate theory for functionally graded plates resting on elastic foundation Composites Science and Technology, 71(16): pp 1850-1858 Thai H.-T and Choi D.-H (2012) An efficient and simple refined theory for buckling analysis of functionally graded plates Applied Mathematical Modelling, 36(3): pp 1008-1022 Thai H.-T and Kim S.-E (2015) A review of theories for the modeling and analysis of functionally graded plates and shells Composite Structures, 128: pp 70-86 Thang P.-T., Nguyen-Thoi T., and Lee J (2016) Closed-form expression for nonlinear analysis of imperfect sigmoid-FGM plates with variable thickness resting on elastic medium Composite Structures, 143: pp 143-150 129 [113] Thang P.T., Nguyen T.-T., and Lee J (2017) A new approach for nonlinear buckling analysis of imperfect functionally graded carbon nanotubereinforced composite plates Composites Part B: Engineering, 127: pp 166174 [114] Thang P.T., Nguyen-Thoi T., Lee D., Kang J., and Lee J (2018) Elastic buckling and free vibration analyses of porous-cellular plates with uniform and non-uniform porosity distributions Aerospace Science and Technology, 79: pp 278-287 [115] Van Do V.N and Lee C.-H (2018) Nonlinear analyses of FGM plates in bending by using a modified radial point interpolation mesh-free method Applied Mathematical Modelling, 57: pp 1-20 [116] Van Do V.N., Ong T.H., and Lee C.-H (2019) Isogeometric analysis for nonlinear buckling of FGM plates under various types of thermal gradients Thin-Walled Structures, 137: pp 448-462 [117] Van Do V.N., Chang K.-H., and Lee C.-H (2019) Post-buckling analysis of FGM plates under in-plane mechanical compressive loading by using a mesh-free approximation Archive of Applied Mechanics, 89(7): pp 14211446 [118] Van Dung D and Nga N.T (2016) Buckling and postbuckling nonlinear analysis of imperfect FGM plates reinforced by FGM stiffeners with temperature-dependent properties based on TSDT Acta mechanica, 227(8): pp 2377-2401 [119] Van Tung H and Duc N.D (2010) Nonlinear analysis of stability for functionally graded plates under mechanical and thermal loads Composite Structures, 92(5): pp 1184-1191 [120] Volmir A (1963) Stability of elastic systems Gos Izd-vo Fiz Mat Lit., Moscow [121] Wang Y.Q and Zu J.W (2017) Porosity-dependent nonlinear forced vibration analysis of functionally graded piezoelectric smart material plates Smart Materials and structures, 26(10): pp 105014 [122] Woo J and Meguid S (2001) Nonlinear analysis of functionally graded plates and shallow shells International Journal of Solids and structures, 38(42): pp 7409-7421 [123] Wu L., Jiang Z., and Liu J (2005) Thermoelastic stability of functionally graded cylindrical shells Composite Structures, 70(1): pp 60-68 [124] Wu T.-L., Shukla K., and Huang J.H (2007) Post-buckling analysis of functionally graded rectangular plates Composite structures, 81(1): pp 110 [125] Xie K., Wang Y., Niu H., and Chen H (2020) Large-amplitude nonlinear free vibrations of functionally graded plates with porous imperfection: A novel approach based on energy balance method Composite Structures: pp 112367 130 [126] Xue Y., Jin G., Ma X., Chen H., Ye T., Chen M., and Zhang Y (2019) Free vibration analysis of porous plates with porosity distributions in the thickness and in-plane directions using isogeometric approach International Journal of Mechanical Sciences, 152: pp 346-362 [127] Yang J., Liew K., and Kitipornchai S (2006) Imperfection sensitivity of the post-buckling behavior of higher-order shear deformable functionally graded plates International Journal of Solids and Structures, 43(17): pp 5247-5266 [128] Yanga J and Shen H.-S (2003) Non-linear analysis of functionally graded plates under transverse and in-plane loads International Journal of Nonlinear mechanics, 38(4): pp 467-482 [129] Yin S., Yu T., Bui T.Q., and Nguyen M.N (2015) Geometrically nonlinear analysis of functionally graded plates using isogeometric analysis Engineering Computations [130] Yoosefian A., Golmakani M., and Sadeghian M (2020) Nonlinear bending of functionally graded sandwich plates under mechanical and thermal load Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 84: pp 105161 [131] Yu T.T., Yin S., Bui T.Q., and Hirose S (2015) A simple FSDT-based isogeometric analysis for geometrically nonlinear analysis of functionally graded plates Finite Elements in Analysis and Design, 96: pp 1-10 [132] Zenkour A (2005) A comprehensive analysis of functionally graded sandwich plates: Part 2—Buckling and free vibration International Journal of Solids and Structures, 42(18): pp 5243-5258 [133] Zenkour A and Alghamdi N (2010) Bending analysis of functionally graded sandwich plates under the effect of mechanical and thermal loads Mechanics of Advanced Materials and Structures, 17(6): pp 419-432 [134] Zenkour A.M (2006) Generalized shear deformation theory for bending analysis of functionally graded plates Applied Mathematical Modelling, 30(1): pp 67-84 [135] Zenkour A.M (2009) The refined sinusoidal theory for FGM plates on elastic foundations International journal of mechanical sciences, 51(11-12): pp 869-880 [136] Zhao X., Lee Y., and Liew K.M (2009) Free vibration analysis of functionally graded plates using the element-free kp-Ritz method Journal of sound and Vibration, 319(3): pp 918-939 [137] Zhao X., Lee Y., and Liew K.M (2009) Mechanical and thermal buckling analysis of functionally graded plates Composite Structures, 90(2): pp 161171 PL1 PHỤ LỤC Phụ lục 1: Các hàm số hệ phương trình (3.11) (11) lmn ( x, y )  A11U1''mU n  A66U1mU 2'' n ; (12) lmn ( x, y )   A12  A66 V1'mV2' n ;     (13) hmnpq ( x, y )  A11 X m' Yn X ''pYq  A12 X mYn' X 'pYq'  A66 X m' Yn X pYq''  X mYn' X 'pYq' ; (21) lmn ( x, y )   A12  A66 U1' mU 2' n ; (22) lmn ( x, y )  A11V1mV2''n  A66V1''mV2 n ; (23) hmnpq ( x, y )  A11 X mYn' X pYq''  A12 X m' Yn X 'pYq'  A66 X m' Yn X 'pYq'  X mYn' X ''pYq ; (33) s s lmn ( x, y )  A44 X mYn''  A44 X m'' Yn  K w X mYn  K sx X m'' Yn  K sy X mYn'' ; (34) s lmn ( x, y )  A44 X m'' Yn ; (35) s lmn ( x, y )  A44 X mYn'' ; (31) hmnpq ( x, y )  A11U1' mU n X ''pYq  A12U1' mU n X pYq''  A66U1mU 2' n X 'pYq' ; (32) hmnpq ( x, y )  A12V1mV2' n X ''pYq  A11V1mV2' n X pYq''  A66V1'mV2 n X 'pYq' ; 1 A11 X m' Yn X 'pYq X r''Ys  A12 X mYn' X pYq' X r''Ys 2 1  A12 X m' Yn X 'pYq X rYs''  A11 X mYn' X pYq' X rYs''  A66 X m' Yn X pYq' X r' Ys' ; 2 (33) g mnpqrs ( x, y )  (43) s lmn ( x, y )   A55 X m' Yn ; (44) lmn ( x, y )  C11 X m''' Yn  A55 X m' Yn  C66 X m' Yn'' ; (45) (53) s lmn ( x, y )   C12  C66  X m' Yn'' ; lmn ( x, y )   A44 X mYn' ; (54) (55) s lmn ( x, y )   C12  C66  X m'' Yn' ; lmn ( x, y )  C66 X m'' Yn'  C22 X mYn'''  A44 X mYn' ; PL2 Phụ lục 2: Các hệ số công thức (3.12)   ab  ab      (12) (13) (11) (12) (13) L(11) mnij , Lmnij , H mnpqij    lmn , lmn , hmnpq U1iU j dxdy;  L 00 (22) (23) (21) (22) (23) L(21) mnij , Lmnij , H mnpqij    lmn , lmn , hmnpq V1iV2 j dxdy ; 00 (33) (34) (35) (31) (32 ) (33) mnij , Lmnij , Lmnij , H mnpqij , H mnpqij , Gmnpqrsij ab   (33) (34) (35) (31) (32) (33)    lmn , lmn , lmn , hmnpq , hmnpq , g mnpqrs X iY j dxdy; 00 L     l L     l (43) (44) (45) mnij , Lmnij , Lmnij ab (11) (12) (13) (43) (44) (45) mn , lmn , hmnpq , lmn , lmn , lmn 00 (55) (53) (54) mnij , Lmnij , Lmnij ab (11) (12) (13) (53) (54) (55) mn , lmn , hmnpq , lmn , lmn , lmn 00  X Y dxdy; ' i j  X Y dxdy; ' i j ab Fij    qX iY j dxdy; 00 (33) ( x, y ) công thức (3.18) Phụ lục 3: Hàm số lmn   (33) lmn ( x, y )  C11 X m''''Yn  X m'' Yn''  X mYn''''  K w X mYn  K sx X m'' Yn  K sy X mYn'' ; (2) Phụ lục 4: Các hệ số K (1) pqrs , K pqrs công thức (3.43) Điều kiện biên SSSS: K (1) pqrs   q  s 2   p  r   x cos  q  s   y   K1 cos b a b2   2     K  q  s   cos  p  r   x cos  q  s   y    b a b2   q  s  y  p  r  x q  s      cos cos b a  K3  b a b2   dxdy;    ab 0  2 q  s  y  p  r  x q  s      K  cos cos   b a b2  A p r s y  q y r x p x    11 sin sin cos cos b  b a a  a a  A12 q s s y  q y r x p x cos cos sin sin   b  b a a  b b PL3 K (2) pqrs   p  r 2   p  r   x cos  q  s   y   K1 cos a b a2   2     K  p  r   cos  p  r   x cos  q  s   y    a b a2   p  r  p  r  x q  s  y      cos cos b a  K3  a b a2    dxdy;   ab 0  2 p  r   p  r   x cos  q  s   y   K  cos   a b a2  A p r p x r x q y s y    12  cos cos sin sin a a b b   a a  A11 q s p x r x q y s y  sin sin cos cos   a a b b   b b Điều kiện biên SCSC: K (1) pqrs   q  s 2   p  r   x cos  q  s   y   K1 cos a b b2   2    K  q  s   cos  p  r   x cos  q  s   y    a b b2   4q  s   p  r   x cos  q  s   y    K cos   a b b2    4q  s   p  r   x cos  q  s   y  ba  K cos   a b   dxdy; b2   ab 0   2 p  r  x s y  K5 s  cos   cos   a b b2   2  K s  cos  p  r   x cos s y   b2  a b    A11 p r cos p x cos r x sin q y sin s y  a a b b   a a  A q s p x r x 2q y 2s y  sin sin sin sin  12  a a b b   b b PL4 K (2) pqrs   p  r 2   p  r   x cos  q  s   y   K1 cos a b a2   2    K  p  r   cos  p  r   x cos  q  s   y    a b a2   p  r    p  r   x cos  q  s   y   K  cos   a b a2    p  r    p  r   x cos  q  s   y  b a  K cos   a b a2    dxdy;   ab 0   p  r  p  r  x  s y  K5   cos cos   a b a2   2  p  r   cos  p  r   x cos 2s y   K    a b a    A12 p r cos p x cos r x sin q y sin s y   a a a a b b     A11 q s sin p x sin r x sin 2q y sin 2s y  a a b b   b b PL5 Điều kiện biên CCCC: K (1) pqrs   q  s 2  2  p  r  x q  s  y    K1 cos cos a b b2   2    K  q  s   cos  p  r   x cos  q  s   y    a b b2   2 4q  s   p  r  x  q  s  y   cos cos   K3 a b b    4q  s  2  p  r  x q  s  y  cos cos   K a b b2     s 2 2 p x s y   K5 cos cos a b b2     4q  s  2 q  s  y ba p x    cos cos K  dxdy;    ab 0  a b b  2   4q  s   q  s  y p x   K cos cos a b   b   2 p  r  x s y   K8 s  cos  cos   a b b2   2   K s  cos  p  r   x cos s y   b2 a b  A p r p x 2r x q y s y    11 sin sin sin sin a a b b   a a  A q s p x r x 2q y 2s y  sin sin sin sin  12  a a b b   b b     PL6 K (2) pqrs   p  r 2  2  p  r  x q  s  y   K1  cos cos a b a2   2    K  p  r   cos  p  r   x cos  q  s   y    a b a2   4 p  r  2  p  r  x q  s  y    cos cos K   a b a2    4 p  r  2  p  r  x q  s  y  cos cos  K  a b a2     p 2 2 p x s y  K5  cos cos a b a2   2  ba  q  s  y  4p  p x   cos cos  K  dxdy;   ab 0  a b a  2     q s y   p x 4p  cos cos  K  a b a     4 p  r  2  p  r  x s y   K8  cos cos   a b a2   2  K  p  r   cos  p  r   x cos s y    a b a    A12 p r sin p x sin 2r x sin q y sin s y   a a a a b b     A11 q s sin p x sin r x sin 2q y sin 2s y   b b a a b b    (3) phương trình (3.44) Phụ lục 5: Các hàm số g mnpqrs Điều kiện biên SSSS: (3) (3a ) (3b ) (3c ) g mnpqrs ;  g mnpqrs  g mnpqrs  g mnpqrs PL7 (3a ) g mnpqrs  H1a cos  p  r   x sin m x cos  q  s   y sin n y a  p  r  x a b b  q  s   y sin n y m x  H 2a cos sin cos a a b b  p  r   x sin m x cos  q  s   y sin n y  H 3a cos a a b b  p  r   x sin m x cos  q  s   y sin n y ;  H 4a cos a a b b (3b ) g mnpqrs   p  r   x cos m x sin  q  s   y cos n y 2 H1b sin a  p  r  x a b b  q  s   y cos n y m x cos sin 2 H 2b sin a a b b  p  r   x cos m x sin  q  s   y cos n y 2 H 3b sin a a b b  p  r   x cos m x sin  q  s   y cos n y ; 2 H 4b sin a a b b   (3c ) (2)   K (1) g mnpqrs pqrs m  K pqrs  n sin m x n y sin ; a b đó:   H 2a  K   q   s   2  m2   p   r   n2  ; H1a  K1   q   s      H 4a  K   q   s    H 3a  K3   q   s   m2   p   r   n2  ;  m2   p   r   n2  ;    m2   p   r   n2  ;   q   s  m n ;   q   s  m n ;   q   s  m n ;   q   s  m n ; H1b  K1  p   r H 2b  K  p   r H 3b  K3  p   r H 4b  K  p   r 2  PL8 Điều kiện biên SCSC: (3) (3a ) (3b ) (3c ) (3d ) g mnpqrs ;  g mnpqrs  g mnpqrs  g mnpqrs  g mnpqrs (3a ) g mnpqrs   q  s   m 2  p  r   x cos  q  s   y sin m x sin n y K1 cos 2 a b a b b a  q  s   m 2  p  r   x cos  q  s   y sin m x sin n y  K2 cos 2 a b a b b a  q  s   m 2  p  r   x cos  q  s   y sin m x sin n y  K3 cos 2 a b a b b a  q  s   m 2  p  r   x cos  q  s   y sin m x sin n y  K4 cos 2 a b a b b a 2 2  p  r   x cos 2s y sin m x sin n y 4s  m   K5 cos 2 a b a b b a  p  r   x cos 2s y sin m x sin n y ; s 2 m 2  K6 cos 2 a b a b b a (3b ) g mnpqrs   p  r    q  s   m n  p  r   x cos  q  s   y cos m x sin 2n y cos a b a b a b a b  p  r    q  s   m n  p  r   x cos  q  s   y cos m x sin 2n y K2 cos a b a b a b a b  p  r    q  s   m n  p  r   x cos  q  s   y cos m x sin 2n y  K3 cos a b a b a b a b  p  r    q  s   m n  p  r   x cos  q  s   y cos m x sin 2n y K4 cos a b a b a b a b  p  r   s m n  p  r   x cos 2s y cos m x sin 2n y cos  K5 a b a b a b a b  p  r   s m n  p  r   x cos 2s y cos m x sin 2n y ; cos  K6 a b a b a b a b  K1 PL9 (3c )  g mnpqrs 2 K1 2 K 2 K 2 K 2 K 2 K  p  r a  n 2 2 b  p  r  n 2 a2  p  r a b2  n 2 b  p  r a b2  p  r a2  n 2 a2  p  r   x cos  q  s   y sin m x cos 2n y cos  p  r   x cos  q  s   y sin m x cos 2n y cos  p  r   x cos  q  s   y sin m x cos 2n y cos  p  r   x cos  q  s   y sin m x cos 2n y  n 2 cos  p  r   x cos 2s y sin m x cos 2n y cos  p  r   x cos 2s y sin m x cos 2n y ; b cos 2  p  r 2  n 2 b2 (3d )   K (1) g mnpqrs pqrs m sin a b a b a a b b a b b b a b a a a b a a a b b b m x n y m x 2n y  K (2) sin cos pqrs  n sin a b a b Điều kiện biên CCCC: (3) (3a ) (3b ) (3c ) (3d ) g mnpqrs  g mnpqrs  g mnpqrs  g mnpqrs  g mnpqrs ; PL10 (3a ) g mnpqrs  2  p  r  x q  s  y m 2  q  s   2m x n y 8 K1 cos cos cos sin a b a b a b 2  p  r  x q  s  y m 2  q  s   2m x n y 8 K cos cos cos sin 2 a b a b a b 2  p  r  x q  s  y m 2  q  s   2m x n y 8 K cos cos cos sin a b a b a b 2  q  s  y  p  r  x 2m x n y m 2  q  s   8 K cos cos sin cos 2 a b a b a b 2 2 p x s y 2m x n y m s cos cos cos sin 8 K 2 a b a b a b 2  q  s  y p x 2m x n y m 2  q  s   cos cos cos sin 8 K 2 a b a b a b m 2 8 K a2 m 2 8 K a m 2 8 K a2 q  s q  s  y p x 2m x n y cos cos sin a b a b b 2  p  r  x s s y 2m x n y cos cos cos sin a b a b b2 2  p  r  x s y 2m x n y s cos cos cos sin ; a b a b b 2 cos PL11 (3b ) g mnpqrs  m a m 8 K a m 8 K3 a m 8 K a m 8 K5 a m 8 K a m 8 K a m 8 K8 a m 8 K9 a 8 K1  p  r  x  q  s  y n  p  r    q  s   2m x 2n y cos cos sin sin b a b a b a b  p  r  x  q  s  y n  p  r    q  s   2m x 2n y cos cos sin sin b a b a b a b  p  r  x q  s  y n  p  r    q  s   2m x 2n y cos cos sin sin b a b a b a b  p  r  x  q  s  y 2m x 2n y n  p  r    q  s   cos cos sin sin a b a b b a b n p s p x 2s y 2m x 2n y cos cos sin sin b a b a b a b q  s  y n p  q  s   p x 2m x 2n y cos cos sin sin b a b a b a b q  s  y n p  q  s   p x 2m x 2n y cos cos sin sin b a b a b a b  p  r  x n  p  r   s 2s y 2m x 2n y cos cos sin sin b a b a b a b  p  r  x n  p  r   s 2s y 2m x 2n y cos cos sin sin ; b a b a b a b PL12 (3c ) g mnpqrs  2  p  r  x  q  s   y m x n 2  p  r   2n y 8 K1 cos cos sin cos a b a b b a 2  p  r  x  q  s   y m x n 2  p  r   2n y 8 K 2 cos cos sin cos a b a b b a 2  p  r  x  q  s   y m x n 2  p  r   2n y 8 K cos cos sin cos a b a b b a n 2 8 K b n 2 8 K b n 2 8 K b n 2 8 K b  p  r a 2 cos  p  r  x a cos  q  s  y b sin 2n y m x cos a b p x s y m x 2n y p cos cos sin cos a b a b a 2  q  s   y m x p x 2n y p cos cos sin cos a b a b a 2  q  s   y m x p x 2n y p cos cos sin cos a b a b a 2 2  p  r  x s y m x 2n y n 2  p  r   cos 8 K cos sin cos a b a b b a 2  p  r  x s y m x 2n y n 2  p  r   8 K cos cos sin cos ; a b a b b a (3d )  K (1) g mnpqrs pqrs 2 m cos 2m x n y 2n y 2 m x  K (2) sin cos pqrs  n sin a b a b