THÔNG TIN TÀI LIỆU
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VN HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ NGUYỄN DƯƠNG NGUYỄN CÁC PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH LẶP NEWTON-KANTOROVICH VÀ ĐIỂM GẦN KỀ CHO PHƯƠNG TRÌNH TỐN TỬ KHƠNG CHỈNH PHI TUYẾN ĐƠN ĐIỆU Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 46 01 12 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS TS Nguyễn Bường PGS TS Đỗ Văn Lưu HÀ NỘI - NĂM 2018 ii LỜI CAM ĐOAN Các kết trình bày luận án cơng trình nghiên cứu tơi, hồn thành hướng dẫn GS TS Nguyễn Bường PGS TS Đỗ Văn Lưu Các kết trình bày luận án chưa công bố cơng trình người khác Tơi xin chịu trách nhiệm lời cam đoan Tác giả luận án Nguyễn Dương Nguyễn iii LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành Học viện Khoa học Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam hướng dẫn tận tình GS TS Nguyễn Bường PGS TS Đỗ Văn Lưu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Tác giả bày tỏ lòng biết ơn tới Ban lãnh đạo, thầy tồn thể cán bộ, công nhân viên thuộc Viện Công nghệ thông tin, Học viện Khoa học Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam tạo điều kiện tốt nhất, giúp đỡ tác giả trình học tập nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, thầy cô Khoa Cơ bản, trường Đại học Ngoại thương, nơi tác giả công tác, tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành luận án Tác giả xin cảm ơn anh chị em nghiên cứu sinh chuyên ngành Toán ứng dụng, bạn bè đồng nghiệp có trao đổi kiến thức đóng góp ý kiến quý báu cho tác giả suốt q trình học tập, seminar, nghiên cứu hồn thành luận án Tác giả xin kính tặng người thân yêu gia đình mình, người ln động viên, chia sẻ khích lệ để tác giả hồn thành cơng việc học tập nghiên cứu mình, niềm vinh hạnh to lớn Tác giả Mục lục Trang bìa phụ i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục iv Một số ký hiệu viết tắt vi Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Banach vấn đề liên quan 9 1.1.1 Một số tính chất khơng gian Banach 1.1.2 Bài tốn đặt khơng chỉnh phương pháp hiệu chỉnh 20 1.2 Phương pháp Newton-Kantorovich 22 1.3 Phương pháp điểm gần kề số cải biên 24 1.3.1 Phương pháp điểm gần kề 25 1.3.2 Một số cải biên phương pháp điểm gần kề 26 Chương Phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich cho phương trình phi tuyến với tốn tử loại đơn điệu 2.1 Hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich cho phương trình phi 32 tuyến với tốn tử đơn điệu không gian Banach 32 2.2 Hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich cho phương trình phi tuyến với tốn tử J-đơn điệu khơng gian Banach 44 2.3 Ví dụ số xấp xỉ hữu hạn chiều cho phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich 55 v Chương Phương pháp lặp tìm khơng điểm ánh xạ đơn điệu cực đại không gian Hilbert 64 3.1 Bài tốn tìm khơng điểm ánh xạ đơn điệu cực đại 64 3.2 Các cải biên phương pháp điểm gần kề với dãy tham số toán tử giải khả tổng 66 3.3 Ví dụ số minh họa 79 Kết luận chung 83 Kiến nghị hướng nghiên cứu 84 Danh mục cơng trình cơng bố liên quan đến luận án 85 Tài liệu tham khảo 86 Một số ký hiệu viết tắt Rn không gian Euclide n-chiều H không gian Hilbert E∗ không gian đối ngẫu không gian Banach E θE phần tử không không gian E 2E tập tất tập không gian E hx, x∗ i giá trị phần tử x∗ ∈ E ∗ x ∈ E R tập hợp số thực ∅ tập rỗng A\B hiệu tập hợp A tập hợp B inf M cận tập hợp số M sup M cận tập hợp số M S1 (0) mặt cầu đơn vị khơng gian E BE hình cầu đơn vị không gian E Br (x0 ) hình cầu tâm x0 bán kính r ∀x với x D(A) miền xác định ánh xạ A R(A) miền ảnh ánh xạ A A−1 ánh xạ ngược ánh xạ A A∗ ánh xạ liên hợp ánh xạ A I ánh xạ đơn vị Jk toán tử giải ánh xạ A với tham số rk ZerA tập không điểm ánh xạ A Lp (Ω) khơng gian hàm khả tích bậc p Ω (1 < p < ∞) lp không gian dãy số khả tổng bậc p (1 < p < ∞) vii l1 không gian dãy số khả tổng bậc l∞ không gian dãy số bị chặn Wpm (Ω) không gian Sobolev lim sup xn giới hạn dãy số {xn } n→∞ lim inf xn giới hạn dãy số {xn } αn & α0 dãy số thực {αn } hội tụ giảm α0 xn → x dãy {xn } hội tụ mạnh đến x xn * x dãy {xn } hội tụ yếu đến x Js ánh xạ đối ngẫu tổng quát J ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị Fix(T ) tập điểm bất động ánh xạ T M bao đóng tập hợp M ρE mêtric không gian mêtric E n→∞ int(C) phần tập hợp C ∂ m x(t) đạo hàm riêng cấp m hàm x(t), với t = (t1 , t2 , , tn ) ∂tα1 ∂tα2 · · · ∂tαnn Dom(f ) miền hữu hiệu f PC phép chiếu mêtric lên tập hợp C ∂f vi phân phiếm hàm lồi f arg f tập tất điểm cực tiểu (tồn cục) phiếm hàm f B tích đề hai tập hợp A B A≡B A trùng B x≈y x xấp xỉ y Mở đầu Nhiều vấn đề trong khoa học, công nghệ, kinh tế sinh thái trình xử lý ảnh, chụp cắt lớp vi tính, chụp cắt lớp địa chấn địa chất cơng trình, đo sâu âm xấp xỉ sóng, tốn quy hoạch tuyến tính dẫn đến việc giải tốn dạng phương trình tốn tử sau (xem [15, 67, 68]): A(x) = f, (0.1) A tốn tử (ánh xạ) từ không gian mêtric E vào không e f ∈ E e Tuy nhiên, tồn lớp toán số gian mêtric E toán mà nghiệm chúng không ổn định theo kiện ban đầu, tức thay đổi nhỏ kiện dẫn đến sai khác lớn nghiệm, chí làm cho tốn trở nên vơ nghiệm vơ định Người ta nói tốn đặt khơng chỉnh Do số liệu thường thu thập thực nghiệm (đo đạc, quan trắc ) sau lại xử lý máy tính nên chúng khơng tránh khỏi sai số Vì vậy, yêu cầu đặt phải có phương pháp giải tốn đặt khơng chỉnh cho sai số liệu nhỏ nghiệm xấp xỉ tìm gần với nghiệm tốn xuất phát Những người có cơng đặt móng cho lý thuyết tốn đặt khơng chỉnh V.K Ivanov [50], M.M Lavrent’ev [57], J.L Lions [102], A.N Tikhonov [83, 84], Do tầm quan trọng đặc biệt lý thuyết mà nhiều nhà toán học dành phần lớn thời gian cơng sức cho việc nghiên cứu phương pháp giải toán đặt khơng chỉnh, điển hình Ya.I Alber [9], A.B Bakushinskii [15, 16], J Baumeister [19], H.W Engl [40, 41], V.B Glasko [42], A.V Goncharskii [15], R Gorenflo [10, 44], C.W Groetsch [40, 45], M Hanke [41, 47], B Hoffmann [49, 98], A.K Louis [99], V.A Morozov [63, 64], M.Z Nashed [66], F Natterer [67, 68], A Neubauer [41], G.M Vainikko [88], F.P Vasil’ev [89, 90], Một số nhà toán học Việt Nam sâu nghiên cứu có nhiều đóng góp cho lý thuyết ứng dụng tốn đặt khơng chỉnh Đ.Đ Áng [10], P.K Anh [1], Ng Bường [1, 2], Đ.Đ Trọng [10], v.v có cơng trình liên quan đến lý thuyết Ng.M Chương [36], Đ.N Hào [48, 87], T.Đ Vân [87], e không gian Banach với chuẩn k.k số trường hợp Nếu E ánh xạ A, tốn (0.1) hiệu chỉnh phương pháp cực tiểu phiếm hàm làm trơn Tikhonov: Fαδ (x) = kA(x) − fδ k2 + αkx − x+ k2 , (0.2) với việc chọn tham số hiệu chỉnh α = α(δ) > thích hợp, fδ xấp xỉ f thỏa mãn kfδ − f k ≤ δ & 0, (0.3) x+ phần tử chọn E nhằm giúp cho ta tìm nghiệm (0.1) theo ý muốn Chính lí mà x+ gọi phần tử dự đoán Nếu A ánh xạ phi tuyến phiếm hàm Fαδ (x) nói chung khơng lồi Do đó, khơng thể áp dụng kết đạt việc cực tiểu phiếm hàm lồi để tìm thành phần cực tiểu Fαδ (x) Điều dẫn đến việc cực tiểu rời rạc hóa (0.2) phức tạp Vì vậy, để giải toán (0.1) với A ánh xạ phi tuyến đơn điệu, người ta đưa dạng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov, có tên phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov Tư tưởng phương pháp F.E Browder [24] đưa vào năm 1966 để tìm nghiệm tốn bất đẳng thức biến phân, sử dụng ánh xạ M làm thành phần hiệu chỉnh, với M có tính chất đơn điệu, hemi-liên tục, giới nội thỏa mãn điều kiện Cụ thể, cho T : E −→ E ∗ ánh xạ phi tuyến đơn điệu cho f : E −→ (−∞, +∞] phiếm hàm lồi, thường nửa liên tục Với phần tử ω ∈ E ∗ , xét tốn bất đẳng thức biến phân: Tìm phần tử u0 ∈ D(T ) cho hT (u0 ) − ω, v − u0 i ≥ f (u0 ) − f (v), v ∈ E (0.4) Kí hiệu tập nghiệm toán (0.4) tương ứng với phần tử ω Aω Thay cho việc giải bất đẳng thức biến phân (0.4), F.E Browder xét bất đẳng thức biến phân sau: hTα (uα ) − ωα , v − uα i ≥ f (uα ) − f (v), v ∈ E, (0.5) α > 0, Tα = T + αM ωα = ω + αv0 , với v0 phần tử E ∗ Ông với α > 0, bất đẳng thức biến phân (0.5) có nghiệm uα dãy nghiệm {uα } hội tụ mạnh phần tử u0 ∈ Aω α → 0, với u0 nghiệm bất đẳng thức biến phân: hM u0 − v0 , v − u0 i ≥ 0, v ∈ Aω Nếu E không gian Banach phản xạ không gian đối ngẫu E ∗ khơng gian lồi chặt ánh xạ đối ngẫu tổng quát J s E có tính chất ánh xạ M nêu (xem [9]) Năm 1975, dựa tư tưởng phương pháp hiệu chỉnh F.E Browder tính chất ánh xạ đối ngẫu J s , Ya.I Alber (xem [1, 7, 9]) xây dựng phương pháp hiệu chỉnh BrowderTikhonov để giải toán (0.1) A ánh xạ phi tuyến đơn điệu sau: A(x) + αJ s (x − x+ ) = fδ (0.6) Năm 2016, Ng Bường, T.T Hương Ng.T.T Thủy [32] phát triển phương pháp (0.6) để đưa phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình tốn tử Ai (x) = fi , i = 0, 1, , N, (0.7) N số nguyên dương cố định, fi ∈ E ∗ Ai : E → E ∗ ánh xạ đơn điệu không gian Banach E, i = 0, 1, , N Ta thấy, trường hợp E khơng phải khơng gian Hilbert J s ánh xạ phi tuyến đó, (0.6) toán phi tuyến, A ánh xạ tuyến tính Đây lớp tốn khó giải thực tế Hơn nữa, vài thông tin nghiệm xác, ví dụ độ trơn, không giữ nguyên nghiệm hiệu chỉnh ánh xạ J s xác định tồn khơng gian nên ta biết nghiệm hiệu chỉnh nằm đâu E Vì vậy, vào năm 1991, Ng Bường (xem [2, 28]) cải tiến phương pháp (0.6) cách thay ánh xạ J s ánh xạ tuyến tính đơn điệu mạnh B để đưa phương pháp sau: A(x) + αB(x − x+ ) = fδ (0.8) 73 ≤ kJ m (I − tm F )xm − J m xk k2 + 2hJ m xk − xk , xm − xk i ≤ k(I − tm F )xm − xk k2 + 2hJ m xk − xk , xm − xk i = h(I − tm F )xm − xk , (I − tm F )xm − xk i + 2hJ m xk − xk , xm − xk i = kxm − xk k2 − tm hF xm , xm − xk − tm F xm i + hxm − xk , −tm F xm i + 2hJ m xk − xk , xm − xk i ≤ kxm − xk k2 − tm hF xm , xm − xk − tm F xm i + hxm − xk , −tm F xm i + 2hJ m xk − xk , xm − xk i + h−tm F xm , −tm F xm i = kxm − xk k2 − 2tm hF xm , xm − xk − tm F xm i + 2hJ m xk − xk , xm − xk i Từ đó, suy hF xm , xm − xk − tm F xm i ≤ M kJ m xk − xk k/tm , M ≥ kxm − xk k Do đó, với giả thiết limk→∞ kJ m xk − xk k = 0, ta có lim suphF xm , xm − xk − tm F xm i ≤ (3.14) k→∞ Theo Định lí 3.1, ta có xm → p∗ m → ∞ Chuyển qua giới hạn (3.14) m → ∞ với tính chất tm tính liên tục F , ta thu (3.8) Bây giờ, ta chứng minh cho hội tụ mạnh phương pháp (3.6) Định lí 3.2 Cho khơng gian Hilbert H, ánh xạ A, tập C Bổ đề 3.8, ánh xạ A0 F Định lí 3.1 Giả sử tk , ri ek thỏa mãn điều kiện (C1), (C5’) (C0” ’) Khi đó, dãy {xk }, xác định phương pháp (3.6), hội tụ mạnh tới phần tử p∗ k → ∞, p∗ nghiệm toán bất đẳng thức biến phân (3.2) Chứng minh Vì Ji p = p, với p phần tử ZerA, nên từ (3.6), tính chất khơng giãn J k , Bổ đề 3.2, Bổ đề 3.8 điều kiện (C5’), ta có kxk+1 − pk = kJ k [(I − tk F )xk + ek ] − J k pk 74 ≤ k(I − tk F )xk + ek − pk ≤ k(I − tk F )xk − pk + kek k = k(I − tk F )xk − (I − tk F )p − tk F pk + kek k ≤ (1 − tk τ )kxk − pk + tk kF pk + kek k ≤ max{kxk − pk, (kF pk + c)/τ } ≤ · · · ≤ max{kx1 − pk, (kF pk + c)/τ }, với k ≥ 1, c số dương cho kek k/tk ≤ c Do đó, dãy {xk } giới nội Vì F ánh xạ liên tục Lipschitz nên dãy {F xk } giới nội Từ điều kiện (C5’) với tk → k → ∞, ta có kek k → k → ∞ Từ suy dãy {ek } giới nội Do đó, dãy {z k }, với z k := k k (I − tk F )xk + ek , giới nội Lấy dãy {zk−i }, với zk−i = Jk−i · · · Jk z k , i = 0, 1, , k − Ta có k kzk−i − pk = kJk−i · · · Jk z k − Jk−i · · · Jk pk ≤ kz k − pk k Do vậy, dãy {zk−i } giới nội Khơng tính tổng quát, giả sử dãy k {xk }, {F xk }, {z k } {zk−i } bị chặn số dương M1 Hơn nữa, theo Bổ đề 3.4, ta có kxk+1 − pk2 = kJ k [(I − tk F )xk + ek ] − pk2 = kJ1 J2 · · · Jk z k − pk2 = kJ1 z2k − pk2 = kJ1 z2k − J1 pk2 ≤ kz2k − pk2 − kz2k − p − (J1 z2k − J1 p)k2 = kz2k − pk2 − kJ1 z2k − z2k k2 = kJ2 z3k − pk2 − kJ1 z2k − z2k k2 ≤ kz3k − pk2 − kJ1 z2k − z2k k2 − kJ2 z3k − z3k k2 ≤ · · · ≤ kzkk − pk − k−1 X k k − zi+1 k2 kJi zi+1 i=1 k = kJk z − Jk pk − k−1 X k k kJi zi+1 − zi+1 k2 i=1 k ≤ kz − pk − k−1 X k k kJi zi+1 − zi+1 k2 i=1 k k = k(I − tk F )x + e − pk − k−1 X i=1 k k kJi zi+1 − zi+1 k2 75 = k(I − tk F )xk − (I − tk F )p + ek − tk F pk2 − k−1 X k k kJi zi+1 − zi+1 k2 i=1 k ≤ k(I − tk F )x − (I − tk F )pk − k−1 X k k kJi zi+1 − zi+1 k2 i=1 + 2hek − tk F p, (I − tk F )xk + ek − pi k ≤ (1 − tk τ )kx − pk − k−1 X k k kJi zi+1 − zi+1 k2 i=1 + 2hek − tk F p, (I − tk F )xk + ek − pi k k ˜, ≤ kxk − pk2 − kJi zi+1 − zi+1 k2 + 2tk (kF pk + kek k/tk )M ˜ = M1 + kpk Vì vậy, M k k ˜ ≤ kxk − pk2 − kxk+1 − pk2 kJi zi+1 − zi+1 k2 − 2tk (kF pk + c)M k k ˜ , với Ta xét hai trường hợp Trường hợp kJi zi+1 − zi+1 k2 ≤ 2tk (kF pk + c)M k ≥ 1, từ điều kiện (C1), kéo theo k k lim kJi zi+1 − zi+1 k2 = (3.15) k→∞ k k ˜ Đặt Trường hợp kJi zi+1 − zi+1 k2 > 2tk (kF pk + c)M SM = M X k k ˜ ] [kJi zi+1 − zi+1 k2 − 2tk (kF pk + c)M k=1 Ta có {SM } dãy tăng SM ≤ M X k kx − pk − kx k+1 − pk k=1 = kx − pk2 − kxM +1 − pk2 ≤ kx1 − pk2 Do đó, tồn lim SM số hữu hạn Vì vậy, M →+∞ ∞ X k k ˜ ] < +∞ [kJi zi+1 − zi+1 k2 − 2tk (kF pk + c)M k=1 76 Suy k k ˜ ] = lim [kJi zi+1 − zi+1 k2 − 2tk (kF pk + c)M k→∞ Từ giới hạn điều kiện (C1), ta thu (3.15) Tiếp theo, ta chứng minh lim kJ m xk − xk k = 0, k→∞ (3.16) với m ≥ Với k > m + 1, ta có kJ m xk − xk k ≤ kJ m xk − J k−1 xk k + kJ k−1 xk − xk k ≤ kxk − Jm+1 · · · Jk−1 xk k + kJ k−1 xk − xk k (3.17) Theo định nghĩa z k kz k − xk k = k − tk F xk + ek k ≤ tk (kF xk k + kek k/tk ) ≤ tk (M1 + c) Điều dẫn tới lim kz k − xk k = k→∞ (3.18) Ta lại có kzkk − xk k ≤ kzkk − z k k + kz k − xk k = kJk zk − z k k + kz k − xk k = rk krk−1 (I − Jk )zk k + kz k − xk k ≤ rk |Azk | + kz k − xk k = rk kA0 zk k + kz k − xk k Theo điều kiện (C0” ’), tính chất giới nội ánh xạ A0 , {z k } (3.18), suy lim kzkk − xk k = k→∞ (3.19) Ta có kJk−1 xk − xk k ≤ kJk−1 xk − Jk−1 zkk k + kJk−1 zkk − zkk k + kzkk − xk k ≤ 2kzkk − xk k + kJk−1 zkk − zkk k Do đó, (3.15) lấy i = k − sử dụng (3.19), ta đạt lim kJk−1 xk − xk k = k→∞ (3.20) 77 k Ngoài ra, (3.15), lấy i = k − định nghĩa zk−i , ta thu k k lim kJk−2 zk−1 − zk−1 k = 0, k→∞ (3.21) k = Jk−1 zkk Vì vậy, zk−1 k kzk−1 − Jk−1 xk k = kJk−1 zkk − Jk−1 xk k ≤ kzkk − xk k, đó, từ (3.19) kéo theo k lim kzk−1 − Jk−1 xk k = k→∞ (3.22) Ta có bất đẳng thức sau k k k kJk−2 Jk−1 xk − xk k ≤ kJk−2 Jk−1 xk − Jk−2 zk−1 k + kJk−2 zk−1 − zk−1 k k + kzk−1 − Jk−1 xk k + kJk−1 xk − xk k k k k ≤ 2kzk−1 − Jk−1 xk k + kJk−2 zk−1 − zk−1 k + kJk−1 xk − xk k Cho nên, từ (3.20), (3.21) (3.22), ta thu lim kJk−2 Jk−1 xk − xk k = k→∞ Chứng minh tương tự, ta có lim kJm+1 · · · Jk−1 xk − xk k = lim kJ k−1 xk − xk k = k→∞ k→∞ Do vậy, từ bất đẳng thức (3.17), ta nhận (3.16) Theo Mệnh đề 3.2, dãy {xk } thỏa mãn (3.8) Bây giờ, ta ước lượng giá trị kxk+1 − p∗ k2 sau: kxk+1 − p∗ k2 = kJ k [(I − tk F )xk + ek ] − J k p∗ k2 ≤ k(I − tk F )xk + ek − p∗ k2 = k(I − tk F )xk − (I − tk F )p∗ − tk F p∗ + ek k2 ≤ k(I − tk F )xk − (I − tk F )p∗ k2 + 2h−tk F p∗ + ek , (I − tk F )xk + ek − p∗ i ≤ (1 − tk τ )kxk − p∗ k2 78 + 2tk hF p∗ − ek /tk , p∗ − xk + tk F xk − ek i = (1 − tk τ )kxk − p∗ k2 + 2tk [hF p∗ , p∗ − xk i + tk hF p∗ , F xk − ek /tk i − hek /tk , p∗ − (xk − tk F xk + ek )i] ≤ (1 − bk )kxk − p∗ k2 + bk ck , bk = tk τ, ck = (2/τ )[hF p∗ , p∗ − xk i + tk kF p∗ k(M1 + c) + (kek k/tk )(kp∗ k + M1 )] Vì P∞ 3.3, ta có P∞ k=1 bk = ∞ limk→∞ kxk − p∗ k2 = k=1 tk = ∞ nên Do vậy, từ (3.8), (C1), (C5’) Bổ đề Chú ý 3.1 Chú ý trình bày cách biến đổi chọn ánh xạ F để từ phương pháp (3.6) ta thu phương pháp (3.4) (3.5) Thật vậy, (3.6), đặt z k = (I − tk F )xk + ek Khi đó, ta có xk+1 = J k z k z k+1 = (I − tk+1 F )xk+1 + ek+1 = (I − tk+1 F )J k z k + ek+1 Ký hiệu lại tk := tk+1 ek := ek+1 , ta thu z k+1 = (I − tk F )J k z k + ek (3.23) Ta thấy, tk → dãy {xk } hội tụ dãy {z k } hội tụ hai giới hạn đồng Thật vậy, từ định nghĩa z k , ta có kz k − xk k ≤ tk (kF xk k + kek k/tk ) Vì vậy, dãy {xk } hội tụ dãy {xk } giới nội Từ tính chất liên tục Lipschitz F suy {F xk } giới nội Do tk , kek k/tk → k → ∞ nên limk→∞ kz k − xk k = Do đó, dãy {xk } hội tụ dãy {z k } hội tụ Ngược lại, ta có kxk+1 − z k+1 k = kJ k z k − (I − tk F )J k z k − ek k = ktk F J k z k − ek k ≤ tk (kF J k z k k + kek k/tk ) (3.24) Nếu dãy {z k } hội tụ dãy {z k } giới nội Do J k ánh xạ không giãn, Fix(J k ) = ZerA F ánh xạ liên tục Lipschitz nên dãy {F J k z k } 79 giới nội Từ giả thiết tk , kek k/tk → k → ∞ (3.24), suy limk→∞ kxk+1 − z k+1 k = Vậy từ hội tụ dãy {z k } kéo theo hội tụ dãy {xk } Tiếp theo, lấy F = I − fe, fe = aI + (1 − a)u, với a số cố định thuộc (0; 1) u điểm cố định thuộc H Khi I − F = fe Ta có hF x − F y, x − yi = h(1 − a)x − (1 − a)y, x − yi = (1 − a)kx − yk2 = kx − yk2 − kax − ayk2 a = kx − yk2 − k(I − F )x − (I − F )yk2 a Từ đó, suy F ánh xạ (1 − a)-đơn điệu mạnh (1/a)-giả co chặt Vì a ∈ (0; 1) nên 1/a > đó, (1 − a) + 1/a > Với ánh xạ F chọn trên, (3.6) (3.23) tương ứng trở thành xk+1 = J k (tk (1 − a)u + (1 − tk (1 − a))xk + ek ) (3.25) z k+1 = tk (1 − a)u + (1 − tk (1 − a))J k z k + ek (3.26) Khi đó, (3.25) (3.26), ký hiệu lại tk := (1 − a)tk , ta thu phương pháp (3.4) (3.5) tương ứng Chú ý 3.2 Điều kiện dãy tham số toán tử giải khả tổng, tức điều kiện (C0” ’) thỏa mãn, dẫn tới limk→∞ rk = Kết mục gợi mở cho hướng nghiên cứu hội tụ mạnh cải biên phương pháp điểm gần kề điều kiện dãy tham số toán tử giải thỏa mãn limk→∞ rk = 3.3 Ví dụ số minh họa Cho khơng gian R2 với tích vơ hướng chuẩn xác định p hx, yi = x1 y1 + x2 y2 kxk = x21 + x22 , x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ) ∈ R2 Xét tốn tối ưu lồi sau: tìm phần tử p∗ ∈ R2 cho f (p∗ ) = inf2 f (x) x∈R (3.27) 80 Ta biết, f (x) phiếm hàm lồi, thường nửa liên tục vi phân ∂f ánh xạ đơn điệu cực đại toán (3.27) tương đương với tốn tìm khơng điểm ∂f (xem [20, 72]) Sau đây, ta áp dụng phương pháp (3.4) (3.5) để tìm nghiệm tốn (3.27) với hàm f (x) cho cụ thể sau: 0, x2 ≤ 1, f (x) = x − 1, x > 2 (3.28) Với r > 0, ta có (x , x ), x2 ≤ 1, −1 (I + r∂f ) (x) = (x , x /(1 + r)), x > 1 2 (3.29) Lấy a = 1/2 u = (0; 2) Khi đó, nghiệm toán (3.27) thỏa mãn bất đẳng thức biến phân (3.2) với A = ∂f p∗ = (0; 1) Sử dụng tk = 1/(k + 1), ri = 1/(i(i + 1)) ek = (0; 0), ta thu bảng kết sau: a) Trường hợp điểm xuất phát (2,0; 6,0): Bảng 3.1 Kết tính tốn áp dụng phương pháp (3.4) với thời gian tính tốn 2,745 giây k+1 k x1 xk+1 k xk+1 xk+1 2 1,5000000000 3,3333333333 2000 0,0504468881 0,9999996953 10 0,6727523804 0,9982716570 5000 0,0319113937 0,9999999357 20 0,4895426850 0,9997219609 8000 0,0252293542 0,9999999775 50 0,3152358030 0,9998464349 10000 0,0225661730 0,9999999803 100 0,2242781046 0,9999270505 12000 0,0206002179 0,9999999883 500 0,1007993740 0,9999960565 15000 0,0184255869 0,9999999946 1000 0,0713204022 0,9999986543 20000 0,0159571926 0,9999999954 Bảng 3.2 Kết tính toán áp dụng phương pháp (3.5) với thời gian tính tốn 2,730 giây 81 k z1k+1 z2k+1 k z1k+1 z2k+1 1,5000000000 3,5000000000 2000 0,0504468881 1,0002497795 10 0,6727523804 1,0367234670 5000 0,0319113937 1,0000999281 20 0,4895426850 1,0225868918 8000 0,0252293542 1,0000624662 50 0,3152358030 1,0092381210 10000 0,0225661730 1,0000499833 100 0,2242781046 1,0048024836 12000 0,0206002179 1,0000416476 500 0,1007993740 1,0009925330 15000 0,0184255869 1,0000333306 1000 0,0713204022 1,0004981392 20000 0,0159571926 1,0000249980 b) Trường hợp điểm xuất phát (10; 20): Bảng 3.3 Kết tính tốn áp dụng phương pháp (3.4) với thời gian tính tốn 2,699 giây k xk+1 xk+1 k xk+1 xk+1 2 7,5000000000 10,3333333333 2000 0,2522344403 0,9999996174 10 3,3637619019 0,9837468002 5000 0,1595569687 0,9999999232 20 2,4477134250 0,9999068009 8000 0,1261467712 0,9999999725 50 1,5761790149 0,9997667170 10000 0,1128308650 0,9999999996 100 1,1213905229 0,9998979723 12000 0,1030010894 0,9999999861 500 0,5039968702 0,9999947597 15000 0,0921279346 0,9999999932 1000 0,3566020110 0,9999983305 20000 0,0797859628 0,9999999946 Bảng 3.4 Kết tính toán áp dụng phương pháp (3.5) với thời k z1k+1 gian tính tốn 2,683 giây z2k+1 k z1k+1 z2k+1 7,5000000000 10,5000000000 2000 0,2522344403 1,0002497442 10 3,3637619019 1,0343656695 5000 0,1595569687 1,0000999239 20 2,4477134250 1,0224448516 8000 0,1261467712 1,0000624636 50 1,5761790149 1,0091958993 10000 0,1128308650 1,0000499805 100 1,1213905229 1,0047946859 12000 0,1030010894 1,0000416627 500 0,5039968702 1,0009920670 15000 0,0921279346 1,0000333302 1000 0,3566020110 1,0004979605 20000 0,0797859628 1,0000249977 Các kết tính tốn chạy phần mềm Free Pascal IDE với máy tính Pentium(R) Dual-Core CPU E5300 @ 2.60GHz, 2.59 GHz, 1.99 GB of RAM 82 Qua bảng trên, ta thấy, việc áp dụng phương pháp (3.4) (3.5) cho kết hội tụ tốt tới nghiệm tốn (3.27) KẾT LUẬN Chương trình bày cải biên phương pháp điểm gần kề mà chúng tơi đạt để tìm khơng điểm ánh xạ đơn điệu cực đại không gian Hilbert Sự hội tụ mạnh cải biên phương pháp điểm gần kề trước đưa giả thiết dẫn tới dãy tham số toán tử giải không khả tổng, hội tụ mạnh cải biên chứng minh điều kiện dãy tham số toán tử giải khả tổng Điều thể Định lí 3.2 Mục cuối chương đưa ví dụ số minh họa cho hội tụ cải biên 83 KẾT LUẬN CHUNG Luận án đề cập đến vấn đề sau: - Nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich để giải phương trình phi tuyến với tốn tử loại đơn điệu (đơn điệu J-đơn điệu) không gian Banach - Nghiên cứu phương pháp lặp để tìm khơng điểm ánh xạ đơn điệu cực đại không gian Hilbert Kết đạt luận án bao gồm: - Đưa chứng minh định lí hội tụ mạnh phương pháp hiệu chỉnh lặp dạng Newton-Kantorovich để tìm nghiệm phương trình phi tuyến với ánh xạ đơn điệu không gian Banach - Đưa chứng minh định lí hội tụ mạnh phương pháp hiệu chỉnh lặp dạng Newton-Kantorovich để tìm nghiệm phương trình phi tuyến với ánh xạ J-đơn điệu không gian Banach - Đưa chứng minh định lí hội tụ mạnh cải biên phương pháp điểm gần kề để tìm khơng điểm ánh xạ đơn điệu cực đại không gian Hilbert, với cách tiếp cận khác điều kiện dãy tham số tốn tử giải, hội tụ cải biên trước đưa giả thiết dãy tham số toán tử giải không khả tổng, hội tụ mạnh cải biên chứng minh giả thiết dãy tham số toán tử giải khả tổng 84 KIẾN NGHỊ HƯỚNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO • Tiếp tục nghiên cứu việc xấp xỉ hữu hạn chiều với dãy tham số hiệu chỉnh {αn } đánh giá tốc độ hội tụ tới nghiệm phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich đưa Chương để giải phương trình với tốn tử loại đơn điệu • Phát triển phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich đưa Chương để xây dựng phương pháp hiệu chỉnh giải hệ phương trình với tốn tử loại đơn điệu • Đánh giá tốc độ hội tụ tới nghiệm phương pháp lặp để tìm khơng điểm ánh xạ đơn điệu cực đại không gian Hilbert đạt Chương • Đề xuất nghiên cứu hội tụ phương pháp lặp để tìm khơng điểm ánh xạ loại đơn điệu không gian Hilbert khơng gian Banach 85 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ [10 ] Ng Buong, P.T.T Hoai, Ng.D Nguyen, Iterative methods for a class of variational inequalities in Hilbert spaces, J Fixed Point Theory Appl., 2017, 19 (4), 2383-2395 [20 ] Ng Buong, Ng.D Nguyen, Ng.T.T Thuy, Newton-Kantorovich iterative regularization and generalized discrepancy principle for nonlinear ill-posed equations involving accretive mappings, Russian Math (Iz VUZ), 2015, 59 (5), 32-37 [30 ] Ng.D Nguyen, Ng Buong, Regularization Newton-Kantorovich iterative method for nonlinear monotone ill-posed equations on Banach spaces, Kỷ yếu Hội thảo Quốc gia lần thứ XVIII: Một số vấn đề chọn lọc Công nghệ thông tin truyền thơng, thành phố Hồ Chí Minh, ngày 5-6 tháng 11 năm 2015, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật, 2015, 278-281 [40 ] Ng.D Nguyễn, Kết số cho phương pháp lặp dạng NewtonKantorovich điểm gần kề giải phương trình với ánh xạ đơn điệu, Tạp chí Khoa học Công nghệ Đại học Thái Nguyên, 2018, 178 (2), 145-150 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] P.K Anh, Ng Bường, Bài tốn đặt khơng chỉnh, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2005 [2] Ng Bường, Hiệu chỉnh toán phi tuyến phương pháp toán tử đơn điệu, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2001 [3] P.Đ Chính, Giải tích hàm, Tập 1: Cơ sở lý thuyết, Nhà xuất Đại học trung học chuyên nghiệp, 1978 [4] N.X Liêm, Giải tích hàm, Nhà xuất Giáo dục, 2002 [5] H Tụy, Hàm thực giải tích hàm, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2003 Tiếng Anh [6] R.P Agarwal, D O’Regan, D.R Sahu, Fixed point theory for Lipschitzian-type mappings with applications, Springer, 2009, New York [7] Ya.I Alber, On the solution of nonlinear equations with monotone operators in a Banach space, Siberian Math J., 1975, 16, 1-8 [8] Ya.I Alber, C.E Chidume, H Zegeye, Regularization of nonlinear ill-posed equations with accretive operators, Fixed Point Theory and Applications, 2005, 2005 (1), 11-33 [9] Ya.I Alber, I.P Ryazantseva, Nonlinear ill-posed problems of monotone type, Springer, 2006, Dordrecht [10] D.D Ang, R Gorenflo, V.K Le, D.D Trong, Moment theory and some inverse problems in potential theory and heat conduction, Springer, 2002, Berlin 87 [11] P.N Anh, L.D Muu, Coupling the Banach contraction mapping principle and the proximal point algorithm for solving monotone variational inequalites, Acta Mathematica Vietnamica, 2004, 29 (2), 119133 [12] P.N Anh, L.D Muu, V.H Nguyen, J.J Strodiot, Using the Banach contraction principle to implement the proximal point method for multivalued monotone variational inequalities, J Optim Theory Appl., 2005, 124 (2), 285-306 [13] J.B Baillon, R.E Bruck, S Reich, On the asymptotic behavior of nonexpansive mappings and semigroups in Banach spaces, Houst J Math., 1978, 4, 1-9 [14] A.B Bakushinskii, A regularizing algorithm based on the NewtonKantorovich method for solving variational inequalities, USSR Comput Math and Math Phys., 1976, 16 (6), 16-23 [15] A Bakushinsky, A Goncharsky, Ill-posed problems: Theory and applications, Springer, 1994, Dordrecht [16] A.B Bakushinsky, M.Yu Kokurin, Iterative methods for approximate solution of inverse problems, Springer, 2004, Dordrecht [17] A.B Bakushinskii, A Smirnova, Iterative regularization and generalized discrepancy principle for monotone operator equations, Numer Funct Anal Optim., 2007, 28 (1-2), 13-25 [18] V Barbu, Nonlinear differential equations of monotone types in Banach spaces, Springer, 2010, New York [19] J Baumeister, Stable solution of inverse problems, Friedr Vieweg & Sohn, 1987, Braunschweig [20] H.H Bauschke, P.L Combettes, Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert Spaces (Second edition), Springer, 2017, Switzerland [21] O.A Boikanyo, G Morosanu, A proximal point algorithm converging strongly for general errors, Optim Lett., 2010, 4, 635-641
Ngày đăng: 22/06/2023, 15:20
Xem thêm: