Tiểu luận Lý thuyết nhóm: Nhóm điểm đối xứng C4v

Tiểu luận Lý thuyết nhóm: Nhóm điểm đối xứng C4v

Tiểu luận lý thuyết nhóm NHÓM ĐIỂM ĐỐI XỨNG C 4v 1. Các yếu tố đối xứng Nhóm C 4v gồm các yếu tố E, C 4 , C 2 , C 4 -1 của nhóm C 4 và các phép phản xạ gương v σ , v σ ′ , v σ ′′ v σ ′′′ qua bốn mặt phản xạ gương chứa trục quay cũng ký hiệu là v σ , v σ ′ , v σ ′′ , v σ ′′′ trong đó v σ ′ trực giao với v σ và thu được từ v σ sau khi thực hiện phép quay 4 C , v σ ′′′ trực giao với v σ ′′ và thu được từ v σ ′ sau khi thực hiện phép quay 4 C , v σ ′′ và v σ ′′′ là hai mặt phân giác của hai góc vuông của hai mặt phẳng v σ và v σ ′ (Hình 1). Hình 1 HVTH: Trần Thị Phường 1 v σ ′ x v σ ′′ v σ ′′′ o y v σ o Tiểu luận lý thuyết nhóm 2. Các phép đối xứng Nhóm v C 4 là một phép các nhóm đối xứng của một hình trụ thẳng đứng đáy là một hình vuông. Hình 1 ta vẽ mặt đáy của một hình trụ đó và các giao tuyến của các mặt phẳng gương v σ , v σ ′ , v σ ′′ , v σ ′′′ với mặt phẳng đáy. Ta chọn trục Oz trùng với trục quay 4 C , mặt phẳng tọa độ xOy là mặt phẳng đáy của hình trụ, chọn v σ đi qua trục Ox và v σ ′ đi qua Oy . Như vậy các yếu tố đối xứng là trục quay C 4 và bốn mặt phẳng gương chứa trục quay v σ , v σ ′ , v σ ′′ , v σ ′′′ . Hình 2 Biểu diễn 3 chiều của nhóm: Chọn trục quay trùng với trục Oz  Trong phép quay 4 C : 4 C :      =→ −=→ =→ zzz xyy yxx ' ' ' nên           ' ' ' z y x =           − 100 001 010           z y x (1) HVTH: Trần Thị Phường 2 x y z o v σ ′′ v σ ′′′ v σ ′ v σ Tiểu luận lý thuyết nhóm ⇒ Ma trận biến đổi của phép quay 4 C là: ( ) [ ] 4 3 CD =           − 100 001 010  Trong phép quay 2 4 C = 2 C : 2 4 C = 2 C :      =→ −=→ −=→ zzz yyy xxx ' ' ' nên           ' ' ' z y x =           − − 100 010 001           z y x (2) ⇒ Ma trận biến đổi của phép quay 2 C là: ( ) [ ] 2 3 CD =           − − 100 010 001  Trong phép quay 3 4 C = 1 4 C − : 3 4 C = 1 4 C − :      =→ =→ −=→ zzz xyy yxx ' ' ' nên           ' ' ' z y x =           − 100 001 010           z y x (3) ⇒ Ma trận biến đổi của phép quay 3 4 C = 1 4 C − là: ( ) [ ] 1 4 3 − CD =           − 100 001 010  Trong phép quay 4 4 C : 4 4 C :      =→ =→ =→ zzz yyy xxx ' ' ' nên           ' ' ' z y x =           100 010 001           z y x (4) ⇒ Ma trận biến đổi của phép quay 4 4 C =E là: HVTH: Trần Thị Phường 3 Tiểu luận lý thuyết nhóm ( ) [ ] 4 4 3 CD =           100 010 001  Phép phản xạ gương v σ : v σ :      =→ −=→ =→ zzz yyy xxx ' ' ' nên           ' ' ' z y x =           − 100 010 001           z y x (5) ⇒ Ma trận biến đổi của phép phản xạ gương v σ là: ( ) [ ] v D σ 3 =           − 100 010 001  Các phép phản xạ gương v σ ′ : v σ ′ :      =→ =→ −=→ zzz yyy xxx ' ' ' nên           ' ' ' z y x =           − 100 010 001           z y x (6) ⇒ Ma trận biến đổi của phép phản xạ gương v σ ′ là: ( ) [ ] v D σ ′ 3 =           − 100 010 001  Phép phản xạ gương v σ ′′ : v σ ′′ :      =→ =→ =→ zzz xyy yxx ' ' ' nên           ' ' ' z y x =           100 001 010           z y x (7) ⇒ Ma trận biến đổi của phép phản xạ gương v σ ′′ là: ( ) [ ] v D σ ′′ 3 =           100 001 010  Phép phản xạ gương v σ ′′′ : HVTH: Trần Thị Phường 4 Tiểu luận lý thuyết nhóm ′′′ v σ :      =→ −=→ −=→ zzz xyy yxx ' ' ' nên           ' ' ' z y x =           − − 100 001 010           z y x (8) ⇒ Ma trận biến đổi của phép phản xạ gương ′′′ v σ là: ( ) [ ] v D σ ′′′ 3 =           − − 100 001 010 Trong đó mặt phẳng gương v σ là mặt phẳng xOz và v σ ′ là mặt phẳng yOz còn v σ ′′ và v σ ′′′ là hai mặt phẳng phân giác trực giao với nhau (Hình 2). 3. Bảng nhân nhóm Sử dụng quy tắc nhân ma trận với các ma trận biến đổi trên từ (1), (2), (3), (4), (5), (6), (7) và (8) ta có: EE = 2 C 2 C = v σ v σ = v σ ′ v σ ′ = v σ ′′ v σ ′′ = v σ ′′′ v σ ′′′ = E (9) E 4 C = 4 C E = 2 C 1 4 C − = 1 4 C − 2 C = v σ v σ ′′ = v σ ′ v σ ′′′ = v σ ′′ v σ ′ = v σ ′′′ v σ = 4 C (10) E 2 C = 4 C 4 C = 1 4 C − 1 4 C − = 2 C E = v σ v σ ′ = v σ ′ v σ = v σ ′′ v σ ′′′ = v σ ′′′ v σ ′′ = 2 C (11) E 1 4 C − = 4 C 2 C = 2 C 4 C = 1 4 C − E= v σ v σ ′′′ = v σ ′ v σ ′′ = v σ ′′ v σ = v σ ′′′ v σ ′ = 1 4 C − (12) E v σ = v σ E = 4 C v σ ′′ = 2 C v σ ′ = 1 4 C − v σ ′′′ = v σ ′ 2 C = v σ ′′ 1 4 C − = v σ ′′′ 4 C = v σ (13) E v σ ′ = 4 C v σ ′′′ = 2 C v σ = 1 4 C − v σ ′′ = v σ 2 C = v σ ′ E = v σ ′′ 4 C = v σ ′′′ 1 4 C − = v σ ′ (14) E v σ ′′ = 4 C v σ ′ = 2 C v σ ′′′ = 1 4 C − v σ = v σ 4 C = v σ ′ 1 4 C − = v σ ′′ E = v σ ′′′ 2 C = v σ ′′ (15) E v σ ′′′ = 4 C v σ = 2 C v σ ′′ = 1 4 C − v σ ′ = v σ 1 4 C − = v σ ′ 4 C = v σ ′′ 2 C = v σ ′′′ E = v σ ′′′ (16) Từ các công thức (9), (10), (11), (12), (13), (14), (15) và (16) ta có bảng nhân nhóm C 4v như sau: HVTH: Trần Thị Phường 5 Tiểu luận lý thuyết nhóm Bảng1: Bảng nhân nhóm C 4v E C 4 C 2 C 4 -1 v σ v σ ′ v σ ′′ v σ ′′′ E E C 4 C 2 C 4 -1 v σ v σ ′ v σ ′′ v σ ′′′ C 4 C 4 C 2 C 4 -1 E v σ ′′′ v σ ′′ v σ v σ ′ C 2 C 2 C 4 -1 E C 4 v σ ′ v σ v σ ′′′ v σ ′′ C 4 -1 C 4 -1 E C 4 C 2 v σ ′′ v σ ′′′ v σ ′ v σ v σ v σ v σ ′′ v σ ′ v σ ′′′ E C 2 C 4 C 4 -1 v σ ′ v σ ′ v σ ′′′ v σ v σ ′′ C 2 E C 4 -1 C 4 v σ ′′ v σ ′′ v σ ′ v σ ′′′ v σ C 4 -1 C 4 E C 2 v σ ′′′ v σ ′′′ v σ v σ ′′ v σ ′ C 4 C 4 -1 C 2 E 4. Sự phân lớp Sử dụng các quy tắc nhân nhóm trình bày trong bảng nhân nhóm ở trên ta có thể nghiệm lại rằng nhóm v C 4 có 8 yếu tố đối xứng {E, C 4 , C 2 , 1 4 C − , v σ , v σ ′ , v σ ′ , v σ ′′ và v σ ′′′ } chia thành năm lớp các yếu tố liên hợp như sau: Ta xét từng yếu tố đối xứng và xác định lớp các yếu tố liên hợp với yếu tố đã cho. Nếu a là một yếu tố nào đó của nhóm C 4v thì tất cả các yếu tố gag -1 với mọi yếu tố g của C 4v tạo thành lớp các yếu tố liên hợp với yếu tố a. Nếu a là yếu tố đơn vị E thì tất cả các yếu tố gag -1 đều trùng với E. Vậy chính yếu tố đơn vị E là một lớp. Lấy a là C 4 . Các yếu tố liên hợp với nó là: 4 C 4 C 1 4 C − = 4 C ; 1 4 C − 4 C ( 1 4 C − ) -1 = 4 C ; 2 C 4 C ( 2 C ) -1 = 1 4 C − ( 2 C ) -1 = 4 C v σ 4 C ( v σ ) -1 = v σ ′′ ( v σ ) -1 = v σ ′′ v σ = 1 4 C − tương tự v σ ′ 4 C v σ ′ = v σ ′′′ v σ ′ = 1 4 C − v σ ′′ 4 C v σ ′′ = v σ ′ v σ ′′ = 1 4 C − v σ ′′′ 4 C v σ ′′′ = v σ v σ ′′′ = 1 4 C − HVTH: Trần Thị Phường 6 Tiểu luận lý thuyết nhóm Như vậy, hai yếu tố 4 C và 1 4 C − tạo thành một lớp liên hợp Nếu lấy a là 2 C : 4 C 2 C ( 4 C ) -1 = 1 4 C − ( 4 C ) -1 = 2 C 1 4 C − 2 C ( 1 4 C − ) -1 = 4 C ( 1 4 C − ) -1 = 2 C v σ 2 C ( v σ ) -1 = v σ ′ ( v σ ) -1 = v σ ′ v σ = 2 C tương tự v σ ′ 2 C v σ ′ = v σ v σ ′ = 2 C v σ ′′ 2 C v σ ′′ = v σ ′′′ v σ ′′ = 2 C v σ ′′′ 2 C v σ ′′′ = v σ ′′ v σ ′′′ = 2 C Như vậy, 2 C là một lớp. Nếu chọn a là v σ . Các yếu tố liên hợp với nó là 4 C v σ ( 4 C ) -1 = v σ ′′′ 1 4 C − = v σ ′ 1 4 C − v σ ( 1 4 C − ) -1 = v σ ′′ ( 1 4 C − ) -1 = v σ ′ v σ v σ ( v σ ) -1 = E( v σ ) -1 = v σ v σ ′ v σ v σ ′ = 2 C v σ ′ = v σ v σ ′′ v σ v σ ′′ = 1 4 C − v σ ′′ = v σ ′ v σ ′′′ v σ v σ ′′′ = 4 C v σ ′′′ = v σ ′ Như vậy, hai yếu tố v σ và v σ ′ tạo thành một lớp liên hợp. Nếu chọn a là v σ . Các yếu tố liên hợp với nó là 4 C v σ ′′ ( 4 C ) -1 = v σ ( 1 4 C − ) -1 = v σ ′′ 1 4 C − v σ ′′ ( 1 4 C − ) -1 = v σ ′ ( 1 4 C − ) -1 = v σ ′′′ v σ v σ ′′ ( v σ ) -1 = 4 C ( v σ ) -1 = v σ ′′′ v σ ′ v σ ′′ v σ ′ = 1 4 C − v σ ′ = v σ ′′′ v σ ′′ v σ ′′ v σ ′′ =E v σ ′′ = v σ ′′ v σ ′′′ v σ ′′ v σ ′′′ = 2 C v σ ′′′ = v σ ′′ HVTH: Trần Thị Phường 7 Tiểu luận lý thuyết nhóm Như vậy, hai yếu tố v σ ′′ và v σ ′′′ tạo thành một lớp liên hợp. Vậy có năm lớp các yếu tố liên hợp là: C 1 = {E}, C 2 = {C 4 , C 4 -1 }, C 3 = {C 2 }, C 4 = { v σ , v σ ′ } và C 5 ={ v σ ′′ , v σ ′′′ } Nhóm v C 4 với thí dụ là phân tử IF 5 . 5. Bảng đặc biểu Trong biểu diễn hai chiều ta tìm được: ( ) [ ] E 2 χ = 2; ( ) [ ] 2 2 C χ = -2 ( ) [ ] 3 2 C χ = ( ) [ ] 4 2 C χ = ( ) [ ] 5 2 C χ = 0 Khi đó bảng đặc biểu của nhóm C 4v thể hiện trên bảng 2. Bảng 2 C 4v C 1 = {E} C 2 = {C 2 } C 3 ={C 4 ,C 4 -1 } C 4 ={ v σ , v σ ′ } C 5 ={ v σ ′′ , v σ ′′′ } A 1 1 1 1 1 1 A 2 1 a 1 b 1 c 1 d 1 A 3 1 a 2 b 2 c 2 d 2 A 4 1 a 3 b 3 c 3 d 3 A 5 2 -2 0 0 0 Ta có hệ thức chuẩn hóa của đặc biểu ( ) ( ) ( ) ( ) αβ βα δχχ hnCC iii i = ∑ * ( ) ( ) ( ) ( ) ii A i i A nCC * 21 χχ ∑ = 1 + a 1 +2 b 1 + 2c 1 + 2d 1 = 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ii A i i A nCC * 22 χχ ∑ = 1 + 2 1 a + 2 2 1 b +2 2 1 c +2 2 1 d = 8 ⇒ a 1 = b 1 =1; c 1 = d 1 = -1 Khi đó bảng đặc biểu của nhóm C 4v viết lại trên bảng 3. HVTH: Trần Thị Phường 8 Tiểu luận lý thuyết nhóm Bảng 3 C 4v C 1 = {E} C 2 = {C 2 } C 3 ={C 4 ,C 4 -1 } C 4 ={ v σ , v σ ′ } C 5 ={ v σ ′′ , v σ ′′′ } A 1 1 1 1 1 1 A 2 1 1 1 -1 -1 A 3 1 a 2 b 2 c 2 d 2 A 4 1 a 3 b 3 c 3 d 3 A 5 2 -2 0 0 0 Tương tự ( ) ( ) ( ) ( ) ii A i i A nCC * 31 χχ ∑ = 1 + a 2 +2 b 2 + 2c 2 + 2d 2 = 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ii A i i A nCC * 32 χχ ∑ = 1 + a 2 +2 b 2 - 2c 2 - 2d 2 = 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ii A i i A nCC * 33 χχ ∑ = 1 + 2 2 a + 2 2 2 b +2 2 2 c +2 2 2 d = 8 ⇒ a 2 = c 2 =1; b 2 = d 2 = -1 Khi đó bảng đặc biểu của nhóm C 4v viết lại trên bảng 4. Bảng 4 C 4v C 1 = {E} C 2 = {C 2 } C 3 ={C 4 ,C 4 -1 } C 4 ={ v σ , v σ ′ } C 5 ={ v σ ′′ , v σ ′′′ } A 1 1 1 1 1 1 A 2 1 1 1 -1 -1 A 3 1 1 -1 1 -1 A 4 1 a 3 b 3 c 3 d 3 A 5 2 -2 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ii A i i A nCC * 41 χχ ∑ = 1 + a 3 + 2b 3 + 2c 3 + 2d 3 = 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ii A i i A nCC * 42 χχ ∑ = 1 + a 3 + 2b 3 - 2c 3 -2d 3 = 0 HVTH: Trần Thị Phường 9 Tiểu luận lý thuyết nhóm ( ) ( ) ( ) ( ) ii A i i A nCC * 43 χχ ∑ = 1 + a 3 - 2 b 3 + 2c 3 - 2d 3 = 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ii A i i A nCC * 44 χχ ∑ = 1 + 2 3 a + 2 2 3 b +2 2 3 c +2 2 3 d = 8 ⇒ a 3 = d 3 =1; b 3 = c 3 =-1. Khi đó bảng đặc biểu của nhóm C 4v viết lại trên bảng 5. Bảng 5 C 4v C 1 = {E} C 2 = {C 2 } C 3 ={C 4 ,C 4 -1 } C 4 ={ v σ , v σ ′ } C 5 ={ v σ ′′ , v σ ′′′ } A 1 1 1 1 1 1 A 2 1 1 1 -1 -1 A 3 1 1 -1 1 -1 A 4 1 1 -1 -1 1 A 5 2 -2 0 0 0 Ta viết lại bảng đặc biểu của nhóm C 4v hoàn chỉnh như sau Bảng 6: Bảng đặc biểu của nhóm C 4v Biểu diễn C 1 = {E} C 2 = {C 2 } C 3 = {C 4 ,C 4 -1 } C 4 = { v σ , v σ ′ } C 5 = { v σ ′′ , v σ ′′′ } Hàm cơ bản (A 1 ) 1 1 1 1 1 z; z 2 ; x 2 +y 2 (A 2 ) 1 1 1 -1 -1 R z (B 1 ) 1 1 -1 1 -1 x 2 - y 2 (B 2 ) 1 1 -1 -1 1 xy (E) 2 -2 0 0 0 (x,y); (xz,yz) 6. Biểu diễn hạ cảm vh CO 4 ↓ Từ bảng đặc biểu của nhóm O h (Bảng 7) ta thấy rằng nhóm O h có 10 lớp {E, 3C 4 2 , 6 4 C , 6 2 C , 8C 3 , I, 3IC 4 2 , 6I 4 C , 6I 2 C , 8IC 3 } Vậy khi hạ cảm các lớp của nhóm O h và nhóm C 4v sẽ tương ứng như sau: HVTH: Trần Thị Phường 10 [...].. .Tiểu luận lý thuyết nhóm Bảng 7 E C4v 3C42 6 C4 ↓ Oh ↓ C2 ↓ C4 E 8C3 6 C2 I 3IC42 6I C4 ↓ σv 6I C2 8IC3 ↓ σ v′′ Mặc dù T là biểu diễn tối giản của G, biểu diễn hạ cảm Oh ↓ C 4v , nói chung là biểu diễn khả quy Do đó, bài toán đặt ra là tìm biểu thức khai triễn biểu diễn hạ cảm Oh ↓ C 4v thành tổng trực tiếp của các biểu diễn tối giản của nhóm C4v Số lần biểu diễn tối giản T ( α ) chứa trong T của nhóm. .. q q q q Bảng 8 Bảng đặc biểu của nhóm Oh được viết tương ứng vơi C4v Oh A1g A2g Eg T1g T2g A1u A2u Eu T1u T2u HVTH: Trần Thị Phường E (E 3C42 3C2 1 1 2 3 3 1 1 2 3 3 1 1 2 -1 -1 1 1 2 -1 -1 11 6 C4 3IC42 6I C2 6 C4 1 -1 0 1 -1 1 -1 0 1 -1 3σv 1 1 2 -1 -1 -1 -1 -2 1 1 ′ 6 σv′ ) 1 -1 0 -1 1 -1 1 0 1 -1 Tiểu luận lý thuyết nhóm Ta viết lại bảng đặc biểu của C4v Bảng 9 C4v C1={E} C2={C2} ′ ′ ′ C3={C4,C41}... 1.1.1 + 2.(-1).1 + 2.1.1 + 2.(-1).1] = 0 8 m4 = 1 [1.1.1 + 1.1.1 + 2.(-1).1+ 2.(-1).1 + 2.1.1] = 0 8 m5 = 1 [1.2.1.+ 1(-2).1 + 2.0.1.+ 2.0.1.+ 2.0.1] = 0 8 Vậy A1g = A1 HVTH: Trần Thị Phường 12 Tiểu luận lý thuyết nhóm  A2g = m1A1 + m2A2 + m3A3 + m4A4 + m5A5 Với: m1 = 1 [1.1.1 + 1.1.1 + 2.1.(-1) + 2.1.1 + 2.1.(-1)] = 0 8 m2 = 1 [1.1.1 + 1.1.1 + 2.1.(-1) + 2.(-1).1 + 2.(-1).(-1)] = 0 8 m3 = 1 [1.1.1 +... 2.1.(-1) + 2.1.(-1) + 2.1.1] = 0 8 m2 = 1 [1.1.1 + 1.1.1 + 2.1.(-1) + 2.(-1).(-1) + 2.(-1).1] = 0 8 m3 = 1 [1.1.1 + 1.1.1 + 2.(-1).(-1) + 2.1.(-1) + 2.(-1).1] = 0 8 HVTH: Trần Thị Phường 13 Tiểu luận lý thuyết nhóm m4 = 1 [1.1.1 + 1.1.1 + 2.(-1).(-1)+ 2.(-1).(-1) + 2.1.1] = 1 8 m5 = 1 [1.2.1.+ 1(-2).1] = 0 8 Vậy A2u = A4  Eg = m1A1 + m2A2 + m3A3 + m4A4 + m5A5 Với: m1 = 1 [1.1.2 + 1.1.2 + 2.1.0 + 2.1.2... = 1 8 1 m5 = [1.2.2.+ 1(-2).2] = 0 8 m1 = Vậy Eu = A2 + A4  T1g = m1A1 + m2A2 + m3A3 + m4A4 + m5A5 Với: m1 = 1 [1.1.3 + 1.1.(-1)+ 2.1.1 + 2.1.(-1) + 2.1.(-1)] = 0 8 HVTH: Trần Thị Phường 14 Tiểu luận lý thuyết nhóm 1 [1.1.3 + 1.1.(-1) + 2.1.1 + 2.(-1).(-1) + 2.(-1).(-1)] = 1 8 1 m3 = [1.1.3 + 1.1.(-1) + 2.(-1).1 + 2.1.(-1) + 2.(-1).(-1)] = 0 8 1 m4 = [1.1.3 + 1.1.(-1) + 2.(-1).1+ 2.(-1).(-1) + 2.1.(-1)]... = 0 8 1 m4 = [1.1.3 + 1.1.(-1) + 2.(-1).1+ 2.(-1).1 + 2.1.1] = 0 8 1 m5 = [1.2.3.+ 1(-2).(-1)] = 1 8 m1 = Vậy T1u = A4 + A5  T2u = m1A1 + m2A2 + m3A3 + m4A4 + m5A5 HVTH: Trần Thị Phường 15 Tiểu luận lý thuyết nhóm Với: m1 = m2 = m3 = m4 = m5 = 1 [1.1.3 + 1.1.(-1)+ 2.1.(-1) + 2.1.1 + 2.1.(-1)] = 0 8 1 [1.1.3 + 1.1.(-1) + 2.1.(-1) + 2.(-1).1 + 2.(-1).(-1)] = 0 8 1 [1.1.3 + 1.1.(-1) + 2.(-1).(-1) + 2.1.1... A3 ⊗ A3 1 1 1 1 1 A3 ⊗ A4 1 1 1 -1 -1 A4 ⊗ A4 A4 ⊗ A5 A5 ⊗ A5 1 2 4 1 -2 4 1 0 0 1 0 0 1 0 0 A1 ⊗ A2 = m1A1 + m2A2 + m3A3 + m4A4 + m5A5 mi đựơc tính từ công thức:  HVTH: Trần Thị Phường 16 Tiểu luận lý thuyết nhóm mi = * 1 (A ⊗A ) χ ( Ai ) ( a ) χ j k ( a ) khi đó: ∑ N a m1 = 1 [1.1.1 + 1.1.1 + 2.1.1 + 2.1.(-1) + 2.1.(-1)] = 0 8 m2 = 1 [1.1.1 + 1.1.1 + 2.1.1 + 2.(-1).(-1) + 2.(-1).(-1)] = 1 8 m3 =... m2A2 + m3A3 + m4A4 + m5A5 m2 = m3 = m4 = m5 = 0; m1 = 1 Vậy A4 ⊗ A4 = A1  A4 ⊗ A5 = m1A1 + m2A2 + m3A3 + m4A4 + m5A5 m2 = m3 = m4 = m1 = 0; m5 = 1 Vậy A4 ⊗ A5 = A5 HVTH: Trần Thị Phường 17 Tiểu luận lý thuyết nhóm A5 ⊗ A5 = m1A1 + m2A2 + m3A3 + m4A4 + m5A5 m2 = m3 = m4 = m1 = 1; m5 = 0 Vậy A5 ⊗ A5 = A1 + A2 +A3 + A4 Tóm lại biểu diễn tích trực tiếp thể hiện trên bảng 12 Bảng 12  A1 ⊗ A2 = A2 A1 ⊗ . Tiểu luận lý thuyết nhóm NHÓM ĐIỂM ĐỐI XỨNG C 4v 1. Các yếu tố đối xứng Nhóm C 4v gồm các yếu tố E, C 4 , C 2 , C 4 -1 của nhóm C 4 và các phép phản xạ gương. 1 HVTH: Trần Thị Phường 1 v σ ′ x v σ ′′ v σ ′′′ o y v σ o Tiểu luận lý thuyết nhóm 2. Các phép đối xứng Nhóm v C 4 là một phép các nhóm đối xứng của một hình trụ thẳng đứng đáy là một hình vuông (11), (12), (13), (14), (15) và (16) ta có bảng nhân nhóm C 4v như sau: HVTH: Trần Thị Phường 5 Tiểu luận lý thuyết nhóm Bảng1: Bảng nhân nhóm C 4v E C 4 C 2 C 4 -1 v σ v σ ′ v σ ′′ v σ ′′′ E