Luận văn thạc sĩ kỳ vọng số nghiệm thực của đa thức ngãu nhiên hướng tiếp cận hình học

BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM VÀ ĐÀO TẠO KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VN HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ Nguyễn Thị Hương Giang KÌ VỌNG SỐ NGHIỆM THỰC CỦA ĐA THỨC NGẪU NHIÊN: HƯỚNG TIẾP CẬN HÌNH HỌC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VN HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ Nguyễn Thị Hương Giang KÌ VỌNG SỐ NGHIỆM THỰC CỦA ĐA THỨC NGẪU NHIÊN: HƯỚNG TIẾP CẬN HÌNH HỌC Chun ngành : Tốn ứng dụng Mã số: 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : TS Phạm Việt Hùng Hà Nội – 2022 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn tìm tịi, học hỏi thân hướng dẫn tận tình thầy Phạm Việt Hùng Mọi kết nghiên cứu ý tưởng tác giả khác, có trích dẫn cụ thể Đề tài luận văn chưa bảo vệ hội đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ chưa cơng bố phương tiện Tôi xin chịu trách nhiệm lời cam đoan Hà Nội, tháng năm 2022 Học viên Nguyễn Thị Hương Giang ii LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tơi xin bày tỏ cảm kích đặc biệt tới TS Phạm Việt Hùng - người định hướng, trực tiếp hướng dẫn kể từ tơi cịn sinh viên, tham gia Chương trình hướng dẫn Nghiên cứu Khoa học cho sinh viên suốt thời gian thực luận văn thạc sĩ Tôi biết ơn thầy thầy kiên nhẫn chỉnh sửa cho lỗi sai nhỏ cho nhiều lời khuyên, nhận xét quý báu, giúp luận văn tơi hồn thiện thời hạn Trong suốt thời gian học tập với thầy, không kiến thức tơi tốn rộng mở, củng cố mà tơi cịn rèn luyện thêm nhiều đức tính q báu tính cẩn thận, chu việc Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo, cán Viện Tốn học dạy bảo, hỗ trợ tơi tận tình suốt hai năm học thạc sĩ Viện Tốn học Tơi, Nguyễn Thị Hương Giang - mã số VINIF.2020.ThS.04 xin chân thành cảm ơn Quỹ Đổi sáng tạo Vingroup hỗ trợ tài giúp tơi hồn thành hai năm học thạc sĩ Sự giúp đỡ Quỹ VINIF nguồn động viên to lớn vật chất lẫn tinh thần, giúp yên tâm dành tồn thời gian cho việc học nghiên cứu Tơi xin trân trọng cảm ơn Viện Tốn học Học viện Khoa học Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam tạo điều kiện thuận lợi cho môi trường học tập suốt thời gian học thạc sĩ trình thực Luận văn Đặc biệt, tơi xin cảm ơn gia đình, người thân, thầy PGS.TS Lê Văn Thành (Đại học Vinh) họ hàng, bạn bè sát cánh, động viên, giúp đỡ khích lệ tơi suốt thời gian học tập nghiên cứu iii Danh mục hình vẽ, đồ thị Hình 1.1: Hình ảnh minh họa cho tốn Buffon mặt phẳng Hình 1.2: Hình ảnh minh họa mật độ số nghiệm thực ρn (x) cho mơ hình đa thức Kac với trường hợp n = 50, n = 100 19 Hình 2.1: Ví dụ đa tạp chiều .37 Hình 2.2: Hình minh họa miền nêm siêu vi 44 Hình 2.3: Phép chuyển tọa độ m 46 iv Danh sách kí hiệu Kí hiệu a, v(x) Tên gọi || · || Chuẩn vector NR (Pn ) Số nghiệm thực đa thức ngẫu nhiên Pn Tích vơ hướng hai vector a v(x) E[NR (Pn )] Kì vọng số nghiệm thực đa thức ngẫu nhiên Pn E[NI (Pn )] Kì vọng số nghiệm thực đa thức ngẫu nhiên Pn tập I ρn (t) Hàm mật độ số nghiệm thực đa thức ngẫu nhiên bậc n ρSM,n (t) Hàm mật độ số nghiệm thực đa thức Schehr - Majumdar Cni Số tổ hợp chập i n v Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Danh mục hình vẽ, đồ thị iii Danh sách kí hiệu iv Mục lục vi Mở đầu 1 Ý nghĩa hình học cơng thức Kac - Rice 1.1 Bài tốn Buffon liên quan tới đa thức ngẫu nhiên 1.1.1 Bài toán Buffon 1.1.2 Bài toán Buffon mặt cầu 1.1.3 Mối liên hệ toán Buffon mặt cầu đa thức ngẫu nhiên 1.1.4 Hàm số ngẫu nhiên với hệ số biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn 1.2 Công thức Kac-Rice 10 1.3 Mơ hình đa thức Kac 14 1.4 Mơ hình Elliptic 19 1.5 Mơ hình Weyl 21 1.6 Mơ hình Schehr - Majumdar 21 1.6.1 Giới thiệu 22 1.6.2 Trường hợp α = 23 1.6.3 Trường hợp < α < 24 vi 1.6.4 Trường hợp α = 25 1.6.5 Trường hợp α > 26 1.7 Chuỗi lũy thừa ngẫu nhiên 31 1.7.1 Chuỗi lũy thừa với hệ số tương quan 34 1.7.2 Chuỗi Dirichlet ngẫu nhiên 35 Mở rộng nhiều chiều 36 2.1 Trường hợp đa tạp tổng quát 36 2.1.1 Đa tạp 36 2.1.2 Đa thức ma trận 39 2.2 Hệ phương trình ngẫu nhiên 40 2.2.1 Số nghiệm thực hệ phương trình ngẫu nhiên 40 2.2.2 Ví dụ hệ phương trình ngẫu nhiên 42 2.3 Phân phối 43 2.3.1 Đa thức ngẫu nhiên với hệ số biến ngẫu nhiên có phân phối 43 2.3.2 Đa thức ngẫu nhiên với hệ số biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn kì vọng khác 45 2.3.3 Ví dụ đa thức ngẫu nhiên với hệ số biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn kì vọng khác khơng 47 Kết luận kiến nghị 52 Tài liệu tham khảo 52 MỞ ĐẦU Nghiên cứu số nghiệm thực đa thức ngẫu nhiên đề tài thu hút nhiều ý với nhiều ứng dụng lĩnh vực giải tích số, tài chính, lý thuyết trị chơi, vật lý (ví dụ động lực hỗn loạn lượng tử), sinh vật học (ví dụ sinh thái học lí thuyết), thống kê Cứ mơ hình khác lại liên quan đến nguồn gốc ứng dụng thực tế khác Ta kể đến mơ hình cổ điển Kac, elliptic, Weyl, lượng giác, Bernstein, trực giao Chẳng hạn, nghiên cứu kì vọng số nghiệm thực đa thức Weyl có ứng dụng lượng tử học [1] Các báo nghiên cứu đa thức ngẫu nhiên xuất từ năm 1900 Hiện nay, đề tài thu hút nhiều quan tâm nhóm nghiên cứu mạnh giới, ví dụ Mĩ có nhóm giáo sư Vũ Hà Văn Oanh Nguyễn - Hội Nguyễn - Yên Đỗ, hay nhóm Pritsker - Lubinski, Pháp có nhóm Angt - Poly, Azais - Dalmao - Leon - Armentano, Scher - Majumdar, Đức có nhóm Kablucko - Flasche Ở Việt Nam, có nhóm nghiên cứu gồm TS Phạm Việt Hùng, TS Cấn Văn Hảo kết hợp với PGS TS Dương Mạnh Hồng (Đại học Birmingham) Trong đa thức ngẫu nhiên thực, chẳng hạn đa thức ngẫu nhiên thực bậc n, có xác n nghiệm mặt phẳng phức, kì vọng số nghiệm đường thẳng thực biến ngẫu nhiên Để tính kì vọng số nghiệm thực này, người ta thường sử dụng công thức Kac-Rice đưa từ năm 1950 Năm 1995, Alan Edelman Eric Kostlan chứng minh lại cơng thức từ góc nhìn hình học đưa ý nghĩa hình học công thức Đây công thức quan trọng Lý thuyết nghiên cứu Quá trình ngẫu nhiên có nhiều ứng dụng thực tiễn Trong báo [2] năm 2009 tạp chí Journal of Statistical Physics, tác giả Grégory Schehr Satya N Majumdar giới thiệu mơ hình đa thức ngẫu nhiên có chứa tham số họ có dự đốn khác xấp xỉ kì vọng số nghiệm thực lớp đa thức tùy thuộc vào giá trị tham số; từ họ so sánh kết dự đốn với mơ hình cổ điển khác mơ hình Kac, Weyl Trong luận văn này, chúng tơi nghiên cứu ý nghĩa hình học cơng thức Kac-Rice kì vọng số nghiệm thực đa thức ngẫu nhiên thực từ khái quát cho trường hợp đa tạp tổng qt Ngồi ra, chúng tơi tìm hiểu lớp đa thức ngẫu nhiên đề xuất Grégory Schehr Satya N Majumdar [2] Cụ thể, luận văn gồm chương sau: Chương trình bày tốn Buffon mặt phẳng mặt cầu, từ đưa mối liên hệ độ dài đường cong chiếu mặt cầu kì vọng số nghiệm thực đa thức ngẫu nhiên Chương trình bày cơng thức Kac- Rice để tính kì vọng số nghiệm thực đa thức ngẫu nhiên chứng minh công thức từ góc nhìn hình học Sau chúng tơi trình bày lại số ví dụ đa thức ngẫu nhiên có sử dụng cơng thức Kac - Rice để tính kì vọng số nghiệm thực từ số báo [3], [4] Cuối cùng, chúng tơi trình bày lại mơ hình đa thức ngẫu nhiên đề xuất Grégory Schehr Satya N Majumdar [3] kì vọng số nghiệm thực chuỗi lũy thừa ngẫu nhiên Chương mở rộng kết kì vọng số nghiệm thực đa thức ngẫu nhiên cho trường hợp nhiều chiều Cụ thể, luận văn tìm hiểu kì vọng số nghiệm thực đa thức ma trận ngẫu nhiên, hệ phương trình ngẫu nhiên phương trình ngẫu nhiên có hệ số biến ngẫu nhiên có phân phối 12   ′  ′  Bn (x) = cov Pn (x), Pn (x) = E Pn (x)Pn (x) = = n X n X iεi εj xi+j E(ai aj ) i,j=0 iε2i x2i−1 i=0       Ta xét đường cong v(x) =       Ta có E(a) =  x x2 xn    aε  0        a1 ε         vector a =  a ε    2              an εn ε20 E(a20 ) ε0 ε1 E(a0 a1 )    ε0 ε1 E(a0 a1 ) ε21 E(a21 )  T C = E(aa ) =     ε0 εn E(a0 an ) ε1 εn E(a1 an )   ε0     ε2    =        0 εn n o ω(x) 1/2 Đặt ω(x) = C v(x) w(x) = ||ω(x)|| , x ∈ I  ε0 εn E(a0 an )  ε1 εn E(a1 an )      2 εn E(an ) Rb ′ Theo chứng minh mục 1.1.4 ta có E[N(a,b) (Pn )] = π1 a ||w (x)||dx   ∂ ′ log v T (y)Cv(z) ||w (x)||2 = ∂y∂z y=z=x  ′   2 ′ ′ [ω(x) · ω(x)] ω (x) · ω (x) − ω(x) · ω (x) = [ω(x) · ω(x)]2 Ta có ω T (x) · ω(x) = v T (x)Cv(x) 13     ε0       i  ε2   x  h    = x xn              0 εn xn = n X ε2i x2i = Mn (x), i=0 ω ′ (x) · ω ′ (x) = v ′ (x)Cv ′ (x)  ε2  0   ε21 i h  = 2x nxn−1   0 ε2     0          i h    = ε21 2ε22 x nε2n xn−1  2x           n−1 nx = n X        0      2x  0            n−1 εn nx i2 ε2i x2i−2 = An (x), i=0   ε0  i0  ω(x) · ω ′ (x) = v T (x)Cv(x) = x xn     h          ε21             n−1 εn nx 14   h = ε20 xε21 Do E[N(a,b) (Pn )] = π Z b a     n i  X  n  iε2i x2i−1 = Bn (x) x εn   =    i=0    n−1 nx ||w (x)||dx = π ′ Z b a p An (x)Mn (x) − Bn2 (x) dx Mn (x) Hệ 1.8 Hàm mật độ số nghiệm thực đa thức ngẫu nhiên p An (x)Mn (x) − Bn2 (x) ρn (x) = π Mn (x) 1.3 Mơ hình đa thức Kac Như đề cập trước, đa thức Kac xác định PKac,n (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn , (1.3) với biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối chuẩn tắc Trong mục này, chúng tơi tìm hiểu kĩ số nghiệm thực cho mơ hình Mệnh đề 1.9 Kì vọng số nghiệm thực đa thức Kac E[N(−∞,∞) (PKac,n )] = = π π Z ∞ −∞ s Z 1s (n + 1)2 x2n − dx (1 − x2 )2 (x2n+2 − 1)2 (n + 1)2 x2n − dx (1 − x2 )2 (x2n+2 − 1)2 Chứng minh Ta sử dụng công thức Kac-Rice để tính kì vọng số nghiệm thực đa thức ngẫu nhiên mơ hình Kac Trong trường hợp này, εi = 1(i = 0, , n) 15 n X Đầu tiên, ta thấy i x = x n i=0 n X an−i i=0 Do kì vọng số nghiệm xi thực PKac,n (x) khoảng (−1, 1) kì vọng số nghiệm thực PKac,n (x) ngồi khoảng (−1, 1) Ngồi ra, phân phối −ai , (i = 0, 1, 2, , n) giống nên E[N(−1,0) (PKac,n )] = E[N(0,1) (PKac,n )] Do E[N(−∞,∞) (PKac,n )] = 2E[N(−1,1) (PKac,n )] = 4E[N(0,1) (PKac,n )] Áp dụng định lý chứng minh mục 1.1.4 ta có Mn (x) = n X n X 2i x , An (x) = i=0 Ta có: n X i=0 Suy n X d x2i i=0 n X ix 2i−1 i=0 Tức ix n X , Bn (x) = i=0 Mn (x) = hay 2(i−1) Bn (x) = ! ix2i−1 i=0 − x2n+2 x = − x2 2i  − x2n+2 =d − x2 d = dx   − x2n+2 − x2 ,  x − x2n − nx2n + nx2n+2 (x2 − 1)2
Tương tự ta có d x n X ix2i−1 i=0 Suy i2 n X x2(i−1) = i=0 Do An (x) = ! d 2x dx x = 2i2 ! x2i−1 dx i=0 d 2x dx x 1−x n X x n X ! ix2i−1 i=0 2n − nx 2n + nx (x2 − 1)2 2n+2
! 16 x2n+2 − x2 − + x2n (nx2 − n − 1)2 = (x2 − 1)3 Thay kết Mn (x), Bn (x), An (x) vừa tính vào cơng thức Kac-Rice ta kì vọng số nghiệm thực Pn (x) R E[NR (PKac,n )] Z p An (x)Mn (x) − Bn2 (x) = dx π Mn (x) r 2  2n+2 2n (nx2 −n−1)2 x(1−x2n −nx2n +nx2n+2 ) 1−x2n+2 Z x −x −1+x · 1−x2 − (x2 −1)3 (x2 −1) = dx 1−x2n+2 π 1−x q Z 2n+2 − 1)2 − (n + 1)2 x2n (x2 − 1)2 (x dx = π (x2 − 1) (x2n+2 − 1) Z 1s (n + 1)2 x2n − dx = π (x2 − 1)2 (x2n+2 − 1)2 Z 1s (n + 1)2 x2n = − dx π (x2 − 1)2 (x2n+2 − 1)2 Từ cơng thức trên, ta có cơng thức xấp xỉ cho mơ hình Kac sau, xem [4] Định lý 1.10 Kì vọng số nghiệm thực đa thức (1.3) E[N(−∞,∞) (PKac,n )] ∼ log n π Chứng minh Ta có E[N(−∞,∞) (PKac,n )] = 4E[N(0,1) (PKac,n )] (1.4) Bây ta tính E[N(0,1) (PKac,n )] Đầu tiên ta xem xét khoảng (0, − ϵ), với ϵn = ϵ = n−a a số dương nhỏ Do với n đủ lớn, xn < (1 − ϵ)n = (1 − n−a )n = exp(−n1−a ) 17 Nếu ta chọn a = − log log n10 / log n với n đủ lớn exp(−n1−a ) = n−10 , xn ≤ n−10 Khi An (x), Mn (x), Bn (x) có kết sau
 x2n+2 − x2 − + x2n (nx2 − n − 1)2 + x2  −16 An (x) = + o n , = (x2 − 1)3 (1 − x2 )3
  x − x2n − nx2n + nx2n+2 x −20 Bn (x) = = + o(n ) , (x2 − 1)2 (1 − x2 )2   − x2n+2 −18 = + o(n ) Mn (x) = − x2 − x2 Suy p An (x)Mn (x) − Bn2 (x) = Mn (x) q 1+x2 (1−x2 ) [1 + o (n−16 )] − x2 (1−x2 ) [1 + o(n−20 )] 1−x2 [1 + o(n−18 )]   −16 + o(n ) , = − x2 Z  1−ϵ dx  −16 + o(n ) E[N(0,1−ϵ) (PKac,n )] = π − x2     a −a = log n + log(2 − n ) + o(n−16 ) 2π π log n, (1.5) ∼ 2π a → n → ∞ Tiếp theo ta số nghiệm thực (1.3) khoảng (1 − ϵ, 1) khơng đáng kể, hay nói cách khác với ϵ chọn đủ để làm cho E[N(1−ϵ,1) (PKac,n )] nhỏ Sử dụng kết chứng minh Mệnh đề 1.9 ta có s p An (x)Mn (x) − Bn (x) (n + 1)2 x2n = − Mn (x) (1 − x2 )2 (1 − x2n+2 )2 18 Bây ta p r An (x)Mn (x) − Bn2 (x) 2n + < Mn (x) 1−x Vì 2n+2 1−x 1−x2 = n X i=0 Do (1.6) x2i ≤ n ( x < 1) nên (n + 1)xn (1 − x2 ) ≥ xn 2n+2 1−x v u n u X 2i u s x p u 2n t i=0 An (x)Mn (x) − Bn (x) 1−x ≤ = Mn (x) (1 − x2 )2 − x2 r r n+1 n+1 ≤ ≤ − x2 1−x r 2n + < 1−x Sử dụng cơng thức Kac-Rice từ (1.6) ta có Z (2n + 1)1/2 dx E[N(1−ϵ,1) (PKac,n )] < 1/2 π 1−ϵ (1 − x)  √ (2n + 1)1/2  1/2 = ϵ − = o( nϵ)   π 10 log /2 log n = o (log n)1/2 =o n (1.7) Từ (1.4), (1.5) (1.7) ta có kì vọng số nghiệm thực đa thức Kac E[N(−∞,∞) (PKac,n )] ∼ logn π Nhận xét: Ta biết thêm số tính chất sau mơ hình Kac: Đa số nghiệm tập trung quanh ±1, xem hình minh họa 1.2 - Trong [8], Wilkins đưa công thức tiệm cận đầy đủ cho kì vọng số nghiệm thực đa thức Kac ∞ X Ap , E[N(−∞,∞) (PKac,n )] ∼ log n + p π n p=0 (1.8) 19 Hình 1.2: Hình ảnh minh họa mật độ số nghiệm thực ρn (x) cho mơ hình đa thức Kac với trường hợp n = 50, n = 100 Nguồn: [9] với Ap , p = 0, cho  Z A0 = log + (1 − t2 csch2 t)1/2 t−1 dt π Z ∞h i 1/2 −1 t dt, − − (1 − t csch t) 1 A2 = − 3π A4 = − 180π Z ∞h Z ∞h 2 (1 − t csch t) 2 − 12(1 − t csch t) −1/2 −1/2 i − tdt, 2 + 5(1 − t csch t) A1 = A3 = A5 = 1.4 Mơ hình Elliptic Mệnh đề 1.11 Xét đa thức ngẫu thức ngẫu nhiên có dạng sau PE,n (x) = a0 ε0 + a1 ε1 x + · · · + an εn xn , −3/2 i t3 dt, 20 với aiq biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối chuẩn tắc,
n εi = i , i = 0, , n Kì vọng số nghiệm thực đa thức PE,n (x) E[NR (PE,n )] = Chứng minh Vì εi = q
n i √ n , nên ma trận covariance C = diag[ v T (x)Cv(y) = n   X n k=0 Ta có k xk y k = (1 + xy)n ∂ ny log (1 + xy)n = ∂x + xy ∂ ny n ∂ log (1 + xy)n = = ∂x∂y ∂y + xy (1 + xy)2 Do hàm mật độ nghiệm !1/2  ∂ ρE,n (t) = log v T (x)Cv(y)