Con lắc đơn gồm một vật nhỏ, khối lượng m, treo ở đầu một sợi dây mềm không dãn, khối lượng không đáng kể, dài l. - Trong hệ quy chiếu quán tính, vị trí cân bằng của con lắc đơn là vị trí dây treo có phương thẳng đứng, vật nặng ở vị trí thấp nhất.
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KINH NGHIỆM GIẢI BÀI TẬP VỀ CHU KỲ CỦA CON LẮC ĐƠN I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1.Khái niệm con lắc đơn. - Con lắc đơn gồm một vật nhỏ, khối lượng m, treo ở đầu một sợi dây mềm không dãn, khối lượng không đáng kể, dài l. - Trong hệ quy chiếu quán tính, vị trí cân bằng của con lắc đơn là vị trí dây treo có phương thẳng đứng, vật nặng ở vị trí thấp nhất. - Khi dao động của con lắc đơn với góc lệch nhỏ ( sinα a » (rad)), con lắc dao động điều hoà với chu kỳ: g l T p 2= Trong đó:l là chiều dài của con lắc (đơn vị là mét); g là gia tốc trọng trường tại vị trí đặt con lắc ( đơn vị m/s 2 ). 2. Con lắc đồng hồ. - Đồng hồ quả lắc có con lắc làm bằng thanh kim loại mảnh và dao động của con lắc có thể coi như dao động điều hoà của con lắc đơn. - Chu kỳ chạy đúng của đồng hồ là T (thường T =2s); trong một số trường hợp do nhiệt độ môi trường thay đổi và vị trí đặt con lắc thay đổi nên đồng hồ chạy sai. Gọi chu kỳ chạy sai của đồng hồ là T 2 (còn chu kỳ chạy đúng T =T 1 ) và độ biến thiên chu kỳ là D T = T 2 – T 1 . Nếu: + D T> 0: T 2 > T 1 : Chu kỳ tăng, đồng hồ chạy chậm. + D T< 0: T 2 < T 1 :Chu kỳ giảm, đồng hồ chạy nhanh. + D T= 0. Chu kỳ không đổi, con lắc chạy đúng. - Thời gian con lắc đồng hồ chạy sai sau khoảng thời gian t : + Thời gian biểu kiến con lắc chạy sai chỉ là: 1 ' nT= t . Với n là số chu kỳ con lắc chạy sai T 2 trong khoảng thời gian t : 2 T n t = . + Thời gian chạy sai: 12 ' T T T T D » D =-= ttttq Nếu T 2 thay đổi không đáng kể so với T 1 thì: 1 T TD » tq II. CÁC DẠNG BÀI TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Chu kỳ con lắc đơn thay đổi theo chiều dài l. 1.1/ Con lắc đơn có chiều dài cắt ghép. 1.2/ Chu kỳ của con lắc vướng đinh . 1.3/ Chiều dài con lắc đơn thay đổi theo nhiệt độ môi trường. 1.4/ Chiều dài con lắc thay đổi do cắt (hoặc thêm) một lượng rất nhỏ l D Dạng 2: Chu kỳ con lắc đơn thay đổi theo gia tốc trọng trường g. 2.1/ Gia tốc g thay đổi theo độ cao. 2.2/ Gia tốc trong trường g thay đổi theo độ sâu. 2.3/ Thay đổi vị trí địa lí đặt con lắc. Dạng 3: Thay đổi đồng thời cả chiều dài l và gia tốc trọng trường g. 3.1/ Thay đổi nhiệt độ môi trường và thay đổi gia tốc trọng trường g. 3.2/ Chiều dài con lắc thay đổi do cắt (hoặc thêm) một lượng l D và thay đổi gia tốc g. Dạng 4: Chu kỳ con lắc đơn thay đổi khi có tác dụng của ngoại lực. 4.1/ Lực đẩy Acsimet. 4.2/ Lực điện. 4.3/ Lực quán tính. Sử dụng một số công thức gần đúng: Nếu e rất nhỏ so với 1 thì: ;1)1( ee n n +»+ ;1)1( ee n n -»- 2121 1)1)(1( eeee ±±»±± Dạng 1: Chu kỳ con lắc đơn thay đổi theo chiều dài l 1.1/ Con lắc đơn có chiều dài cắt ghép. * Phương pháp: - Viết công thức tính chu kỳ T theo chiều dài l 1 ;l 2 :( giả sử l 2 >l 1 ). g l T 1 1 2 p = g l T 2 2 2 p = - Chu kỳ T của con lắc chiều dài l là g l T p 2= l = l 1 +l 2 Biến đổi ta được : 2 2 2 1 TTT += l = l 1 - l 2 Tương tự: 2 2 2 1 TTT -= * Ví dụ: Ví dụ 1: Con lắc đơn chiều dài l 1 dao động điều hoà tại một nơi với chu kỳ T 1 = 1,5s. Con lắc đơn chiều dài l 2 cũng dao động điều hoà tại nơi đó với chu kỳ T 2 =0,9s. Tính chu kỳ của con lắc chiều dài l dao động điều hoà ở nơi trên với: l = l 1 +l 2 và l = l 1 - l 2 Hướng dẫn: -Với l = l 1 +l 2 Sử dụng công thức 2 2 2 1 TTT += Thay số: sT 75,19,05,1 22 =+= -Với l = l 1 - l 2 Sử dụng công thức 2 2 2 1 TTT -= Thay số: sT 2,19,05,1 22 =-= Ví dụ 2: Một con lắc đơn có dây treo chiều dài l. Người ta thay đổi độ dài của nó tới giá trị l ’ sao cho chu kỳ dao động mới chỉ bằng 90% chu kỳ dao động ban đầu. Hỏi chiều dài l ’ bằng bao nhiêu lần chiều dài l ? Hướng dẫn: Chu kỳ con lắc chiều dài l và l ’ lần lượt là: g l T p 2 1 = và g l T ' 2 2 p = Tỷ số: 9,0%90 ' 1 2 === l l T T ll 81,0 ' =Þ Ví dụ 3: Tại một nơi trên mặt đất một con lắc đơn dao động điều hoà.Trong khoảng thời gian t D , con lắc thực hiện 60 dao động toàn phần; thay đổi chiều dài con lắc một đoạn 44 cm thì cũng trong khoảng thời gian t D ấy, nó thực hiện 50 dao động toàn phần. Xác định chiều dài ban đầu của con lắc ? Hướng dẫn: Gọi chu kỳ con lắc chiều dài l 1 , l 2 là T 1 ;T 2 Xét trong khoảng thời gian t D như nhau thì: 60T 1 = 50T 2 5 6 1 2 1 2 ==Þ l l T T 25 36 1 2 =Þ l l 12 25 36 ll =Þ và l 2 = l 1 +44. Giải hệ được: l = 100 cm. 1.2/Chu kỳ của con lắc vướng đinh . *Phương pháp: Một dao động toàn phần của con lắc bị vướng đinh gồm 2 giai đoạn: + Giai đoạn đầu con lắc dao động với chiều dài l và chu kỳ g l T p 2 1 = . + Giai đoạn còn lại nó dao động với chiều dài l ’ (điểm treo con lắc là vị trí đinh) và chu kỳ g l T ' 2 2 p = . Chu kỳ của con lắc là: )( 2 1 2 1 2 1 2121 TTTTT +=+= * Ví dụ: Một con lắc đơn gồm một quả cầu nhỏ khối lượng m làm bằng thép treo vào đầu một sợi dây mềm có khối lượng không đáng kể dài l = 1 m.Phía dưới điểm treo Q theo phương thẳng đứng α 1 l I α 2 của sợi dây có một chiếc đinh được đóng vào điểm O ’ cách Q một đoạn O ’ Q = 50 cm sao cho con lắc bị vấp phải đinh trong quá trình dao động điều hoà. a/ Xác định chu kỳ dao động của quả cầu? cho gia tốc g = 9,8 m/s 2 b/Nếu không đóng đinh vào O ’ mà đặt tại vị trí cân bằng O một tấm thép được giữ cố định thì hiện tượng xảy ra như thế nào? (Coi rằng va chạm của quả cầu vào vật cản là hoàn toàn đàn hồi) Hướng dẫn: a/ Trong quá trình dao động con lắc bị vướng vào đinh O ’ nằm trên phương thẳng đứng của dây treo nên mỗi dao động toàn phần của con lắc gồm 2 giai đoạn + Giai đoạn đầu con lắc dao động với chiều dài l =1m và chu kỳ s g l T 2 8,9 1 22 1 === pp . + Giai đoạn còn lại nó dao động với chiều dài l ’ = OO ’ =0,5m và chu kỳ s g l T 4,1 8,9 5,0 22 ' 2 === pp . Chu kỳ của con lắc bị vướng đinh là: )( 2 1 2 1 2 1 2121 TTTTT +=+= = 1/2 (2+1,4) = 1,7 s b/ Tấm thép đặt tai VTCB O: Vì va chạm giữa quả cầu và tấm thép là hoàn toàn đàn hồi nên khi quả cầu va chạm vào tấm thép nó sẽ bật ngược lại với vận tốc có cùng độ lớn ngay trước lúc va chạm và vật lại lên đúng vị trí cao nhất A ( Vì cơ năng bảo toàn). Vậy con lắc chỉ dao động trên cung OA nên chu kỳ dao động là: T = 1/2T 1 = 1 s. *Ví dụ 1:Một đồng hồ quả lắc đếm giây có chu kỳ T = 2s. Quả lắc được coi như một con lắc đơn với dây treo và vật nặng làm bằng đồng có hệ số nở dài a = 17.10 -6 K -1 . Giả sử đồng hồ chạy đúng ở chân không, nhiệt độ 20 0 c. Tính chu kỳ của con lắc trong chân không ở 30 0 c ? ở 30 0 c đồng hồ chạy nhanh hay chậm? Mỗi ngày chạy sai bao nhiêu? Hướng dẫn: + Sử dụng công thức: 12 ) 2 1 1( TtT D+= a Thay số: 2)).2030(10.17 2 1 1( 6 2 -+= - T = 2,00017 s + Chu kỳ T 2 >T nên đồng hồ chạy chậm. Thời gian chạy chậm trong một ngày đêm : t = 24.60.60 s là: t T T D= D = attq 2 1 1 = 24.3600.1/2.17.10 -6 .10 = 7,34 s. Ví dụ 2: Một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ vào mùa nóng khi nhiệt độ trung bình là 32 0 c, con lắc có thể xem là con lắc đơn. Hệ số nở dài của dây treo con lắc a = 2.10 -5 K -1 . Vào mùa lạnh nhiệt độ trung bình là 17 0 c hỏi con lắc sẽ chạy như thế nào? Một tuần nó chay sai bao nhiêu? Hướng dẫn: Do nhiệt độ vào mùa đông giảm nên chu kỳ con lắc giảm, đồng hồ chạy nhanh. Một tuần : t = 7.24.60.60 s đồng hồ chạy nhanh một thời gian: t T T D= D = attq 2 1 1 = 7.24.3600.1/2.2.10 -5 .15 = 90,72 s. Ví dụ 3: Con lắc đồng hồ có dây treo làm bằng thanh kim loại mảnh. khi nhiệt độ môi trường tăng thêm 10 0 c thì trong 12 giờ con lắc chạy chậm 30s. Nếu muốn con lắc chạy mỗi ngày chỉ chậm 45s thì nhiệt độ môi trường phải tăng lên bao nhiêu? Coi gia tốc trọng trường không thay đổi. Hướng dẫn: Vận dụng công thức: t T T D= D = attq 2 1 1 Khi nhiệt độ tăng thêm30 0 c thì mỗi ngày sẽ chạy chậm: 1 1 1 60 2 t s q a = D = ; Nếu con lắc chạy chậm mỗi ngày 45s thì nhiệt độ tăng lên 2 t D thoả mãn: 0 2 2 2 1 1 45 3/ 4 11,25 2 t s t t c q a = D = Þ D = D = 1.3.Chiều dài con lắc đơn thay đổi theo nhiệt độ môi trường. - Con lắc đơn có dây treo làm bằng thanh kim loại mảnh khi nhiệt độ môi trường thay đổi từ t 1 đến t 2 thì chiều dài của dây được xác định bởi: ).1( 12 tll D+= a với 12 ttt -=D : Là độ biến thiên nhiệt độ của môi trường; a : là hệ số nở dài của kim loại (Thường có giá trị rất nhỏ). * Phương pháp: + Công thức tính chu kỳ T 1 ; T 2 tương ứng với chiều dài l 1 , l 2 của con lắc: g l T 1 1 2 p = g l T 2 2 2 p = + Xét tỷ số: tt l tl l l T T D+»D+= D+ == aa a 2 1 1)1( )1( 2 1 1 1 1 2 1 2 12 ) 2 1 1( TtT D+=Þ a Và : t T TT T T D= - = D a 2 1 1 12 1 * Nhận xét: Khi nhiệt độ của môi trường tăng thì chu kỳ của con lắc sẽ tăng (đồng hồ chạy chậm) và ngược lại. Thời gian chạy sai sau một khoảng thời gian t : t T T D= D = attq 2 1 1 *Ví dụ 1: Một đồng hồ quả lắc đếm giây có chu kỳ T = 2s. Quả lắc được coi như một con lắc đơn với dây treo và vật nặng làm bằng đồng có hệ số nở dài a = 17.10 -6 K -1 . Giả sử đồng hồ chạy đúng ở chân không, nhiệt độ 20 0 c. Tính chu kỳ của con lắc trong chân không ở 30 0 c ? ở 30 0 c đồng hồ chạy nhanh hay chậm? Mỗi ngày chạy sai bao nhiêu? Hướng dẫn: + Sử dụng công thức: 12 ) 2 1 1( TtT D+= a Thay số: 2)).2030(10.17 2 1 1( 6 2 -+= - T = 2,00017 s + Chu kỳ T 2 >T nên đồng hồ chạy chậm. Thời gian chạy chậm trong một ngày đêm : t = 24.60.60 s là: t T T D= D = attq 2 1 1 = 24.3600.1/2.17.10 -6 .10 = 7,34 s. Ví dụ 2: Một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ vào mùa nóng khi nhiệt độ trung bình là 32 0 c, con lắc có thể xem là con lắc đơn. Hệ số nở dài của dây treo con lắc a = 2.10 -5 K -1 . Vào mùa lạnh nhiệt độ trung bình là 17 0 c hỏi con lắc sẽ chạy như thế nào? Một tuần nó chay sai bao nhiêu? Hướng dẫn: Do nhiệt độ vào mùa đông giảm nên chu kỳ con lắc giảm, đồng hồ chạy nhanh. Một tuần : t = 7.24.60.60 s đồng hồ chạy nhanh một thời gian: t T T D= D = attq 2 1 1 = 7.24.3600.1/2.2.10 -5 .15 = 90,72 s. Ví dụ 3: Con lắc đồng hồ có dây treo làm bằng thanh kim loại mảnh. khi nhiệt độ môi trường tăng thêm 10 0 c thì trong 12 giờ con lắc chạy chậm 30s. Nếu muốn con lắc chạy mỗi ngày chỉ chậm 45s thì nhiệt độ môi trường phải tăng lên bao nhiêu? Coi gia tốc trọng trường không thay đổi. Hướng dẫn: Vận dụng công thức: t T T D= D = attq 2 1 1 Khi nhiệt độ tăng thêm30 0 c thì mỗi ngày sẽ chạy chậm: 1 1 1 60 2 t s q a = D = ; Nếu con lắc chạy chậm mỗi ngày 45s thì nhiệt độ tăng lên 2 t D thoả mãn: 0 2 2 2 1 1 45 3/ 4 11,25 2 t s t t c q a = D = Þ D = D = 1.4/Chiều dài con lắc thay đổi do cắt (hay thêm) một lượng rất nhỏ ∆l * Phương pháp: + Chu kỳ T theo chiều dài l 1 ; l 2 :( giả sử l 2 = l 1 + l D ). g l T 1 1 2 p = g l T 2 2 2 p = + Tỷ số: 1 2 1 11 1 1 2 1 2 2 1 1)1( l l l l l ll l l T T D +» D += D+ == Khi đó: 1 1 2 ) 2 1 1( T l l T D +» Và: 11 12 1 2 1 l l T TT T T D = - = D Với l D = l 2 - l 1 + Thời gian chạy sai sau khoảng thời gian t 11 2 1 l l T T D = D = ttq * Ví dụ 1:Một con lắc đếm giây có chu kỳ chạy đúng T = 2 s. Người ta thay đổi một lượng nhỏ chiều dài con lắc thì thấy mỗi ngày nó chạy nhanh 90s. Hỏi chiều dài đã thay đổi một lượng bằng bao nhiêu chiều dài ban đầu,biết gia tốc trọng trường của con lắc không thay đổi. Hướng dẫn: Vì đồng hồ chạy nhanh (chu kỳ giảm) và gia tốc trọng trường g không thay đổi nên chiều dài con lắc phải giảm. Sử dụng công thức: 90 2 1 .3600.24 2 1 111 = D = D = D = l l l l T T ttq = D Þ 1 l l 0,00208 = 0,208% Vậy chiều dài của con lắc giảm đi một đoạn bằng 0,208% chiều dài ban đầu. Ví dụ 2. Một con lắc đơn dao động nhỏ với chu kỳ T.Nếu chu kỳ của con lắc bị giảm 1% so với giá trị lúc đầu thì chiều dài của con lắc sẽ thay đổi như thế nào? Bằng bao nhiêu phần trăm so với chiều dài ban đầu? Hướng dẫn: Vì chu kỳ tỷ lệ thuận với căn bậc hai chiều dài nên chu kỳ giảm chiều gài cũng giảm: Vận dụng công thức : 0,01 0,02 2 T l l T l l D D D = = Þ = Vậy chiều dài con lắc giảm 2%. Dạng 2: Chu kỳ con lắc thay đổi theo gia tốc trọng trường g. 2.1/Gia tốc g thay đổi theo độ cao. * Phương pháp: +Tại mặt đất gia tốc g được xác định: g = G 2 R M . Chu kỳ g l T p 2 1 = Tại độ cao h so với mặt đất ( h rất nhỏ so với R): g ’ = G 2 )( hR M + . Khi đó ' 2 2 g l T p = + Tỷ số R h R hR g g T T += + == 1 ' 1 2 12 )1( T R h T +=Þ R h T T = D Þ 1 * Nhận xét: Đưa con lắc lên cao chu kỳ tăng nên đồng hồ chạy chậm. Thời gian con lắc đồng hồ chạy chậm sau khoảng thời gian t : R h T T ttq = D = 1 * Ví dụ 1:Một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ trên mặt đất với chu kỳ T =2s. Đưa con lắc lên độ cao h=1km so với mặt đất và coi như nhiệt độ ở độ cao đó không đôi so với mặt đất. a/ Xác định chu kỳ của con lắc tại độ cao đó? Cho bán kính trái đất R= 6370 km. b/ Tại độ cao h con lắc chạy nhanh hay chậm , mỗi ngày chạy sai bao nhiêu? Hướng dẫn: a/Chu kỳ của đồng hồ ở độ cao h: 12 )1( T R h T += Thay số: 2). 6370 1 1( 2 +=T =2.00013 s. b/Chu kỳ tăng, đồng hồ chạy chậm: 6370 1 .3600.24 1 == D = R h T T ttq = 13,569 s Ví dụ 2:Một con lắc đơn có chu kỳ dao động T = 4s tại mặt đất. Đem con lắc lên độ cao h so với mặt đất thì chu kỳ dao động thay đổi 0,2% so với ban đầu. Tính độ cao h? Cho bán kính trái đất R = 6400 km. Hướng dẫn: + Tại mặt đất chu kỳ T = 4s. Lên độ cao h chu kỳ T ’ và có: D T = T ’ - T = 0,2% T 002,0= D Þ T T + áp dụng công thức: R h T T = D 002,0=Þ R h kmRh 8,12002,0 = = Þ 2.2/ Gia tốc trong trường g thay đổi theo độ sâu. *Phương pháp:+ Tại mặt đất lực hấp dẫn của trái đất tác dụng lên vật: mg R mR G R Vm G R mM GF ==== 2 3 22 3 4 . . pr r Và chu kỳ g l T p 2 1 = + Xét ở độ sâu h trong lòng trái đất, lực hấp dẫn tác dụng lên vật: ' 2 3 2 ' 2 ' ' )( 3 4 . . mg R mhR G R mV G R mM GF = - === pr r Khi đó chu kỳ ' 2 2 g l T p = + Tỷ số R h R h hR R g g T T 2 1)1( 2 1 ' 1 2 +»-= - == - 12 ) 2 1( T R h T +=Þ R h T T 2 = D Þ * Nhận xét: Đưa con lắc xuống sâu trong lòng đất chu kỳ của con lắc tăng lên, đồng hồ chạy chậm. Thời gian đồng hồ quả lắc chạy chậm sau khoảng thời gian t : R h T T 2 1 ttq = D = * Ví dụ 1:Một con lắc đơn có chu kỳ dao động nhỏ tại mặt đất là T= 2s. Đưa con lắc xuống giếng sâu 100m so với mặt đất thì chu kỳ của con lắc là bao nhiêu ? Coi trái đất như một hình cầu đồng chất bán kính R = 6400km và nhiệt độ trong giếng không thay đổi so với nhiệt độ trên mặt đất. Hướng dẫn: Vận dụng công thức: sT R h T 0000156,2) 6400 . 2 1,0 1() 2 1( 12 =+=+= Chu kỳ con lắc dưới giếng tăng lên so với con lắc đặt trên mặt đất. Ví dụ 2:Một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ tren mặt ‘đất. Đưa đồng hồ lên cao 320m so với mặt đất thấy đồng hồ chạy chậm. Đưa đồng hồ xuống hầm mỏ sâu h ’ so với mặt đất lại thấy đồng hồ chạy giống ở độ cao h. a/ Xác định độ sâu của hầm mỏ? Coi nhiệt độ không thay đổi . b/ Sau một tuần thì đồng hồ chạy sai bao nhiêu thời gian? Coi trái đất hình cầu đồng chât bán kính R = 6400km. Giải:a/ Gọi chu kỳ chạy đúng của đồng hồ là T 1 ; chu kỳ ở độ cao h và ở hầm mỏ là T 2 và T 2 ’ . Þ T 2 = T 2 ’ 11 T T T T D = D Þ m h h hh 640 2 ' ' = = Þ = Û . của con lắc (đơn vị là mét); g là gia tốc trọng trường tại vị trí đặt con lắc ( đơn vị m/s 2 ). 2. Con lắc đồng hồ. - Đồng hồ quả lắc có con lắc làm bằng thanh kim loại mảnh và dao động của con. không đổi, con lắc chạy đúng. - Thời gian con lắc đồng hồ chạy sai sau khoảng thời gian t : + Thời gian biểu kiến con lắc chạy sai chỉ là: 1 ' nT= t . Với n là số chu kỳ con lắc chạy. PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Chu kỳ con lắc đơn thay đổi theo chiều dài l. 1.1/ Con lắc đơn có chiều dài cắt ghép. 1.2/ Chu kỳ của con lắc vướng đinh . 1.3/ Chiều dài con lắc đơn thay đổi theo nhiệt