Nghiên cứu một số vấn đề kết nối trong lớp các đồ thị liên thông và ứng dụng

TRìNG I HC B CH KHOA H NáI LU NV NTH CS NGHI N CU MáT Să V N K T NăI TRONG LP C C TH LI N TH˘NG V ÙNG DÖNG L THÀ DUY N leduyen1997ql@gmail.com Ng nh: ToĂn Tin GiÊng viản hữợng dÔn: TS Viằn: o n Duy Trung Chœ k‰ cıa GVHD To¡n øng döng v Tin håc H N¸I, 7/2022 Tâm t›t K‚t nŁi-connectivity l mt nhng vĐn ã cỡ bÊn nhĐt lỵ thuyt ỗ th, k cÊ vã ỵ nghắa t hổp v thut toĂn Cõ rĐt nhiãu kt quÊ àp v mnh vã kt ni lỵ thuyt ỗ th Trong nhng nôm gn Ơy, cĂc b i toĂn liản quan n mÊng n y ang ữổc rĐt nhiãu nh khoa hồc trản th giợi quan tƠm Mt php tổ m u c⁄nh(trong lu“n v«n n y s‡ gåi gån l ph†p tæ m u) l ph†p g¡n cho mØi cnh ca ỗ th mt m u n o õ Cho G l mt ỗ th liản thổng khổng tm thữớng vợi php tổ m u cnh c : E(G) ! 1; 2; :::; n; n N, â hai c⁄nh k• câ th” tỉ m u giŁng Mt ữớng i ữổc gồi l cu vỗng nu nhữ khổng cõ hai cnh bĐt k m u Mt ỗ th ữổc tổ m u G l liản thổng cu vỗng nu nhữ mồi cp nh bĐt k ãu ữổc ni bi t nhĐt mt ữớng cu vỗng Khi â ph†p tỉ m u ” G l li¶n thổng cu vỗng ữổc gồi l php tổ m u cu vỗng S kt ni cu vỗng ca mt ỗ th liản thổng G, ữổc kỵ hiằu l rc(G), l sŁ m u nhä nh§t cƒn thi‚t ” l m cho G liản thổng cu vỗng [15] Php tổ m u sò dửng rc(G) m u ữổc gồi l php tổ m u cu vỗng ti thiu Php tổ m u ch‰nh quy l ph†p tæ m u c⁄nh cho khỉng câ hai c⁄nh k• câ cịng m u Dỹa v o khĂi niằm kt ni cu vỗng b¶n tr¶n v tỉ m u ch‰nh quy, Borozan v c¡c cºng sü [3] (cỉng bŁ v o n«m 2012) ºc l“p vỵi Andrews v c¡c cºng sü [1] (cỉng b v o nôm 2016)  ã xuĐt khĂi niằm vã kt ni chnh quy nhữ sau: Cho mt ỗ th liản thổng G ữổc tổ m u tĐt cÊ cĂc cnh ca ỗ th, õ hai cnh kã câ th” cịng m u Mºt ÷íng i nŁi hai nh bĐt ký ca G ữổc gồi l ữớng i chnh quy nu trản ữớng i õ ko cõ hai cnh kã ữổc tổ m u Mt php tổ m u cnh c ca mt ỗ th li¶n thỉng G l ph†p tỉ m u ch‰nh quy ca G nu mồi cp nh phƠn biằt ãu ữổc k‚t nŁi bði mºt ÷íng i ch‰nh quy G Nu t m u ữổc sò dửng, th c ữổc gåi l ph†p tæ t m u ch ‰nh quy SŁ k tŁi thi”u cho G câ mºt ÷íng tỉ m u k ch‰nh quy ÷ỉc gåi l sŁ li¶n k‚t ch‰nh quy pc(G) cıa G B¶n c⁄nh â, khĂi niằm tổ m u l-cu vỗng ữổc nh nghắa v nghiản cứu [9] [10] Mt ữớng i P ữổc gồi l ữớng l-cu vỗng nu nhữ cĂc ữớng i câ chi•u d i tŁi a l + l cu vỗng ỗ th G ữổc gồi l (k,l)-liản thổng cu vỗng nu nhữ cõ php tổ m u c⁄nh c cho måi c°p ¿nh cıa G ãu ữổc ni bi k ữớng l- cu vỗng G Khi â ph†p tỉ m u ÷ỉc gåi l php tổ m u (k,l)-cu vỗng Trong trữớng hổp t m u ữổc sò dửng, th c ữổc gồi l php tổ t m u (k,l)-liản thổng cu vỗng ca G SŁ m u nhä nh§t cƒn ” G l ỗ th (k; l) liản thổng cu vỗng ữổc k‰ hi»u l rck;l Lu“n v«n tr…nh b y c¡c cỡ s lỵ thuyt, khĂi niằm v tnh chĐt ca cĂc khĂi niằm mợi vã kt ni, ỗng thới nảu mt s kt quÊ mợi vã giợi hn s kt ni (1; l) cu vỗng v xĂc nh lợp ç câ sŁ k‚t nŁi cƒu vçng lỵn Lới cam oan Tổi xin cam oan lun vôn vã ã t i "Nghiản cứu mt s vĐn ã kt ni lợp cĂc ỗ th liản thổng v ứng dửng" l cổng trnh nghiản cứu cĂ nhƠn ca tổi v cºng sü thíi gian qua Måi sŁ k‚t quÊ nghiản cứu v chứng minh mợi lun vôn n y l chóng tỉi tü t…m hi”u, t i liằu tham khÊo  ữổc ghi rê nguỗn trch dÔn Tổi xin chu ho n to n trĂch nhiằm n‚u câ sü khỉng trung thüc thỉng tin sß dưng cỉng tr…nh nghi¶n cøu n y Líi cÊm ỡn Lới u tiản, v quan trồng nhĐt, em xin ữổc gòi lới cĂm ỡn chƠn th nh n thy o n Duy Trung bi nhng hữợng dÔn v gióp ï nhi»t t…nh cıa thƒy suŁt qu¡ tr…nh nghi¶n cøu tł em b›t ƒu t…m hi”u nhœng kin thức u tiản vã kt ni n hiằn ti, ” em câ th” ho n th nh tŁt lu“n vôn Thứ hai, em mun gòi lới cÊm ỡn tợi thy Lả Ch Ngồc, khổng trỹc tip l ngữới hữợng dÔn em thỹc hiằn ã t i lun vôn thy l ngữới t nãn mõng u tiản v to cÊm hứng cho em nghiản cứu vã lỵ thuyt ç Em cơng xin tr¥n trång c£m ìn c¡c thƒy cỉ Vi»n To¡n Ùng dưng v Tin håc, PhỈng o to, B phn quÊn lỵ o to sau i hồc, Trữớng i hồc BĂch Khoa H Ni  to måi i•u ki»n thu“n lỉi qu¡ tr…nh håc t“p v l m thı tưc CuŁi cịng, em xin gßi lới cÊm ỡn n tĐt cÊ th nh viản gia nh v nhng ngữới bn thƠn thit ca em, nhng ngữới luổn quan tƠm v to ng lỹc em câ th” ho n th nh lu“n v«n n y H Nºi, ng y th¡ng n«m 2022 Håc vi¶n thüc hi»n L¶ Thà Duy¶n Mưc lưc Danh s¡ch h…nh v‡ Giỵi thi»u v tŒng quan ã t i 1.1 Giợi thiằu ã t i 1.2 CĂc vĐn ã nghiản cứu 11 1.3 Tâm t›t v bŁ cưc lu“n v«n 12 Lỵ thuyt cỡ bÊn vã ỗ th 13 2.1 KhĂi niằm ỗ th v mt s dng ỗ th °c bi»t 13 2.2 C¡c ph†p to¡n ç 17 2.3 K‚t nŁi v ÷íng i 20 2.4 CƠy v tnh chĐt 22 K‚t ni cu vỗng 24 3.1 Giợi thiằu 24 3.2 S kt ni cu vỗng mt s loi ỗ th c biằt 3.3 K‚t ni k 25 cu vỗng 27 3.3.1 Kt ni k cu vỗng cıa H = K3 K2 27 3.3.2 3.3.3 Kt ni k cu vỗng ca ỗ th ƒy ı 29 K‚t nŁi k cu vỗng ca ỗ th hai pha y ãu 30 K‚t nŁi cu vỗng m rng 32 4.1 CĂc khĂi niằm kt ni cu vỗng m rng 32 4.2 SŁ k‚t nŁi ch‰nh quy 33 4.3 SŁ kt ni (k,l)-cu vỗng 36 4.4 S kt ni (1,2)-cu vỗng 38 Mºt sŁ k‚t qu£ mỵi v k‚t lun 41 5.1 CĂc kt quÊ mợi vã s kt ni (1,l)-cu vỗng 5.2 Ùng döng 41 44 Kt lun v hữợng phĂt trin ãti 45 6.1 K‚t lu“n 45 6.2 Hữợng ph¡t tri”n 46 Danh sĂch hnh v 2.1 ỗ th vổ hữợng G 15 2.2 ỗ th y 16 2.3 ỗ th lp phữỡng Qn 16 2.4 ỗ th hai ph‰aƒy ı 17 2.5 G v ỗ th bũ G 17 2.6 G v ỗ th Gne, G 2.7 v 18 ỗ th v cĂc cƠy khung 18 2.8 Ph†p hæp ç 19 2.9 Php giao ỗ th 19 2.10 Php gheps ỗ th 19 2.11 T‰ch •-c¡c K22K2 2.12 20 ỗ th liản thổng G v ỗ th H gỗm ba th nh phƒn li¶n thỉng H1; H2; H3 21 2.13 Rng gỗm ba cƠy T1; T2; T3 22 3.1 SŁ kt ni cu vỗng ca K3 K2 27 3.2 S kt ni cu vỗng ca K3 3.3 Php tổ m u cnh ca K3 3.4 CĂc bữợc xĂc nh rc3(K3 3.5 Bữợc cui xĂc K2 28 K2 28 K2) 29 ành rc3(K3 K2) 29 4.1 Li¶n thỉng ch‰nh quy C4; C5 v S5 34 4.2 Ph†p tæ m u tr¶n K4;5 C⁄nh nh⁄t th” hi»n m u v c⁄nh “m th” hi»n m u 35 4.3 Ph†p tæ m u (1; 2) cu vỗng cho ỗ th W4; W5; W6 37 4.4 ç G ÷ỉc mỉ t£ chøng minh 39 4.5 ỗ th Gi(0 i 8) v T (n1; n2) G2 40 5.1 Ph†p tæ m u (1; 4) cu vỗng cho ỗ th G cõ m(G) = v p(G) = vỵi rc1;4(G) = 5.2 ỗ th Sn v ỗ th k†p T (n1; n2) 43 42 Giỵi thi»u v tŒng quan • t i 1.1 Giỵi thi»u K‚t nŁi - connectivity l ãti mt nhng vĐn ã cỡ bÊn nhĐt lỵ thuyt ỗ th, k cÊ vã ỵ nghắa t hổp v thut toĂn Cõ rĐt nhiãu kt quÊ àp v mnh vã kt ni lỵ thuyt ỗ th Trong nhng nôm gn Ơy, cĂc b i toĂn liản quan n mÊng n y ang ữổc rĐt nhiãu nh khoa hồc trản th giợi quan tƠm Cõ nhiãu c¡ch ” l m m⁄nh kh¡i ni»m k‚t nŁi, chflng hn nhữ yảu cu tnh Hamiltonian, t giợi hn vã ÷íng k‰nh, v.v Mºt kh¡i ni»m thó v• k‚t ni ỗ th õ l kt ni cu vỗng (rainbow connection), ln u tiản ữổc giợi thiằu bi GiĂo sữ Chartrand v cĂc cng sỹ v o nôm 2006 v ữổc cổng b v o nôm 2008 [7] KhĂi niằm mợi n y xuĐt phĂt t viằc truyãn thổng tin giœa c¡c cì quan ch‰nh phı Bº An ninh Nºi àa Hoa Ký ÷ỉc th nh l“p v o nôm 2003 i phõ vợi nhng im yu ữổc ph¡t hi»n an to n truy•n thỉng tin m“t sau vư t§n cỉng khıng bŁ ng y 11 th¡ng nôm 2001 Ericksen  ữa nhn nh sau: Mt hu quÊ khổng lữớng trữợc ữổc ca nhng cuc t§n cỉng â l nh“n r‹ng c¡c cì quan thüc thi ph¡p lu“t v t…nh b¡o khỉng th” li¶n lc vợi thổng qua cĂc kảnh thổng thữớng ca hå tł h» thŁng vỉ tuy‚n ‚n cì sð dœ liằu CĂc cổng nghằ ữổc sò dửng l cĂc thỹc th riảng biằt v b cĐm truy cp chung, cõ ngh¾a l khỉng câ c¡ch n o ” c¡c s¾ quan ki”m tra ch†o thæng tin giœa c¡c tŒ chøc kh¡c M°c dị thỉng tin cƒn ÷ỉc b£o v» v… nâ li¶n quan ‚n an ninh quŁc gia, nh÷ng cơng ph£i câ c¡ch cho ph†p truy c“p giœa cĂc trữớng hổp cn thit VĐn ã n y câ th” ÷ỉc gi£i quy‚t b‹ng c¡ch x¡c ành ÷íng truy•n thỉng tin giœa c¡c cì quan (câ th” câ c¡c cì quan kh¡c l m trung gian) yảu cu s lữổng mt kh'u v tữớng lòa lợn ngôn chn nhng kà xƠm nhp, nhọ quÊn lỵ (nghắa l mt hoc nhiãu ữớng i gia mồi cp cỡ quan khổng câ m“t kh'u l°p l⁄i) Nâi cư th”, c¥u häi °t l : SŁ l÷ỉng m“t kh'u ho°c t÷íng lòa ti thiu cn thit cho php tỗn ti mt hoc nhiãu ữớng truyãn tin an to n gia hai cỡ quan l bao nhiảu? trÊ lới cƠu họi tr¶n th… ta ph£i hi”u th‚ n o l mºt ÷íng truy•n tin an to n (secure information transfer path) Câ nhi•u c¡ch ” gi£i th‰ch kh¡i ni»m n y, Ơy th ta cõ th hiu ữớng truyãn ữổc xem l an to n n‚u nh÷ c¡c m“t kh'u dåc theo ÷íng i l kh¡c bi»t Mºt c¡ch di„n gi£i ‰t nghi¶m ng°t hìn l ch¿ y¶u cƒu måi cp mt kh'u liản tip dồc theo ữớng i phÊi kh¡c bi»t Nh÷ ÷ỉc mỉ t£ [7], ta câ th” bi”u di„n vi»c truy•n tin giœa c¡c cì quan chnh ph dữợi dng ỗ th nhữ sau: cĂc nh l c¡c cì quan v hai ¿nh k• n‚u câ sü ti‚p c“n trüc ti‚p giœa chóng Vi»c tỉ m u ỗ th cõ th coi nhữ viằc t mt kh'u (tữớng lòa) gia cĂc cỡ quan ca hằ thŁng B i to¡n ÷ỉc mỉ t£ nh÷ sau: Mºt ph†p tỉ m u c⁄nh (edge coloring) (trong lu“n v«n n y s‡ gåi gån l ph†p tæ m u) l php gĂn cho mỉi cnh ca ỗ th mt m u n o õ Cho G l mt ỗ th liản thổng khổng tm thữớng 1vợi php tổ m u c⁄nh c : E(G) ! f1; 2; :::; ng; n N, â hai c⁄nh k• câ th” tỉ m u giŁng Mºt ÷íng i ÷ỉc gồi l cu vỗng nu nhữ khổng cõ hai cnh bĐt k m u Mt ỗ th ữổc tổ m u G l liản thổng cu vỗng nu nhữ mồi cp nh bĐt k ãu ữổc ni bi t nhĐt mt ữớng cu vỗng Khi õ php tổ m u G l liản thổng cu vỗng ữổc gồi l php tổ m u cu vỗng Mồi ỗ th liản thổng cu vỗng hin nhiản ãu liản thổng Những ngữổc li, mỉi ỗ th liản thổng ch cõ mt sŁ ‰t ph†p tæ m u c⁄nh khi‚n nâ l liản thổng cu vỗng Do õ, ngữới ta xĂc nh s kt ni cu vỗng ca mt ỗ th liản thổng G, ữổc kỵ hiằu l rc(G), l s m u nhä nh§t cƒn thi‚t ” l m cho G liản thổng cu vỗng [15] Php tổ m u sò dưng rc(G) m u ÷ỉc gåi l ph†p tỉ m u cu vỗng ti thiu V vy, cƠu họi ữổc ã cp trản cõ th ữổc mổ hnh hõa b‹ng vi»c t‰nh to¡n gi¡ trà cıa sŁ k‚t nŁi cu vỗng KhĂi niằm mt kh'u  cõ t lƠu ới v ữổc sò dửng ngôn chn kà gian truy c“p v o thỉng tin c¡ nh¥n Trong nhœng nôm gn Ơy, ngữới ta ng y c ng thĐy rê sỹ cn thit ca viằc sò dửng cĂc mt kh'u phøc t⁄p hìn v thay Œi m“t kh'u th÷íng xuy¶n hìn Th“t v“y, mºt sŁ ch‰nh s¡ch cıa c¡c cỡ quan v t chức yảu cu ngữới dũng ca hå thay Œi m“t kh'u h ng n«m, 180 ng y mºt lƒn ho°c câ th” l 90 ng y mt ln TĐt nhiản, iãu n y l m cho viằc ghi nhợ mt kh'u mợi tr nản khõ khôn hìn V… b£o v» an ninh l r§t quan trång, mt s chnh sĂch yảu cu mt kh'u mợi n o phÊi khĂc vợi nhng mt kh'u ữổc sò dửng mºt kho£ng thíi gian nh§t ành V‰ dư, mºt trữớng i hồc ca nontrivial graph - ỗ th khổng tm thữớng: l ỗ th cõ t nhĐt hai ¿nh