ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHÙNG THỊ THU HÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ DÃY SỐ SINH BỞI CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌ[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHÙNG THỊ THU HÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ DÃY SỐ SINH BỞI CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHÙNG THỊ THU HÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ DÃY SỐ SINH BỞI CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU Thái Nguyên - 2016 i Mục lục Mở đầu 1 Một số kiến thức bổ trợ dãy số 1.1 Dãy số, định nghĩa tính chất 1.2 Giới hạn dãy số 1.3 Một vài dãy số đặc biệt 3 Một số phương pháp giải toán xác định dãy số 2.1 Dãy số sinh hàm đa thức 2.2 Dãy số sinh hàm phân thức hữu tỷ 2.3 Dãy số sinh hàm chứa thức 2.4 Dãy số sinh hàm lượng giác siêu việt 10 10 16 22 24 28 28 35 37 42 Các dạng toán khác liên quan đến dãy số 4.1 Một số dạng toán liên quan đến tính chất dãy số 4.2 Một số dạng toán khác 46 46 57 Kết luận 62 Tài liệu tham khảo 63 Một số phương pháp xác định giới hạn dãy số 3.1 Sử dụng tính đơn điệu bị chặn để tính giới hạn 3.2 Sử dụng nguyên lý kẹp để tính giới hạn dãy số 3.3 Sử dụng định lý Lagrange để tính giới hạn dãy số 3.4 Xác định giới hạn dãy tổng dãy số Mở đầu Dãy số phần quan trọng chương trình Tốn phổ thơng ngành đại số giải tích tốn học Dãy số có vị trí đặc biệt quan trọng tốn học, khơng đối tượng để nghiên cứu mà cịn đóng vai trị cơng cụ đắc lực mơ hình rời rạc giải tích lý thuyết phương trình, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn Trong chương trình, sách giáo khoa trung học phổ thơng, nội dung đề cập đến dãy số Vì học sinh gặp nhiều khó khăn việc giải toán liên quan đến dãy số tham gia thi học sinh giỏi cấp Trong kỳ thi học sinh giỏi Toán cấp tỉnh, cấp quốc gia, thi Olympic Toán quốc tế, thi Olympic sinh viên trường đại học cao đẳng, toán dãy số đề cập nhiều thường thuộc loại khó Các tốn ước lượng; xác định dãy số tính giá trị tổng, tích; toán cực trị, xác định giới hạn dãy hay tính chất dãy số thường liên quan đến đặc trưng dãy tương ứng Luận văn Một số dạng toán dãy số sinh hàm số sơ cấp nhằm nêu số phương pháp xác định dãy số, giới hạn dãy số tốn liên quan Luận văn gồm có mở đầu, bốn chương nội dung, kết luận tài liệu tham khảo Chương Một số kiến thức bổ trợ dãy số Chương trình bày kiến thức liên quan đến dãy số Chương Một số phương pháp giải toán xác định dãy số Chương trình bày tốn liên quan đến xác định số hạng tổng quát dãy số sinh hàm sơ cấp hàm đa thức, hàm phân thức hữu tỷ, hàm lượng giác, hàm số mũ hàm số logarit Chương Một số phương pháp xác định giới hạn dãy số Chương trình bày số phương pháp xác định giới hạn dãy số phương pháp sử dụng tính đơn điệu bị chặn, phương pháp sử dụng nguyên lí kẹp, phương pháp sử dụng định lí Lagrange xác định giới hạn dãy tổng Chương Các dạng toán khác liên quan đến dãy số Chương trình bày số tốn liên quan đến tính chất dãy số nguyên, dãy số chứa hàm phần nguyên, hàm phần lẻ Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên với hướng dẫn GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc quan tâm hướng dẫn thầy, tới thầy Ban giám hiệu, Phịng đào tạo Khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học Đồng thời tác giả xin cảm ơn tới Sở Giáo dục đào tạo Yên Bái, Ban giám hiệu thầy cô trường THPT Chuyên Nguyễn Tất Thành tạo điều kiện cho tác giả học tập hoàn thành kế hoạch học tập Thái Nguyên, ngày 25 tháng năm 2016 Học viên Phùng Thị Thu Hà Chương Một số kiến thức bổ trợ dãy số Trong chương này, tơi trình bày khái niệm dãy số gồm số định nghĩa định lý bản, vài dãy số đặc biệt số toán áp dụng 1.1 Dãy số, định nghĩa tính chất Định nghĩa 1.1 Dãy số (thực) hàm số xác định tập tập số tự nhiên Với M ⊂ N, thay cho ký hiệu u:M→R n 7→ u(n) ta thường dùng ký hiệu (un ) hay {un } với n ∈ M Dãy số gọi vô hạn chúng có vơ hạn phần tử Dãy số gọi hữu hạn số phần tử dãy hữu hạn Phần tử ui gọi phần tử thứ i dãy 1.1.1 Dãy số đơn điệu Dãy (un ) gọi đơn điệu tăng un ≤ un+1 , với n = 1, 2, Dãy (un ) gọi đơn điệu giảm un ≥ un+1 , với n = 1, 2, Dãy (un ) gọi tăng thực un < un+1 , với n = 1, 2, Dãy (un ) gọi giảm thực un > un+1 , với n = 1, 2, Dãy đơn điệu tăng dãy đơn điệu giảm gọi chung dãy đơn điệu Nhận xét 1.1 • Nếu dãy (xn ) tăng, dãy (yn ) tăng dãy (xn + yn ) tăng • Nếu dãy (xn ) giảm, dãy (yn ) giảm dãy (xn + yn ) giảm • Nếu dãy (xn ) tăng dãy (−xn ) giảm, dãy (xn ) giảm dãy (−xn ) tăng • Nếu hai dãy số dương (xn ), (yn ) tăng (giảm) dãy (xn yn ) tăng (giảm) • Một dãy số khơng tăng, khơng giảm Ví dụ dãy số (xn ) với xn = (−1)n , ∀n ∈ N 1.1.2 Dãy số bị chặn Dãy (un ) gọi bị chặn tồn số M cho un ≤ M, ∀n ∈ N∗ Dãy (un ) gọi bị chặn tồn số m cho un ≥ m, ∀n ∈ N∗ Dãy (un ) gọi bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn nghĩa tồn số M số m cho m ≤ un ≤ M, ∀n ∈ N∗ 1.1.3 Dãy số Cauchy Định nghĩa 1.2 (xem [5]) Dãy số (un ) gọi dãy Cauchy ∀ε > 0, ∃N0 ∈ N : ∀m, n > N0 , |un − um | < ε Định lý 1.1 (Tiêu chuẩn Cauchy, xem [5]) Dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn dãy Cauchy 1.1.4 Dãy số tuần hoàn Định nghĩa 1.3 (xem [3]) Dãy số (un ) gọi dãy số tuần hồn (cộng tính) tồn số ngun dương l cho un+l = un , ∀n ∈ N (1.1) Số nguyên dương l nhỏ để dãy (un ) thỏa mãn (1.1) gọi chu kỳ sở dãy Dãy số (un ) gọi dãy phản tuần hồn (cộng tính) tồn số nguyên dương l cho un+l = −un , ∀n ∈ N (1.2) Số nguyên dương l nhỏ để dãy (un ) thỏa mãn (1.2) gọi chu kỳ sở dãy Nhận xét 1.2 a) Dãy tuần hoàn chu kỳ dãy dãy b) Dãy phản tuần hoàn chu kỳ l dãy tuần hoàn chu kỳ 2l Tương tự, ta có định nghĩa dãy tuần hồn nhân tính Định nghĩa 1.4 (xem [3]) Dãy số (un ) gọi dãy tuần hồn nhân tính tồn số ngun dương s (s > 1) cho usn = un , ∀n ∈ N (1.3) Số nguyên dương s nhỏ để dãy số (un ) thỏa mãn (1.3) gọi chu kỳ sở dãy Dãy số (un ) gọi dãy phản tuần hồn nhân tính tồn số nguyên dương s (s > 1) cho usn = −un , ∀n ∈ N (1.4) Số nguyên dương s (s > 1) nhỏ để dãy số (un ) thỏa mãn (1.4) gọi chu kỳ sở dãy Nhận xét 1.3 Dãy phản tuần hồn nhân tính chu kỳ s dãy tuần hồn nhân tính chu kỳ s2 1.2 Giới hạn dãy số Định nghĩa 1.5 (xem [5]) Ta nói dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn a n dần tới vô với ε > 0, tồn số tự nhiên N0 (phụ thuộc vào dãy số un ε ) cho với n > N0 ta có |un − a| < ε lim un = a ⇔ ∀ε > 0, ∃N0 ∈ N : ∀n > N0 , |un − a| < ε n→+∞ Ta nói dãy số (un ) dần đến vô n dần đến vô với số thực dương M lớn tùy ý, tồn số tự nhiên N0 (phụ thuộc vào dãy số un M ) cho với n > N0 ta có |un | > M lim un = ∞ ⇔ ∀M > 0, ∃N0 ∈ N : ∀n > N0 , |un | > M n→+∞ Dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn gọi dãy hội tụ Dãy số khơng có giới hạn dần đến vô n dần đến vô gọi dãy phân kỳ Định lý 1.2 (xem [5]) Giả sử tồn lim un = a; lim = b n→+∞ n→+∞ a) lim (un + ) = lim un + lim = a + b n→+∞ n→+∞ n→+∞ b) lim (un − ) = lim un − lim = a − b n→+∞ n→+∞ n→+∞ c) lim (un ) = lim un lim = ab n→+∞ n→+∞ n→+∞ un = n→+∞ d) b 6= lim lim un a = lim b n→+∞ n→+∞ Định lý 1.3 Nếu un ≤ , ∀n ≥ N0 , N0 ∈ N tồn lim un = a; lim = b n→+∞ n→+∞ a ≤ b Định lý 1.4 (Định lý Weierstrass, xem [5]) a) Nếu dãy (un ) đơn điệu tăng bị chặn M tồn giới hạn hữu hạn lim un = a a ≤ M n→+∞ b) Nếu dãy (un ) đơn điệu giảm bị chặn m tồn giới hạn hữu hạn lim un = a a ≥ m n→+∞ Nói ngắn gọn hơn, dãy số đơn điệu bị chặn hội tụ Định lý 1.5 (Nguyên lý kẹp, xem [5]) Nếu ≤ un ≤ wn , ∀n ≥ N0 , N0 ∈ N lim = lim wn = a lim un = a n→+∞ 1.3 n→+∞ n→+∞ Một vài dãy số đặc biệt 1.3.1 Cấp số cộng Định nghĩa 1.6 (xem [5]) Dãy số (un ) gọi cấp số cộng tồn d ∈ R cho ∀n ∈ N, un+1 = un + d u1 gọi số hạng đầu, d gọi công sai cấp số cộng Tính chất 1.1 Dãy số (un ) cấp số cộng với cơng sai d i) un = u1 + (n − 1)d với n = 1, 2, ; uk−1 + uk+1 với k = 2, 3, ; iii) Cho cấp số cộng hữu hạn u1 , u2 , , un−1 , un Ta có ii) uk = u1 + un = u2 + un−1 = u3 + un−2 = Một cách tổng quát: u1 + un = uk + un+1−k với k = 2, 3, , n − iv) Đặt Sn = u1 + u2 + · · · + un−1 + un Ta có Sn = [2u1 + (n − 1)d]n (u1 + un )n = 2 1.3.2 Cấp số nhân Định nghĩa 1.7 (xem [5]) Dãy số (un ) gọi cấp số nhân tồn q ∈ R cho ∀n ∈ N, un+1 = un q u1 gọi số hạng đầu, q gọi công bội cấp số nhân Tính chất 1.2 Dãy số (un ) cấp số nhân với cơng bội q i) un = u1 q n−1 với n = 1, 2, ; ii) u2k = uk−1 uk+1 với k = 2, 3, ; iii) Đặt Sn = u1 + u2 + · · · + un−1 + un Khi q 6= ta có Sn = u1 (q n − 1) q−1 Nhận xét 1.4 Nếu |q| < (un ) gọi cấp số nhân lùi vô hạn Tổng cấp số nhân lùi vơ hạn tính theo cơng thức S = u1 + u2 + u3 + · · · = u1 1−q 1.3.3 Cấp số điều hòa Định nghĩa 1.8 (xem [3]) Dãy số (un ) (un 6= với n ∈ N) thỏa mãn điều kiện un = gọi cấp số điều hòa 2un−1 un+1 , ∀n ∈ N∗ un−1 + un+1 √ = f ′ (c) |xn − x0 | ≤ ( − 1).|xn − x0 | √ Suy |xn − x0 | ≤ ( − 1)n−1 |x1 − x0 |, ∀n > √ Do lim ( − 1)n−1 = nên lim xn = n→+∞ n→+∞ 3π Bài toán 3.14 Xét phương trình (trong n số ngun dương) 1 1 + + ··· + + ··· + = x − 4x − k x−1 n x−1 (3.14) a) Chứng minh với số nguyên dương n, phương trình nêu có nghiệm lớn 1, kí hiệu nghiệm xn b) Chứng minh dãy số (xn ) có giới hạn n → +∞ 41 Bài giải Viết lại phương trình toán dạng: 1 1 + + ··· + + ··· + = − + x − 4x − k x−1 n x−1 Với n = 1, 2, 3, ta xét hàm số: 1 1 fn (x) = − + + + ··· + + ··· + x − 4x − k x−1 n x−1 a) Dễ thấy, với n ∈ N∗ , hàm số fn (x) liên tục nghịch biến khoảng (1; +∞) Hơn ta có lim fn (x) = +∞, lim fn (x) = − < + x→+∞ x→1 Từ suy với n = 1, 2, phương trình fn (x) = có nghiệm xn ∈ (1; +∞) b) Với n ∈ N∗ , ta có: fn (4) = − + =− + =− + =− + 1 1 + + · · · + + · · · + 22 − − (2k)2 − (2n)2 − 1 1 + + ··· + (2 − 1)(2 + 1) (4 − 1)(4 + 1) (2n − 1)(2n + 1) h i 1 1 − − + ··· + 2−1 2+1 2n − 2n + 1 −1 < = fn (x) 1− = 2n + 2(2n + 1) Từ đó, fn (x) = nghịch biến (1; +∞) nên suy xn < 4, ∀n ∈ N∗ Mặt khác, với n = 1, 2, , hàm fn (x) có đạo hàm đoạn [xn ; 4] nên theo định lý Lagrange, suy với n ∈ N∗ tồn tn ∈ (xn ; 4) cho ′ fn (4) − fn (xn ) n2 1 − − · · · − − 2(2n + 1)(4 − xn ) 2(2n + 1) 2(2n + 1) 9 < xn < 4, ∀n ∈ N∗ mà lim − n→+∞ 2(2n + 1) 2(2n + 1) lim 4, nên sử dụng nguyên lý kẹp ta lim xn = Từ (3.16) có − n→+∞ n→+∞ (3.16) = = 42 3.4 Xác định giới hạn dãy tổng Bài toán 3.15 Cho dãy số (un ) xác định bởi: u1 = 10 Đặt = un+1 = u2 − 5un + 9, ∀n ∈ N∗ n n P (3.17) , ∀n ∈ N∗ Tìm lim n→+∞ u − k=1 k Bài giải Từ (3.17), ta có un+1 − = (un − 2)(un − 3) 1 = − ⇔ un+1 − un − un − 1 ⇔ = − , ∀n ∈ N∗ un − un − un+1 − Do = n X k=1 n X 1 = − uk − uk − uk+1 − k=1 = 1 − , ∀n ∈ N∗ u1 − un+1 − Mặt khác un+1 − un = (un − 3)2 > 0, ∀n ∈ N∗ nên dãy (un ) dãy tăng Nếu dãy (un ) bị chặn dãy (un ) có giới hạn a Từ (3.17), chuyển qua giới hạn ta có a = a2 − 5a + ⇔ a2 − 6a + = ⇔ a = Điều vơ lý u1 = 10 dãy (un ) dãy tăng Do lim un = +∞ n→+∞ Vậy, 1 lim = lim − n→+∞ u1 − un+1 − Bài toán 3.16 Cho dãy số (xn ) xác định bởi: x1 = p xn+1 = Đặt un = = 1 = u1 − xn (xn + 3)(x2n + 3xn + 2) + 1, ∀n ∈ N∗ n P Tìm lim un n→+∞ i=1 xi + Bài giải Từ giả thiết suy xn > 0, ∀n ∈ N∗ (3.18) 43 Ta có xn+1 = = p xn (xn + 3)(x2n + 3xn + 2) + q (x2n + 3xn + 1) = x2n + 3xn + Xét xn+1 − xn = x2n + 3xn + − xn = (xn + 1)2 > 0, ∀n ∈ N∗ nên dãy (xn ) dãy tăng Nếu dãy (xn ) bị chặn dãy (xn ) có giới hạn hữu hạn a Từ xn+1 = x2n +3xn +1 suy a = a2 + 3a + suy a = −1 (vơ lí) Do lim xn = +∞ n→+∞ Từ xn+1 = x2n + 3xn + suy xn+1 + = x2n + 3xn + = (xn + 1)(xn + 2) 1 1 = − xn+1 + (xn + 1)(xn + 2) xn + xn + 1 ⇒ = − xn + xn + xn+1 + ⇒ ⇒ un = Suy = n X i=1 n X 1 = − xi + xi + xi + i=1 lim un = lim n→+∞ n→+∞ Đặt = n P k=1 uk = 1 − x1 + xn+1 + 1 − x1 + xn+1 + Bài toán 3.17 Cho dãy số (un ) xác định bởi: u1 = 2017 un+1 = = u4n + 20162 , ∀n ∈ N∗ u3n − un + 4032 , ∀n ∈ N∗ Tìm lim n→+∞ + 2016 Bài giải Từ (3.19), ta có un+1 − 2016 = (un − 2016)(u3n + 2016) u4n + 20162 − 2016 = u3n − un + 4032 un (u2n − 1) + 2016 Từ quy nạp ta chứng minh un > 2016, ∀n ∈ N∗ Ta có un+1 − 2016 = Suy (un − 2016)(u3n + 2016) (u3n + 2016) − (un − 2016) 1 = − un+1 − 2016 un − 2016 un + 2016 (3.19) 44 hay u3n Do = n X k=1 1 = − + 2016 un − 2016 un+1 − 2016 n X 1 − = uk − 2016 uk+1 − 2016 uk + 2016 k=1 1 − =1− = u1 − 2016 un+1 − 2016 un+1 − 2016 Mặt khác un+1 − un = u4n − 4032un + 20162 (un − 2016)2 = > 0, ∀n ∈ N∗ u3n − un + 4032 u3n − un + 4032 nên dãy (un ) dãy tăng Nếu dãy (un ) bị chặn dãy (un ) có giới hạn a a4 + 20162 ⇔ a = 2016 Điều vô a3 − a + 4032 lý u1 = 2017 dãy (un ) dãy tăng Do lim un = +∞ Từ (3.19), chuyển qua giới hạn ta có a = n→+∞ Vậy, lim = lim n→+∞ n→+∞ 1− un+1 − 2016 = Bài toán 3.18 Cho dãy số (un ) xác định bởi: u1 = u n+1 = u2016 n + un , ∀n ∈ N∗ 2016 (3.20) u2015 u2015 u2015 u2015 + + + · · · + n Tìm lim Đặt = n→+∞ u2 u3 u4 un+1 Bài giải Từ giả thiết suy un > 0, ∀n ∈ N∗ Ta có un+1 − un = u2016 n > 0, ∀n ∈ N∗ 2016 nên dãy (un ) dãy tăng Nếu dãy (un ) bị chặn dãy (un ) có giới hạn a a2016 + a ⇔ a = Điều vơ lý 2016 u1 = dãy (un ) dãy tăng Do lim un = +∞ Từ (3.20), chuyển qua giới hạn ta có a = n→+∞ Từ un+1 − un = u2016 n 2016 > 0, ta có 1 u2016 n − = un un+1 2016un un+1 45 Suy 2016 Khi = n X u2015 uk+1 = 2016 1 u1 n→+∞ 1 − un+1 Vậy, lim = lim 2016 − n→+∞ un − un+1 = u2015 n un+1 1 1 = 2016 − + − + ··· + u u2 u2 u3 un+1 k k=1 1 un+1 = 2016 − = 2016 un+1 46 Chương Các dạng toán khác liên quan đến dãy số 4.1 Một số dạng tốn liên quan đến tính chất dãy số Trong phần này, ta xét số dạng toán chứng minh tính chất dãy số dãy số nguyên, dãy số tuần hồn Bài tốn 4.1 Cho dãy số (un ) xác định bởi: u0 = 1, u1 = Chứng minh rằng: (4.1) un+2 = 4un+1 − un , ∀n ∈ N a) un − số phương với n lẻ b) un − số phương với n chẵn Nhận xét 4.1 Đây dạng toán phương trình sai phân tuyến tính cấp hai, song ta xét phương pháp chứng minh không sử dụng đến tính chất sai phân Để chứng minh dãy số (bn ) thỏa mãn bn số phương với số nguyên dương n ta thường sử dụng số hướng sau: • Hướng 1: Ta tồn dãy số nguyên (cn ) thỏa mãn bn = c2n , ∀n ∈ N∗ Dãy số (cn ) thường dự đoán cách tính số giá trị đầu c1 , c2 , tìm quy luật dãy (cn ) 47 • Hướng 2: Ta chứng minh bn bn+2 số phương với số nguyên dương n, sau chứng minh quy nạp • Hướng 3: Dựa vào công thức truy hồi ta tính bn = c2n Bài giải a) Cách Ta dự đoán dãy số (cn ) cho u2n+1 − = c2n , ta có u1 = 2, u3 = 26, u5 = 362, u7 = 5042 suy c0 = 1, c1 = 5, c2 = 19, c3 = 71 Khi ta thử thiết lập quan hệ truy hồi dãy (cn ) theo dãy tuyến tính cấp hai Giả sử cn+2 = acn+1 + bcn từ c0 = 1, c1 = 5, c2 = 19, c3 = 71, ta 5a + b = 19 a = 19a + 5b = 71 Do ta dự đốn dãy số (cn ) Ta chứng minh quy nạp ⇔ b = −1 c0 = 1, c1 = cn+2 = 4cn+1 − cn , n = 0, 1, u2n+1 − = c2n , n = 0, 1, (4.2) Thật (4.2) với n = Giả sử (4.2) đến n, ta chứng minh (4.2) đến n + Ta có u2n+3 − = 4u2n+2 − u2n+1 − = 4(4u2n+1 − u2n ) − u2n+1 − = 16u2n+1 − 4u2n − u2n+1 − = 15u2n+1 − (u2n+1 + u2n−1 ) − = 14u2n+1 − u2n−1 − = 14(c2n + 1) − c2n−1 − − hay u2n+3 − = 12c2n − c2n−1 − 12 (4.3) 48 Theo hệ thức dãy tuyến tính cấp hai ta cn+1 cn−1 − c2n = −6 ⇒ (4cn − cn−1 )cn−1 − c2n = −6 ⇒ c2n + c2n−1 − 4cn cn−1 − = Ta có c2n+1 = (4cn − cn−1 )2 = 16c2n − 8cn cn−1 + c2n−1 = 16c2n − c2n + c2n−1 − + c2n−1 hay c2n+1 = 14c2n − c2n−1 − 12 (4.4) Từ (4.3) (4.4) suy u2n+3 − = c2n+1 Do ta chứng minh (4.2) đến n + suy (4.2) Vậy un − số phương với n lẻ Cách Ta có un+2 un − u2n+1 = 3, ∀n ≥ Từ hệ thức ta (un+2 −1)(un −1) = un+2 un −un+2 −un +1 = u2n+1 +3−4un+1 +1 = (un+1 − 2)2 (4.5) Từ hệ thức (4.5), phương pháp quy nạp suy un − số phương với số nguyên dương n lẻ b) Ta chứng minh theo hướng sau: u2n+1 − 4un+1 + un+1 − 2 un+2 un − un+2 − un + un+2 − un − = = = 6 36 36 u −1 số phương Từ đẳng thức này, phương pháp quy nạp suy n Bài toán 4.2 (TST Việt Nam 2012) Cho dãy số (un ) xác định sau: u1 = 1, u2 = 2011 (4.6) un+2 = 4022un+1 − un , n = 1, 2, Chứng minh u2012 + số phương 2012 Bài giải Ta giải toán tổng quát sau: Cho p số nguyên dương lẻ dãy số (un ) xác định sau: u1 = 1, u2 = p un+2 = 2pun+1 − un , n = 1, 2, 49 Chứng minh u2n + số phương với số nguyên dương n p+1 Cách Ta chứng minh theo hướng Ta tính vài giá trị u4 + u6 + u2 + = 1, = (2p − 1)2 , = (4p2 − 2p + 1)2 , p+1 p+1 p+1 Ta dự đoán u2n + = x2n , (xn ) dãy số xác định sau: p+1 x1 = 1, x2 = 2p − 1, · · · , xn+2 = 2pxn+1 − xn , n = 1, 2, Ta chứng minh kết phương pháp quy nạp Ta có xn+2 xn − x2n+1 = (−1)n−1 (x3 x1 − x22 )2 = 2p − ⇒ xn+2 xn = x2n+1 + 2p − ⇒ (2pxn+1 − xn )xn = x2n+1 + 2p − ⇒ x2n+1 + x2n + 2p − = 2pxn xn+1 Suy x2n+2 = (2pxn+1 − xn )2 =4p2 x2n+1 − 4pxn+1 xn + x2n =4p2 x2n+1 − x2n+1 + x2n + 2p − + x2n = 4p2 − x2n+1 − x2n − 4p + Do u2n+2 + u2n + − 4p + p+1 p+1 4p2 − u2n+2 − u2n + = p+1 u2n+4 + = p+1 4p2 − Suy − u2n+4 + = x2n+2 p+1 Cách Ta chứng minh theo hướng Trước hết ta có hệ thức sau un+2 un − u2n+1 = (−1)n−1 u3 u1 − u22 = 2p2 − − p2 = p2 − ⇒ un+2 un = u2n+1 + p2 − 50 Ta có = = = un + un+2 + p+1 p+1 un+2 un + un+2 + un + (p + 1)2 u2n+1 + p2 − + 2pun+1 + (p + 1)2 u2n+1 + p p+1 2 Từ đẳng thức này, phương pháp quy nạp ta với số nguyên dương n u2n + số phương p+1 Bài tốn 4.3 (China South East Mathematical 2011) Cho dãy số (un ) xác định sau u1 = u2 = un+1 = 7un − un−1 , n = 2, 3, Chứng minh với số nguyên dương n ta có un + un+1 + số phương Bài giải Tính vài giá trị ta được: u1 + u2 + = 22 , u2 + u3 + = 32 , u3 + u4 + = 72 , u4 + u5 + = 182 Từ ta dự đoán un + un+1 + = x2n , dãy số (xn ) xác định sau: x1 = 2, x2 = 3, xn+1 = 3xn − xn−1 , n = 2, 3, Ta chứng minh dự đoán phương pháp quy nạp Ta có xn+1 xn−1 − x2n = ⇒ (3xn − xn−1 )xn−1 − x2n = ⇒ 3xn xn−1 = x2n−1 + x2n + = xn−1 + xn + xn + xn+1 + = xn+1 + 2xn + xn−1 + Theo công thức truy hồi dãy (xn ) ta được: x2n+1 = (3xn − xn−1 )2 = 9x2n + x2n−1 − 6xn xn−1 = 9(un + un+1 + 2) + un−1 + un + − 2(un+1 + 2un + un−1 + 9) = 7un+1 − un + 7un − un−1 + = un+2 + un+1 + Do x2n+1 = un+1 + un+2 + hay toán chứng minh 51 Bài toán 4.4 (Balkan MO 2002) Cho dãy số (un ) xác định sau: u1 = 20, u2 = 30 un+2 = 3un+1 − un , n = 1, 2, Tìm tất số nguyên dương n cho + 5un un+1 số phương Bài giải Dễ thấy dãy (un ) dãy số tăng, suy với n ≥ ta có un + un+1 ≥ u4 + u5 > u3 + u4 = 250 (4.7) +) n ∈ {1, 2} không thỏa mãn + n = + 5u3 u4 = 2512 suy n = thỏa mãn +) n ≥ 4, theo tính chất dãy tuyến tính cấp hai ta có: un+2 un = u2n+1 + (−1)n−1 (u3 u1 − u22 ) = u2n+1 + 500 ⇒ (3un+1 − un )un = u2n+1 + 500 ⇒ 3un+1 un = u2n+1 + u2n + 500 ⇒ 5un+1 un + = (un+1 + un )2 + 501 Giả sử + 5un un+1 số phương, + 5un un+1 = a2 , a ∈ N∗ Khi ta có (un+1 + un )2 + 501 = a2 ⇔ (a − un+1 − un )(a + un+1 + un ) = 501 = 1.501 = 3.167 Ta xét trường hợp sau: Trường hợp 1: a + un + un+1 = 501 a − un − un+1 = Trường hợp 2: a + un + un+1 = 167 a − un − un+1 = ⇔ a = 251 ⇔ a = 85 (mâu thuẫn với (4.7)) un + un+1 = 250 (mâu thuẫn với (4.7)) un + un+1 = 82 Do với n ≥ + 5un un+1 khơng phải số phương Vậy n = số nguyên dương thỏa mãn yêu cầu toán Bài toán 4.5 Cho dãy số (un ) xác định bởi: u1 = p un+1 = 3un + 8u2n + 1, n ∈ N∗