Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 51 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
51
Dung lượng
2,21 MB
Nội dung
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI LUẬN VĂN THẠC SĨ NGHIÊN CỨU MỘT SỐ VẤN ĐỀ KẾT NỐI TRONG LỚP CÁC ĐỒ THỊ LIÊN THÔNG VÀ ỨNG DỤNG LÊ THỊ DUYÊN leduyen1997ql@gmail.com Ngành: Toán Tin Giảng viên hướng dẫn: TS Đồn Duy Trung Viện: Chữ kí GVHD Tốn ứng dụng Tin học 123doc Mang Ln thay h■■ng l■im■i s■ cam tr■ h■u m■t k■t nghi■m t■im■t s■ cáwebsite nhân mang kho m■ith■ kinh m■ l■i d■n vi■n nh■ng cho doanh ■■u kh■ng ng■■i quy■n chia t■ th■c dùng, l■ s■l■i v■i hi■n t■t công h■n mua ngh■a nh■t 2.000.000 ngh■ báncho tài v■ hi■n ng■■i li■u c■a tài th■ hàng li■u dùng hi■n ■■u ■ thìt■t Khi ■■i, s■p Vi■t c■ khách b■n t■i, l■nh Nam ngh■a online hàng v■c: Táctr■ không v■ tài phong thành c■a khác chun c■a thành tíngì d■ng, hàng so nghi■p, viên v■i tri■u công c■a b■n hồn nhà ngh■ 123doc g■c bán h■o, thơng B■n hàng ■■ n■p có tin, l■i cao th■ ti■n ngo■i chuy■n tính phóng vào ng■, Khách trách tài giao to,kho■n nhi■m thu sang nh■ c■a ■■i ■■n hàng tùy123doc, v■i v■ ý cót■ng qu■n th■b■n d■ ng■■i lýChào dàng s■ dùng ■■■c m■ng tra c■u M■c h■■ng b■n tàitiêu li■u ■■n nh■ng hàng m■t v■i■■u quy■n cách 123doc c■a l■i123doc.net sau xác,n■p nhanh ti■n tr■ chóng thành website th■ vi■n tài li■u online l■n nh■t Vi■t Nam, cung c■p nh■ng tài li■u ■■c khơng th■ tìm th■y th■ tr■■ng ngo■i tr■ 123doc.net Nhi■u event thú v■, event ki■m ti■n thi■t th■c 123doc luôn t■o c■ h■i gia t■ng thu nh■p online cho t■t c■ thành viên c■a website HÀ NỘI, 7/2022 Mangh■n Luôn Th■a Xu■t Sau Nhi■u 123doc Link h■■ng phát thu■n l■i event cam s■ nh■n xác m■t tr■ t■ h■u k■t s■ thú nghi■m t■i th■c ýxác n■m t■■ng m■t d■ng v■, s■ nh■n s■ website mang event kho m■i ■■■c ■■i, t■o tLink t■ th■ m■ l■i c■ng ki■m ■■ng d■n 123doc CH■P g■i vi■n xác nh■ng cho ■■u ■■ng ti■n v■ th■c h■ kh■ng ng■■i NH■N ■ã ■■a quy■n th■ng thi■t chia t■ng s■ ki■m dùng, l■ ch■ CÁC s■ ■■■c th■c s■ l■i b■■c v■i ti■n email chuy■n ■I■U t■t công h■n mua 123doc g■i online kh■ng nh■t b■n 2.000.000 v■ ngh■ bán KHO■N sang b■ng cho ■■a ■ã tài ■■nh hi■n ■■ng ng■■i li■u ph■n ch■ tài TH■A tài v■ th■ li■u hàng t■o email li■u thơng ky, dùng tríhi■n THU■N hi■u c■ c■a b■n ■■u ■b■n tin t■t h■i Khi ■■i, qu■ vui Vi■t xác c■ ■ã khách gia lịng b■n nh■t, minh l■nh ■■ng Nam t■ng Chào ■■ng online hàng uy tài v■c: l■nh thu Tác m■ng ky, tín kho■n tr■ nh■p nh■p khơng b■n tài phong v■c cao thành b■n vui email nh■t tài email online oLink khác chun ■■n li■u lịng thành tínb■n Mong c■a xác cho d■ng, ■■ng v■i so nghi■p, viên th■c kinh ■ã t■t 123doc 123doc.net! v■i mu■n cơng ■■ng nh■p c■a c■ doanh s■ b■n vàcác hoàn mang ■■■c ngh■ 123doc click email ký g■c online thành v■i h■o, Chúng vào l■i thông B■n g■i c■a 123doc.netLink CH■P cho viên linkí Tính ■■ v■ n■p có tin, c■ng c■a cao ■■a th■ ■■n cung NH■N ti■n ngo■i tính website phóng ■■ng ch■ th■i click vào c■p CÁC ng■, Khách trách xác email tài ■i■m D■ch vào xã to,kho■n ■I■U th■c nhi■m h■i thu linkông l■nh b■n tháng V■ nh■ m■t s■ KHO■N c■a ■ã v■c (nh■ ■■i hàng ■■■c tin tùy ngu■n 5/2014; ■■ng 123doc, tài v■i xác ■■■c ý có li■u TH■A g■i t■ng minh th■ tài ky, 123doc v■ mô nguyên b■n b■n d■ ng■■i THU■N tài kinh ■■a t■ dàng kho■n s■ vui v■■t d■■i doanh tri dùng ■■■c ch■ lòng tra th■c m■c email ■ây) email c■u ■■ng Chào online M■c h■■ng quý 100.000 cho tài b■n b■n m■ng tiêu báu, nh■p li■u Tính b■n, ■ã nh■ng ■ã hàng phong m■t l■■t ■■n email ■■ng b■n tùy ■■ng ■■u quy■n cách truy thu■c ■■n th■i phú, c■a ký ky, c■a c■p v■i ■i■m v■i ■a l■i b■n vào 123doc.net m■i 123doc.netLink d■ng, 123doc.net! sau xác, vui tháng vàngày, n■p click lòng “■i■u nhanh giàu 5/2014; ti■n s■ vào ■■ng tr■ giá Kho■n Chúng chóng h■u linkc■a thành tr■ xác 123doc nh■p 2.000.000 website ■■ng th■c Th■a th■ website cung email v■■t s■ vi■n th■i Thu■n ■■■c c■p c■a thành mong m■c tài D■ch v■ li■u g■i viên 100.000 mu■n S■ online v■ V■ ■■ng D■ng click ■■a t■o (nh■ l■■t l■n ký, D■ch ■i■u vào ch■ nh■t ■■■c truy l■t link email ki■n V■” vào c■p Vi■t 123doc môtop sau cho b■n m■i Nam, t■200 ■ây d■■i cho ngày, ■ã cung các (sau ■■ng g■i ■ây) s■ website c■p users ■ây h■u ky, cho nh■ng ■■■c có b■n 2.000.000 b■n, ph■ thêm vui tài bi■n tùy g■i lòng thu li■u thu■c t■t thành nh■t nh■p ■■c ■■ng T■i vào t■i viên khơng t■ng Chính nh■p Vi■t ■■ng th■i “■i■u th■ Nam, email v■y ■i■m, ký, tìm t■ Kho■n c■a l■t 123doc.net th■y l■chúng vào tìm Th■a top ki■m th■ 200 click Thu■n cóthu■c ■■i tr■■ng th■ vào nh■m website c■p v■ top link ngo■i S■ 3nh■t ■áp 123doc Google D■ng ph■ tr■ ■KTTSDDV ■ng 123doc.net bi■n ■ã D■ch Nh■n nhu g■i nh■t c■u V■” ■■■c theo t■i chia sau Vi■t quy■t danh ■ây s■ Nam, tài (sau hi■u li■u t■ ■ây ch■t l■c■ng ■■■c tìm l■■ng ki■m ■■ng g■i thu■c t■t bình ki■m T■i ch■n top ti■n t■ng Google online th■i website ■i■m, Nh■n ki■m chúng ■■■c ti■ntơi online danh có th■ hi■u hi■u c■p qu■ nh■t c■ng ■KTTSDDV uy ■■ng tín nh■t bình ch■n theo quy■t website ki■m ti■n online hi■u qu■ uy tín nh■t Lnh■n 123doc Sau Th■a Xu■t h■■ng phát thu■n cam nh■n m■t t■k■t s■ t■i ýxác n■m t■■ng d■ng s■ nh■n website mang ■■i, t■o t■l■i c■ng ■■ng d■n 123doc CH■P nh■ng ■■u ■■ng h■ NH■N ■ã quy■n th■ng chia t■ng ki■m CÁC s■s■ l■i b■■c ti■n vàchuy■n ■I■U t■t mua online kh■ng nh■t bán KHO■N sang b■ng cho ■■nh thay ng■■i ph■n tài TH■A vìv■ li■u m■i thơng dùng tríTHU■N hi■u m■t c■atin Khi qu■ cá xác khách nhân nh■t, minh Chào kinh hàng uy tài l■nh m■ng doanh tín kho■n tr■ v■c cao thành b■n t■ email nh■t tàith■c ■■n li■u thành b■n Mong hi■n v■i viên kinh ■ã 123doc 123doc.net! mu■n ngh■a ■■ng c■a doanh mang 123doc v■ kýonline c■a v■i Chúng l■ivà 123doc.netLink cho Tính n■p tơi c■ng ■■n cung ti■n s■p ■■ng th■i vào c■p t■i, xác tài ■i■m D■ch xã ngh■a kho■n th■c h■itháng V■ m■t s■ v■ c■a (nh■ ■■■c c■a ngu■n 5/2014; 123doc, ■■■c c■a g■i tài 123doc hàng v■ mô nguyên b■n■■a t■ tri■u s■ v■■t d■■i tri ■■■c ch■ nhà th■c m■c ■ây) email bán h■■ng quý 100.000 cho hàng b■n báu, b■n, nh■ng l■i ■ã phong l■■t chuy■n tùy ■■ng quy■n truy thu■c phú, ky, c■p giao ■a l■i b■n vào m■i sang d■ng, sau vuingày, n■p ■■n lòng “■i■u giàu ti■n s■ ■■ng v■ giá Kho■n h■u qu■n tr■ nh■p 2.000.000 website ■■ng Th■a lý hoàn email th■i Thu■n h■o, c■a thành mong v■ ■■ viên mu■n S■ cao ■■ng D■ng tính click t■otrách ký, D■ch ■i■u vàol■t link nhi■m ki■n V■” vào 123doc top sau cho ■■i 200 ■ây cho v■i ■ãcác (sau g■i t■ng website users ■ây ng■■i ■■■c cóph■ dùng thêm bi■n g■i thu M■c t■t nh■t nh■p T■i tiêu t■i t■ng hàng Chính Vi■tth■i ■■u Nam, v■y ■i■m, c■a t■123doc.net l■ 123doc.net chúng tìm ki■m tơiracó tr■ thu■c ■■i th■ thành nh■m c■p topth■ 3nh■t ■áp Google vi■n ■KTTSDDV ■ng tàiNh■n nhu li■uc■u online ■■■c theo chia l■n quy■t danh s■nh■t tài hi■u li■u Vi■t ch■t Nam, c■ng l■■ng cung ■■ng c■p bình ki■m nh■ng ch■n ti■ntài online website li■u ■■cki■m không ti■n th■ online tìm th■y hi■utrên qu■th■ tr■■ng uy tín nh■t ngo■i tr■ 123doc.net Luôn Th■a Xu■t Sau Nhi■u 123doc Mang thayh■n h■■ng phát thu■n l■i event m■i cam s■ nh■n m■t tr■ t■ h■u m■t k■t s■ thú nghi■m t■i ýxác n■m t■■ng m■t d■ng v■, s■ cá nh■n website nhân mang event kho m■i ■■i, t■o t■ th■ kinh m■ l■i c■ng ki■m ■■ng d■n 123doc CH■P vi■n nh■ng cho doanh ■■u ■■ng ti■n h■ kh■ng ng■■i NH■N ■ã quy■n th■ng thi■t chia t■t■ng ki■m th■c dùng, l■ CÁC s■ th■c s■ l■i b■■c v■i ti■n hi■n chuy■n ■I■U t■t công h■n mua 123doc online kh■ng ngh■a nh■t 2.000.000 ngh■ bán KHO■N sang b■ng cho tài ■■nh v■ hi■n ng■■i li■u ph■n c■a tài TH■A tài v■ th■ li■u hàng t■o li■u thơng dùng tríhi■n THU■N hi■u c■ c■a ■■u ■ thìtin t■t h■i Khi ■■i, qu■ s■p Vi■t xác c■ khách gia b■n t■i, nh■t, minh l■nh Nam t■ng Chào ngh■a online hàng uy tài v■c: l■nh thu Tác m■ng tín kho■n tr■ nh■p khơng v■ tài phong v■c cao thành b■n c■a email nh■t tài online khác chuyên ■■n c■a li■u thành tínb■n Mong cho d■ng, hàng v■i so nghi■p, viên kinh ■ã t■t 123doc 123doc.net! v■i mu■n tri■u công ■■ng c■a c■ doanh b■n hoàn nhà mang ngh■ 123doc ký g■c online thành bán v■i h■o, Chúng l■i thông B■n hàng 123doc.netLink cho viên Tính ■■ n■p có tơi tin, c■ng l■i c■a cao th■ ■■n cung ti■n ngo■i chuy■n tính website phóng ■■ng th■i vào c■p ng■, Khách trách xác tài ■i■m D■ch giao xã to,kho■n th■c nhi■m h■i thu sang tháng V■ nh■ m■t s■ c■a (nh■ ■■i ■■n hàng ■■■c tùy ngu■n 5/2014; 123doc, v■i v■ ■■■c ý cóg■i t■ng qu■n th■ tài 123doc v■ mơ nguyên b■n d■ ng■■i lý, ■■a t■ dàng s■ công v■■t d■■i tri dùng ■■■c ch■ tra th■c ngh■ m■c ■ây) email c■u M■c h■■ng quý hi■n 100.000 cho tài b■n tiêu báu, li■u b■n, th■ nh■ng ■ã hàng phong m■t l■■t hi■n tùy ■■ng ■■u quy■n cách truy thu■c ■■i, phú, ky, c■a c■p ■a b■n l■i b■n vào 123doc.net m■i d■ng, sau online xác, vuingày, n■p lịng “■i■u nhanh giàu khơng ti■n s■ ■■ng tr■ giá Kho■n chóng h■u khác thành tr■ nh■p 2.000.000 website ■■ng Th■a gìth■ so email vi■n th■i v■i Thu■n c■a thành b■n mong tài v■ li■u g■c viên mu■n S■ online B■n ■■ng D■ng click t■o l■n cóký, D■ch ■i■u vào th■ nh■t l■t link phóng ki■n V■” vào Vi■t 123doc top sau cho to, Nam, 200 thu ■ây cho ■ã cung nh■ các (sau g■iwebsite tùy c■p users ■ây ý.nh■ng ■■■c cóph■ thêm tài bi■n g■i thu li■u t■t nh■t nh■p ■■c T■it■i khơng t■ng Chính Vi■tth■i th■ Nam, v■y ■i■m, tìm t■123doc.net th■y l■chúng tìm ki■m tơi th■ racóthu■c ■■i tr■■ng th■nh■m c■p top ngo■i 3nh■t ■áp Google tr■ ■KTTSDDV ■ng 123doc.net Nh■n nhu c■u ■■■c theo chiaquy■t danh s■ tài hi■u li■udo ch■t c■ng l■■ng ■■ng vàbình ki■mch■n ti■n online website ki■m ti■n online hi■u qu■ uy tín nh■t Chia m■t u■t Nhi■u Mang Luôn 123doc Th■a Xu■t Sau tri■n phát h■n member s■ h■■ng phát khai thu■n l■i event s■ cam nh■n câu t■ m■t tr■ t■ event h■u ýk■t s■ chuy■n thú nghi■m t■i ýkhông t■■ng xác n■m t■■ng m■t d■ng v■, khuy■n s■ nh■n website mang m■y event t■o kho thành m■i ■■i, t■o t■ c■ng th■ n■i m■ l■i c■ng ki■m ■■ng d■n công 123doc CH■P th■ vi■n b■t nh■ng cho ■■ng ■■u ■■ng ti■n n■p h■ c■a kh■ng ng■■i NH■N ■ã quy■n th■ng 123doc thi■t chia ki■m v■i c■ng t■ng ki■m dùng, l■ CÁC s■ nh■ng th■c ti■n s■ l■i b■■c ■■ng v■i ti■n -và ki■m chuy■n ■I■U t■t công online h■n mua 123doc online ■u kh■ng 123doc nh■t 5■ãi 2.000.000 ngh■ bán KHO■N tri■u b■ng sang b■ng cho c■c tài ■■nh ■ã hi■n ch■ tài ng■■i li■u ph■n k■ tài TH■A xu■t li■u tài v■ v■i th■ li■u h■p hàng t■o li■u thơng s■c dùng trí hi■u 7hi■n THU■N hi■u d■n tài c■ c■a ■■u ■■■ng li■u! tin qu■ t■t h■i Khi ■■i, qu■ ■■ng Vi■t xác c■ khách gia nh■t, Nghe b■n nh■t, minh l■nh Nam t■ng Chào b■online có uy hàng danh l■ uy tài v■c: l■nh thu Tác v■ tín m■ng nhé, tín kho■n tr■ sách cao nh■p khó khơng tài phong v■c cao tr■■c thành b■n nh■t tin Top email nh■t tài online khác nh■ng chuyên ■■n li■u tiên thành danh tín Mong b■n Mong cho d■ng, v■i ■ây so thu nghi■p, viên kinh ■ã mu■n t■t 123doc 123doc.net! v■i mu■n cao công ■■ng c■a c■ doanh b■n nh■t mang tìm hoàn mang ngh■ 123doc s■ ký g■c hi■u online thành tháng v■i l■i hồn h■o, Chúng l■i thơng B■n thơng cho 123doc.netLink cho viên t■o tồn Tính ■■ n■p có c■ng tơi tin, c■ng tin c■ c■a cao th■ ■■n cung ti■n ngo■i v■ h■i ■■ng tính website phóng ■■ng Khách th■i vào c■p xác gia ng■, Khách trách xác xã tài t■ng ■i■m mà D■ch xã to, hàng h■i kho■n th■c nhi■m h■i BQT thu thu m■t tháng V■ có nh■ m■t s■ nh■p 123doc c■a th■ (nh■ ■■i hàng ngu■n ■■■c tùy ngu■n 5/2014; 123doc, d■ v■i online ■■■c ý có ■ã dàng tài g■i t■ng th■ tài thu 123doc nguyên cho v■ mô nguyên b■n tra d■ ng■■i th■p t■t ■■a t■ c■u dàng s■ v■■t tri d■■i c■ ■■■c tri dùng ■■■c ch■ tài th■c tra th■c m■c li■u ■ây) email c■u sau thành quý M■c h■■ng quý m■t 100.000 cho ■■t tài báu, b■n tiêu báu, viên li■u cách b■n, t■ng nh■ng phong ■ã hàng phong c■a m■t l■■t tùy ■■ng k■t ■■u website phú, quy■n cách truy thu■c phú, doanh xác, ky, c■a c■p ■a ■a nhanh l■i b■n vào d■ng, thu 123doc.net m■i d■ng, sau xác, vui tháng chóng ngày, n■p giàu lịng “■i■u nhanh giàu 11 ti■n giá s■ ■■ng tr■ giá uy Kho■n chóng h■u tr■ tín thành tr■ nh■p ■■ng cao 2.000.000 website ■■ng Th■a th■ nh■t email th■i vi■n th■i Thu■n Mong mong c■a thành mong tài v■ li■u mu■n mu■n viên mu■n S■ online ■■ng D■ng mang t■o click t■o l■n ■i■u ký, D■ch ■i■u vào l■i nh■t l■t cho link ki■n ki■n V■” vào Vi■t c■ng 123doc cho top sau cho Nam, ■■ng cho 200 ■ây cho ■ã cung các (sau g■i xãusers website h■i c■p users ■ây m■t nh■ng có ■■■c cóph■ thêm ngu■n thêm tài bi■n g■i thu thu li■u tài t■t nh■p nh■t nh■p ngun ■■c T■it■i Chính khơng t■ng Chính Vi■t tri th■c th■i vìth■ Nam, vìv■y v■y quý ■i■m, tìm 123doc.net t■123doc.net báu, th■y l■chúng tìm phong ki■m tơi th■ phú, có ■■i thu■c ■■i tr■■ng th■ ■Sau nh■m nh■m c■p top ngo■i h■n ■áp 3nh■t ■áp Google m■t ■ng tr■ ■KTTSDDV ■ng 123doc.net n■m nhu Nh■n nhuc■u rac■u ■■i, ■■■c chia theo chia 123doc s■ quy■t danh s■tàitài hi■u li■u ■ã li■u t■ng ch■t ch■t c■ng b■■c l■■ng l■■ng ■■ng kh■ng vàvàki■m bình ki■m ■■nh ch■n ti■n ti■n v■ online online tríwebsite c■a ki■m ti■nl■nh online v■c hi■u tài li■u qu■và vàkinh uy tín doanh nh■t.online Nhi■u Mang Ln 123doc Th■a Xu■t Sau h■n h■■ng phát thu■n l■i event s■ cam nh■n m■t tr■ t■ h■u k■t s■ thú nghi■m t■i ýxác n■m t■■ng m■t d■ng v■, s■ nh■n website mang event kho m■i ■■i, t■o t■ th■ m■ l■i c■ng ki■m ■■ng d■n 123doc CH■P vi■n nh■ng cho ■■u ■■ng ti■n h■ kh■ng ng■■i NH■N ■ã quy■n th■ng thi■t chia t■ng ki■m dùng, l■ CÁC s■ th■c s■ l■i b■■c v■i ti■n vàchuy■n ■I■U t■t công h■n mua 123doc online kh■ng nh■t 2.000.000 ngh■ bán KHO■N sang b■ng cho tài ■■nh hi■n ng■■i li■u ph■n tài TH■A tài v■ th■ li■u hàng t■o li■u thông dùng tríhi■n THU■N hi■u c■ c■a ■■u ■ tin t■t h■i Khi ■■i, qu■ Vi■t xác c■ khách gia b■n nh■t, minh l■nh Nam t■ng Chào online hàng uy tài v■c: l■nh thu Tác m■ng tín kho■n tr■ nh■p khơng tài phong v■c cao thành b■n email nh■t tài online khác chun ■■n li■u thành tínb■n Mong cho d■ng, v■i so nghi■p, viên kinh ■ã t■t 123doc 123doc.net! v■i mu■n công ■■ng c■a c■ doanh b■n hoàn mang ngh■ 123doc ký g■c online thành v■i h■o, Chúng l■i thơng B■n 123doc.netLink cho viên Tính ■■ n■p có tơi tin, c■ng c■a cao th■ ■■n cung ti■n ngo■i tính website phóng ■■ng th■i c■p thay ng■, Khách trách xác ■i■m D■ch xã to, th■c nhi■m m■i h■i thutháng V■ nh■ m■t s■(nh■ ■■i hàng ■■■c tùy ngu■n 5/2014; cáv■i nhân ■■■c ý cóg■i t■ng th■ tài 123doc kinh v■ mô nguyên d■ ng■■i doanh ■■a t■ dàng v■■t d■■i tri dùng ch■ t■ tra th■c m■c ■ây) th■c email c■u M■c quý 100.000 cho tài hi■n b■n tiêu báu, li■u b■n, ngh■a ■ã hàng phong m■t l■■t tùy ■■ng ■■u cách truy v■ thu■c phú, ky, c■a c■a c■p ■a b■n vào 123doc.net m■i d■ng, xác, vuingày, lịng “■i■u nhanh giàu s■p s■ ■■ng tr■ giá t■i, Kho■n chóng h■u thành tr■ ngh■a nh■p 2.000.000 ■■ng Th■a th■ email v■vi■n th■i Thu■n c■a c■a thành mong tài c■a v■ li■u viên hàng mu■n S■ online ■■ng D■ng tri■u click t■o l■n ký, D■ch ■i■u vào nhà nh■t l■t link bán ki■n V■” vào Vi■t 123doc hàng top sau cho Nam, 200 l■i ■ây cho ■ã chuy■n cung các (sau g■iwebsite c■p users ■ây giao nh■ng ■■■c cósang ph■ thêm tài bi■n g■i ■■n thu li■u t■t nh■t v■ nh■p ■■c T■i qu■n t■i khơng t■ng Chính Vi■t lý th■i quy■n th■ Nam, v■y ■i■m, tìm l■i t■123doc.net th■y l■ sau chúng tìm n■p ki■m tơi th■ ti■n racóthu■c ■■i tr■■ng th■nh■m c■p website top ngo■i 3nh■t ■áp Google tr■ ■KTTSDDV ■ng 123doc.net Nh■n nhu c■u ■■■c theo chiaquy■t danh s■ tài hi■u li■udo ch■t c■ng l■■ng ■■ng vàbình ki■mch■n ti■n online website ki■m ti■n online hi■u qu■ uy tín nh■t luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep Tóm tắt Kết nối-connectivity vấn đề lý thuyết đồ thị, kể ý nghĩa tổ hợp thuật tốn Có nhiều kết đẹp mạnh kết nối lý thuyết đồ thị Trong năm gần đây, toán liên quan đến mảng nhiều nhà khoa học giới quan tâm Một phép tô màu cạnh(trong luận văn gọi gọn phép tô màu) phép gán cho cạnh đồ thị màu Cho G đồ thị liên thông không tầm thường với phép tô màu cạnh c : E(G) → 1, 2, , n, n ∈ N, hai cạnh kề tơ màu giống Một đường gọi cầu vồng hai cạnh màu Một đồ thị tô màu G liên thông cầu vồng cặp đỉnh nối đường cầu vồng Khi phép tơ màu để G liên thông cầu vồng gọi phép tô màu cầu vồng Số kết nối cầu vồng đồ thị liên thông G, ký hiệu rc(G), số màu nhỏ cần thiết để làm cho G liên thông cầu vồng [15] Phép tô màu sử dụng rc(G) màu gọi phép tơ màu cầu vồng tối thiểu Phép tơ màu quy phép tơ màu cạnh cho khơng có hai cạnh kề có màu Dựa vào khái niệm kết nối cầu vồng bên tô màu quy, Borozan cộng [3] (cơng bố vào năm 2012) độc lập với Andrews cộng [1] (công bố vào năm 2016) đề xuất khái niệm kết nối quy sau: Cho đồ thị liên thông G tô màu tất cạnh đồ thị, hai cạnh kề màu Một đường nối hai đỉnh G gọi đường quy đường ko có hai cạnh kề tô màu Một phép tô màu cạnh c đồ thị liên thông G phép tơ màu quy G cặp đỉnh phân biệt kết nối đường quy G Nếu t màu sử dụng, c gọi phép tơ t màu quy Số k tối thiểu cho G có đường tơ màu k quy gọi số liên kết quy pc(G) G Bên cạnh đó, khái niệm tơ màu l-cầu vồng định nghĩa nghiên cứu [9] [10] Một đường P gọi đường l-cầu vồng đường có chiều dài tối đa l + cầu vồng Đồ thị G gọi (k,l)-liên thơng cầu vồng có phép tơ màu cạnh c cho cặp đỉnh G nối k đường l- cầu vồng G Khi phép tơ màu gọi phép tô màu (k,l)-cầu vồng Trong trường hợp t màu sử dụng, c gọi phép tơ t màu (k,l)-liên thông cầu vồng G Số màu nhỏ cần để G đồ thị (k, l)−liên thông cầu vồng luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep kí hiệu rck,l Luận văn trình bày sở lý thuyết, khái niệm tính chất khái niệm kết nối, đồng thời nêu số kết giới hạn số kết nối (1, l)−cầu vồng xác định lớp đồ thị có số kết nối cầu vồng lớn luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn đề tài "Nghiên cứu số vấn đề kết nối lớp đồ thị liên thông ứng dụng" cơng trình nghiên cứu cá nhân cộng thời gian qua Mọi số kết nghiên cứu chứng minh luận văn chúng tơi tự tìm hiểu, tài liệu tham khảo ghi rõ nguồn trích dẫn Tơi xin chịu hồn tồn trách nhiệm có không trung thực thông tin sử dụng cơng trình nghiên cứu luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep Lời cảm ơn Lời đầu tiên, quan trọng nhất, em xin gửi lời cám ơn chân thành đến thầy Đoàn Duy Trung hướng dẫn giúp đỡ nhiệt tình thầy suốt trình nghiên cứu từ em bắt đầu tìm hiểu kiến thức kết nối đến tại, để em hồn thành tốt luận văn Thứ hai, em muốn gửi lời cảm ơn tới thầy Lê Chí Ngọc, khơng trực tiếp người hướng dẫn em thực đề tài luận văn thầy người đặt móng tạo cảm hứng cho em nghiên cứu lý thuyết đồ thị Em xin trân trọng cảm ơn thầy cô Viện Tốn Ứng dụng Tin học, Phịng đào tạo, Bộ phận quản lý đào tạo sau đại học, Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi trình học tập làm thủ tục Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn đến tất thành viên gia đình người bạn thân thiết em, người quan tâm tạo động lực để em hồn thành luận văn Hà Nội, ngày tháng năm 2022 Học viên thực Lê Thị Duyên luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep Mục lục Danh sách hình vẽ Giới thiệu tổng quan đề tài 1.1 Giới thiệu đề tài 1.2 Các vấn đề nghiên cứu 11 1.3 Tóm tắt bố cục luận văn 12 Lý thuyết đồ thị 13 2.1 Khái niệm đồ thị số dạng đồ thị đặc biệt 13 2.2 Các phép toán đồ thị 17 2.3 Kết nối đường 20 2.4 Cây tính chất 22 Kết nối cầu vồng 24 3.1 Giới thiệu 24 3.2 Số kết nối cầu vồng số loại đồ thị đặc biệt 25 3.3 Kết nối k−cầu vồng 27 3.3.1 Kết nối k−cầu vồng H = K3 × K2 27 3.3.2 Kết nối k−cầu vồng đồ thị đầy đủ 29 3.3.3 Kết nối k−cầu vồng đồ thị hai phía đầy đủ 30 Kết nối cầu vồng mở rộng 32 4.1 Các khái niệm kết nối cầu vồng mở rộng 32 4.2 Số kết nối quy 33 4.3 Số kết nối (k,l)-cầu vồng 36 4.4 Số kết nối (1,2)-cầu vồng 38 Một số kết kết luận 41 5.1 Các kết số kết nối (1,l)-cầu vồng 41 5.2 Ứng dụng 44 luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep Kết luận hướng phát triển đề tài 45 6.1 Kết luận 45 6.2 Hướng phát triển 46 luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep Danh sách hình vẽ 2.1 Đồ thị vơ hướng G 15 2.2 Đồ thị đầy đủ 16 2.3 Đồ thị lập phương Qn 16 2.4 Đồ thị hai phía đầy đủ 17 2.5 G đồ thị bù G 17 2.6 G đồ thị G\e, G − v 2.7 Đồ thị khung 18 2.8 Phép hợp đồ thị 19 2.9 Phép giao đồ thị 19 18 2.10 Phép gheps đồ thị 19 2.11 Tích đề-các K2 2K2 20 2.12 Đồ thị liên thông G đồ thị H gồm ba thành phần liên thông H1 , H2 , H3 21 2.13 Rừng gồm ba T1 , T2 , T3 22 3.1 Số kết nối cầu vồng K3 × K2 27 3.2 Số kết nối 2−cầu vồng K3 × K2 28 3.3 Phép tô 6−màu cạnh K3 × K2 28 3.4 Các bước xác định rc3 (K3 × K2 ) 29 3.5 Bước cuối xác định rc3 (K3 × K2 ) 29 4.1 Liên thơng quy C4 , C5 S5 34 4.2 Phép tô màu K4,5 Cạnh nhạt thể màu cạnh đậm thể màu 35 4.3 Phép tô màu (1, 2)−cầu vồng cho đồ thị W4 , W5 , W6 37 4.4 Đồ thị G mô tả chứng minh 39 4.5 Đồ thị Gi (0 ≤ i ≤ 8) T (n1 , n2 ) G2 40 5.1 Phép tô màu (1, 4)−cầu vồng cho đồ thị G có m(G) = p(G) = với rc1,4 (G) = 42 5.2 Đồ thị Sn đồ thị kép T (n1 , n2 ) 43 luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep Giới thiệu tổng quan đề tài 1.1 Giới thiệu đề tài Kết nối - connectivity vấn đề lý thuyết đồ thị, kể ý nghĩa tổ hợp thuật tốn Có nhiều kết đẹp mạnh kết nối lý thuyết đồ thị Trong năm gần đây, toán liên quan đến mảng nhiều nhà khoa học giới quan tâm Có nhiều cách để làm mạnh khái niệm kết nối, chẳng hạn yêu cầu tính Hamiltonian, đặt giới hạn đường kính, v.v Một khái niệm thú vị kết nối đồ thị kết nối cầu vồng (rainbow connection), lần giới thiệu Giáo sư Chartrand cộng vào năm 2006 công bố vào năm 2008 [7] Khái niệm xuất phát từ việc truyền thơng tin quan phủ Bộ An ninh Nội địa Hoa Kỳ thành lập vào năm 2003 để đối phó với điểm yếu phát an tồn truyền thơng tin mật sau vụ công khủng bố ngày 11 tháng năm 2001 Ericksen đưa nhận định sau: Một hậu không lường trước cơng nhận quan thực thi pháp luật tình báo khơng thể liên lạc với thông qua kênh thông thường họ từ hệ thống vô tuyến đến sở liệu Các công nghệ sử dụng thực thể riêng biệt bị cấm truy cập chung, có nghĩa khơng có cách để sĩ quan kiểm tra chéo thông tin tổ chức khác luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep Mặc dù thông tin cần bảo vệ liên quan đến an ninh quốc gia, phải có cách cho phép truy cập bên trường hợp cần thiết Vấn đề giải cách xác định đường truyền thông tin quan (có thể có quan khác làm trung gian) yêu cầu số lượng mật tường lửa đủ lớn để ngăn chặn kẻ xâm nhập, đủ nhỏ để quản lý (nghĩa đủ để nhiều đường cặp quan khơng có mật lặp lại) Nói cụ thể, câu hỏi đặt là: Số lượng mật tường lửa tối thiểu cần thiết cho phép tồn nhiều đường truyền tin an toàn hai quan bao nhiêu? Để trả lời câu hỏi ta phải hiểu đường truyền tin an tồn (secure information - transfer path) Có nhiều cách để giải thích khái niệm này, ta hiểu đường truyền xem an toàn mật dọc theo đường khác biệt Một cách diễn giải nghiêm ngặt yêu cầu cặp mật liên tiếp dọc theo đường phải khác biệt Như mơ tả [7], ta biểu diễn việc truyền tin quan phủ dạng đồ thị sau: đỉnh quan hai đỉnh kề có tiếp cận trực tiếp chúng Việc tô màu đồ thị coi việc đặt mật (tường lửa) quan hệ thống Bài toán mô tả sau: Một phép tô màu cạnh (edge coloring) (trong luận văn gọi gọn phép tô màu) phép gán cho cạnh đồ thị màu Cho G đồ thị liên thông không tầm thường với phép tô màu cạnh c : E(G) → {1, 2, , n}, n ∈ N, hai cạnh kề tô màu giống Một đường gọi cầu vồng khơng có hai cạnh màu Một đồ thị tơ màu G liên thông cầu vồng cặp đỉnh nối đường cầu vồng Khi phép tơ màu để G liên thông cầu vồng gọi phép tô màu cầu vồng Mọi đồ thị liên thông cầu vồng hiển nhiên liên thông Nhưng ngược lại, đồ thị liên thơng có số phép tơ màu cạnh khiến liên thơng cầu vồng Do đó, người ta xác định số kết nối cầu vồng đồ thị liên thông G, ký hiệu rc(G), số màu nhỏ cần thiết để làm cho G liên thông cầu vồng [15] Phép tô màu sử dụng rc(G) màu gọi phép tô màu cầu vồng tối thiểu Vì vậy, câu hỏi đề cập mơ hình hóa việc tính tốn giá trị số kết nối cầu vồng Khái niệm mật có từ lâu đời sử dụng để ngăn chặn kẻ gian truy cập vào thông tin cá nhân Trong năm gần đây, người ta ngày thấy rõ cần thiết việc sử dụng mật phức tạp thay đổi mật thường xuyên Thật vậy, số sách quan tổ chức yêu cầu người dùng họ thay đổi mật hàng năm, 180 ngày lần 90 ngày lần Tất nhiên, điều làm cho việc ghi nhớ mật trở nên khó khăn Vì bảo vệ an ninh quan trọng, số sách yêu cầu mật phải khác với mật sử dụng khoảng thời gian định Ví dụ, trường đại học nontrivial graph - đồ thị khơng tầm thường: đồ thị có hai đỉnh luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep 4.3 Số kết nối (k,l)-cầu vồng Khái niệm số kết nối (k, l)−cầu vồng giới thiệu lần đầu tên gọi kết nối (k, l)−chính quy [17] độc lập giới thiệu với tên gọi kết nối (k, l)−cầu vồng Cả hai tên gọi mở rộng từ khái niệm liên thông cầu vồng Trong hai báo, tác giả tiếp cận từ việc xác định số kết nối (1, l)−cầu vồng với số lớp đồ thị Từ khái niệm kết nối (k, l)−cầu vồng dễ thấy pc(G) = rc1,1 (G), tương tự rc(G) = rc1,l (G) = G = Kn Ngược lại đồ thị khơng đầy đủ phải có đường kính lớn đó, cần hai màu để đồ thị liên thồng cầu vồng Ngồi điều này, tác giả hai báo chứng minh thuộc tính thiết yếu khác sau Mệnh đề 4.3.1 [17] Với G đồ thị không tầm thường l ≥ số nguyên, đó: ≤ pc(G) ≤ rc1,2 (G) ≤ rc1,3 (G) ≤ · · · ≤ rc(G) ≤ m(G) Chứng minh: Từ khái niệm số kết nối (k, l)−cầu vồng, ta biết pc(G) = rc1,1 (G) Hơn rc1,i−1 (G) ≤ rc1,i (G) với ≤ i ≤ l đường l−cầu vồng đường (l − 1)−cầu vồng Hơn nữa, đường cầu vồng hiển nhiên đường t−cầu vồng với t với ≤ t ≤ l rc(G) khơng lớn m Từ ta có điều phải chứng minh Mệnh đề 4.3.2 [17] Nếu G đồ thị không tầm thường H đồ thị bao trùm G l ≥ số nguyên, đó: rc1,l (G) ≤ rc1,l (H) Đặc biệt rc1,l (G) ≤ rc1,l (T ) với khung T G Chứng minh: Chắc chắn phép tô màu để H (1, l)−cầu vồng mở rộng thành phép tô màu (1, l)−cầu vồng G cách gán tùy ý màu sử dụng cho cạnh cịn lại G Điều dẫn đến rc1,l (G) ≤ rc1,l (H) Các tác giả đưa kết cho số kết nối (1, l)−cầu vồng đồ thị traceable, tức đồ thị có chứa đường Hamilton lớp đồ thị đặc biệt khác Mệnh đề 4.3.3 [17] Nếu G đồ thị traceable l ≥ số nguyên dương, đó: rc1,l (G) ≤ l + Đặc biệt rc1,2 (G) ≤ Đối với đồ thị hai phía đầy đủ, kết phức tạp Với đồ thị hai phía đầy đủ Km,n , Km,n = U ∪ V , |U | = m |V | = n, không tính tổng quát ta giả sử m ≤ n Định lí 4.3.4 [17] Với l ≥ số nguyên dương m ≤ n, n m = 1, m ≥ m ≤ n ≤ 2m rc1,` (Km,n ) = ` = 2, m ≥ n > 2m ` ≥ 3, m ≥ 2m < n ≤ 3m ` ≥ 3, m ≥ n > 3m 36 luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep Đồ thị bánh xe Wn tạo thành từ đồ thị vòng Cn cách nối đỉnh v với tất đỉnh Cn ký hiệu u1 , , un Đỉnh v tâm Wn Và kí hiệu [n] = {1, 2, , n} với số nguyên n ≥ Định lí 4.3.5 [17] Với n ≥ l ≥ 2, rc1,` (Wn ) = n = 3, ≤ n ≤ trường hợp khác Chứng minh Nếu n = 3, W3 = K4 nên rc1,l (W3 ) = Nếu ≤ n ≤ 6, ta tô màu đồ thị bánh xe trở thành (1, 2)−cầu vồng hình 4.3 với số màu tốt màu Do đó, rc1,2 (Wn ) = với ≤ n ≤ Hơn phép tô màu phép tô màu (1, l)−cầu vồng đồ thị W4 , W5 , W6 nên rc1,l (Wn ) = với ≤ n ≤ Hình 4.3: Phép tô màu (1, 2)−cầu vồng cho đồ thị W4 , W5 , W6 Với n ≥ Giả sử Wn có phép tơ màu (1, 2)−cầu vồng c Khi ui vuj phải đường (ui , uj ) 2−cầu vồng khoảng cách ui uj Cn lớn Khơng tính tổng quát, ta giả sử (u1 v) = Do c(ui v) = Với ≤ i ≤ n − Nếu n ≥ 9, c(u4 v) = c(un−2 v) = 2, mâu thuẫn Nếu n = 8, c(u4 v) = c(u6 v) = dẫn đến hiển nhiên c(u3 v) = c(u7 v) = 1, mâu thuẫn Cuối với n = 7, ta tô màu c(u4 v) = c(u5 v) = c(u2 v) = c(u7 v) = dẫn đến c(u3 v) = c(u6 v) = 2, mâu thuẫn Do kết rc1,l (Wn ) ≥ rc1,l−1 (Wn ) ≥ ≥ rc1,2 (Wn ) > với n ≥ Tiếp theo ta xét phép tô (1, l)−cầu vồng với màu sau: tô f (ui ui+1 ) = a ∈ [3], i ≡ a( mod 3) Nếu a − ≡ b ∈ [3]( mod 3), tơ f (ui v) ∈ [3]\{a, b}, i ∈ [n]\{1} tô f (u1 v) = Dễ dàng chứng minh Wn (n ≥ 7) (1, l)−cầu vồng theo cách Vậy pc1,l (Wn ) = 3(n ≥ 7), điều phải chứng minh Tương tự kết với đồ thị lập phương Qt , số kết nối (1, l)−cầu vồng xác định sau: Định lí 4.3.6 [17] Với t ≥ l ≥ 2, pc1,` (Qt ) = t `+1 t = t = t ≥ ` ≥ t t ≥ ` < t 37 luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep 4.4 Số kết nối (1,2)-cầu vồng Như giới thiệu, đồ thị có phép tơ màu cạnh rc1,2 gọi liên thơng mạnh Do khái niệm nhà nghiên cứu ý hơn, nội dung nghiên cứu luận văn Trong [17] Xueliang Li công nghiên cứu số cận số kết nối (1, 2)−cầu vồng lớp đồ thị 2−liên thông báo cáo này, số kết nối (1, 2)−cầu vồng thu số phép toán đồ thị Các phép toán bao gồm phép hợp đồ thị, tích đề-các đồ thị Với lớp đồ thị 2−liên thông: Định lí 4.4.1 [17] Nếu đồ thị G 2−liên thơng, rc1,2 (G) ≤ Đối với phép toán đồ thị, số kết nối (1, 2)−cầu vồng xác định : Định lí 4.4.2 [17] Nếu đồ thị G H đồ thị liên thông không tầm thường, rc1,2 (G ∨ H) ≤ Định lí 4.4.3 [17] Cho đồ thị G H đồ thị liên thơng khơng tầm thường, hai khơng đồ thị đầy đủ (i) pc1,2 (GH) = trừ G (hoặc H) đồ thị khung H (tương tự với G) có bán kính (ii) pc1,2 (GH) ≤ G (hoặc H) đồ thị khung H (tương tự với G) có bán kính Từ kết từ [17], tác giả [19] nghiên cứu số kết nối (1, 2)−cầu vồng ¯ Sau đó, họ mơ tả đồ thị bậc n với số kết nối (1, 2)−cầu vồng G với vài ràng buộc G ¯ ≤ n + cho n − n − Sử dụng kết này, tác giả chứng minh rc1,2 (G) + rc1,2 (G) ¯ Dấu xảy G G ¯ đồng cấu đồ thị kép đồ thị liên thông G G ¯ Đầu tiên với điều kiện đường kính diam(G) đồ thị bù G: ¯ ≥ rc1,2 (G) ≤ Định lí 4.4.4 [19] Nếu G đồ thị với diam(G) Chứng minh: ¯ ≥ hiển nhiên G phải liên thơng Đầu tiên với diam(G) ¯ Với Ni (x) = {v : distG¯ (x, v) = i} với ≤ i ≤ Chọn đỉnh x thỏa mãn eccG¯ (x) = diam(G) N4 (x) = {v : distG¯ (x, v) ≥ 4} Rõ ràng Ni (0) = {0} Để thuận tiện ta sử dụng Ni ( với ≤ i ≤ 4) thay Ni (x) ni thay |Ni | Khi tất cạnh G có dạng uv, u ∈ N1 v ∈ N3 ∪ N4 u ∈ N2 v ∈ N4 (Hình 4.4) 38 luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep Hình 4.4: Đồ thị G mơ tả chứng minh Ta kí hiệu Ni,j (0 ≤ i 6= j ≤ 4) tập cạnh Ni Nj G Ta có bốn trường hợp ¯ dùng trường hợp phép tô màu (1, 2)−cầu vồng tương ứng Và f (e)(e ∈ E(G)) để biểu diễn màu gán cho e Trường hợp 1: n4 > Ta tô tất cạnh N1,3 với màu 3, cạnh N0,3 với màu 3, N0,4 với màu 2, N0,2 với màu 3, N2,4 với màu Ngồi ra, ta tơ màu cạnh N1,4 cho v ∈ N1 , {f (vs) : s ∈ N4 } = {1, 2} Khi với u, v ∈ N1 ( n1 > 1), phải tồn s1 , s2 ∈ N4 (có thể s1 = s2 ) cho f (us1 ) = f (vs2 ) = Khi hai đường us1 v us1 xss2 v, với s ∈ N2 , đường 2−cầu vồng (u, v) Tương tự với trường hợp khác Trường hợp 2: n4 = 1, n3 > n1 = Ta tô tất cạnh N1,3 với màu 1, cạnh N1,4 với màu 3, N0,3 với màu 1, N0,4 với màu 2, N0,2 với màu 1, N2,4 với màu Khi phép tô màu làm cho G liên thông (1, 2)−cầu vồng Trường hợp 3: n4 = 1, n3 > n1 > Với G0 đồ thị hai phía đầy đủ G0 = G[N1 ∪ N2 ] Theo 4.3.3, ta sử dụng tối đa màu để G0 đồ thị (1, 2)−liên thông cầu vồng Ta tô tất cạnh N1,4 với màu 1, cạnh N0,3 với màu 2, N0,4 với màu 3, N0,2 với màu N2,4 với màu Khi dễ thấy phép tơ màu làm cho G liên thông (1, 2)−cầu vồng Trường hợp 4: n4 = 1, n3 = Ta tô tất cạnh N1,3 với màu 1, cạnh N1,4 với màu 1, N0,3 với màu 2, N0,4 với màu , N0,2 với màu N2,4 với màu Tương tự phép tơ màu làm cho G liên thơng (1, 2)−cầu vồng Vậy ta có điều phải chứng minh Với cách chứng minh tương tự, bên cạnh điều kiện đường kính tác giả bổ sung thêm điều ¯ đồ thị không tam giác (khơng có ba cạnh đồ thị tạo thành hình tam kiện đồ thị bù G giác) để giới hạn số rc1,2 ¯ đồ thị khơng tam giác diam(G) ¯ = Định lí 4.4.5 [19] Với G đồ thị có (G) rc1,2 (G) ≤ ¯ đồ thị không tam giác diam(G) ¯ =2 Định lí 4.4.6 [19] Với G đồ thị liên thông Nếu (G) rc1,2 (G) ≤ Bên cạnh đó, tác giả tiếp tục khảo sát đồ thị có số kết nối (1, 2)−cầu vồng lớn đồ thị n đỉnh, cụ thể xác định đồ thị có rc1,2 n − n − Từ khảo sát kết 39 luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep Nordhaus–Gaddum với số kết nối (1, 2)−cầu vồng đồ thị G, với kết quả-Nordhaus-Gaddum giới hạn giới hạn (chặt chẽ) tổng tích tham số đồ thị phần bù Với T (n1 , n2 ) đồ thị kép, bậc đỉnh tâm n1 + 1và n2 + Ngoài ra, T (n1 , n2 ) đồ thị thu cách thay cạnh (cạnh nối với đỉnh lá) P3 đồ thị kép T (n1 , n2 ) kí hiệu u0 (xem 4.5) Các đồ thị G1 , , G8 định nghĩa hình 4.5 Định lí 4.4.7 [19] Với G đồ thị liên thông không tầm thường với n ≥ đỉnh Thì (i) rc1,2 (G) = n − G ∈ G1 = {Sn (n ≥ 2), T (n1 , n2 ) (n1 , n2 ≥ 1)}; (ii) rc1,2 (G) = n − G ∈ G2 = {C3 , C4 , C5 , G1 , G2 , G3 , G4 , G5 , G6 , G7 , G8 , T (n1 , n2 ) Hình 4.5: Đồ thị Gi (0 ≤ i ≤ 8) T (n1 , n2 ) G2 Và kết quả-Nordhaus-Gaddum với số kết nối (1, 2)−cầu vồng chứng minh định lý 4.4.8 cảm hứng để nghiên cứu ¯ đồ thị liên thông với n đỉnh Thì rc1,2 (G) + rc1,2 (G) ¯ ≤ n + Định lí 4.4.8 [19] Với G G ¯ đẳng cấu với đồ thị sao, tức G ∼ dấu xảy G G = T (n1 , n2 )(n1 , n2 ≥ 1) ∼ ¯ G = T (n1 , n2 )(n1 , n2 ≥ 1) 40 luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep Một số kết kết luận 5.1 Các kết số kết nối (1,l)-cầu vồng Lấy cảm hứng từ hai báo [17, 19] tiếp tục nghiên cứu giới hạn số kết nối (1, l)−cầu vồng phụ thuộc vào kích thước đồ thị liên thơng G có kết cải tiến cho giới hạn Bên cạnh chúng tơi khảo sát số kết nối (1, l)−cầu vồng đồ thị liên thơng có chứa chuỗi cạnh cắt Hơn nữa, tương tự [19] mô tả đặc điểm tất đồ thị liên thơng có số kết nối (1, 2)−cầu vồng lớn Các kết trình bày chương cơng bố [2] Trước tiên chúng tơi trình bày số kết công cụ để chứng minh kết Nhận xét 5.1.1 Với P = v1 v2 đường có n(P ) đỉnh l số nguyên dương Ta tô màu tất cạnh P với màu từ [l] có nghĩa đường độ dài lớn l cầu vồng Định nghĩa 5.1.2 Với G đồ thị P đường l cạnh P gọi l−cạnh cắt G cạnh P cạnh cắt G Đầu tiên, chứng minh cải tiến nhỏ giới hạn số kết nối (1, l)−cầu vồng 41 luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep Định lí 5.1.3 [2] Với G đồ thị liên thông với số cạnh m(G) l ≥ số nguyên Nếu p(G) số cạnh đường dài G ≤ rc1,l (G) ≤ min{m(G), m(G) + l + − p(G)} Hình 5.1: Phép tơ màu (1, 4)−cầu vồng cho đồ thị G có m(G) = p(G) = với rc1,4 (G) = Chứng minh: Theo 4.3.1, định lý hiển nhiên p(G) ≤ l + nên ta cần chứng minh trường hợp p(G) > l + Xét trường hợp p(G) > l + 1, ta phép tô màu với [m(G) + l + − p(G)] \ [l + 1] màu làm G liên thông (1, l)−cầu vồng Với P = v1 v2 vp(G)+1 đường dài G Ta tô màu tất cạnh P l + màu Do đó, P đường l−cầu vồng Lại có m(G) − p(G) số cạnh chưa tơ màu G Tiếp theo, cạnh chưa tô màu G gán màu từ [m(G) + l + − p(G)] \ [l + 1] Có thể dễ dàng thấy hai đỉnh phân biệt G nối với đường l−cầu vồng Do đó, đồ thị G (1, l)−liên thơng cầu vồng Do đó, rc1,l (G) ≤ m(G) + l + − p(G) Điều phải chứng minh Sau chúng tơi xác định số kết nối (1, l)−cầu vồng đồ thị liên thông G thỏa mãn điều kiện chứa đường l−cạnh cắt, với l ≥ số nguyên dương Định lí 5.1.4 [2] Cho số nguyên dương l ≥ Với G đồ thị liên thông với đường l−cạnh cắt Gọi P = v1 v2 vl+1 H1 , H2 hai thành phần G tạo thành xóa tất đỉnh từ V (P )\{v1 , vl+1 } Nếu Gi đồ thị liên thông cho Gi = G[V (Hi ) ∪ V (P )] i ∈ [2], rc1,l (G) = max{rc1,l (G1 ), rc1,l (G2 )} Chứng minh: Đầu tiên ta dễ dàng thấy rc1,l (G) ≥ max{rc1,l (G1 ), rc1,l (G2 )} Ta chứng minh rc1,l (G) ≤ max{rc1,l (G1 ), rc1,l (G2 )}: Gọi rc1,l (G1 ) = k1 , rc1,l (G2 ) = k2 Khơng tính tổng qt ta giả sử k1 ≥ k2 Gọi i ∈ [2] ci phép tô màu (1, l)−cầu vồng Gi với ki , ci (e) ∈ [ki ] với cạnh e ∈ E(Gi ) cho c1 (vt vt+1 ) = c2 (vt vt+1 ), vt ∈ V (P ) t ∈ [l] , {c2 (e) : e ∈ E(G2 )} ⊆ {c1 (e) : e ∈ E(G1 )} 42 luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep Gọi c phép tô màu cạnh G cho c(e) = c1 (e) với e ∈ E(G1 ) c(e) = c2 (e) với trường hợp lại Rõ ràng c phép tô k1 màu làm G (1, l)−cầu vồng Tiếp theo ta G đồ thị liên thông (1, l)−cầu vồng Với hai đỉnh phân biệt G, gọi u, v ∈ V (G), dễ dàng thấy có đường (1, l)−cầu vồng chúng u, v ∈ V (G1) u, v ∈ V (G2 ) Do đó, xét u ∈ V (G1 )\V (P ) v ∈ V (G2 )\V (P ) Vì c1 phép tô màu (1, l)−cầu vồng G1 , nên tồn đường (1, l)−cầu vồng nối u vl+1 Tương c2 phép tô màu (1, l)−cầu vồng G2 nên tồn đường (1, l)−cầu vồng nối v v1 Vì c1 (vt vt+1 ) = c2 (vt vt+1 ), t ∈ [l], dễ dàng suy PG = uP1 v1 P vl+1 P2 v đường (1, l)−cầu vồng nối u, v G Do đó, ta có rc1,l (G) ≤ k1 Vậy ta có điều phải chứng minh Cuối cùng, sử dụng định lý 5.1.3 xác định tất đồ thị liên thông có số kết nối (1, 2)−cầu vồng lớn Tương tự kết định lý 4.4.7 [19] sử dụng khái niệm đồ thị Sn với n đỉnh đồ thị kép T (n1 , n2 ) kí hiệu Tn1 ,n2 , bậc đỉnh tâm tương ứng n1 + n2 + Hình 5.2: Đồ thị Sn đồ thị kép T (n1 , n2 ) Mệnh đề 5.1.5 [2] Cho G đồ thị liên thông không tầm thường với m(G) cạnh Thì rc1,2 (G) = m(G) G ∼ = Sn , với n ≥ G ∼ = T (n1 , n2 ), với n1 , n2 ≥ Chứng minh: Nếu G ∼ = Sn G ∼ = T (n1 , n2 ) dễ dàng có rc1,2 (G) = m(G) Tiếp theo ta chứng minh chiều ngược lại Gọi T khung G Thì ta có m(T ) ≤ m(G) Từ định lý 4.3.2[17], ta có rc1,2 (G) ≤ rc1,2 (T ) Vì rc1,2 (G) = m(G) nên ta thấy m(G) = rc1,2 (G) ≤ rc1,2 (T ) Gọi P đường dài T p(T ) số cạnh P Theo Định lý 5.1.3, rc1,2 (T ) ≤ min{m(T ), m(T ) + − p(T )} Nếu p(T ) > rc1,2 (T ) ≤ m(T ) + − p(T ) Vậy m(G) ≤ m(T ) + − p(T ), mâu thuẫn với m(T ) ≤ m(G) ∼ T (n1 , n2 ) Mặt khác, m(G) = Vậy p(T ) ≤ Vì T cây, nên ta kết luận T ∼ = Sn = rc1,2 (G) ≤ rc1,2 (T ) ≤ m(T ) Dễ dàng suy G ∼ = T tức G Do đó, G ∼ = Sn G∼ = T (n1 , n2 ) 43 luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep 5.2 Ứng dụng Nghiên cứu khả kết nối đồ thị tốn móng lý thuyết đồ thị, nghiên cứu khái niệm liên quan đến kết nối phát triển gần thành lĩnh vực nghiên cứu có nhiều kết Phần lớn động lực cho nghiên cứu đến từ công nhận kết nối mạng an tồn mơ hình hóa hiệu cách sử dụng mơ hình lý thuyết đồ thị Việc thiếu mơ nhấn mạnh sau vụ công khủng bố ngày 11 tháng năm 2001, nơi quan thực thi pháp luật phủ khác khơng thể trao đổi thông tin phần thiếu giao thức liên lạc an toàn Chartrand cộng đề xuất giao thức bảo mật dựa khái niệm kết nối cầu vồng hữu ích Và tốn tìm số biện pháp bảo mật cho hai quan sử dụng máy bảo mật khác kết nối đường truyền thơng tin tốn tìm số kết nối rc đồ thị Tuy nhiên Chakraborty cộng [5] chứng minh việc tính tốn số kết nối cầu vồng đồ thị tốn NP-khó Mơ hình kết nối quy mơ hình có ràng buộc yếu so với kết nối cầu vồng Khơng giống mơ hình kết nối cầu vồng, kết nối đường truyền cụ thể phải sử dụng biện pháp bảo mật (password khơng trùng tồn đường truyền), số kết nối quy hiệu chỗ yêu cầu kết nối liên tiếp sử dụng biện pháp bảo mật khác (password kết nối liên tiếp khác nhau) Một trung gian hai mơ hình kết nối k−cầu vồng, khơng kết nối liên tiếp phải khác mà tập hợp k kết nối liên tiếp phải khác biệt Trong mạng, giả sử nhóm k bên dự định tổ chức họp an toàn bao gồm tất thành viên nhóm tham dự Để đảm bảo tất bên kết nối, cần mạng chứa tất thành viên nhóm, để họp bảo mật, khơng có hai kết nối liền kề phải sử dụng biện pháp bảo mật Trường hợp mơ tả xác phép tơ màu k−chính quy, tạo hiệu với số sắc số k−chính quy màu Một ví dụ khác tính ứng dụng khái niệm kết nối, thiết kế xây dựng mạng truyền thông khơng dây tháp tín hiệu, u cầu mạng phải kết nối Nếu có kết nối trực tiếp hai tháp A B, chẳng hạn có núi giữa, phải có tuyến đường qua tháp khác để từ A đến B Khi đường truyền khơng dây qua tháp tín hiệu, để tránh nhiễu, hữu ích tín hiệu đến tín hiệu không tần số Giả sử gán đỉnh cho tháp tín hiệu, cạnh hai đỉnh tháp tín hiệu tương ứng kết nối trực tiếp tín hiệu gán màu cho cạnh dựa tần số được sử dụng cho đường truyền hai tháp Khi đó, số tần số cần thiết để gán cho kết nối tháp để ln có đường tránh nhiễu cặp tháp số kết nối quy đồ thị Do việc xác định giá trị số kết nối quy hay số kết nối k−cầu vồng số lớp đồ thị đặc biệt hay giới hạn cận mang lại ý nghĩa lớn việc tiết kiệm chi phí bảo mật 44 luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep Kết luận hướng phát triển đề tài 6.1 Kết luận Luận văn “Nghiên cứu số vấn đề kết nối lớp đồ thị liên thơng ứng dụng” trình bày kiến thức loại kết nối cầu vồng kết nối cầu vồng mở rộng Đồng thời chứng minh số kết số kết nối (k, l)−cầu vồng Đề tài giải vấn đề sau: • Trình bày sở lý thuyết liên quan đến lý thuyết đồ thị • Trình bày sở lý thuyết khái niệm kết nối kết nối mở rộng • Trình bày tính chất kết nối cầu vồng kết nối cầu vồng mở rộng lớp đồ thị liên thơng • Trình bày kết cải tiến giới hạn số kết nối (1, l)−cầu vồng • Khảo sát chứng minh kết số kết nối (1, l)−cầu vồng đồ thị có l− cạnh cắt • Khảo sát lớp đồ thị có số kết nối (1, 2)−cầu vồng lớn Các kết liên quan đến luận văn thạc sĩ bao gồm báo nghiên cứu "A note of generalized rainbow connection of connected graphs and their number of edges"[2] tập 3, số 66(2021) Tạp chí khoa học, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 45 luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep 6.2 Hướng phát triển Do hạn chế thời gian nên nội dung nghiên cứu đề tài cần phát triển thêm lớp đồ thị khác cải tiến giới hạn số kết nối (1, l)−cầu vồng 46 luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep Tài liệu tham khảo [1] E Andrews, C Lumduanhom, E Laforge, and P Zhang On proper-path colorings in graphs 2016 [2] N T T Anh and L T Duyen A note on generalized rainbow connection of connected graphs and their number of edges Journal of Science Natural Science, 66:3–7, 10 2021 doi: 10.18173/ 2354-1059.2021-0041 [3] V Borozan, S Fujita, A Gerek, C Magnant, Y Manoussakis, L Montero, and Z Tuza Proper connection of graphs Discrete Mathematics, 312(17):2550–2560, 2012 [4] Y Caro, A Lev, Y Roditty, Z Tuza, and R Yuster On rainbow connection the electronic journal of combinatorics, 15(1):R57, 2008 [5] S Chakrborty, E Fischer, A Matsliah, and R Yuster Hardness and algorithms for rainbow connectivity In Proceedings of the 26th International Symposium on Theoretical Aspects of Computer Science (STACS), Freiburg, pages 243–254, 2009 [6] L S Chandran, A Das, D Rajendraprasad, and N M Varma Rainbow connection number and connected dominating sets Electronic Notes in Discrete Mathematics, 38:239–244, 2011 [7] G Chartrand, G L Johns, K A McKeon, and P Zhang Rainbow connection in graphs Mathematica Bohemica, 133(1):85–98, 2008 [8] G Chartrand, G L Johns, K A McKeon, and P Zhang The rainbow connectivity of a graph Networks: An International Journal, 54(2):75–81, 2009 [9] S Devereaux Color-connected graphs and information-transfer paths 2017 [10] S Devereaux, G Johns, and P Zhang Color connection in graphs intermediate to proper and rainbow connection J Combin Math Combin Comput., to appear Search in, 2018 [11] J.-L Fouquet and J.-L Jolivet Strong edge-colorings of graphs and applications to multi-k-gons Ars Combinatoria A, 16:141–150, 1983 [12] Z Huang and X Li Hardness results for three kinds of colored connections of graphs Theoretical Computer Science, 841:27–38, 2020 47 luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep [13] M Krivelevich and R Yuster The rainbow connection of a graph is (at most) reciprocal to its minimum degree Journal of Graph Theory, 63(3):185–191, 2010 [14] V Le and Z Tuza Finding Optimal Rainbow Connection is Hard Preprints aus dem Institut fă ur Informatik / CS Inst fă ur Informatik, 2009 URL https://books.google.com.vn/books? id=0ErVPgAACAAJ [15] X Li and Y Sun Note on the rainbow k-connectivity of regular complete bipartite graphs arXiv preprint arXiv:1004.2312, 2010 [16] X Li and Y Sun Rainbow connections of graphs Springer Science & Business Media, 2012 [17] X Li, C Magnant, M Wei, and X Zhu Distance proper connection of graphs arXiv preprint arXiv:1606.06547, 2016 [18] X Li, C Magnant, and Z Qin Properly colored connectivity of graphs Springer, 2018 [19] X Li, C Magnant, M Wei, and X Zhu Generalized rainbow connection of graphs and their complements Discuss Math Graph Theory, 38(2):371–384, 2018 [20] N Đ Nghĩa and N T Thành Toán rời rạc, 2001 [21] I Schiermeyer Rainbow connection in graphs with minimum degree three In International Workshop on Combinatorial Algorithms, pages 432–437 Springer, 2009 [22] I Schiermeyer Bounds for the rainbow connection number of graphs Discuss Math Graph Theory, 31(2):387–395, 2011 [23] X L Y Sun On the rainbow k-connectivity of complete graphs Australasian journal of combinatorics, 49:217–226, 2011 [24] S A van Aardt, C Brause, A P Burger, M Frick, A Kemnitz, and I Schiermeyer Proper connection and size of graphs Discrete Mathematics, 340(11):2673–2677, 2017 [25] D B West et al Introduction to graph theory, volume Prentice hall Upper Saddle River, 2001 48 luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep Chỉ mục (k,l)-liên thông cầu vồng, 11 đồ thị sao, 22 (k,l)-liên thơng quy, 33 đồ thị sao, 17 đồ thị kép, 40 B đồ thị tầm thường, 16 bán kính, 22 đồ thị thưa, 11 bậc đỉnh, 15 đồ thị vòng, 16 C đơn đồ thị vô hướng, 14 cầu, 21 đường đi, 20 cây, 18, 22 đường cầu vồng, chu trình Hamilton, 22 đường quy, 10 đường Hamilton, 21 Đ đường l-cầu vồng, 33 đa cạnh, 14 đường kính, 22 đẳng cấu đồ thị, 17 đường l-cầu vồng, 11 đỉnh cắt, 21 đường riêng biệt rời nhau, 21 độ lệch tâm, 22 đường truyền tin an toàn, đồ thị 2− liên thông, 21 đồ thị bánh xe, 16 K đồ thị bù, 17 kết nối, đồ thị quy, 16 Kết nối cầu vồng, đồ thị con, 18 kết nối quy, 10 đồ thị dày, 11 kết quả-Nordhaus-Gaddum, 40 đồ thị đầy đủ, 16 khoảng cách, 22 đồ thị đường, 16 khuyên, 14 đồ thị hai phía, 17 k-liên thơng, 21 đồ thị hai phía đầy đủ, 17 k-liên thơng quy, 10, 11 đồ thị không tam giác, 39 đồ thị không tầm thường, L đồ thị lập phương, 16 lá, 22 49 luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep l−cạnh cắt, 41 phép tơ t màu quy, 10 liên thơng cầu vồng, R N rừng, 22 NP-đầy đủ, 11 S NP-khó, 11 số (k,l)-liên thông cầu vồng, 33 P số kết nối (k,l)- quy, 33 phép ghép đồ thị, 19 số kết nối cầu vồng, phép giao đồ thị, 19 số liên kết quy, 10 phép hợp đồ thị, 18 số màu cạnh, 29 phép tô màu (k,l)-cầu vồng, 11, 33 phép tơ màu (k,l)-chính quy, 33 T phép tơ màu cạnh, tích đề-các, 19 phép tơ màu cầu vồng, tô màu cạnh mạnh, 11 phép tô màu cầu vồng tối thiểu, phép tô màu quy, 10 X phép tơ màu mạnh, 33 xóa cạnh, 18 phép tơ t màu (k,l)-đường quy, 33 xóa đỉnh, 18 50 luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep an to nghiep docx 123docz luan van hay luan van tot nghiep