Đề thi thử đại học Toán khối D - THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu

SỞ GD & ĐT ĐỒNG THÁP ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2014 - LẦN 1 THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Môn: TOÁN; Khối D Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề ĐỀ CHÍNH THỨC I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số 4 2 2 2 y x mx m m = − − + + (1) , với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi 2 m = − . b) Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt. Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình 2sin cos 3 sin 2 1 sin 4 + + = + x x x x . Câu 3 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình 2 2 1 1 2 1 1 2 x y x y x y  + = − +   + = − +   ( , ) x y ∈ » . Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân 3 3 1 2 2 2 xdx I x − = + ∫ . Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình chữ nhật, , 2 AB a AC a = = , SA vuông góc với mặt phẳng ( ) ABCD , SC tạo với mặt phẳng ( ) SAB một góc 0 30 . Gọi M là một điểm trên cạnh AB sao cho 3 BM MA = . Tính theo a thể tích của khối chóp . S DCM và khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( ) SCM . Câu 6 (1,0 điểm). Cho các số thực dương , x y thỏa mãn 1 x y + ≤ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 1 1 A xy x y = + + . II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu 7.a (1.0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ ( ) Oxy , cho hình vuông ABCD có (2; 4) A − , đỉnh C thuộc đường thẳng :3 2 0 d x y + + = . Đường thẳng : 2 0 DM x y − − = , với M là trung điểm của AB . Xác định tọa độ các đỉnh , , B C D biết rằng đỉnh C có hoành độ âm. Câu 8.a (1.0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm ( ) 2; 5; 6 A − − và đường thẳng 1 2 1 ( ): 2 1 3 x y z − + + ∆ = = − . Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên ( ) ∆ . Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cắt ( ) ∆ tại B sao cho 35 AB = . Câu 9.a (1.0 điểm). Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau, trong đó phải có chữ số 2 và 4 ?. B. Theo chương trình Nâng cao Câu 7.b (1.0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ ( ) Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 48 , đỉnh ( 3;2) D − . Đường phân giác của góc  BAD có phương trình : 7 0 x y ∆ + − = . Tìm tọa độ đỉnh B biết đỉnh A có hoành độ dương. Câu 8.b (1.0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm ( ) 4;3;2 A và đường thẳng 1 1 2 ( ): 2 3 1 x y z − + − ∆ = = − − . Tính khoảng cách từ A đến ( ) ∆ . Viết phương trình đường thẳng đi qua A , cắt và vuông góc với ( ) ∆ . Câu 9.b (1.0 điểm). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 ( ) 2 f x x x = + − . Hết Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh: www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com SỞ GD&ĐT ĐỒNG THÁP ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2014 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN; Khối D (Đáp án – thang điểm gồm 06 trang) Câu Đáp án Điểm a. (1,0 điểm) Khi 2 m = − , ta có: 4 2 4 2 y x x = − + + • Tập xác định: D =  • Sự biến thiên: − Chiều biến thiên: 3 ' 4 8 ; ' 0 0 y x x y x = − + = ⇔ = hoặc 2 x = ± 0,25 Các khoảng nghịch biến: ( 2;0) − và ( 2; ) +∞ ; các khoảng đồng biến ( ; 2) −∞ − và (0; 2) − Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại 0, 2 CT x y = = ; đạt cực đại tại 2, 6 CÑ x y = ± = − Giới hạn: lim lim x x y y →−∞ →+∞ = = −∞ 0,25 − Bảng biến thiên: x −∞ 2 − 0 2 +∞ ' y + 0 − 0 + 0 − y 6 6 −∞ 2 −∞ 0,25 • Đồ thị 0,25 b. (1,0 điểm) Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (1) và trục hoành: 4 2 2 2 0 (1) x mx m m − − + + = Đặt 2 0 t x = ≥ , phương trình (1) trở thành: 2 2 2 0 t mt m m + − − = (2) 0,25 1 (2,0 điểm) Đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt ⇔ (1) có bốn nghiệm phân biệt ⇔ (2) có hai nghiệm dương phân biệt 0,25 www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com 2 2 ' 0 2 0 0 0 0 0 m m P m S m m   ∆ > + >   ⇔ > ⇔ <     > + >   0,25 1 0 2 1 0 1 2 1 0 m m m m m  < − ∨ >    ⇔ < ⇔ − < < −   − < <    Vậy giá trị m thỏa đề bài là 1 1 2 m − < < − . 0,25 Phương trình đã cho tương đương với 2sin cos3 1 2cos3 sin x x x x + = + 0,25 (2sin 1)(cos3 1) 0 x x ⇔ − − = 0,25 • 2 1 6 sin 2 5 2 6 x k x x k π π π π  = +  = ⇔   = +   ( ) k ∈  0,25 2 (1,0 điểm) • 2 cos3 1 3 2 3 k x x k x π π = ⇔ = ⇔ = ( ) k ∈  Vậy nghiệm của phương trình đã cho là 5 2 2 , 2 , 6 6 3 k x k x k x π π π π π = + = + = ( ) k ∈  0,25 Xét hệ phương trình: 2 2 1 1 2 1 1 2 x y x y x y  + = − +   + = − +   (1) Điều kiện: ; 1 x y ≥ . Khi đó: 2 2 ( 1) 1 (1) ( 1) 1 x y y x  − = −  ⇔  − = −   . 0,25 Đặt ( ) 1 , 0 1 x u u v y v  − =  ≥  − =   ta được hệ: 4 4 (2) (3) u v v u  =   =   0,25 Lấy (2) – (3) ta được: 4 4 3 2 2 3 ( )( 1) 0 u v v u u v u u v uv v u v − = − ⇔ − + + + + = ⇔ = Suy ra: 1 1 x y x y − = − ⇔ = 0,25 3 (1,0 điểm) Thay vào (1) ta được phương trình 2 1 1 ( 1) 1 2 2 x y x x x y   = = − = − ⇔ ⇒   = =   Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (1;1);(2;2) 0,25 Đặt 3 2 3 2 3 2 2 2 2 t t dt t x x dx − = + ⇒ = ⇒ = 0,25 Đổi cận: 1 1; 3 2 2 x t x t = − ⇒ = = ⇒ = 0,25 4 (1,0 điểm) 3 2 2 2 4 1 1 2 3 . 3 2 2 ( 2 ) 4 t t I dt t t dt t − = = − ∫ ∫ 0,25 www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com 2 5 2 1 3 12 4 5 5 t t   = − =     0,25 Do   0 ( ) ,( ) 30 BC AB BC SAB SC SAB CSB BC SA  ⊥   ⇒ ⊥ ⇒ = =    ⊥  0,25 Xét ba tam giác vuông ABC , SBC , SAB ta lần lượt tính được: 3 BC a = , 0 .cot30 3. 3 3 SB BC a a = = = , 2 2 SA a = Suy ra: 3 1 1 1 6 . . . . . . . 3.2 2 3 6 6 3 MCD a V S SA CD BC SA a a a= = = = . 0,25 Trong ( ) ABCD , kẻ AK CM ⊥ . Suy ra ( ) ( ) ( ) CM SAK SAK SCM ⊥ ⇒ ⊥ Trong ( ) SAK , kẻ ( ) ( ,( )) AH SK AH SCM AH d A SCM ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = 0,25 5 (1,0 điểm) Xét tam giác vuông BMC ta tính được 57 4 a MC = 171 2 34 4 . . 3 57 51 57 4 a AM a KMA BMC AK BC a AH a CM a ∆ ∆ ⇒ = = = ⇒ =∼ Vậy 2 34 ( ,( )) 51 d A SCM a = . 0,25 Ta có 2 2 1 1 2 P xy xy xy x y = + + ≥ + 0,25 Đặt t xy = ta có 2 1 0 2 4 x y t xy   + < = ≤ ≤     0,25 Khi đó: 2 2 31 31 33 32 31 2 32.2 16 4 4 4 P t t t t t = + = + − ≥ − = − = 0,25 6 (1,0 điểm) Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2 x y z = = = Vậy 33 min 4 A = . 0,25 www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com Đỉnh ( ) :3 2 0 C d x y ∈ + + = nên ( ) ; 3 2 C c c − − Do M là trung điểm của AB nên ( ) 4 1 4 1 , ( , ) 2 2 2 2 2 c d A DM d C DM c = ⇔ = ⇔ = ± Vì C có hoành độ âm nên ta chọn ( ) 2 2;4 c C= − ⇒ − 0,25 Đỉnh : 2 0 D DM x y ∈ − − = nên ( ) ; 2 D d d − Ta có 4 (4;2) . 0 ( 2)( 2) ( 2)( 6) 0 2 ( 2; 4) d D AD CD d d d d d D   = = ⇔ − + + + − = ⇔ ⇔   = − − −     0,25 Vì ABCD là hình vuông nên điểm D phải thỏa mãn DA DC = nên ta chỉ nhận trường hợp (4;2) D 0,25 27.a (1,0 điểm) Từ AD BC =   ta suy ra ( 4; 2) B − − Vậy ( 4; 2), ( 2;4), (4;2). B C D − − − 0,25 Đường thẳng ∆ có VTCP (2;1; 3) u = −  . Gọi H là hình chiếu của A trên ∆ , suy ra: (1 2 ; 2 ; 1 3 ) H t t t + − + − − và (2 1; 3; 2 5) AH t t t = − + − +  0,25 . 0 2(2 1) ( 3) 3( 3 5) 0 1 AH AH u t t t t ⊥ ∆ ⇔ = ⇔ − + + − − + = ⇔ =   Suy ra: (3; 1; 4) H − − 0,25 Do (1 2 ; 2 ; 1 3 ) (2 1; 3; 3 5) B B t t t AB t t t ∈ ∆ ⇒ + − + − − ⇒ = − + − +  2 2 2 2 0 35 (2 1) ( 3) (3 5) 35 2 0 2 t AB t t t t t t  = = ⇔ − + + + − = ⇔ − = ⇔  =  0,25 8.a (1,0 điểm) 2 5 6 0 ( 1;3;5) ( ): 1 3 5 x y z t AB AB − + + = ⇒ = − ⇒ = = −  . 2 5 6 2 (3;5; 1) ( ): 3 5 1 x y z t AB AB − + + = ⇒ = − ⇒ = = −  . 0,25 Gọi số tự nhiên cần lập là 1 2 3 3 x a a a a = (a 1 khác 0 ) { } 0;1;2;3;4;5 i a ∈ ( ) 1;2;3;4 i = 0,25 Trường hợp 1: Trong x có chữ số 0 Có ba cách xếp chữ số 0 ; ba cách xếp chữ số 2; hai cách xếp chữ số 4 và 2 3 A cách xếp ba chữ số 1;3;5 Suy ra có 2 3 3.3.2. 54 A = số 0,25 9.a (1,0 điểm) Trường hợp 2: Trong x không có chữ số 0 0,25 www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com Có bốn cách xếp chữ số 2; ba cách xếp chữ số 4 và 2 3 A cách xếp ba chữ số 1;3;5 Suy ra có 2 3 4.3. 72 A = số Vậy có tất cả 54 72 126 + = số 0,25 Gọi E là điểm đối xứng của D qua đường thẳng ∆ và I DE = ∆ ∩ Suy ra E AB ∈ và I là trung điểm của DE Phương trình : 5 0 DE x y − + = (1;6) (5;10) I E ⇒ ⇒ 0,25 Vì ( ;7 ) A A a a ∈ ∆ ⇒ − . Tam giác ADE cân tại A nên 2 2 5 ( 5) ( 3) 64 3 2 a DE AE a a a  = = ⇔ − + + = ⇔  = −  Đỉnh A có hoành độ dương nên ta chọn 5 a = (5;2) A ⇒ 0,25 Đường thẳng AB đi qua (5;2) A và (5;10) E nên : 5 (5; ) AB x B b = ⇒ 0,25 7.b (1,0 điểm) Ta có 8 (5;8) 48 . 48 8. 2 48 4 (5; 4) ABCD b B S AB AD b b B   = = ⇔ = ⇔ − = ⇔ ⇔   = − −   Vì , B D nằm hai phía so với A nên ta chọn (5;8) B Vậy (5;8) B . 0,25 Đường thẳng ∆ đi qua điểm (1; 1;2) M − và có VTCP (2; 3; 1) u = − −  0,25 Ta có: (3;4;0) MA =  và ( ) , 4;3; 17 MA u   = − −     Suy ra: , 16 9 289 314 4396 ( , ) 14 4 9 1 14 MA u d A u   + +   ∆ = = = = + +    0,25 Đường thẳng ∆ có VTCP (2; 3; 1) u = − −  . Gọi H là hình chiếu của A trên ∆ , suy ra: (1 2 ; 1 3 ;2 ) H t t t + − − − và (2 3; 3 4; ) AH t t t = − − − −  3 . 0 2(2 3) 3( 3 4) 0 7 AH AH u t t t t ⊥ ∆ ⇔ = ⇔ − − − − + = ⇔ = −   0,25 8.b (1,0 điểm) ( ) 3 27 19 3 1 4 3 2 ; ; 27;19;3 ( ): 7 7 7 7 7 27 19 3 x y z t AH AH   − − − = − ⇒ = − = − ⇒ = =   −    Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là 4 3 2 27 19 3 x y z − − − = = − . 0,25 www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com TXĐ: 2, 2 D   = −   0,25 Đạo hàm: 2 2 2 2 '( ) 1 2 2 x x x f x x x − − = − = − − 2 2 2 0 '( ) 0 2 1 2 x f x x x x x x  ≥  = ⇔ − = ⇔ ⇔ =  − =   0,25 Ta có: ( 2) 2, (1) 2, ( 2) 2 f f f− = − = = 0,25 9.b (1,0 điểm) Vậy: { } ( ) 2,1, 2 2 x D Max f x Max ∈ = − = và { } ( ) 2,1, 2 2 x D Min f x Min ∈ = − = − . 0,25 Hết www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com . đại tại 2, 6 CÑ x y = ± = − Giới hạn: lim lim x x y y →−∞ →+∞ = = −∞ 0,25 − Bảng biến thiên: x −∞ 2 − 0 2 +∞ ' y + 0 − 0 + 0 − y 6 6 −∞ . được: 3 BC a = , 0 .cot30 3. 3 3 SB BC a a = = = , 2 2 SA a = Suy ra: 3 1 1 1 6 . . . . . . . 3.2 2 3 6 6 3 MCD a V S SA CD BC SA a a a= = = = . 0,25 Trong ( ) ABCD , kẻ AK CM ⊥ . Suy. 31 31 33 32 31 2 32.2 16 4 4 4 P t t t t t = + = + − ≥ − = − = 0,25 6 (1,0 điểm) Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2 x y z = = = Vậy 33 min 4 A = . 0,25 www .MATHVN. com www.DeThiThuDaiHoc.com