��I HÅC TH�I NGUY�N TR×ÍNG ��I HÅC S× PH�M LIENPHONE CHEUCHOUTHOR PH×ÌNG TR�NH T�CH PH�N LU�N V�N TH�C S� TO�N HÅC Th¡i Nguy¶n 2016 ��I HÅC TH�I NGUY�N TR×ÍNG ��I HÅC S× PH�M LIENPHONE CHEUCHOUTHOR PH[.]
I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM LIENPHONE CHEUCHOUTHOR PH×ÌNG TRNH TCH PH N LUN VN THC S TON HC ThĂi Nguyản - 2016 I HC THI NGUYN TRìNG I HÅC S× PHM LIENPHONE CHEUCHOUTHOR PH×ÌNG TRNH TCH PH N Chuyản ngnh: TON GII TCH M số: 60.46.01.02 LUN VN THC S TON HC Ngữới hữợng dăn khoa hồc TS NGUYN THÀ NG N Th¡i Nguy¶n - 2016 Líi cam oan Tổi xin cam oan rơng nởi dung trẳnh by luên vôn ny l trung thỹc v khổng trũng lp vợi à ti khĂc Tổi cụng xin cam oan rơng mồi sỹ giúp ù cho viằc thỹc hiằn luên vôn ny  ữủc cÊm ỡn v cĂc thổng tin trẵch dăn luên vôn  ữủc ch ró nguỗn gốc ThĂi Nguyản, ngy thĂng nôm 2016 Ngữới viát luên vôn LIENPHONE CHEUCHOUTHOR i Mửc lửc Lới cam oan Mửc lửc M Ưu Kián thực chuân b 1.1 Mët sè ki¸n thùc cì b£n v· khỉng gian Lp 1.2 Mët sè ki¸n thùc cì b£n và khổng gian Hilbert 1.2.1 Tẵch vổ hữợng 1.2.2 Khæng gian Hilbert 1.2.3 Khæng gian L2ρ 1.3 To¡n tû èi xùng ho n to n li¶n tưc 1.3.1 Phiám hm tuyán tẵnh liản tửc 1.3.2 To¡n tû li¶n hđp 1.3.3 To¡n tû èi xùng 1.3.4 To¡n tû ho n to n li¶n tưc 1.3.5 To¡n tû èi xựng hon ton liản tửc Phữỡng trẳnh tẵch phƠn 2.1 ToĂn tỷ tẵch phƠn 2.2 PhƠn loÔi phữỡng trẳnh tẵch phƠn 2.2.1 KhĂi niằm phữỡng trẳnh tẵch phƠn 2.2.2 Phữỡng trẳnh tẵch phƠn Fredhom 2.2.3 Phữỡng trẳnh Volterra ii i ii 4 8 10 11 11 13 16 20 22 26 26 30 30 31 31 2.3 Phữỡng trẳnh tẵch phƠn ký d 2.3.1 Phữỡng trẳnh tẵch phƠn ký d loÔi mởt 2.3.2 Phữỡng trẳnh tẵch phƠn ký d loÔi hai 2.4 Phữỡng trẳnh tẵch phƠn vợi hÔch ối xựng 2.5 Phữỡng trẳnh tẵch phƠn vợi hÔch suy bián 2.6 CĂc nh lỵ Fredhom 2.6.1 C¡c kh¡i ni»m 2.6.2 CĂc nh lỵ Fredhom 2.7 Phữỡng phĂp xĐp x liản tiáp Kát luên 32 32 33 34 36 38 38 40 40 45 iii M Ưu NhiÃu vĐn à cừa toĂn hồc, cỡ hồc, vêt lỵ  dăn án nhỳng phữỡng trẳnh õ hm chữa biát dữợi dĐu tẵch phƠn Nhỳng phữỡng trẳnh Đy gồi l phữỡng trẳnh tẵch phƠn Phữỡng trẳnh tẵch phƠn l mởt nhỳng cổng cử toĂn hồc hỳu ẵch ữủc dũng toĂn hồc lỵ thuyát v giÊi tẵch ựng dửng Phữỡng trẳnh tẵch phƠn hoc phữỡng trẳnh Fredhom loÔi mởt l phữỡng trẳnh cõ dÔng: Zb f (x) = K (x, y) (y) dy, a < x < b, a â f (x),K (x, y) l nhỳng hm cho trữợc Náu (x) l hm chữa biát cõ mt cÊ v ngoi dĐu tẵch phƠn thẳ phữỡng trẳnh tẵch phƠn Đy ữủc gồi l phữỡng trẳnh Fredhom loÔi hai: Zb φ (x) = K (x, y)φ (y) dy + f (x) , a < x < b a Náu cên dữợi cừa tẵch phƠn l hỳu hÔn thẳ phữỡng trẳnh Đy gồi l phữỡng trẳnh Volterra loÔi mởt v loÔi hai tữỡng ựng cõ dÔng: Zx f (x) = K (x, y)φ (y) dy, a < x < b a Zx φ (x) = K (x, y)φ (y) dy + f (x) , a a < x < b Ph÷ìng trẳnh tẵch phƠn l mởt nhỳng cổng cử toĂn hồc hỳu ẵch nhĐt ữủc sỷ dửng giÊi tẵch lỵ thuyát v giÊi tẵch ựngs dửng c biằt nõ cỏn giúp ẵch cho viằc hồc têp, nghiản cựu v giÊng dÔy cĂc trữớng cao ng v Ôi hồc Trong chữỡng trẳnh ToĂn bêc Ôi hồc, tổi  ữủc cĂc thƯy, cổ giĂo giợi thiằu và phữỡng trẳnh tẵch phƠn v vai trỏ cừa nõ ối vợi bở mổn toĂn hồc Sau ữủc nghe cĂc thƯy cổ giợi thiằu tổi thĐy phƯn phữỡng trẳnh tẵch phƠn rĐt quan trồng Vợi tƯm quan trồng õ vợi sỹ hữợng dăn v giúp ù tên tẳnh cừa cĂc thƯy, cổ giĂo Bở mổn giÊi tẵch tổi  chồn à ti: "Phữỡng trẳnh tẵch phƠn" lm luên vôn tốt nghiằp Qua luên vôn ny tổi muốn nghiản cựu mởt số lỵ thuyát cỡ bÊn cừa phữỡng trẳnh tẵch phƠn Ngoi phƯn M Ưu, Kát luên v Ti liằu tham khÊo luên vôn gỗm chữỡng: Chữỡng 1: Trẳnh by mët sè ki¸n thùc cì b£n v· khỉng gian Lp, khæng gian Hilbert v c¡c to¡n tû khæng gian Hilbert nhữ: toĂn tỷ liản hủp, toĂn tỷ ối xựng, to¡n tû ho n to n li¶n tưc, to¡n tû èi xùng hon ton liản tửc Ơy l nhỳng kián thực cƯn thiát chuân b cho chữỡng cừa luên vôn Chữỡng 2: Ơy l nởi dung chẵnh cừa luên vôn Trong chữỡng ny chúng tổi  trẳnh by mởt số kián thực cỡ bÊn và phữỡng trẳnh tẵch phƠn nhữ: toĂn tỷ tẵch phƠn, phƠn loÔi cĂc phữỡng trẳnh tẵch phƠn, phữỡng trẳnh tẵch phƠn vợi hÔch ối xựng, phữỡng trẳnh tẵch phƠn vợi hÔch suy bián, phữỡng trẳnh tẵch phƠn vợi hÔch bĐt ký, cĂc nh lỵ Fredhom v phữỡng phĂp xĐp x liản tiáp Luên vôn ữủc hon thnh dữợi sỹ hữợng dăn tên tẳnh cừa TS Nguyạn Th NgƠn NhƠn dp ny cho php ữủc by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc tợi cổ ngữới  tên tẳnh hữợng dăn v giúp ù tổi suốt quĂ trẳnh nghiản cựu hon thnh luên vôn ny Trong quĂ trẳnh thỹc hiằn luên vôn, tổi nhên ữủc rĐt nhiÃu sỹ giúp ù ởng viản cừa cĂc thƯy, cổ khoa ToĂn - Trữớng Ôi hồc Sữ phÔm Ôi hồc ThĂi Nguyản v cĂc bÔn hồc viản cao hồc Tổi xin ữủc by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc tợi cĂc thƯy cổ giĂo v cĂc bÔn Tổi xin chƠn thnh cÊm ỡn cĂc thƯy cổ giĂo  giÊng dÔy v giúp ù tổi suốt quĂ trẳnh hồc têp rn luyằn tÔi Khoa, Trữớng Cuối kinh nghiằm nghiản cựu khoa hồc cỏn hÔn chá nản luên vôn chưc chưn s khổng trĂnh khọi nhỳng thiáu sõt Vẳ vêy, tổi rĐt mong nhên ữủc nhỳng ỵ kián ch¿ b£o, âng gâp cõa c¡c th¦y, cỉ gi¡o v cĂc bÔn hồc viản cao hồc luên vôn ữủc hon thiằn hỡn Chữỡng Kián thực chuân b 1.1 Mët sè ki¸n thùc cì b£n v· khỉng gian Lp nh nghắa 1.1 [2],[3] Cho (X, M, à) l mët khæng gian ë o, â X l khæng gian, M l mởt -Ôi số cĂc têp cừa X, l mởt ở o trản M Cho p [1; +∞) l mët sè thüc Hå t§t c£ c¡c hm số f(x) cõ lụy thứa bêc p khÊ tẵch trản X gồi l khổng gian Lp(X, à) Nhữ vêy Lp (X, µ) = {f : X −→ R : Z |f |p dµ < ∞} x Khi X l têp o ữủc theo nghắa Lebesgue Lebegsue thẳ ta viát Lp(X) thay cho Lp(X, à) Vợi p = , kỵ hiằu Rk v l ở o L (X) = {f : X −→ R|ess sup|f (x)| < +∞} â ess sup |f (x)| = inf {M > 0|µ{x ∈ X||f (x)| > M } = 0} x∈X Mằnh à 1.1 [2] , [3]Têp hủp Lp(X, à), vợi cĂc php toĂn thổng thữớng trản hm số, vợi chuân x¡c ành bði p1 R vỵi méi f ∈ Lp (X, µ) kf (x)kLp (X,µ) = |f |p dà X l mởt khổng gian tuyán tẵnh nh chuân Chựng minh Dạ thĐy rơng, vợi mồi f, g Lp(X, à), vợi mồi k K, ta cõ |f + g| ≤ 2max{|f |, |g|} Tø â, suy |f + g|p ≤ 2p max{|f |p , |g|p ≤ 2p (|f |p + |g|p ) Vªy f + g ∈ Lp(X, µ).Ngo i kf ∈ Lp(X, µ) Nhữ vêy Lp(X, à) õng kẵn ối vợi cĂc php toĂn thổng thữớng trản hm số nản nõ l mởt khổng gian tuyán tẵnh R Ta biát rơng, |f |pdà = v ch¿ f = h¦u khưp nỡi trản X X nản iÃu kiằn thự nhĐt cừa chuân ữủc thọa mÂn iÃu kiằn thự hai l hin nhiản, iÃu kiằn tam giĂc ữủc suy tứ bĐt ng thực Minkowski Mằnh à ữủc chựng minh nh lỵ 1.1 [2] , [3] Lp(X, à) l khổng gian Banach Chùng minh Gi£ sû {fn} l mët d¢y Cauchy Lp(X, µ), tùc l lim kfn − fm k = m,n→∞ Khi â, vỵi méi m, n ≥ nk , k N , tỗn tÔi mởt số ||fm − fn || < °c bi»t nk ∈ N∗ cho vỵi måi 2k vỵi måi n nk Khổng mĐt tẵnh tờng quĂt ta cõ thº gi£ thi¸t n1 < n2 < < nk < Khi â ||fm − fn || < 2k ||fn+1 − fn || < Vỵi måi s ∈ N∗, °t gs (x) = |fn1 (x)| + s X 2k |fnk+1 (x) − fnk (x)| ∈ Lp (X, µ) k=1 = |hAx, yi| ≤ kAxk kyk ≤ kAk kyk kxk , y vỵi måi x ∈ X Nhữ vêy xy l mởt phiám hm tuyán tẵnh giợi nởi trản khổng gian Hilbert X v x kAk kyk y (1.7) Theo nh lỵ (1.6) tỗn tÔi nhĐt mởt phƯn tỷ z X cho x∗y (x) = hx, zi , ∀x ∈ X t Ay = z ta ữủc mởt Ănh xÔ A∗ : X → X Ta câ A∗ l mët Ănh xÔ tuyán tẵnh Tứ nh lỵ (1.6) kát hủp vợi bĐt ng thực (1.7) ta cõ kA yk = kzk = x∗y ≤ kAk kyk , vỵi måi y X Vêy A l mởt toĂn tỷ tuyán tẵnh giợi nởi v kA k kAk ToĂn tỷ A L(X) xĂc nh nhữ trản ữủc gồi l toĂn tỷ liản hủp cừa toĂn tỷ tuyán tẵnh liản tửc A Tứ nh nghắa toĂn tỷ A, ta suy to¡n tû A∗ ÷đc x¡c ành ¯ng thùc hAx, yi = hx, A∗ yi , x, y ∈ X To¡n tû li¶n hđp cõa to¡n tû A∗ gåi l to¡n tû li¶n hđp thù hai cõa A, v ữủc kỵ hiằu l A nh lỵ 1.8 [2] Gi£ sû X l khæng gian Hilbert v A ∈ L(X) â 13 A∗∗ = A, v kA∗ k = kAk Chùng minh Theo ành ngh¾a v· to¡n tû li¶n hđp ta câ hAx, yi = hx, A∗ yi = hA∗ y, xi = hy, A∗∗ xi = hA∗∗ x, yi , vỵi måi x, y ∈ X Do â Ax = A∗∗x,vỵi måi x ∈ X, k²o theo A = A∗∗ M«t kh¡c, kA∗∗k ≤ kA∗k ≤ kAk suy kA∗∗k = kA∗k = kAk ành lỵ ữủc chựng minh nh lỵ 1.9 [2] , [3] Gi£ sû X l khæng gian Hilbert v A, B ∈ L(X), λ ∈ K â ta câ 1) (A + B)∗ = A∗ + B ∗ ; 2) (λA)∗ = λA∗ ; 3) (BA)∗ = A∗ B ∗ ; 4) IX∗ = IX Chùng minh Thªt vªy, vợi mồi x, y X Theo nh nghắa toĂn tû li¶n tưc ta câ: 1) hx, (A + B)∗ yi = h(A + B) (x) , yi = hAx + Bx, yi = hx, A∗ y + B ∗ yi = hx, (A∗ + B ∗ ) yi Suy (A + B)∗ y = (A∗ + B ∗) y vỵi måi y ∈ X, k²o theo (A + B)∗ = A∗ + B ∗ 2) hx, (λA)∗ yi = h(λA) x, yi = hλ (Ax) , yi = Suy Ax, λy = x, A∗ λy = x, λA∗ y (λA∗ ) y = A∗ λy vỵi måi y ∈ X , k²o theo (λA)∗ = λA∗ hx, (B · A)∗ yi = h(B · A) x, yi = hB (Ax) , yi = hAx, B ∗ yi 3) = hx, A∗ (B ∗ y)i Suy (B · A)∗ y = A∗ (B ∗y) vỵi måi y ∈ X, k²o theo (B · A)∗ = A∗ · B ∗ 4) hx, IX∗ yi = hIX x, yi 14 Suy x = IX x = IX = vỵi måi x ∈ X IX∗ y = y = IX∗ = vỵi måi y ∈ X Do õ suy IX = IX nh lỵ ữủc chựng minh Ta cõ mởt số kát quÊ ữủc trẳnh by cĂc nh lỵ sau nh lỵ 1.10 [2] , [3] Gi£ sû X l mët khæng gian Hilbert, A L(X) Khi õ A l ỗng phổi v ch A l ỗng phổi GiÊ sỷ A l mởt ỗng phổi, õ Chựng minh A à A1 = A1 A = IX Theo nh lỵ (1.9) ta câ ∗ ∗ A−1 · A∗ = A · A−1 = IX∗ = IX ; ∗ ∗ A∗ · A−1 = A−1 · A = IX∗ = IX php ỗng phổi v (A)1 = A1 Nản A l mởt Ngữủc lÔi, náu A l mởt php ỗng phổi thẳ theo chựng minh trản A l mởt php ỗng phổi Do A = A nản A cụng l mởt php ỗng phổi nh lỵ ữủc chựng minh nh lỵ 1.11 [2] , [3] Náu X l mët khæng gian Hilbert v A ∈ L(X) th¼ X = kerA ⊕ A∗ (X) v X = kerA A (X), õ l kỵ hiằu cừa tờng trỹc tiáp trỹc giao Chú ỵ rơng kerA, A∗ (X) l hai khỉng gian âng n¶n º chùng minh X = kerA ⊕ A∗ (X) ta ch¿ c¦n chùng minh Chùng minh cõa X ⊥ kerA =A∗ (X) Thêt vêy vợi mội x kerA thẳ Ax = i·u n y k²o theo hAx, yi = vỵi måi y ∈ X Do hx, A∗ yi = hAx, yi = 0, nản xAy vợi mồi y X, tực l xA(X) Tứ tẵnh chĐt liản tửc cừa tẵch vổ hữợng ta suy xA (X) Tực x A (X) 15 Ngữủc lÔi, náu x ∈ A∗ (X)⊥ th¼ x⊥A∗ (X), suy x⊥A∗ (X), k²o theo hx, A∗ yi = vỵi måi y ∈ X Do hAx, yi = hx, A∗ yi = 0, nản Axy vợi mồi y X, iÃu ny ch¿ x£y Ax = 0, tùc l x kerA Nhữ vêy kerA = A (X), nản ta cõ ng thực thự nhĐt ng thực cỏn lÔi nh lỵ nhên ữủc tứ ng thực  chựng minh bơng cĂch thay A bi A vợi ỵ A nh lỵ ữủc chựng minh 1.3.3 ToĂn tỷ ối xựng ành ngh¾a 1.5 [2] , [3] Gi£ sû X l mët khỉng gian Hilbert, to¡n tû A ÷đc gåi l toĂn tỷ ối xựng (toĂn tỷ tỹ liản hủp) náu A = A∗ Nhªn x²t 1.2 Ta câ to¡n tû A l to¡n tû èi xùng v ch¿ hAx, yi = hx, Ayi vỵi måi x, y ∈ X V½ dư 1.2 A ∈ L (Cn) l to¡n tỷ ữủc xĂc nh bi ma (aij ), i, j = 1, 2, , n Khi â A èi xùng v ch¿ aij = aij , vỵi mồi i, j = 1, 2, , n nh lỵ 1.12 [2] , [3] Gi£ sû X l mët khæng gian Hilbert, A, B ∈ L(X) l c¡c to¡n tû èi xùng Khi â 1) A + B l to¡n tû èi xùng; 2) Vỵi måi λ ∈ R, λA l to¡n tû èi xùng; 3) N¸u A.B = B.A th¼ B.A l to¡n tû èi xùng; 4) IX l toĂn tỷ ối xựng Chú ỵ rơng, náu = x + iy ∈ C â y 6= v A l mët to¡n tû èi xùng khỉng t¦m thữớng thẳ A khổng phÊi l toĂn tỷ ối xựng nh lỵ 1.13 [1] , [2] , [3] Cho X l mët khæng gian Hilbert v A l to¡n tû ối xựng ỗng phổi Khi õ A1 l toĂn tỷ ối xựng 16 Theo nh lỵ (1.10), toĂn tỷ liản hủp A cừa toĂn tỷ A l mởt ỗng phổi, ngo i (A∗)−1 = (A−1)∗ Do A l to¡n tû èi xùng n¶n A∗ = A, k²o theo A−1 = (A∗)−1 = (A−1)∗ N¶n A−1 l to¡n tû èi xùng nh lỵ ữủc chựng minh Chựng minh nh lỵ 1.14 [2] , [3] Gi£ sû X l mët khæng gian Hilbert v A ∈ L(X) l to¡n tû èi xùng Khi â kAk = sup {|hAx, xi| : kxk ≤ 1} = sup {|hAx, xi| : kxk = 1} Chùng minh °t µ = sup {|hAx, xi| : kxk ≤ 1} Ta câ |hAx, xi| ≤ kAk kxk2 , vợi mồi x X Nản |hAx, xi| kAk, vợi kxk Vêy (1.8) = sup |hAx, xi| ≤ kAk kx≤1k M°t kh¡c, vỵi måi x, y ∈ X, ta ·u câ hA (x + y) , x + yi = hAx, xi + hAx, yi + hAy, xi + hAy, yi ; hA (x − y) , x − yi = hAx, xi − hAx, yi − hAy, xi + hAy, yi Trứ ng thực trản cho ng thực dữợi ta ữủc hA (x + y) , x + yi − hA (x − y) , x − yi = hAx, yi + hAy, xi V¼ hAx, yi = hx, Ayi = hAy, xi, n¶n tø ¯ng thùc tr¶n suy hA (x + y) , x + yi − hA (x − y) , x − yi = 4Re hAx, yi (1.9) Dạ dng thĐy rơng, theo nh nghắa cừa à, |hAz, zi| kzk2 , vỵi måi z ∈ X Do â ¯ng thùc (1.9) suy r¬ng 2 2 2 |Re hAx, yi| ≤ µ kx + yk + kx − yk = µ kxk + kyk , 17 (1.10) óng vỵi måi x, y ∈ X Chån x ∈ X cho kxk = N¸u Ax 6= 0, ta Ax chån y = kAxk , â kyk = b§t ¯ng thực (1.10) tr thnh kAxk (1.11) Hin nhiản bĐt ng thực (1.11) úng cÊ trữớng hủp Ax = Nhữ vêy kAk = sup kAxk kxk1 (1.12) Kát hủp cĂc bĐt ng thực (1.8)v (1.12) ta cõ kAk = Chựng minh tữỡng tỹ °t µ = sup {|hAx, xi| : kxk = 1} kxk1 ta cụng cõ kAk = nh lỵ ÷đc chùng minh H» qu£ 1.2 [2] , [3] Gi£ sû X l mët khæng gian Hilbert v A ∈ L(X) l mởt toĂn tỷ ối xựng khổng tƯm thữớng Khi õ tỗn tÔi (A) cho |λ| = kAk , tø â suy σ (A) 6= nh lỵ 1.15 [2, 3] Cho X l khæng gian Hilbert, A ∈ L(X) l mët to¡n tû èi xùng, λ1 , λ2 l hai gi¡ trà ri¶ng kh¡c cõa A Khi â c¡c khỉng gian ựng vợi cĂc giĂ tr riảng , trỹc giao vợi Thêt vêy, cho 1, l hai gi¡ trà ri¶ng kh¡c nhau, x, y l hai vectỡ riảng ựng vợi chúng: Ax = x, Ay = µy V¼ A l èi xùng: hAx, yi = hx, Ayi nản hx, yi = hx, yi hay ( − µ) hx, yi = 0, â Chùng minh hx, yi = nh lỵ ữủc chựng minh nh ngh¾a 1.6 [2] , [3] Gi£ sû X l khỉng gian Hilbert, A ∈ L(X) l mët to¡n tû èi xựng Khi õ phiám hm h : X ì X → C x¡c ành bði cæng thùc h(x, y) = hAx, yi , 18 cõ cĂc tẵnh chĐt nhữ sau: 1) h(x, y) = h(x, y) vỵi måi x, y ∈ X 2) h(λ1 x1 + λ2 x2 , y) = λ1 h(x1 , y) + λ2 h(x2 , y) vỵi måi x1 , y2 ∈ X v vỵi måi λ1 , λ2 ∈ C 3) |h(x, y)| ≤ K kxk kyk vỵi måi x, y ∈ X , õ K l mởt hơng số Phiám hm h : X ì X C thọa mÂn cĂc iÃu kiằn 1),2),3) nản trản gồi l mởt dÔng song tuyán tẵnh Hermite Nhữ vêy, mội toĂn tỷ ối xựng xĂc nh mởt dÔng song tuyán tẵnh giợi nởi Hermite iÃu ngữủc lÔi ữủc nảu nh lỵ sau nh lỵ 1.16 [2] , [3] Gi£ sû X l khæng gian Hilbert, h : X ì X C l mởt dÔng song tuyán tẵnh giợi nởi Hermite Khi õ tỗn tÔi nh§t mët to¡n tû èi xùng A ∈ L(X) cho (1.13) h(x, y) = hx, yi , vỵi mồi x, y X Chựng minh Vợi mội phƯn tû cè ành y ∈ X , °t fy (x) = h hx, yi , x ∈ X Khi â fy l mởt phiám hm tuyán tẵnh Ngoi ra, |fy (x)| = |h(x, y)| ≤ K kxk kyk vỵi måi x X, nản fy l mởt phiám hm giợi nëi v kfy k ≤ K kyk Theo ành lỵ (1.6) tỗn tÔi mởt phƯn tỷ nhĐt z ∈ X cho fy (x) = hx, zi , (1.14) vỵi måi x ∈ X, v kfy k = kzk X²t to¡n tû A : X → X, x¡c ành bði Ay = z vỵi méi y ∈ X, â z x¡c ành bði (1.14) Hiºn nhi¶n 19 vợi mồi x X Dạ dng chựng minh ữủc A l toĂn tỷ tuyán tẵnh Ngoi kAyk = kfy k ≤ K kyk vỵi måi x X nản A giợi nởi Tiáp theo chựng minh A l to¡n tû èi xùng Vỵi måi x, y ∈ X, h(x, y) = hx, Ayi hx, Ayi = h(x, y) = h(x, y) = hy, Axi = hAx, yi Vêy A = A v A thọa mÂn ¯ng thùc (1.13) V công tø ¯ng thùc n y suy tẵnh nhĐt cừa A nh lỵ ữủc chựng minh Nhên xt 1.3 Cho h : X ì X C l mởt dÔng song tuyán tẵnh giợi nởi Hermite Khi õ phiám hm k xĂc nh trản khổng gian Hilbert X cho bði cæng thùc k(x) = h(x, y), x ∈ X, ch¿ nhªn c¡c gi¡ trà thüc, gồi l dÔng ton phữỡng Hermite ựng vợi dÔng song tuyán tẵnh giợi nởi Hilbert h Ngoi ta cỏn câ |k (x)| ≤ K kxk2 vỵi måi x ∈ X 1.3.4 ToĂn tỷ hon ton liản tửc Náu A l mởt toĂn tỷ tuyán tẵnh liản tửc khổng gian Hilbert X th¼ tø kxk ≤ K suy kAxk K kAk , nghắa l A bián mội têp b chn thnh mởt têp b chn nh nghắa 1.7 [2] , [3] Ta nâi r¬ng mët to¡n tû tuyán tẵnh A khổng gian Hilbert X l toĂn tỷ hon ton liản tửc náu nõ bián mội têp bà ch°n th nh mët tªp ho n to n bà ch°n Nhªn xt 1.4 Mởt toĂn tỷ tuyán tẵnh A l hon ton liản tửc náu nõ bián mội têp b chn, õng, thnh têp compact Mởt toĂn tỷ hon ton liản tửc thẳ liản tửc Mt khĂc, mởt toĂn tỷ A li¶n tưc m mi·n gi¡ trà ImA cõa nâ l mởt khổng gian hỳu hÔn chiÃu cừa X thẳ cụng hon ton liản tửc 20 nh nghắa 1.8 [2] , [3] Mởt toĂn tỷ tuyán tẵnh liản tửc A khæng gian Hilbert X m mi·n gi¡ trà ImA cõa nõ l mởt khổng gian hỳu hÔn chiÃu ữủc gồi l mởt toĂn tỷ hỳu hÔn chiÃu hay toĂn tỷ suy bián Nhên xt 1.5 CĂc toĂn tỷ suy bián Ãu hon ton liản tửc Thnh thỷ lợp cĂc toĂn tỷ hon ton liản tửc hàp hỡn lợp toĂn tỷ liản tửc khổng gian vổ hÔn chiÃu, văn bao hm lợp cĂc toĂn tỷ tuyán tẵnh khổng gian hỳu hÔn chiÃu Sau Ơy l mởt số tẵnh chĐt cừa lợp toĂn tỷ hon ton liản tửc 1) ối vợi mởt toĂn tỷ hon ton liản tửc A mồi hằ trỹc chuân gỗm nhỳng vectỡ riảng ựng vợi nhỳng giĂ tr riảng cõ giĂ tr tuyằt ối lợn hỡn mởt số dữỡng c bĐt ký cho trữợc, Ãu phÊi hỳu hÔn Nõi cĂch khĂc, khổng th cõ mởt hằ trỹc chuân vổ hÔn {en} , m mội en l vectỡ riảng cừa A ựng vợi giĂ n v |n | > c vợi n mồi n.oThêt vêy tr riảng trữớng hủp õ ta sncõ en o = λ1 ≤ 1c , tùc l d¢y en b chn, cho nản phÊi cõ mởt dÂy A λ1 en hëi tư Nh÷ng Aen = λn en Vêy dÂy {en } hởi tử õ l mët d¢y cì b£n, m i·u n y khỉng thº x£y ữủc, vẳ vợi mồi k, h ta cõ ken − en k2 = ken k2 + ken k2 = 2, khổng dƯn tợi k, h Tứ õ suy ra: bĐt ký khổng gian riảng no ựng vợi mởt giĂ tr riảng khĂc cừa mët to¡n tû ho n to n li¶n tưc cơng ph£i thù nguyản hỳu hÔn Vẳ náu trĂi lÔi khổng gian õ s cõ mởt hằ ởc lêp tuyán tẵnh vổ hÔn m sau trỹc chuân hõa s thnh mởt hằ trỹc chuân vổ hÔn, gỗm nhỳng vectỡ riảng ựng vợi mởt giĂ tr riảng khĂc 2) Náu to¡n tû A ho n to n li¶n tưc, to¡n tû B liản tửc (tực l b chn) thẳ cĂc toĂn tỷ AB, BA cụng hon ton liản tửc Thêt vêy, tứ kxnk K ta suy sỹ tỗn tÔi mội dÂy {Axn } hởi tử v B liản tửc nản dÂy {ABxn } cụng hởi tử Vêy BA hon to n li¶n tưc M°t kh¡c tø kxnk ≤ K ta suy kBxnk ≤ kBkK, â ph£i câ mët dÂy {BAxn } hởi tử Vêy AB cụng hon ton li¶n tưc n nk n n k k k k k h k h k k k 21 k 3) Náu toĂn tỷ A hon ton liản tửc thẳ cĂc to¡n tû A∗, AA∗, A∗A cơng ho n to n li¶n tưc Thêt vêy, tứ tẵnh chĐt 2) v tứ kAk = kAk ta suy ÷đc AA∗ , A∗ A cơng ho n to n li¶n tưc Ta i chùng minh A∗ hon ton liản tửc Náu kxn k K thẳ vẳ AA hon ton liản tửc nản cõ mởt dÂy {AA∗xn } hëi tö Ta câ k k kA∗ xnk − A∗ xnh k = hA∗ xnk − A∗ xnh , A∗ xnk − A∗ xnh i = hAA∗ xnk − AA∗ xnh , xnk − xnh i ≤ kAA∗ xnk − AA∗ xnh k kxnk − xnh k (k, h ) Vẳ rơng  hởi tử thẳ phÊi l dÂy cỡ bÊn v kxn − xn k ≤ kxn k + kxn k ≤ 2K Vêy dÂy {A xn } l dÂy cỡ bÊn, â hëi tư (X l khỉng gian õ) 4) Náu cĂc toĂn tỷ An hon ton liản tửc v kAn − Ak → th¼ to¡n tû A ho n ton liản tửc Thêt vêy, cho mởt têp õng v b chn M X , chng hÔn kxk K vợi mồi x M Vẳ An hon ton liản tửc nản cĂc têp Vn = {Anx : x ∈ M } compact Vỵi ε > cho trữợc ta cõ th lĐy n0 ừ lợn kAn − Ak < Kε Khi §y kAn x − Axk ≤ kAn − Ak kxk < Kε K = vợi mồi x, nản Vn l mởt lữợi compact cho V = {Ax : x ∈ M } Vêy bÊn thƠn V cụng compact Do õ A ho n to n li¶n tưc k {AA∗ xnk } k h h k 0 0 1.3.5 To¡n tû èi xựng hon ton liản tửc BƠy giớ ta xt mởt to¡n tû A vøa èi xùng vøa ho n to n li¶n tưc khỉng gian Hilbert X K¸t hđp c¡c kát quÊ và phờ cừa toĂn tỷ hon ton liản tưc v to¡n tû èi xùng ta câ nhªn x²t sau: Nhªn x²t 1.6 Cho X l mët khỉng gian Hilbert, A ∈ L(X) l mët to¡n tû èi xùng ho n to n li¶n tưc Khi â 1) σ (A) ⊂ [m, M ] ⊂ R, â m = inf hAx, xi ; M = sup hAx, xi , kxk=1 kxk=1 22 v m, M ∈ σ (A) 2) (A) l mởt têp khổng quĂ ám ữủc, Trữớng hủp (A) ám ữủc thẳ l im tử nhĐt cừa (A) 3) Náu σ (A) v λ 6= 0, th¼ λ l mët giĂ tr riảng cừa A 4) Vợi mồi 6= 0, ker(A − λIX ) l mët khæng gian hỳu hÔn chiÃu cừa X Kát hủp vợi khng nh 3) nhên xt trản v hằ quÊ 1.2 ta cõ nh lỵ: nh lỵ 1.17 [2] , [3] Cho X l mët khæng gian Hilbert v A ∈ L(X) l mët to¡n tû èi xùng ho n to n li¶n tưc khĂc khổng Khi õ tỗn tÔi mởt giĂ tr riảng λ cõa A cho |λ| = kAk Chùng minh Thêy vêy vẳ A ối xựng nản, nhữ  thĐy trảnkAk = sup |hAx, xi| kxk=1 Ta hÂy lĐy mởt dÂy xn vợi kxnk = 1, |hAxn, xni| kAk Bơng cĂch thay, náu cƯn, dÂy xn bi mởt dÂy con, ta cõ th giÊ thiát rơng bÊn thƠn dÂy{hxn, xni} hởi tử, chng hÔn hAxn, xni → λ, (λ = ± kAk) Ta câ ≤ kAxn − λxn k2 = hAxn − λxn , Axn − λxn i = kAxn k2 − 2λ (Axn − λxn ) + λ2 kxn k2 ≤ kAk2 − 2λ (Axn − λxn ) + λ2 → λ2 − 2λ2 + λ2 = Vªy kAxn − λxnk → Những A hon ton liản tửc nản cõ mởt dÂy {Axn } hởi tử, vẳ vêy dÂy {xn } cụng hởi tử, chng hÔn xn e Khi â ta câ Ae − λe = n→∞ lim (Axn − λxn ) = 0, chùng tä r¬ng λ l mët gi¡ trà ri¶ng v e l mët vectì ri¶ng nh lỵ ữủc chựng minh GiÊ sỷ X l khổng gian Hilbert, A ∈ L(X) l mët to¡n tû èi xựng hon ton liản tửc khĂc khổng nh lỵ (1.17) suy rơng têp hủp cĂc giĂ tr riảng khĂc khổng cừa A l khổng rộng Vẳ têp cĂc giĂ tr riảng cừa A thnh mởt dÂy {n , n = 1, 2, } cho αn 6= αm vỵi n 6= m, Do σ(A) khỉng câ iºm tư kh¡c khổng nản ta cõ th sưp xáp lÔi têp (A) cho k k |α1 | ≥ |α2 | ≥ 23 °t dim ker (A−αnIX ) = qn < +∞, n = 1, 2, Sè qn ÷đc gåi l bëi cõa gi¡ trà ri¶ng cõa αn Gåi {e1, eq } l mët cì trüc chu©n cõa khỉng gian ker (A−αnIX ), v {eq +1 , , eq +q } l mët cì trüc chu©n cõa khỉng gian ker (A−α2 IX ), ,v eq + +q +1 , , eq + +q l mët cì trỹc chuân cừa ker (An IX ) Vẳ cĂc phƯn tỷ riảng cừa A ựng vợi hai giĂ tr riảng khĂc l trỹc giao vợi nhau, nản dÂy {n, n = 1, 2, } xƠy dỹng nhữ trản l mët h» trüc chu©n khỉng gian Hilbert X Ta gồi hằ ny l mởt hằ trỹc chuân Ưy ừ cĂc phƯn tỷ riảng cừa toĂn tỷ ối xựng ho n to n li¶n tưc A °t 1 1 n−1 n λ1 = λ2 = λq1 = α1 ; λq1 +1 = λq1 +q2 = α2 ; ; λq1 + +qn−1 +1 = = λq1 + +qn = αn D¢y {αn, n = 1, 2, } gồi l dÂy cĂc giĂ tr riảng ựng vợi dÂy cĂc phƯn tỷ riảng{en} cừa toĂn tỷ A Chú ỵ rơng, mội phƯn tỷ k cừa dÂy {n} cõ mt dÂy {n} úng bơng số cừa {αk } Bê · 1.1 [2] , [3] Gi£ sû X l mët khæng gian Hilbert, A ∈ L(X) l mët to¡n tû èi xùng ho n to n li¶n tưc, {en } l mởt hằ trỹc chuân Ưy ừ cĂc phƯn tỷ riảng cừa A Khi õ vợi mội x X tỗn tÔi mởt phƯn tỷ nhĐt x cõa X cho Ax0 = v x = x0 + ∞ X hx, en ien n=1 ành lỵ 1.18 [2] , [3] GiÊ sỷ X l mởt khæng gian Hilbert, A ∈ L(X) l mët to¡n tû èi xùng ho n to n li¶n tưc, {en } l mët hằ trỹc chuân Ưy ừ cĂc phƯn tỷ riảng cừa A, {n } l dÂy cĂc giĂ tr riảng tữỡng ùng Khi â vỵi méi x ∈ X ta câ Ax = ∞ P λn hx, en ien n=1 nh lỵ 1.19 [2] , [3] GiÊ sỷ X l mët khæng gian Hilbert, A ∈ L(X) l mët to¡n tû èi xùng ho n to n li¶n tưc, {en } l mởt hằ trỹc chuân Ưy 24 ừ cĂc phƯn tỷ riảng cừa A, {n } l dÂy cĂc giĂ tr riảng tữỡng ựng Khi õ náu 6= v 6= n vợi mồi n thẳ vợi mồi y X phữỡng trẳnh Ax x = y, cõ nghi»m nh§t x= λ ! X n λn hy, en in − y λn − λ ành lỵ 1.20 [2] , [3] GiÊ sỷ X l mởt khæng gian Hilbert, A ∈ L(X) l mët to¡n tû èi xùng ho n to n li¶n tưc, {en } l mët hằ trỹc chuân Ưy ừ cĂc phƯn tỷ riảng cừa A, {n } l dÂy cĂc giĂ tr riảng tữỡng ùng Khi â n¸u λ 6= l mët gi¡ trà ri¶ng câ bëi q, tùc l λ = λm+1 = = λm+q ; λ 6= λj vỵi måi j ∈ / {m + 1, , m + q} , thẳ phữỡng trẳnh Ax x = y, (1.15) câ nghi»m v ch¿ y trüc giao vỵi mội nghiằm cừa phữỡng trẳnh Ax x = Khi õ nghiằm tờng quĂt cừa phữỡng trẳnh (1.15) l ! ∞ X λn hy, en in − y + c1 em+1 + + cq em+q, x= λ n=1 λn − λ â c1 , , cq l nhỳng hơng số tũy ỵ 25 Chữỡng Phữỡng trẳnh tẵch phƠn Trong chữỡng ny, ta vên dửng lỵ thuy¸t to¡n tû khỉng gian Hilbert v o vi»c kh£o sĂt cĂc phữỡng trẳnh tẵch phƠn thữớng gp nhĐt Nởi dung chừ yáu cừa chữỡng ny ữủc hon thnh tứ c¡c t i li»u [3], [4], [9], [10] v [11] 2.1 ToĂn tỷ tẵch phƠn nh nghắa 2.1 [3] Cho mởt hm hai bián K(x, y) bẳnh phữỡng khÊ tẵch ngh¾a l Zb Zb |K (x, y)|2 dxdy = N < ∞ (2.1) a a To¡n tû A x¡c ành L2(a, b) ÷đc cho bði cỉng thùc Zb Aϕ (x) = K (x, y)ϕ (y) dy, (2.2) a ữủc gồi l toĂn tỷ tẵch phƠn Fredhom sinh bi hÔch K(x, y) nh lỵ 2.1 [3] ToĂn tỷ tẵch phƠn Fredhom l mởt toĂn tỷ tuyán tẵnh liản töc L2 (a, b) Cho ϕ (x) ∈ L2(a, b) Do ta cõ (2.1) nản theo nh lỵ Fubini, hm |K(x, y)|2 khÊ tẵch theo y vợi hƯu hát mồi x, nghắa l K(x, y), xt nhữ mởt hm cừa y thuởc L2(a, b) Do õ tẵch phƠn (2.2), tực l tẵch Chựng minh 26 vổ hữợng cừa K(x, y) v (x) , tỗn tÔi vợi hƯu hát mồi x Cụng theo nh lỵ Fubini, hm k (x) = Zb |K (x, y)|2 dy a kh£ t½ch theo x v tẵch phƠn cừa k2(x) (tứ a án b) bơng N , vêy k(x) L2 (a, b), Theo b§t ¯ng thùc Schwarz-Buniakowski ¡p dưng cho tẵch vổ hữợng (2.2) ta cõ 12 b 21 b Z Z |Aϕ (x)| ≤ |K (x, y)|2 dy |ϕ (y)|2 dy = kϕk k (x) a a Vªy, Aϕ (x) ∈ L2(a, b) v A l mët to¡n tû L2(a, b) Hin nhiản A l toĂn tỷ tuyán t½nh Ta câ Zb 2 |Aϕ (x)| dx ≤ kϕ (x)k a Zb k (x)dx = N ϕ2 , a tùc l kAϕk ≤ N kϕk , n¶n to¡n tû A l to¡n tû bà ch°n (liản tửc), vợi kAk N = Zb Zb a 21 |K (x, y)|2 dxdy (2.3) a nh lỵ ữủc chựng minh nh lỵ 2.2 [3] ToĂn tỷ tẵch phƠn Fredhom l mởt toĂn tû ho n to n li¶n tưc L2 (a, b) Chùng minh l cõ dÔng Trữợc hát ta xt trữớng hủp hÔch K(x, y) suy bián, nghắa K (x, y) = n P ak (x)bk (y) , k=1 27 vỵi ak , bk ∈ L2(a, b)