Hsg t7 cđ16 ứng dụng nguyên lí dirchlet

ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ ĐIRRICHLE CHUYÊN ĐỀ 16 : ỨNG DỤNG NGUN LÝ DIRICHLET I TĨM TẮT LÍ THUYẾT - Nguyên lý Dirichlet nhà toán học người Đức tiếng Dirichlet đề xuất từ kỷ XX áp dụng để chứng minh tồn nghiệm nhiều toán tổ hợp Nguyên lý phát triển từ mệnh đề đơn giản gọi nguyên lý “nguyên lý cam” nguyên lý “chuồng chim bồ câu”: Giả sử có đàn chim bồ câu bay vào chuồng Nếu số chim nhiều số ngăn chuồng chắn có ngăn có nhiều chim - Một cách tổng quát, nguyên lý Dirichlet phát biểu sau: Nếu xếp nhiều n+1 đối tượng vào n hộp tồn hộp chứa khơng hai đối tượng - Việc chứng minh nguyên lý tiến hành lập luận phản chứng đơn giản: Giả sử không hộp chứa nhiều đối tượng có nhiều n đối tượng xếp hộp, trái với giả thiết số đối tượng lớn n - Nguyên lí Dirichlet mở rộng: Nếu nhốt n thỏ vào m chuồng tồn chuồng có  n  m  1  m  thỏ * Một số ý: Các toán áp dụng nguyên tắc Đirichle thường toán chứng minh tồn vật, việc mà không cần phải cách tường minh vật, việc Nhiều toán, nguyên tắc Đirichle xuất sau biến đổi qua bước trung gian, thành lập dãy số Để giải toán áp dụng nguyên tắc Đirichle, nhiều ta phải kết hợp với phương pháp chứng minh phản chứng Khi giải toán mà ta biết phải áp dụng nguyên tắc Đirichle dự đoán phải dùng nguyên tắc này, cần suy nghĩ biến đổi toán để làm xuất khái niệm "thỏ" "lồng", khái niệm "nhốt thỏ vào lồng" thỏa mãn điều kiện: + Số thỏ phải nhiều số lồng + Thỏ phải nhốt hết vào lồng, không bắt buộc lồng phải có thỏ Cũng có tốn phải áp dụng 2, lần nguyên tắc Đirichle Trong suy nghĩ giải toán ta cố gắng làm xuất khái niệm "thỏ" "lồng", trình bày phần lời giải ta cố gắng diễn đạt theo ngơn ngữ tốn học thơng thường Khi giải xong toán áp dụng nguyên tắc Điriclê, cố gắng suy nghĩ để sáng tạo toán tổng quát cụ thể Vì có ta thật nắm tốn mà làm II.CÁC DẠNG BÀI TẬP: DẠNG SỰ TƯƠNG HỖ Bài Có đấu thủ thi đấu cờ, người đấu trận với đấu thủ khác Chứng minh suốt thời gian thi đấu, ln tồn hai đấu thủ có số trận đấu TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ ĐIRRICHLE Phân tích: Ta thành lập lồng lồng chứa số trận đấu đấu thủ (có lồng), số đấu thủ ta coi thỏ Lời giải Gọi lồng 0,1, 2,3, thứ tự chứa đấu thủ đấu 0,1, 2,3, trận Cũng ý hai lồng chứa người Như có lồng, mà có người, tồn người lồng tức tồn hai đấu thủ có số trận đấu Bài Cho người tùy ý CMR số có người có số người quen (hiểu A quen B B quen A) Phân tích: Chú trọng đến câu hỏi “ người có số người quen nhau” Từ hiểu người đóng vai trị số thỏ Ta tạo lồng sau: Lồng chứa số người không quen ai, lồng chứa số người có số người quen ,… Lời giải Gọi lồng chứa người có số người quen Gọi lồng chứa người có số người quen … Gọi lồng chứa người có số người quen Như ta có lồng Nếu lồng có chứa lồng phải trống Ngược lại lồng có chứa lồng phải trống Vậy thực chất có lồng nhốt thỏ nên có người phịng tức hai người có số người quen Bài Có 10 đội bóng thi đấu với đội phải đấu trận với đội khác CMR vào lúc có hai đội đấu số trận (kể số trận đấu 0) Phân tích: Hiểu tương tự toán Lời giải Gọi A0 phịng chứa đội có số trận đấu Gọi A1 phịng chứa đội có số trận đấu … Gọi A9 phòng chứa đội có số trận đấu Nếu phịng A0 có đội phịng A9 khơng có đội ngược lại phịng A9 có đội phịng A0 khơng có đội Vậy thực chất có phịng sử dụng mà lại có đội nên có đội vào chung phịng hay có đội có số trận đấu TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang ỨNG DỤNG NGUN LÍ ĐIRRICHLE Bài Có đội bóng thi đấu với (mỗi đội phải đấu trận với đội khác) CMR vào lúc có đội cặp đấu với chưa đấu với trận Phân tích: Coi đội bóng thỏ ta tìm cách thành lập lồng Vì toán yêu cầu tận đội tức thỏ lồng nên trước tiên ta cần chọn thỏ xét thỏ khác tính chất (đã đấu hay chưa đấu) với thỏ chọn Như vậy, ta tạo lồng sau : Lồng chứa đội chưa đấu với đội chọn trận nào, lồng chứa đội đấu với đội chọn Lời giải Giả sử đội bóng A, B, C , D, E , F Xét đội A : Theo nguyên lý Dirichlet ta suy ra: A phải đấu khơng đấu với đội khác Khơng tính tổng quát, giả sử A đấu với B, C , D + Nếu B, C , D cặp chưa đấu với tốn chứng minh + Nếu B, C , D có đội đấu với nhau, ví dụ B C đội A, B, C cặp đấu với Như lúc có đội cặp đấu với chưa đấu với trận Bài Trong 45 học sinh làm kiểm tra khơng có bị điểm có học sinh điểm 10 Chứng minh tìm học sinh có điểm kiểm tra ( điểm kiểm tra số tự nhiên từ đến 10) Lời giải Số học sinh có điểm kiểm tra từ đến : 45 – 43 Ta có : 43 8.5  Như , phân chia 43 học sinh vào loại điểm kiểm tra ( từ đến ) theo ngun lí Dirichlet ln tồn  6 học sinh có điểm kiểm tra giống (đpcm ) Bài Có 17 nhà toán học trao đổi với vấn đề Mỗi người tra đổi với người vấn đề CMR có nhà tốn học trao đổi với vấn đề (I II, II III, III I) Phân tích: Tương tự 17 điểm nối với màu tồn tam giác với cạnh màu tức nhà toán học trao đổi với vấn đề Lời giải Một nhà toán học trao đổi với 16 nhà toán học khác vấn đề nên theo ngun lý Dirichlet có người người trao đổi vấn đề, giả sử vấn đề I người lại trao đổi với vấn đề: + TH1: Nếu có người trao đổi vấn đề I tốn chứng minh + TH2: Nếu khơng có người trao đổi vấn đề người trao đổi vấn đề II III TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ ĐIRRICHLE Một người trao đổi với người lại vấn đề II III Theo ngun lý Dirichlet có người người trao đổi vấn đề, giả sử vấn đề II Ba người lại tiếp tục trao đổi với nhau: + TH1: Nếu có người trao đổi với vấn đề II tốn chứng minh + TH2: Nếu khơng có người trao đổi với vấn đề II người trao đổi với vấn đề III suy tốn chứng minh Vậy ln có nhà toán học trao đổi với vấn đề DẠNG SỰ SẮP XẾP Bài Cho bảng vuông x Trên 16 ô bảng, ta đặt 16 số tự nhiên từ đến 16 Chứng minh tồn hai ô kề (tức hai có cạnh chung ) cho hiệu số hai lớn Phân tích: Vì u cầu liên quan đến hiệu hai ô cạnh (hiệu số hai ô) nên ta coi số hiệu hai cạnh số thỏ, số cặp ô cạnh từ ô ghi số đến ô ghi số 16 lồng Lời giải Xét hàng có ghi số cột có ghi số 16 Hiệu hai số 15 (coi 15 thỏ) Số cặp ô kề từ ô ghi số đến ô ghi số 16 nhiều (gồm cặp ô chung cạnh tính theo hàng cặp chung cạnh tính theo cột) (coi có lồng) Ta có: 15 6.2  Vậy theo nguyên lý Dirichlet tồn hai ô vuông chung cạnh mà hiệu số ghi chúng không nhỏ Cách khác: Chuyển từ sang kề gọi bước Xét hai ghi số số 16 chuyển từ ô ghi số đến ô ghi số 16 cần không bước chuyển (nhiều bước theo hàng ngang, bước theo hàng dọc) Tồn bước chuyển có hiệu lớn Thật giả sử tất bước chuyển nhỏ từ số 1, qua khơng q bước chuyển tăng thêm không 12, không đạt đến số 16 Vậy tồn hai ô kề có hiệu số hai lớn Bài Viết 16 số, số có giá trị 1, 2,3, Ghép thành cặp số cặp số Chứng minh tồn hai cặp số mà tồng số hai cặp Phân tích: Ta xếp tổng cặp theo thứ tự từ lớn đến bé lớn bé dãy tổng 2,3, 4,5, 6, 7,8 Ta coi tổng lồng, cịn thỏ cặp Lời giải Tổng hai số cặp cặp số có giá trị nhỏ là:  2 , có giá trị lớn là:  8 Như tổng nhận giá trị:  2,3, 4,5, 6, 7,8  Theo nguyên lý Dirichlet, tồn hai tổng nhau, tức tồn hai cặp có tổng TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ ĐIRRICHLE Bài Người ta chia hình vng thành 16 hình vng nhỏ cách chia cạnh thành phần Người ta viết vào ô bảng số  a; 0; a sau tính tổng số theo cột, hàng đường chéo Chứng minh tất tổng ln tồn tổng có giá trị Phân tích: Có tổng theo cột, theo hàng, theo đường chéo “số thỏ” Mỗi tổng có giá trị Số giá trị tổng số “lồng” Lời giải Số hàng: 4; Số cột: 4; Số đường chéo: Như có 10 tổng Các giá trị có cộng số hàng, cột đường chéo  4a;  3a;  2a;  a; 0; a; 2a; 3a; 4a Có 10 tổng, tổng nhận giá trị mà 10 9.1  Theo nguyên lý Dirichlet tồn hai tổng có giá trị Bài a) Trên bảng ô vuông kích thước 6 ta viết vào ô bảng số  1; 0; sau tính tổng số theo cột, theo dòng theo đường chéo Chứng minh ln tồn hai tổng có giá trị b) Trên bảng vng kích thước 6 ta viết số tự nhiên từ đến 36, số viết vào ô cách tùy ý Chứng minh tồn hai ô vuông chung cạnh mà hiệu số ghi chúng khơng nhỏ Phân tích: a) Bài tốn u cầu kết liên quan đến tổng nên ta coi tổng thỏ hàng, cột, đường chéo lồng b) Vì yêu cầu liên quan đến hiệu hai ô cạnh (hiệu số hai ơ) nên ta coi số hiệu hai ô cạnh số thỏ, số cặp ô cạnh từ ô ghi số đến ô ghi số 36 lồng Lời giải a) Bảng vng kích thước 6 có dịng, cột đường chéo nên có 14 tổng số tính theo dịng, theo cột theo đường chéo Mỗi dòng, cột đường chéo ghi số thuộc tập   1;0;1 Vì giá trị tổng thuộc tập hợp   6;  5;  4;  3;  2;  1;0;1; 2;3; 4;5;6 có 13 phần tử Có 14 tổng nhận tập 13 giá trị khác nên theo nguyên lý Dirichlet tồn hai tổng có giá trị b) Xét hàng có ghi số cột có ghi số 36 Hiệu hai số 35 (coi 35 thỏ) Số cặp ô kề từ ô ghi số đến ô ghi số 36 nhiều 10 (gồm cặp chung cạnh tính theo hàng cặp chung cạnh tính theo cột) (coi có 10 lồng) Ta có: 35 10.3  Vậy theo nguyên lý Dirichlet tồn hai ô vuông chung cạnh mà hiệu số ghi chúng không nhỏ Bài Mỗi ô vng bảng kích thước 10 10 (10 dịng, 10 cột) ghi số nguyên dương không vượt 10 cho hai số ghi hai ô chung cạnh hai ô chung đỉnh bảng hai số nguyên tố Chứng minh có số ghi 17 lần Lời giải TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang ỨNG DỤNG NGUN LÍ ĐIRRICHLE Phân tích đề ta tạo thỏ lồng sau: Số thỏ số cách c Trên hình vng kích thước 2 có khơng q số chia hết cho 2, không số chia hết cho Lát kín bảng 25 hình vng, kích thước 2 , có nhiều 25 số chia hết cho 2, có nhiều 25 số chia hết cho Do đó, có 50 số cịn lại khơng chia hết cho không chia hết cho Vì chúng phải ba số 1;5;7 Ta có 50 3.16  Từ theo nguyên lý Dirichlet có số xuất 17 lần Bài Có 20 người định bơi thuyền 10 thuyền đôi Biết hai người A B mà không quen tổng số người quen A người quen B không nhỏ 19 Chứng minh phân cơng vào thuyền đơi cho thuyền hai người quen Lời giải Nếu 20 người khơng có hai người quen tổng số người quen hai người Điều mâu thuẫn với giả thiết tổng số người quen hai người không nhỏ 19 Vậy tồn số cặp quen Ta xếp cặp quen vào thuyền đôi Gọi k số lượng thuyền lớn mà ta xếp cặp quen vào thuyền kí hiệu thuyền thứ i xếp hai người Ai Bi quen (1 i k ) Giả sử k 9 , kí hiệu tập hợp M gồm người chưa xếp vào thuyền nào, tức gồm người đôi không quen Chọn hai người A B tập hợp M Theo tổng số người quen A số người quen B không nhỏ 19 người quen A quen B xếp vào thuyền Như có 19 người quen A B xếp vào nhiều thuyền đơi (trừ thuyền A, B chưa xếp), nên theo nguyên lí Dirichlet tồn thuyền chở người quen A B (thuyền thứ i đó) Nhưng ta xếp lại sau: giữ nguyên k  thuyền, thuyền thứ i xếp Ai B, thuyền thứ k  xếp A Bi Điều mâu thuẫn với giả sử k 9 Theo cách xếp ta tiếp tục xếp đến hết 10 thuyền cho thuyền hai người quen A  1; 2;3; ;16 Bài Cho tập Hãy tìm số nguyên dương k nhỏ cho tập 2 gồm k phần tử A tồn hai số phân biệt a, b mà a  b số nguyên tố Lời giải 2 Nếu a, b chẵn a  b hợp số Do tập X A có hai phần tử phân biệt a, b 2 mà a  b số ngun tố X khơng thể chứa số chẵn Suy k 9 Ta chứng tỏ k 9 giá trị nhỏ cần tìm Điều có ý nghĩa với tập X gồm phần tử A 2 tồn hai phần tử phân biệt a, b mà a  b số nguyên tố TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ ĐIRRICHLE Để chứng minh khẳng định ta chia tập A thành cặp hai phần tử phân biệt a, b mà a  b số nguyên tố, ta có tất cặp  1;  ,  2;3 ,  5;8  ,  6;11 ,  7;10  ,  9;16  , 12;13  ,  14;15  Theo nguyên lý Dirichlet phần tử X có hai phần tử thuộc cặp ta có điều phải chứng minh DẠNG ỨNG DỤNG NGUN LÍ ĐIRRICHLE VÀO TỐN CHIA HẾT Khi chia số a cho số m 0 có m khả số dư 0,1,…., m  (“m chuồng “).Do , chia m  số khác a1 , a2 , , am1 cho m ta có m  số dư (“ m  thỏ”) ln a có hai phép chia có số dư.Giả sử hai số bị chia hai phép chia j (với  j  i m  ).Ta có (  a j )m Bài Chứng minh số 39 số tự nhiên liên tiếp ln tồn số có tổng chữ số chia hết cho 11 Lời giải Xét tập hợp 39 số tự nhiên liên tiếp Trong tập S  a1 ; a2 ; ; a39  ,  1 ai  1,1 i 38   a1; a2 ; ; a20  ln tồn hai số có tận 10 Do hai số tồn số có chữ số hàng chục nhỏ 9, kí hiệu số là: A Bc0  c 8, c  , B   Xét 11 số: Nhận xét rằng: A; A  1; A  2; ; A  9; A  10 + 11 số thuộc tập S + 11 số có tổng chữ số 11 số tự nhiên liên tiếp tổng là: s  A  ; s  A  1; s  A   2; ; s  A   9; s  A   10 , với s  A tổng chữ số A Trong 11 số tự nhiên liên tiếp tồn số chia hết cho 11 Do vậy, ta có điều phải chứng minh Bài Cho 2021 số tự nhiên Chứng minh số có số chia hết cho 2021 tổng số số cho chia hết cho 2021 Lời giải Gọi 2014 số tự nhiên cho a1 ; a2 ; ; a2021 Xét dãy S1 a1; S a1  a2 ; ; S 2021 a1  a2   a2021 Chia tất số hạng dãy cho 2021 ta có trường hợp sau: TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ ĐIRRICHLE  Trường hợp 1: Nếu có số hạng dãy chia hết cho 2021 tốn chứng minh  Trường hợp 2: Nếu khơng có số hạng dãy chia hết cho 2021 có tất 2021 phép chia mà số dư gồm 1, 2, , 2020 theo nguyên lý Dirichle có hai số hạng S dãy có số dư chia cho 2021 Gọi hai số hạng là: Si ; j Khơng tính tổng quát, giả sử i  j 2021 Với Si a1  a2   ; S j a1  a2     a j  Si  S j 2021  1   a j 2021 Từ ta có điều phải chứng minh Bài Cho 12 số tự nhiên khác có hai chữ số Chứng minh tồn hai số có hiệu số có hai chữ số Lời giải Có 12 số tự nhiên khác nhau, mà có 11 số dư phép chia cho 11 , tồn hai số có số dư phép chia cho 11 Hiệu chúng số chia hết cho 11 , số có hai chữ số Bài Chứng minh 11 số tự nhiên tồn số có hiệu chia hết cho 10 Lời giải Với 11 số tự nhiên chia cho 10 ta 11 số dư, mà số tự nhiên chia cho 10 có 10 khả dư ; ; ; ; ; Vì có 11 số dư mà có 10 khả dư, theo ngun lí Đi-rích-lê, tồn số chia cho 10 có số dư hiệu chúng chia hết cho 10 (đpcm) Bài Chứng minh tồn số có dạng 19941994 199400 chia hết cho 1995 Lời giải Xét dãy số có dạng: 1994 ; 19941994 ; ; +) Các số dãy khơng chia hết cho 1995 chia số cho 1995 có 1994 khả dư ; ; ; ; 1994 Vì có 1995 số dư mà có 1994 khả dư, theo nguyên lí Đi-rích-lê tồn số chia cho 1995 có số dư, hiệu chúng chia hết cho 1995 Khi 1994 199400 chia hết cho 1995 (đpcm) k Bài Chứng minh tồn số tự nhiên k cho (1999  1) chia hết cho 104 Lời giải 104 Xét dãy số có dạng: 1999 ;1999 ; ;1999 TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ ĐIRRICHLE Lấy tất số chia cho 104 có 103 khả dư ; ; ; ; 103 (chú ý: khơng có số dư 1999 104 hai số nguyên tố nên 1999 mũ khơng chia hết cho 104) Mà dãy số có 104 số nên có hai số chia cho 104 có số dư a b Gọi hai số có số dư chia cho 104 1999 1999 (với a > b) a b b (a b)  1]104 Ta có: 1999  1999 104  1999 [1999 b ( a b)  1104 Đặt Mà ƯCLN( 1999 , 104 ) (vì hai số nguyên tố nhau) nên 1999 k a – b , ta có 1999k  1104 (đpcm) Bài Chứng minh tồn số viết hai chữ số chia hết cho 2003 Lời giải Xét dãy 2003 số có dạng 1;11;111; ; +) Nếu có số chia hết cho 2003 11 1100 002003 (đpcm) +) Nếu khơng có số chia hêt cho 2003 có 2002 khả dư 1; 2;3; ; 2002 Mà dãy số có 2003 số hạng nên có hai số chia cho 2003 có số dư Gọi hai số có số dư chia cho 2003 Khi 111 111 11 11 11 110 00000 n chu so - m chu so = n  m chu so 11 11 m chu so 111 111 n chu so (với n  m ) 2003 (đpcm) Bài Chứng minh tồn số tự nhiên viết chữ số chữ số mà số chia hết cho 2018 Lời giải Khi chia số dãy cho 2018 số dư phép chia nằm khoảng từ đến 2017 ( 2017 số dư) Theo nguyên lý dirichlet có số chia cho 2018 có số dư Giả sử có số chia cho 2018 có số dư là An 222 .22 ( n chữ số ) Am 22222 22222 ( m chữ số ); n  m Khi hiệu hai số mà chia cho số có số dư hiệu chia hết cho số chia  Am  An 22222 22  2222 222222 0000 (n chữ số m  n chữ số 2) chia hết cho 2018 (đpcm) Bài Chứng minh 19 số tự nhiên liên tiếp ta ln tìm số có tổng chữ số chia hết cho 10 Lời giải TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ ĐIRRICHLE Trong 19 số tự nhiên liên tiếp tồn 10 số tự nhiên liên tiếp có chữ số hàng chục giống , kí hiệu chữ số hàng chục a ( chữ số hàng trăm , hàng nghìn , ….(nếu có ) giống nhau) , cịn chữ số hàng đơn vị dãy 0;1;2;3;…;9.Do tổng chữ số số dãy 10 số tự nhiên liên tiếp , tồn số có tổng chữ số chia hết cho 10 Bài 10 Cho dãy số gồm số tự nhiên a1 , a2 , a3 , a4 , a5 Chứng minh tồn số chia hết cho tổng số số dãy chia hết cho Lời giải Ta thành lập dãy số gồm số sau đây: S1 = a1 S2 = a1 + a2 S3 = a1 + a2 + a3 S4 = a1 + a2 + a3 + a4 S5 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 - Nếu số Si  i  1,  chia hết cho tốn chứng minh - Nếu khơng có số chia hết cho đem chia số Si cho số dư có giá trị từ đến Có số dư mà có giá trị (5 thỏ, lồng) Theo nguyên tắc Điriclê phải có số dư có giá trị Hiệu chúng chia hết cho Hiệu tổng liên tiếp Bài 11 Với 39 số tự nhiên liên tiếp, hỏi ta tìm số mà tổng chữ số chia hết cho 11 hay không ? Lời giải Từ 20 số dãy ta tìm số mà chữ số hàng đơn vị 0, hai số phải có số có chữ số hàng chục khác Giả sử N số đó, ta gọi S tổng chữ số N Ta có dãy số N ;N + 1;N + 2; N + 9; N + 19 11 số nằm 39 số cho trước mà tổng chữ số chúng x Mà S ; S  1; S  2; ;S  9; S  10; 11 số tự nhiên liên tiếp, phải có số chia hết cho 11 Bài 12 Chứng minh 52 số tự nhiên tùy ý, chí có cặp gồm hai số cho tổng hiệu chúng chia hết cho 100 Lời giải Để làm xuất số "thỏ" số "lồng ta làm sau: Trong tập hợp số dư phép chia cho 100 ta lấy cặp số cho tổng cặp 100 thành lập thành nhóm sau: TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 10 Trang ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ ĐIRRICHLE  0;  ,  1;99  ,  2;98  ,  3;97  ,  4;96  ,  5;95  ,  6;94   49;51 ,  50;50  Chú ý có 50 cặp vậy, ta thêm vào cặp  0,  có 51 cặp ( 51 lồng) - Đem chia 52 số tự nhiên cho 100 có 52 số dư ( 52 thỏ) - Có 52 số dư mà có 51 nhóm, theo ngun tắc Đirichle phải có số dư rơi vào nhóm Rõ ràng cặp số tự nhiên ứng với cặp số dư hai số tự nhiên có tổng hiệu chia hết cho 100 (đpcm) Bài 13 Cho dãy m số tự nhiên a1 , a2 , , am Chứng minh tồn số hạng chia hết cho m tổng số số dãy chia hết cho m(m  *) Lời giải Xét dãy số b1 = a1,b2 = a1 + a2, .,bm = a1 + a2 + + am Khi chia số hạng dãy cho m xảy hai trường hợp sau :  Có phép chia hết , chẳng hạn : bk m , ta có điều phải chứng minh : (a1 + a2 + + ak )M m  Khơng có phép chia hết Khi tồn hai phép chia có số dư , chẳng hạn bi , b j chia cho m ( vơi  j  i m )  (bi  b j )m hay (a j 1  a j 2   ) m , ta có điều phải chứng minh Nhận xét : Phương pháp “tạo thỏ “ ví dụ dựa vào phép tốn cộng yêu cầu tính liên tiếp số hạng dãy ban đầu đề Bài 14 Cho bốn số tự nhiên phân biệt a > b > c > d Chứng minh : P = (a - b)(a - c)(a - d)(b - c)(b - d)(c - d)M 12 Lời giải Chia bốn số phân biệt a,b,c,d cho ln có hai phép chia có số dư  hiệu hai số bị chia chia hết cho  tồn hiệu hai số bốn số a,b,c, d chia hết cho Do P chia hết cho (1) Trong bốn số a,b,c,d có hai số có số dư chia cho P chia hết cho 4;trái lại ,khi chia bốn số cho có đủ bốn trường hợp số dư 0,1, 2,3  bốn số a,b,c,d có hai số chẵn , hai số lẻ , giả sử a,c chẵn b, d lẻ (a - c)M2 (b - d)M2 Do P chia hết cho Từ (1),(2) (3,4)=1 suy (2) P M3,4 hay P M 12 (đpcm) TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 11 Trang ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ ĐIRRICHLE DẠNG ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ ĐIRRICHLE VÀO HÌNH HỌC Bài Trong hình vng cạnh 1, đặt 51 điểm bất kì, phân biệt Chứng minh có số 51 điểm nằm hình trịn bán kính Lời giải Chia hình vng cho thành 25 hình vng có cạnh Theo nguyên lý Dirichlet, tồn hình vng a chứa ba điểm số 51 1  điểm Đường trịn ngoại tiếp hình vng a có bán kính Vậy ba điểm nói nằm hình trịn đồng tâm với hinh vng a, có bán kính Bài toán tổng quát: Dựa vào giải tốn ta tổng qt hóa tốn với a kích thước cạnh hình vng, m số điểm đặt bất kì, phân biệt Chứng minh có n a2  m    n   ( kí hiệu [x] phần số m điểm nằm hình bán kính ngun x) Lời giải a2  m  m ]  n   Chia hình vng cho thành n  hình vng có cạnh  Theo nguyên lí Dirichlet , tồn hình vng P có chứa n điểm số m điểm [ a2 Đường trịn ngoại tiếp P có bán kính với hinh vng P có bk  m    n  1 Vậy n điểm nằm hình trịn đồng tâm a2  m    n   Bài Cho hình vng 13 đường thẳng, đường thẳng chia hình vng thành hai tứ giác có tỉ số diện tích : Chứng minh số 13 đường thẳng cho, có đường thẳng qua điểm M A E D TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 12 I B F N C Trang ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ ĐIRRICHLE Lời giải Gọi d đường thẳng chia hình vng ABCD thành hai tứ giác có tỉ số diện tích : Đường thẳng d khơng thể cắt hai cạnh kề hình vng Giả sử d cắt hai cạnh AB CD M N, cắt đường trung bình EF I 2 S AMND  S BMNC EI  IF 3 Như đường thẳng cho chia đường Giả sử trung bình hình vng theo tỉ số : Có điểm chia đường trung bình hình vng ABCD theo tỉ số : Có 13 đường thẳng, đường thẳng qua điểm Vậy theo ngun lý Dirichlet có đường thẳng qua điểm Bài Trong hình chữ nhật 3x4 đặt điểm Chứng minh số ln tìm hai điểm có khoảng cách chúng không lớn Lời giải B K C D A F E S M Q N R Chia hình chữ nhật cho thành năm hình ABCD, DCKEF , KFNM , NFEQR, QEDAS Vì có điểm nên theo nguyên lí Dirichlet tồn năm hình trên, mà hình chứa hai điểm cho Ta đưa vào khái niệm sau: Giả sử P hình năm hình Đặt d  P khoảng cách lớn hai điểm P Dễ thấy năm hình có d  d  ABCD   AC  d  DCKFE   CE  KE  CF DK  , ) ( Thí dụ: Từ suy ln tìm điểm số điểm cho có khoảng cách khơng lớn Đó điều phải chứng minh Bài Bên tam giác ABC cạnh đặt điểm Chứng minh tồn điểm có khoảng cách nhỏ 0,5 Lời giải TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 13 Trang ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ ĐIRRICHLE A B C Các đường trung bình tam giác cạnh chia làm tam giác cạnh 0,5 Do có tam giác nhỏ có điểm cho điểm khơng thể rơi vào đỉnh tam giác Vậy khoảng cách hai điểm nhỏ 0,5 Bài Trong tam giác cạnh (kể cạnh) ta đặt 17 điểm Chứng minh tồn hai điểm mà khoảng cách chúng lớn Lời giải Chia tam giác thành 16 tam giác cạnh Theo Dirichlet tồn điểm thuộc tam giác khoảng cách chúng không lớn Bài Trong tam giác có cạnh lấy 17 điểm Chứng minh 17 điểm có hai điểm mà khoảng cách chúng khơng vượt q Phân tích: Từ điền kiện “khoảng cách chúng không vượt ” cạnh tam giác gợi cho ta tìm đến đối tượng hình học khác tập hợp 17 điểm cho Để có “ít hai điểm mà khoảng cách chúng không vượt ” ta coi tập hợp 17 điểm tập hợp “thỏ” suy tập hợp đối tượng tập hợp “lồng” Suy số phần tử tập hợp đối tượng phải nhỏ 17 Bằng suy luận tìm cách tạo “lồng” để nhốt “thỏ” Lời giải TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 14 Trang ỨNG DỤNG NGUN LÍ ĐIRRICHLE Chia tam giác có cạnh thành 16 tam giác có cạnh (ln chia được) Vì 17  16, theo nguyên lý Dirichlet, tồn tam giác cạnh có chứa hai điểm số 17 điểm cho Khoảng cách hai điểm ln khơng vượt q Ta chứng minh khoảng cách hai điểm nằm tam giác không lớn cạnh tam giác  Ta ký hiệu hai điểm K , L nằm tam giác ABC đều, ta có KAL  60 Một hai góc cịn lại tam giác AKL không nhỏ 60 , chẳng hạn ALK 600  AK  KL Gọi E giao điểm AK với cạnh BC , ta có AE  AK Trong tam   giác ABE , AEB 60 (Nó góc ngồi AEC ), nên AB  AE Kết hợp kết ta suy điều cần chứng minh Để rèn cho học sinh có khả linh hoạt tư sáng tạo, ta tiếp tục giới thiệu tập tương tự, học sinh phải tạo tập hợp “lồng” cách khác ví dụ sau Bài Trong mặt phằng cho 2009 điếm cho điểm có điểm cách khoảng không vượt Chứng minh tồn hình trịn bán kính chứa 1005 điểm Lời giải Lấy điểm A 2009 điểm cho, ví dụ đường trịn C1 tâm A bán kính + Nếu tất điểm nằm hình trịn C1 tốn hiển nhiên + Nếu tất điểm B mà khoảng cách A B lớn ta vẽ đường trịn C2 tâm B bán kính Khi đó, xét điểm C tùy ý số 2007 điểm lại Xét ba điểm A, B, C AB  nên theo giả thiết có AC 1 BC 1 Nói cách khác, điểm C phải thuộc C1 C2 Theo ngun lý Dirichlet, có hình trịn chứa 1004 điểm Tính thêm tâm hình trịn hình trịn hình trịn bán kính chứa 1005 điểm 2009 điểm cho Bài Trong hình trịn có diện tích ta lấy 17 điểm bất kỳ, khơng có ba điểm thẳng hàng Chứng minh có điểm lập thành tam giác có diện tích nhỏ Phân tích: Trước hết cần phân tích nguyên lý Dirichlet mở rộng Dựa vào đề xác định xem đối tượng toán coi tập hợp “thỏ” Từ điều kiện “hình trịn có diện tích ” “tam giác có diện tích nhỏ ” gợi cho ta nghĩ đến đối tượng hình học nào? Vậy đối tượng coi “lồng” toán này? Mỗi “lồng” chứa “thỏ”? TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 15 Trang ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ ĐIRRICHLE  17 –1 :   1 8 1: 8 Xác định số “lồng”? Hãy chia hình trịn có diện tích thành hình có diện tích ? Lời giải Chia hình trịn thành phần Mỗi phần có diện tích Do 17 : 2 (dư ) nên theo nguyên lý Dirichlet có phần chứa điểm Ba điểm đỉnh tam giác có diện tích nhỏ diện tích hình quạt Vậy có điểm 17 điểm cho lập thành tam giác có diện tích nhỏ Câu hỏi tổng qt hóa: Kết tốn thay đổi ta lấy hình trịn n điểm  n  N , n 3 ? Bài toán tổng quát:  n  N , n 3 ta xét hai trường hợp sau Trong trường hợp lấy n điểm hình trịn Trường hợp 1: Nếu n 2k  1 k  N , k 1 ta chia hình trịn thành k phần nhau, mối phần hình quạt có diện tích k Trường hợp 2: Nếu n 2k  k  N , k 2  ta chia hình trịn thành k –1 phần nhau, mối phần hình quạt có diện tích k  Lập luận tương tự ta suy kết Trong số tập hình học ngồi sử dụng nguyên lý Dirichlet ta phải kết hợp với phương pháp khác giải toán cực trị, xấp xỉ, … Bài Trong hình vng có cạnh cho 33 điểm Chứng minh điểm cho tìm điểm lập thành tam giác có diện tích khơng lớn 32 Lời giải TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 16 Trang ỨNG DỤNG NGUN LÍ ĐIRRICHLE Chia hình vng cạnh thành 16 hình vng có diện tích (mỗi cạnh chia làm phần nhau) Vì 33  2.16 nên theo nguyên lý Dirichlet có hình vng (cạnh ) chứa 33 điểm cho Ta chứng minh điểm lập nên tam giác có diện tích khơng lớn 32 A , B , C Giả sử ba điểm nằm hình vuông DEFG cạnh Ta xét hai trường hợp sau đây: Trường hợp 1: Có cạnh tam giác nằm cạnh hình vng Giả sử cạnh AB tam giác nằm cạnh DG hình vng Kẻ đường cao CH Ta có 1 S ABC  CH AB  CH DG  2 32 Trường hợp 2: Khơng có cạnh tam giác nằm cạnh hình vng Qua đỉnh B, ta kẻ đường thằng song song với cạnh hình vuông cắt cạnh AC M Gọi AH , CK đường cao tam giác ABM , CBM Xét S ABC S AMB  SCBM 1  AH BM  CK BM 2 1  BM  AH  CK  BM ED DG.ED  32 Vậy trường hợp ta ln có S ABC  32 Bài 10 Trong hình vng cạnh 7, lấy 51 điểm Chứng minh có điểm 51 điểm cho nằm hình trịn có bán kính Phân tích: Trước hết cần phân tích nguyên lý Dirichlet mở rộng Dựa vào đề xác định xem đối tượng toán coi tập hợp “thỏ” tập hợp “lồng” Mỗi “lồng” chứa “thỏ”?  51  1 :   1 25 Xác định số “lồng”: TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 17 Trang ỨNG DỤNG NGUN LÍ ĐIRRICHLE Tìm cách chia hình vng cạnh thành 25 “lồng”? Lời giải Chia hình vng cạnh thành 25 hình vng nhau, cạnh hình vng nhỏ Vì 51 điểm cho thuộc 25 hình vng nhỏ, mà 51  2.25 nên theo nguyên lý Dirichlet, có  2 1 số 51 điểm cho Hình vng cạnh hình vng có chứa điểm có bán kính đường trịn ngoại tiếp là: 2 7 7     98  5  5  1 100 Vậy toán chứng minh Hình trịn hình trịn bán kính 1, chứa hình vng ta Để giải Ví dụ ta cần sử dụng phép xấp xỉ nhằm làm trịn số vơ tỉ 98 100 thành 1, kỹ thuật lấy xấp xỉ quan trọng cần thiết tìm lời giải nhiều tập Đơi ta cịn lấy xấp xỉ dựa vào hình dạng hình trường hợp cụ thể Sau ví dụ điển hình: Bài 11 Cho 13 điểm phần biệt nằm hay cạnh tam giác có cạnh 6cm Chứng minh tồn hai điểm số 13 điểm cho mà khoảng cách chúng không vượt cm (Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán trường ĐHSP Hà Nội năm học 2008 - 2009) Phân tích: Từ câu hỏi tốn, em xác định xem đối tượng coi “thỏ”? Có 13 thỏ, muốn nhốt hai thỏ vào lồng số lồng nhiều ? Số lồng nhiều là:  13  1 :   1 12 TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 18 Trang ỨNG DỤNG NGUN LÍ ĐIRRICHLE Tìm cách chia tam giác thành 12 phần mà khoảng cách lớn hai điểm phần không vượt cm Lời giải Giả sử tam giác cho ABC Gọi M , N , P trung điểm cạnh BC , CA, AB G trọng tâm tam giác ABC Lấy A0 , B0 , C0 , X , Y , Z , T , S , R trung điểm đoạn thẳng GA, GB, GC , BM , CM , CN , AN , AP, BP Tam giác ABC chia thành 12 phần Theo nguyên lý Dirichlet, số 13 điểm cho tồn hai điểm thuộc phần Do cạnh tam giác ABC 6cm nên GA0  AA0  GB0  BB0  CC0  GC0  3cm Do hai điểm nói thỏa mãn yêu cầu đề Bài 12 Trong hình vng có cạnh 4, lấy 33 điểm phân biệt Chứng minh có điểm nằm phần chung ba hình trịn có bán kính ( Đề thi vào lớp 10 chuyên tốn ĐHSP TP Hồ Chí Minh năm học 2008-2009) Lời giải Chia hình vng cho thành 16 hình vng đơn vị (các cạnh song song với cạnh hình vng cho có độ dài ) Do 33  16.2 nên theo nguyên lý Dirichlet tồn điểm nằm cạnh hình vng đơn vị Giả sử ba điểm A, B, C nằm cạnh hình vng đơn vị MNPQ Ta có MP  với điểm E thuộc hình vng MNPQ   MP  AE Từ hình trịn A, phủ tồn hình vng MNPQ Tương tự hình trịn  B,  ,  C,  phủ toàn hình vng MNPQ Vậy ba hình trịn  A,  ,  B,  ,  C,  chứa hình vng MNPQ nên ba điểm A, B, C nằm phần chung ba hình trịn nói TÀI LIỆU NHĨM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 19 Trang ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ ĐIRRICHLE Bài 13 Trong hình vng cạnh cho điểm Chứng minh điểm cho tìm điểm cho khoảng cách chúng không lớn Lời giải Chia hình vng cạnh thành hình vng cạnh hình vẽ Có điểm nằm hình vng, nên phải có hình vng chứa điểm cho Hai điểm nằm đường trịn có đường kính đường chéo hình vng chứa nên khoảng cách chúng khơng vượt q đường kính đường trịn có độ dài Bài 14 Cho hình vng ABCD có AB  14 cm Trong hình vng có đánh dấu 76 điểm phân biệt Chứng minh tồn đường trịn có bán kính cm chứa điểm số điểm nói (Đề thi vào lớp 10 chun tốn ĐH Vinh năm học 2005-2006) Lời giải 14 Chia hình vng ABCD thành 25 hình vng nhỏ có cạnh cm Vì 76 : 25 3 (dư ) nên theo ngun lý Dirichlet tồn hình vng nhỏ IJKH chứa điểm số 76 điểm 14 14 OI  IJ  IK  cm nên 5 cho Gọi O tâm hình vng IJKH Ta có cm Suy cm Do đường trịn ngoại tiếp hình vng IJKH có tâm O bán kính OI chứa tất điểm 2 hình vng IJKH nên đường trịn tâm O bán kính 2cm thỏa mãn điểu kiện đề cho Bài 15 Cho hình vng có cạnh 10 Bên hình vng ta đánh dấu 201 điểm Chứng minh ln tìm tam giác mà đỉnh điểm đánh dấu có diện tích khơng lớn (Nếu điểm đánh dấu thẳng hàng, ta coi tam giác với đỉnh điểm có diện tích ) Lời giải Thỏ tập hợp điểm 201, lồng xác định sau: Ta chia hình vng ban đầu thành 100 hình vng nhỏ đường thẳng song song hai cạnh liên tiếp hình vng Mỗi hình vng nhỏ có cạnh Vì điểm đánh dấu nằm hình vng ban đầu, nên điểm phải TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 20 Trang