Đề thi thử đại học môn Toán khối D - THPT Hùng Vương

www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam www.DeThiThuDaiHoc.com S Ở GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BÌNH PHƯỚC TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 3 NĂM 2014 Môn thi: TOÁN – Khối D Thời gian làm bài: 180 phút I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số ( ) 3 3 2 y x x C = − + a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số đã cho; b) Viết phương trình tiếp tuyến của ( ) C biết tiếp tuyến song song với : 9 2 d y x = + . Câu 2 (2,0 điểm). Giải các phương trình, hệ phương trình sau a) sin 2 cos2 2sin 1 0 x x x − + + = b) 2 2 2 3 2 2 ( 1) ( 1) 5 ( , ) 4 7 2 1 2 1 xy x x x y x x y x y x x y x  + + + = +  ∈  + + + = +   ℝ Câu 3 (1,0 điểm). Tính tích phân ( ) 4 1 ln I x x x dx = + ∫ . Câu 4 (1,0 điểm). Cho hình h ộ p . ' ' ' ' ABCD A B C D có đ áy ABCD là m ộ t hình vuông tâm O , c ạ nh AB a = . Góc h ợ p b ở i ' A A và m ặ t ph ẳ ng ( ) ABCD b ằ ng 0 60 . Tính th ể tích kh ố i h ộ p . ' ' ' ' ABCD A B C D và kho ả ng cách gi ữ a ' A A và DC bi ế t r ằ ng ' A O vuông góc v ớ i ( ) ABCD . Câu 5 (1,0 điểm). Tìm m để ph ươ ng trình 6 3 x x mx − + + = có nghi ệ m. II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần ( A hoặc B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu 6.a (1,0 điểm). Trong m ặ t ph ẳ ng v ớ i h ệ t ọ a độ Oxy , cho tam giác ABC có trung tuy ế n : 2 0 AI x y + − = , đườ ng cao : 2 4 0 AH x y − + = và tr ọ ng tâm G thu ộ c tr ụ c hoành. Tìm t ọ a độ c ủ a B và C ; bi ế t ( ) 5; 1 E − thu ộ c đườ ng cao qua C . Câu 7.a (1,0 điểm). Trong không gian v ớ i h ệ t ọ a độ Oxyz , cho hai đ i ể m ( ) ( ) 1;1;2 , 1; 3; 2 A B − − và đườ ng th ẳ ng 1 2 : 1 2 1 x y z d − + = = − − . Tìm đ i ể m I trên d sao cho tam giác IAB cân t ạ i I , vi ế t ph ươ ng trình m ặ t c ầ u đ i qua hai đ i ể m , A B và có tâm thu ộ c đườ ng th ẳ ng d. Câu 8.a (1,0 điểm). Tìm s ố ph ứ c z th ỏ a mãn ( ) 2 3 4 1 5 7 z z z i − − + = + B. Theo chương trình Nâng cao Câu 6.b (1,0 điểm). Trong m ặ t ph ẳ ng Oxy cho tam giác ABC vuông t ạ i A , bi ế t B và C đố i x ứ ng nhau qua g ố c t ọ a độ O . Đườ ng phân giác trong góc B có ph ươ ng trình là ( ) : 2 5 0 d x y + − = . Tìm t ọ a độ các đỉ nh c ủ a tam giác ABC , bi ế t đườ ng th ẳ ng AC đ i qua đ i ể m ( ) 6;2 K . Câu 7.b (1,0 điểm). Trong không gian Oxyz cho m ặ t c ầ u ( ) 2 2 2 : 2 4 6 0 S x y z x y z + + − + − = và đườ ng th ẳ ng 2 1 1 : 1 1 1 x y z − − − ∆ = = − . Tìm t ọ a độ giao đ i ể m c ủ a ∆ và ( ) S , vi ế t ph ươ ng trình m ặ t ph ẳ ng ( ) P ch ứ a đườ ng th ẳ ng ∆ và ti ế p xúc v ớ i m ặ t c ầ u ( ) S . Câu 8.b (1,0 điểm). Cho s ố ph ứ c z th ỏ a ( ) 1 i z z i + + = . Tìm mô đ un c ủ a s ố ph ứ c 1 i z ω = + + . www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam www.DeThiThuDaiHoc.com S Ở GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BÌNH PHƯỚC Trường THPT Hùng Vương ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 3 NĂM 2014 Môn thi: Toán; Khối: A, A 1 , B Đáp án Điểm Câu 1.a. Cho hàm số 3 3 2 y x x = − + Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( ) C hàm số đã cho; Tập xác định D = R . + Giới hạn: lim ; lim x x y y →−∞ →+∞ = −∞ = +∞ + 2 ' 3 3 y x = − ; 1 ' 0 1 x y x =  = ⇔  = −  + Bảng biến thiên x −∞ 1 − 1 +∞ ' y + 0 − 0 + y −∞ 4 0 +∞ Hàm số đồ ng bi ế n trên các kho ả ng ( ; 1) −∞ − và (1; ) +∞ Hàm s ố ngh ị ch bi ế n trên kho ả ng ( 1;1) − ; Hàm s ố đạ t c ự c đạ i t ạ i đ i ể m x = 1 − , y = 4. Hàm s ố đạ t c ự c ti ể u t ạ i đ i ể m đ i ể m 1 x = , y = 0. Đồ th ị hàm s ố đ i qua các đ i ể m đặ c bi ệ t: x 2 − 1 − 0 1 2 y 0 4 2 0 4 14 12 10 8 6 4 2 2 15 10 5 5 10 15 f x ( ) = x 3 3· x + 2 Viết phương trình tiếp tuyến của ( ) C biết tiếp tuyến song song với : 9 2 d y x = + 3 2 3 2 ' 3 3 y x x y x = − + ⇒ = − Gọi ( ) 0 0 ; x y là tọa độ tiếp điểm, ta có ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 4 ' 9 2 0 2 4, 9 9 14 2 0, 9 9 18 x y f x x y x y k y x x y k y x = ⇒ =  = ⇔  = − ⇒ =  = ⇒ = = ⇒ = − = − ⇒ = = ⇒ = + www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam www.DeThiThuDaiHoc.com Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình sin 2 cos2 2sin 1 0 x x x − + + = . • Ph ươ ng trình t ươ ng đươ ng v ớ i: 2 2sin cos 2sin 2sin 0 x x x x + + = ( ) sin 0 2sin sin cos 1 0 sin cos 1 x x x x x x =  ⇔ + + = ⇔  + = −  • sin 0 ; x x k k Z π = ⇔ = ∈ • 2 2 1 4 4 sin cos 1 sin 2 4 2 2 2 4 4 x k x k x x x x k x k π π π π π π π π π π π π  + = − +   = − +    + = − ⇔ + = − ⇔ ⇔        = + + = + +    Kết hợp ta được hai họ nghiệm 2 ; 2 x k k Z x k π π π π  = − +  ∈  = +  . Giải hệ phương trình: 2 2 2 3 2 2 ( 1) ( 1) 5 (1) ( , ) 4 7 2 1 2 1(2) xy x x x y x x y x y x x y x  + + + = +  ∈  + + + = +   ℝ Điều kiện: 1 y ≥ − .Từ phương trình (1) ta có: 2 2 2 2 2 ( 1) ( 1) ( 1) 0 ( 1)( 1) ( 1) 0 ( 1)( 2 1) 0 1; 2 1 0 x xy x x xy x xy x x x x y x x x y x + + − − + = ⇔ + − + − = ⇔ − + − = ⇔ = + − = Với 1 x = thay vào (2) ta được: 4 4 2 1 0 2 1(2 1 1) 0 1 y y y y y + + + = ⇔ + + + = ⇔ = − Ta có nghiệm: ( ; ) (1; 1) x y = − Với 2 2 1 2 2 1 0 x x y x y x − + − = ⇔ = (vì x =0 không thõa mãn) thay vào (2) ta đượ c: 2 3 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 4 7 2 1 2 1 ( 1) 2 0 1 2 ( 1) 0 1 1: 1 0 1 1; 2 : 1 2 1 3; 3 3 x x x x x x x x x x x x x x x TH x x y TH x x x y x y − − −   + + + = + ⇔ − − = ⇔ − − − =     − = ⇔ = ⇒ = − − = ⇔ = − ⇒ = = ⇒ = V ậ y nghi ệ m c ủ a h ệ 1 (1; 1);( 1;3);( ;3) 3 − − Câu 3 (1,0 điểm). Tính tích phân ( ) 4 1 ln I x x x dx = + ∫ . www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam www.DeThiThuDaiHoc.com 3 4 4 2 1 1 3 5 4 2 2 1 4 1 2 4 2 2 2 3 1 ln 4 2 2 62 .31 1 5 5 5 ln ln 2 4 4 1 .ln .ln 1 1 2 2 2 6 32 1 8ln4 3 6 62 32 1 8ln4 5 3 6 I x dx x xdx A x dx x B x xdx du dx u x x dv xdx v x x x B x dx x x I A B = + = = = = = =  =   ⇒   = =      = − = −     = − + = + = + − + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Câu 4 (1,0 điểm). Cho hình hộp . ' ' ' ' ABCD A B C D có đáy ABCD là một hình vuông tâm O , cạnh AB a = . Góc hợp bởi ' A A và mặt phẳng ( ) ABCD bằng 0 60 . Tính thể tích khối hộp . ' ' ' ' ABCD A B C D và khoảng cách giữa ' A A và DC theo a biết rằng ' A O vuông góc với ( ) ABCD . O A' D' C' B' A B D C I H + Góc giữa ' A A và mặt phẳng ( ) ABCD bằng góc  0 ' 60 AA O = +) 2 ABCD S a = +) 2 6 2 ' 2 2 a a AC a AO A O= ⇒ = ⇒ = +) 3 2 . ' ' ' ' 6 6 2 2 ABCD A B C D a a V a= = Gọi I, H lần lượt là hình chiếu của O trên , ' AB A I ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ' , , ' ' , ' ' 2 , ' ' 2. . 4 6 2. 7 d A A DC d DC A ABB d C A ABB d O A ABB HO OI OS a OI OS = = = = = = + www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam www.DeThiThuDaiHoc.com Câu 5. Tìm m để phương trình 6 3 x x mx − + + = có nghiệm Lời giải Điều kiện : 3 6 x − ≤ ≤ Vì 0 x = không phải là nghiệm của phương trình nên (1) tương đương với 6 3x x m x x − + + = Xét hàm số 6 3 ( ) x x f x x x − + = + , 3;6 x   ∈ −     Ta có : ' 2 2 12 6 ( ) 2 6 2 3 x x f x x x x x − + = − − + Với mọi 3; 6 12 0, 6 0 x x x   ∈ − ⇒ − < + >     nên ( ) ' ( ) 0 , 3;6 f x x< ∀ ∈ − Bảng biến thiên x 3 − 0 6 '( ) f x − − ( ) f x 1 − −∞ +∞ 1 2 Từ bảng biến thiên ta có : Phương trình (1) có nghiệm 1 1 2 m m  ≤ −   ⇔  ≥   PHẦN RIÊNG Câu 6.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có trung tuyến : 2 0 AI x y + − = , đường cao : 2 4 0 AH x y − + = và trọng tâm G thuộc trục hoành. Tìm tọa độ của B và C; biết ( ) 5; 1 E − thuộc đường cao qua C. • ( ) ( ) 0;2 , 2;0 A G • ( ) 3; 1 , :2 5 0 I BC x y − + − = • ( ) ( ) ;5 2 6 ;2 7 B BC B t t C t t ∈ ⇒ − ⇒ − − ( ) ( ) ;3 2 , 1 ;2 6 AB t t EC t t − − −   Ta có: ( ) ( ) ( ) . 0 1 3 2 2 6 0 AB EC t t t t = ⇔ − + − − =   2 2 5 19 18 0 9 5 t t t t =   ⇔ − + = ⇔  =  www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam www.DeThiThuDaiHoc.com • V ậy ( ) ( ) 2;1 , 4; 3 B C − hoặc 9 7 21 17 ; , ; 5 5 5 5 B C     −         . Câu 7.a (1,0 điểm). Trong không gian v ớ i h ệ t ọ a độ Oxyz, cho hai đ i ể m ( ) ( ) 1;1;2 , 1;3; 2 A B − − và đườ ng th ẳ ng 1 2 : 1 2 1 x y z d − + = = − − . Tìm đ i ể m I trên d sao cho tam giác IAB cân t ạ i I, vi ế t ph ươ ng trình m ặ t c ầ u đ i qua hai đ i ể m A, B và có tâm thu ộ c đườ ng th ẳ ng d. • ( ) 1 : 2 2 , 1 ; 2 2 ; x t d y t I d I t t t z t = +   = − − ∈ ⇒ + − − −   = −  • ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 5 2 5 4;8;5 IA IB t t t t t t t I= ⇔ + + + + = + + + + − ⇔ = − ⇒ − • M ặ t c ầ u c ầ n vi ế t có tâm ( ) 4;8;5 I − bán kính 2 2 2 5 7 3 83 R IA= = + + = . • V ậ y ph ươ ng trình m ặ t c ầ u ( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 8 5 83 x y z + + − + − = Câu 8.a (1,0 điểm). Tìm s ố ph ứ c z th ỏ a mãn ( ) 2 3 4 1 5 7 z z z i − − + = + . G ọ i z a bi = + , , a b R ∈ ta có ( ) ( ) 2 2 2 2 3 4 1 5 7 0 1 1 1 1 7 7 a bi a bi a b i a a a b a v b b b + − − − + + = +  = =   + − = ⇔ ⇔    = = =    K ế t lu ậ n. , 1 z i z i = = + Câu 6b. Trong m ặ t ph ẳ ng v ớ i h ệ t ọ a độ Oxy cho tam giác ABC vuông t ạ i A , bi ế t B và C đố i x ứ ng nhau qua g ố c t ọ a độ O. Đườ ng phân giác trong góc B c ủ a tam giác ABC là đườ ng th ẳ ng ( ) : 2 5 0 d x y + − = . Tìm t ọ a độ các đỉ nh c ủ a tam giác ABC , bi ế t đườ ng th ẳ ng AC đ i qua đ i ể m ( ) 6;2 K . d J I O A C B K ( ) : 2 5 0 B d x y ∈ + − = nên gọi ( ) 5 2 ; B b b − , vì B, C đối xứng với nhau qua O suy ra (2 5; ) C b b − − . Gọi I đối xứng với O qua phân giác trong góc B là ( ) : 2 5 0 d x y + − = nên (2;4) I và I AB ∈ Tam giác ABC vuông tại A nên ( ) 2 3;4 BI b b = − −  vuông góc với ( ) 11 2 ;2 CK b b = − +  ( )( ) ( )( ) 2 1 2 3 11 2 4 2 0 5 30 25 0 5 b b b b b b b b =  − − + − + = ⇔ − + − = ⇔  =  Với 1 (3;1), ( 3; 1) (3;1) b B C A B = ⇒ − − ⇒ ≡ loại Với 5 ( 5;5), (5; 5) b B C = ⇒ − − 31 17 ; 5 5 A   ⇒     www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam www.DeThiThuDaiHoc.com Vậy 31 17 ; ; ( 5;5); (5; 5) 5 5 A B C   − −     Câu 7.b (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm ( ) ( ) 1;1;2 , 1; 3; 2 A B − − và đường thẳng 1 2 : 1 2 1 x y z d − + = = − − . Tìm điểm I trên d sao cho tam giác IAB cân tại I, viết phương trình mặt cầu đi qua hai điểm A, B và có tâm thuộc đường thẳng d. • ( ) 1 : 2 2 , 1 ; 2 2 ; x t d y t I d I t t t z t   = +    = − − ∈ ⇒ + − − −    = −    • ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 5 2 5 4;8;5 IA IB t t t t t t t I= ⇔ + + + + = + + + + − ⇔ =− ⇒ − • Mặt cầu cần viết có tâm ( ) 4;8;5 I − bán kính 2 2 2 5 7 3 83 R IA = = + + = . • Vậy phương trình mặt cầu ( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 8 5 83 x y z+ + − + − = Câu 8.b (1,0 điểm). Cho số phức z thỏa điều kiện ( ) 1 i z z i + + = . Hãy tìm môđun của số phức 1 i z ω = + + • Gọi ; , z x yi x y R = + ∈ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 i z z i i x yi x yi i x y xi i + + = ⇔ + + + − = ⇔ − + = 1 2 x y =  ⇔  =  . • 1 2 z i = + • 1 1 1 2 2 3 i z i i i ω = + + = + + + = + 13 ω = …….….Hết ………. . qua các đ i ể m đặ c bi ệ t: x 2 − 1 − 0 1 2 y 0 4 2 0 4 14 12 10 8 6 4 2 2 15 10 5 5 10 15 f x ( ) = x 3 3· x + 2 Viết phương trình tiếp tuyến của ( ) C biết tiếp tuyến