��I HÅC TH�I NGUY�N TR×ÍNG ��I HÅC S× PH�M PH�M THÀ THU TRANG SÜ TÇN T�I NGHI�M CÕA PH×ÌNG TR�NH VI PH�N C�P BA VÎI �I�U KI�N BI�N D�NG BA �I�M V� D�NG T�CH PH�N LU�N V�N TH�C S� TO�N HÅC Th¡i Nguy¶n[.]
I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM PHM TH THU TRANG Sĩ TầN TI NGHIM CếA PHìèNG TRNH VI PH N CP BA VỴI IU KIN BIN DNG BA IM V DNG TCH PH N LUN VN THC S TON HC ThĂi Nguyản - 2019 I HC THI NGUYN TRìNG I HC Sì PHM PHM TH THU TRANG Sĩ TầN TI NGHIM CếA PHìèNG TRNH VI PHN CP BA VẻI IU KIN BIN DNG BA IM V DNG TCH PH N Ng nh: TON GII TCH M¢ sè: 8.46.01.02 LUN VN THC S TON HC Ngữới hữợng dăn khoa hồc TS TRN NH HỊNG Th¡i Nguy¶n - 2019 Líi cam oan Tỉi xin cam oan rơng nởi dung trẳnh by luên vôn ny l trung thỹc v khổng trũng lp vợi · t i kh¡c Tỉi cơng xin cam oan r¬ng måi sỹ giúp ù cho viằc thỹc hiằn luên vôn ny  ữủc cÊm ỡn v cĂc thổng tin trẵch dăn luên vôn  ữủc ch ró nguỗn gốc ThĂi Nguyản, thĂng nôm 2019 TĂc giÊ luên vôn PhÔm Thà Thu Trang X¡c nhªn cõa khoa To¡n X¡c nhªn cừa ngữới hữợng dăn khoa hồc TS TrƯn ẳnh Hũng i Lới cÊm ỡn Trữợc trẳnh by nởi dung chẵnh cừa luên vôn, tổi xin by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc tợi TS TrƯn ẳnh Hũng, ngữới thƯy tên tẳnh hữợng dăn tổi suốt quĂ trẳnh nghiản cựu tổi cõ th hon thnh luên vôn ny Tỉi xin tr¥n trång c£m ìn Ban Gi¡m hi»u, khoa ToĂn ton th cĂc thƯy cổ giĂo trữớng HSP ThĂi Nguyản  truyÃn thử cho tổi nhỳng kián thực quan trồng, tÔo iÃu kiằn thuên lủi v cho tổi nhỳng ỵ kián õng gõp quỵ bĂu suốt quĂ trẳnh hồc têp v thỹc hiằn luên vôn BÊn luên vôn chưc chưn s khổng trĂnh khọi nhỳng khiám khuyát vẳ vêy rĐt mong nhên ữủc sỹ õng gõp ỵ kián cừa cĂc thƯy cổ giĂo v cĂc bÔn hồc viản luên vôn ny ữủc hon chnh hỡn Cuối xin cÊm ỡn gia ẳnh v bÔn b  ởng viản, khẵch lằ tổi thới gian hồc têp, nghiản cựu v hon thnh luên vôn Tổi xin chƠn thnh cÊm ỡn! ThĂi Nguyản, thĂng nôm 2019 TĂc giÊ PhÔm Th Thu Trang ii Mửc lửc Trang bẳa phư Líi cam oan Líi c£m ìn Mưc lưc Mð Ưu Mởt số kián thực cỡ s i ii iii 1.1 Mởt số nh lỵ im bĐt ëng 1.2 To¡n tû Fredholm 1.3 H m Green Sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa phữỡng trẳnh vi phƠn cĐp ba vợi iÃu kiằn biản dÔng ba im v dÔng tẵch phƠn 12 2.1 Sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa phữỡng trẳnh vi phƠn cĐp ba vợi iÃu kiằn biản dÔng ba im 2.2 12 Sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa phữỡng trẳnh vi phƠn cĐp ba vợi iÃu kiằn biản dÔng tẵch phƠn Kát luên Ti liằu tham khÊo 24 35 36 iii Mởt số kỵ hiằu v viát tưt R têp cĂc số thỹc tªp réng A⊂B A A∪B hđp cõa hai tªp hđp A v B A∩B giao cõa hai tªp hđp A v B AìB tẵch Descartes cừa hai têp hủp ker(f ) hÔt nhƠn cừa Coker(f ) ối hÔt nhƠn cừa kát thúc chựng minh l têp cừa iv B f f A v B M Ưu Phữỡng trẳnh vi phƠn cĐp ba cõ nhiÃu ựng dửng a dÔng cĂc lắnh vỹc vêt lỵ, k thuêt [1], [9] Chng hÔn nhữ bi toĂn xt ở vóng cừa mởt dƯm ba lợp ữủc tÔo thnh bi cĂc lợp song song cĂc vêt liằu khĂc [8], bi toĂn nghiản cựu dỏng chÊy cừa mởt mng mọng chĐt lọng nhợt trản bà mt rưn, mởt mng nhữ vêy chÊy xuống mởt vêt liằu theo hữợng thng ựng s chu Ênh hững cừa sực công bà mt, lỹc hĐp dăn cụng nhữ ở nhợt [12] NhiÃu phữỡng trẳnh cừa hằ dao ởng cụng ữủc ữa và cĂc hằ phữỡng trẳnh vi phƠn cĐp ba [11] Trong cĂc bi toĂn õ, cĂc iÃu kiằn biản ữủc dăn án cõ th dÔng ba im, dÔng tẵch phƠn hay cĂc dÔng phi tuyán Nghiản cựu sỹ tỗn tÔi v nhĐt nghiằm cừa phữỡng trẳnh vi phƠn cĐp ba Ưy ừ vợi cĂc loÔi iÃu kiằn biản khĂc thu hút ữủc nhi·u sü quan t¥m cõa c¡c nh to¡n håc Kÿ thuêt khĂ phờ bián ữủc sỷ dửng nghiản cựu cĂc phữỡng trẳnh vi phƠn cĐp ba l phữỡng phĂp nghiằm trản v nghiằm dữợi [6], [7] v cĂc phữỡng ph¡p li¶n tưc düa tr¶n vi»c ¡nh gi¡ ti¶n nghi»m cõa mët hå c¡c b i to¡n vỵi mët tham sè thảm vo, sau õ sỷ dửng cĂc nh lỵ và im bĐt ởng [2], [3], [4], [5] Chúng tổi  chồn luên vôn Sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa phữỡng trẳnh vi phƠn cĐp ba vợi iÃu kiằn biản dÔng ba im v dÔng tẵch phƠn Mửc ẵch cừa luên vôn l trẳnh by lÔi mởt số kát quÊ cừa Abdelkader Boucherif [3], [4] và sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa phữỡng trẳnh vi phƠn cĐp ba Ưy ừ: y 000 (t) = f (t, y(t), y (t), y 00 (t)), < t < 1, hai tr÷íng hđp, i·u ki»n bi¶n Dirichlet ba iºm v i·u ki»n bi¶n dÔng tẵch phƠn Luên vôn gỗm phƯn m Ưu, hai chữỡng nởi dung, phƯn kát luên v ti liằu tham khÊo Chữỡng trẳnh by mởt số kián thực cỡ s và mởt số nh lẵ im bĐt ởng, toĂn tỷ Fredholm v hm Green Chữỡng trẳnh by mởt số iÃu kiằn ừ Ôt ữủc Ănh giĂ tiản nghiằm cừa mởt hồ bi toĂn cho phữỡng trẳnh vi phƠn cĐp ba Ưy ừ hai trữớng hủp: iÃu kiằn biản dÔng ba im v iÃu kiằn biản dÔng tẵch phƠn Sau õ sỷ dửng cĂc nh lỵ im bĐt ởng chựng minh mởt số kát quÊ và sỹ tỗn tÔi nghiằm Chữỡng Mởt số kián thực cỡ s Chữỡng ny trẳnh by mởt số kián thực cỡ s cƯn thiát cho chữỡng sau, ữủc tham kh£o tø c¡c t i li»u [10], [13] 1.1 Mët sè nh lỵ im bĐt ởng Cho Ănh xÔ T : A → A Méi nghi»m gåi l mët iºm b§t ởng cừa Ănh xÔ x cừa phữỡng trẳnh x = Tx ữủc T Mởt số nh lỵ im bĐt ởng sau Ơy l cĂc nh lỵ nÃn tÊng cỡ bÊn ữủc sỷ dửng phờ bián chựng minh sỹ tỗn tÔi nhĐt nghiằm cừa cĂc phữỡng trẳnh vi phƠn nh lỵ im bĐt ởng Banach cho cĂc toĂn tỷ co vợi hằ số co k nh lỵ im bĐt ởng Brouwer cho cĂc toĂn tỷ liản tửc khổng gian hỳu hÔn chiÃu nh lỵ im bĐt ởng Schauder cho cĂc toĂn tỷ hon ton liản tửc trản mởt têp lỗi, khĂc rộng v compact khổng gian Banach (vổ hÔn chiÃu) Ơy l mởt tờng quĂt hõa cừa nh lỵ bĐt ởng Brouwer nh lỵ im bĐt ởng Scheafer cho cĂc toĂn tỷ li¶n tưc v compact khỉng gian Banach Ngo i mởt số nh lỵ im bĐt ởng quan trồng khĂc ữủc sỷ dửng nhiÃu nghiản cựu sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa phữỡng trẳnh vi phƠn phi tuyán, chng hÔn nhữ nh lỵ Leray - Schauder cho cĂc toĂn tỷ compact trản mởt têp lỗi, khĂc rộng, b chn cừa khổng gian Banach Cũng vợi cĂc nh lỵ im bĐt ởng, lẵ thuyát bêc Brouwer v lẵ thuyát ch¿ sè iºm b§t ëng cơng l nhúng cỉng cư quan trồng, ữủc ựng dửng nhiÃu nghiản cựu sỹ tỗn tÔi im bĐt ởng cừa cĂc Ănh xÔ liản tửc cụng nhữ sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa cĂc phữỡng trẳnh vi phƠn phi tuyán nh lỵ im bĐt ởng Banach Xt phữỡng trẳnh phi tuyán x = T x ành ngh¾a 1.1.1 metric (X, d) (xem [13]) To¡n tû ữủc gồi l co vợi hằ số k T :M XX (1.1) trản khổng gian náu v ch náu d(T x, T y) ≤ kd(x, y) vỵi måi x, y M nh lỵ 1.1.2 v k cố nh, (1.2) k < (xem [13]) ( nh lỵ im bĐt ởng Banach (1922)) GiÊ sỷ rơng (i) T : M X M l mởt Ănh xÔ tứ M vo chẵnh nõ; (ii) M l têp õng, khĂc réng khỉng gian metric ¦y õ (X, d); (iii) T l mởt Ănh xÔ co vợi hằ số k Khi õ phữỡng trẳnh (1.1) cõ nhĐt nghiằm x, tùc l T câ nh§t mët iºm b§t ởng trản M nh lỵ im bĐt ởng Banach cõ ỵ nghắa quan trồng giÊi tẵch, c biằt viằc chựng minh sỹ tỗn tÔi v nhĐt nghiằm cừa cĂc phữỡng trẳnh phi tuyán nh lỵ im bĐt ởng Brouwer KhĂc vợi nh lỵ im bĐt ởng Banach, nh lỵ im bĐt ởng Brouwer khổng ch tẵnh nhĐt cừa im bĐt ởng, nhiản cĂc Tø â ta câ |f1 (t, yn (t), yn0 (t), yn00 )| ≤ Mf , Hìn núa Nf1 (yn ) → Nf1 (y) º chùng minh Nf1 C (I) Suy ∀t ∈ I Nf li¶n tưc ho n to n li¶n tưc, gåi n o BR = y ∈ C0 (I); kyk(3) ≤ R Khi â, tỗn tÔi M1 > thọa mÂn kNf1 (y)k0 M1 , ∀y ∈ BR v Z t1 kNf1 (y)(t1 ) − Nf1 (y)(t2 )k ≤ |f1 (s, y(s), y (s), y 00 (s)|ds ≤ Mf (R)|t1 −t2 |, t2 â Mf (R) = sup {|f (t, y, p, w)|; t ∈ I, |y| ≤ R, |p| ≤ R, |w| R} Do õ Nf1 Bữợc ho n to n li¶n tưc Ta chùng minh C (I) L1 Nf1 cõ im bĐt ởng, thêt vêy tứ ba bữợc trản, ta cõ têp cĂc im bĐt ởng cừa hồ phữỡng trẳnh y = L1 Nf1 (y), bà ch°n 0 0, vỵi måi |p| > r1 v mồi y R Khi õ tỗn tÔi R1 ∈ [r1 , +∞) cho nghi»m y cõa b i to¡n thäa m¢n |y (t)| ≤ R1 v |y(t)| ≤ R1 , Chùng minh V¼ c¡c h m h1 v h2 (2.18), (2.19) ∀t ∈ I li¶n tưc n¶n tỗn tÔi h0i = max {|hi (u, v)|; u, v ∈ [−r1 ; r1 ]} , i = 1, Gi£ sû R1 = max(r1 + h01 , r1 + h02 ) Khi â R1 > r1 26 v R1 > max(h01 , h02 ) Gi£ sû R1 y 6= l nghi»m cõa b i to¡n (2.18), (2.19) Ta s³ ch¿ |y (t)| ≤ vỵi måi â hoc t I GiÊ sỷ ngữủc lÔi, tỗn tÔi t1 I y (t1 ) > R1 X²t tr÷íng hđp ho°c |y (t)| > R1 Khi y (t1 ) < −R1 y (t1 ) > R1 (trữớng hủp cỏn lÔi chựng minh t÷ìng tü) max{|y (t)|; t ∈ I} > R1 Ta câ cho Do y0 li¶n tưc, n¶n tỗn tÔi t2 I cho y (t2 ) = max{|y (t)|; t ∈ I} N¸u t2 ∈ (0, 1) th¼ y (t2 ) > R1 > r1 , y 00 (t2 ) = y (t2 )y 000 (t2 ) ≤ v Tø (H3) ta câ y (t2 )f (t2 , y(t2 ), y (t2 ), y 00 (t2 )) = y (t2 )f (t2 , y(t2 ), y (t2 ), 0) > Do < λ ≤ 1, n¶n tø (2.18) suy ≥ λy (t2 )y 000 (t2 ) > i·u n y l mƠu thuăn Náu t2 = 0, tực l y0 Ôt giĂ tr cỹc Ôi tÔi t = 0, õ y 00 (0) ≤ v y (0) > R1 > r1 N¸u y 00 (0) = 0, theo (H3) ta câ y (0)y 000 (0) = y (0)f (0, 0, y (0), 0) > suy y 000 (0) > y 00 (t) > y 00 (0) = Vẳ vêy y (0) Do õ, y 00 Tữỡng tỹ y0 gƯn cụng ỡn iằu tông vợi t ỡn iằu tông vợi khổng th l giĂ tr cỹc Ôi cừa t |y (t)| v t > 0, g¦n suy v t > Vẳ vêy dăn tợi mƠu thuăn Náu y 00 (0) < cĂch xĂc nh th¼ h01 ≥ y (0) − ay 00 (0) > y (0) > R1 , mƠu thuăn vợi R1 Trong tr÷íng hđp t2 = 1, x²t t÷ìng tỹ cụng dăn tợi iÃu mƠu thuăn Nhữ vªy, −R1 , y (t) − R1 ≤ 0, ∀t ∈ I T÷ìng tü, cơng ch¿ ÷đc y (t) ≥ ∀t ∈ I Do â |y (t)| ≤ R1 Tø y(t) = Rt y (s)ds v 0≤t≤1 ∀t ∈ I suy |y(t)| ≤ R1 , Nhªn x²t ∀t ∈ I : Trong trữớng hủp iÃu kiằn biản thuƯn nhĐt, tực l 0, vỵi måi u, v ∈ R, i = 1, 2., â R1 = r1 27 hi (u, v) = Mằnh à 2.2.4 (H4) GiÊ sỷ tỗn tÔi hơng số dữỡng K1, K2 thọa mÂn |f (t, y, p, w)| ≤ K1 w2 + K2 , vỵi måi w ∈ R, (t, y, p) ∈ I × [−R1 ; R1 ] × [−R1 ; R1 ] Khi â, tỗn tÔi R2 > 0, khổng phử thuởc vo , cho vỵi nghi»m y cõa b i to¡n (2.19) m |y(t)| ≤ R1 , |y (t)| ≤ R1 , ∀t ∈ I th¼ |y 00 (t)| ≤ R2 , ∀t ∈ I Chùng minh m¢n (2.18), Gi£ sû y 6= l mët nghi»m cõa b i to¡n (2.18), (2.19) thäa |y(t)| ≤ R1 , |y (t)| ≤ R1 vỵi måi t ∈ I |h01 + R1 | |y (0)| ≤ , a |h02 + R1 | |y (1)| ≤ b 00 Gåi Tø (2.25) v Khi â 00 |h0 + R | |h0 + R | 1 r0 = max , a b 00 00 (2.26) ta câ |y (0)| ≤ r0 , v |y (1)| ≤ r0 (2.25) (2.26) GiÊ sỷ tỗn tÔi |y 00 (t)| = max{|y 00 (t)|; t ∈ I} > r0 Do y C (I) nản tỗn 00 tÔi mởt nỷa khoÊng , t I (hoc t, α ⊂ I ) cho |y (α)| = r0 v |y 00 (t)| > r0 vỵi måi t ∈ α, t (ho°c vỵi måi t ∈ t, ) Khổng mĐt tẵnh 00 tờng quĂt, gi£ sû α ≤ t X²t tr÷íng hđp y (t) > r0 vỵi måi t ∈ α, t Tø t∈I cho (2.18) suy ra: |y 000 (t)| = λ|f (t, y(t), y (t), y 00 (t))| ≤ λ K1 |y 00 (t)|2 + K2 , Vẳ < nản vợi t ∈ α, t ta câ ∀t ∈ I y 000 (t) ≤ K1 y 00 (t)2 + K2 , suy y 000 (t)y 00 (t) ≤ y 00 (t), 00 K1 (y (t)) + K2 ∀t ∈ α, t Khi â Z α t 2K1 y 000 (t)y 00 (t) dt ≤ 2K1 K1 y 00 (t)2 + K2 Bði vªy Z t y 00 (t)dt = 2K1 y (t) − y (α) ≤ 4K1 R1 α K1 y 00 (t)2 + K2 K1 y 00 (t)2 + K2 ln = ln ≤ 4K1 R1 K1 y 00 (α)2 + K2 K1 r02 + K2 28 (2.27) T÷ìng tü, x²t trữớng hủp ln y 00 (t) < r0 vợi mồi t ∈ α, t , ta câ K1 y 00 (t)2 + K2 ≥ −4K1 R1 K1 r02 + K2 Tứ (2.27), (2.28), suy tỗn tÔi (2.28) R2 > 0, ch¿ phö thuëc v o r0 , r1 , h10 , h20 , K1 , K2 cho |y 00 (t)| ≤ R2 Do â |y 00 (t)| R2 t I nh lỵ 2.2.5 GiÊ sỷ iÃu kiằn v  ữủc thọa mÂn (H5) GiÊ sỷ tỗn tÔi số dữỡng i, i = 1, vỵi (b + 1)β1 + (a + 1)β2 < (H3) (H4) a + b + v h m σi : (0, ∞) → (0, ∞) li¶n tưc, khỉng gi£m thäa mÂn i (u) i u vợi u > v |hi (y1 , y2 ) − hi (z1 , z2 )| ≤ σi (max{|y1 − z1 |, |y2 − z2 |}), ∀y1 , y2 , z1 , z2 ∈ R Khi õ bi toĂn (2.25), (2.26) tỗn tÔi ẵt nh§t mët nghi»m Chùng minh Gi£ sû y l nghi»m cõa (2.18) v (2.19) Tø i·u ki»n (H3) ta câ |y(t)| ≤ R1 Tø i·u ki»n (H4) ta câ |y 00 (t)| ≤ R2 v |y (t)| ≤ R1 vỵi måi vỵi måi t ∈ I t ∈ I Gåi R3 = max{|f (t, y, p, w)|; t ∈ I, |y| ≤ R1 , |p| ≤ R1 , |w| ≤ R2 } Khi â, °t °t r = max(R1 , R2 , R3 ), ta ÷đc kyk(3) ≤ r Ω = {y ∈ C (I); kyk(3) < r + 1} Tứ tẵnh chĐt cừa hm Green v tẵnh li¶n tưc cõa h m f suy to¡n tû G1 : Ω → C (I) p döng (H5), ta chựng minh ữủc hon ton liản tửc G2 : C (I) l Ănh xÔ co Thêt vêy, ta câ: Z |G2 (y)(t) − G2 (z)(t)| = [ϕ(t, y(s)) − ϕ(t, z(s))] ds Z 10 ≤ |ϕ(t, y(s)) − ϕ(t, z(s))|ds Hìn núa, vỵi i = 1, |Hi (y) − Hi (z)| ≤ σi (ky − zk(3) ) 29 Do â |ϕ(t, y(s)) − ϕ(t, z(s))| ≤ g1 (t)|H1 (y(s)) − H1 (z(s))| + g2 (t)|H2 (y(s)) − H2 (z(s))| ≤ g1 (t)σ1 (ky − zk(3) ) + g2 (t)σ2 (ky − zk(3) ) b + 1/2 a + 1/2 β1 + β2 ky − zk(3) ≤ a+b+1 a+b+1 T÷ìng tü ∂ϕ(t, y(s)) ∂ϕ(t, z(s))