Ứng dụng nguyên lí biến phân Ekeland trong bài toán điều khiển tối ưu

Báo cáo Ứng dụng nguyên lí biến phân Ekeland trong bài toán điều khiển tối ưu trình bày một ứng dụng của nguyên lí biến phân Ekeland trong lí thuyết điều khiển tối ưu. Cụ thể, nhóm tác giả sẽ thảo luận một mở rộng của nguyên lí cực tiểu Pontryagin cho điều khiển tối ưu xấp xỉ.

KỈ YẾU HỘI NGHỊ SINH VIÊN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC NĂM HỌC 2013-2014 ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ BIẾN PHÂN EKELAND TRONG BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƢU Nguyễn Thị Tâm, Lớp K60C, Khoa Toán – Tin GVHD: TS Nguyễn Như Thắng Tóm tắt: Báo cáo trình bày ứng dụng nguyên lí biến phân Ekeland lí thuyết điều khiển tối ưu Cụ thể, thảo luận mở rộng nguyên lí cực tiểu Pontryagin cho điều khiển tối ưu xấp xỉ Từ khóa: Phương pháp biến phân Ekerland, nguyên lí cực tiểu Pontryagin, hàm mục tiêu Bolza I MỞ ĐẦU Lí thuyết điều khiển tối ƣu xuất từ năm 50 kỉ hai mƣơi với loạt cơng trình tiêu biểu nhà tốn học Xơ Viết Bài tốn điều khiển tối ƣu tốn tìm q trình tối ƣu cho hệ điều khiển mô tả phƣơng trình tốn học Nền tảng lí thuyết điều khiển tối ƣu nguyên lí cực đại (cùng với các dạng biến thể) loạt cơng trình nhà tốn học Xơ Viết đứng đầu L.C Pontryagin Nguyên lí cực đại cổ điển biểu thức cực trị toán học mà từ ta đốn nhận đƣợc điều khiển tối ƣu hay không, tức cho ta điều kiện cần toán điều khiển tối ƣu, chi tiết xem [5] Tuy nhiên, khơng phải lúc ta tìm đƣợc điều kiện cần toán điều khiển tối ƣu Mặt khác, theo nguyên lí cực đại cổ điển dù có tìm điều kiện tối ƣu theo quan điểm kiến thiết, việc xây dựng thuật tốn để tìm điều kiện tối ƣu gặp nhiều khó khăn khơng tìm cụ thể Để phần giải hai vấn đề đó, báo cáo chúng tơi áp dụng ngun lí Ekeland vào tốn điều khiển tối ƣu để mở rộng nguyên lí cực đại Pontryagin cho trƣờng hợp nghiệm tối ƣu xấp xỉ, tức điều kiện có giá trị tốn tối ƣu ban đầu khơng có nghiệm xác Vào đầu năm 70, nhà toán học Ivar I Ekeland báo [1] đề xuất nguyên lí biến phân suy rộng, mà ngày thƣờng gọi ngun lí biến phân Ekeland Cơng trình nhận đƣợc quan tâm cộng đồng tốn học lí thuyết ứng dụng, tính đến (4/2014) có 1403 lƣợt trích dẫn (theo số liệu Google), theo sở liệu Hội tốn học Mỷ có 473 báo khoa học trích dẫn 57 lƣợt trích dẫn từ ngƣời viết nhận xét Một điểm thú vị nguyên lí biến phân Ekeland mặt mở rộng ngun lí biến phân cổ điển, nhƣng mặt khác xây dựng khái niệm lời giải xấp xỉ thích hợp lời giải xác khơng tồn Nội dung báo cáo đƣợc trích từ tài liệu [1] Chúng tơi hi vọng ngun lí biến phân Ekeland cơng cụ quan trọng chính, bƣớc khởi đầu để nghiên cứu toán điều khiển tối ƣu đạo hàm riêng II NỘI DUNG Kết tổng quan {+} đƣợc Định nghĩa 1.1: Cho X không gian topo Hausdorff Hàm số  : X  gọi nửa liên tục dƣới x0 khi: 30 KỈ YẾU HỘI NGHỊ SINH VIÊN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC NĂM HỌC 2013-2014 liminf ( x)  ( x0 ) x  x0 Hàm  đƣợc gọi nửa liên tục dƣới X  nửa liên tục điểm X Định lí 1.2 (Nguyên lí biến phân Ekeland): Cho ( X , d ) không gian metric đầy : X  {+} hàm nửa liên tục bị chặn Cho   u  X cho trước cho:  (u )  inf   X (1.1) Khi đó, với   bất kì, tồn u  X cho: (u )  (u), (1.2) d (u , u )   , (1.3) (u )  (u )   d (u, u ), u  u  (1.4) Chứng minh: Để đơn giản hóa kí hiệu ta đặt d (u, v)   d (u, v) Ta xác định thứ tự phận X nhƣ sau: u  v  (u)  (v)   d (u, v) Dễ dàng thấy đƣợc: (i) Tính phản xạ: u  u (ii) Tính phản đối xứng: u  v v  u  u  v (iii) Tính bắc cầu : u  v v  w  u  w , với u, v,w  X Bây giờ, ta xây dựng ( Sn ) tập X nhƣ sau: Với u1  u ta có tập: S1  {u  X:u  u1}; u2  S1 cho (u2 )  inf   S1  22 Bằng phƣơng pháp quy nạp ta có: Sn  {u  X:u  u n }; un1  Sn cho (un1 )  inf   Sn  2n1 Rõ ràng, S1  S2   Sn  S n tập đóng, với n Thật vậy, cho x j  Sn với x j  x  X Ta có ( x j )  (un )   d ( x j , un ) Mặt khác,  nửa liên tục dƣới d liên tục nên ta suy x  Sn 31 KỈ YẾU HỘI NGHỊ SINH VIÊN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC NĂM HỌC 2013-2014 Bây giờ, ta chứng minh đƣờng kính tập S n tiến đến (đƣợc kí hiệu là: diam Sn  ) Thật vậy, cho điểm x  Sn bất kì, x  un suy ( x)  (un )   d ( x, un ) (1.5) Mặt khác, Sn1  Sn nên x  Sn1 Theo cách xác định tập S n chọn un  Sn1 ta có: (un )  ( x)   2n (1.6) Từ (1.5) (1.6) ta đƣợc: d ( x, un )  2 n , với x  Sn , Với diam Sn  2 n1 Do S n tập đóng lồng thắt dần có đƣờng kính tiến dần đến khơng gian metric đầy theo định lí Cantor tập S n có điểm chung điểm chung thỏa mãn điều kiện (1.2), (1.3) (1.4) Đặt:  n 1 Sn  {u  } Chọn u1  u Vì u  S1 nên suy (1.2) hiển nhiên Với u  u , ta có u  u (vì u  u u  S1 với n mâu thuẫn với tính u ) nghĩa là: (u)  (u )   d (u, u ) Ta đƣợc (1.4) Ta chứng minh (1.3) Do n 1 n 1 j 1 j 1 d (u, un )   d (u j , u j 1 )   2 j Suy ta có: n 1 d (u, un )  lim  2 j   d (u, un )   n j 1 Bổ đề 1.3 (Bất đẳng thức Gronwall): Cho hàm số liên tục không âm u :[a,b]  thỏa mãn: t u (t )  C   Ku ( )d , t [a,b], a C , K số khơng âm Khi đó, u(t )  Ce K (t a ) , t [a,b] (1.7) Chứng minh bổ đề tìm thấy [2, 5] 32 KỈ YẾU HỘI NGHỊ SINH VIÊN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC NĂM HỌC 2013-2014 Nguyên lí cực tiểu Pontryagin Xét hệ điều khiển xác định phƣơng trình:  dx  (t )  ( x(t ), u (t ), t ),(h.k n)  dt  x(0)  x  n  (2.1) x(t )  n mơ tả trạng thái hệ điều khiển, u (t ) hàm điều khiển phụ thuộc thời gian t , thuộc vào tập compact khả metric K Cho T  giả sử rằng: a)   'x  ( / x1 ,  / x2 , ,  / xn ) hàm liên tục n b)  K  [0,T] x, (t , x, u)  c(1  x ) , với c số Cho trƣớc hàm điều khiển đo đƣợc u :[0,T]  K Điều kiện a) đảm bảo tồn nghiệm X phƣơng trình vi phân (2.1) khoảng đủ nhỏ [0, ] Từ điều kiện b) bất đẳng thức Gronwall (Bổ đề 1.3) ta đƣợc: x(t )  ( x0  2cT )e2cT , 2 (2.2) Và đảm bảo tồn nghiệm khoảng thời gian [0,T] Hơn nữa, từ (2.2) ta có: dx (t )  max {(t,x,u) (t,x,u) [0,T]  B  K}, dt đó, B hình cầu bán kính ( x0 (2.3)  2cT )e2cT Áp dụng định lí Ascoli, nhận thấy họ quỷ đạo X hệ điều khiển (2.1) đồng liên tục bị chặn, compact tƣơng đối topo Xét phiếm hàm mục tiêu Bolza T J (u )   ( x(T ))   L( x, u, t )dt ,  : n  thuộc lớp hàm C , L L 'x liên tục n  K  [0,T] Ta tìm hàm điều khiển đo đƣợc u cho quỷ đạo tƣơng ứng x làm cực tiểu hóa J (u ) số tất nghiệm (2.1) Định lí 2.1: Với   0, tồn phiếm hàm điều khiển đo u có quỹ đạo tương ứng x , thỏa mãn: J (u )  inf J (u)   , U 33 (2.4) KỈ YẾU HỘI NGHỊ SINH VIÊN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC NĂM HỌC 2013-2014 ( x (t ), u (t ), t ),  (t )  L( x (t ), u (t ), t )  ( x (t ), u(t ), t ),  (t)  L( x (t), u(t), t )   , uK (2.5) (2.5) đó,  nghiệm phương trình vi phân tuyến tính: d  (t )   t  'x ( x (t ), u (t ), t ). (t )  t L 'x ( x (t ), u (t ), t ) dt  (T )  t  'x ( x (T )), (2.6) đó, t  'x chuyển vị  'x Nhận xét: Nếu (2.4) ta cho   ta lấy   (2.5) Nói cách khác, tồn điều khiển tối ƣu, ngun lí cực đại Pontryagin thỏa mãn Hơn nữa, định lí cịn khơng có nghiệm tối ƣu Bổ đề 2.2: Giả sử U tập hợp hàm điều khiển đo u : 0, T   K Trên U xét hàm khoảng cách:  (u1 , u2 )  meas t  0, T  | u1 (t )  u2 (t ) (2.7) Khi (U ,  ) khơng gian metric đầy Chứng minh: Đầu tiên, ta kiểm tra  khoảng cách Lấy u1 , u2 , u3 U : t | u1 (t )  u2 (t )  t | u1 (t )  u3 (t )  u2 (t )  u3 (t ) meas t | u1 (t )  u2 (t )  meas t | u1 (t )  u3 (t )  meas u2 (t )  u3 (t )  (u1 , u2 )   (u1 , u3 )   (u3 , u2 )   k k 1 (2.9) (2.10) Lấy  un nN dãy Cauchy U Ta lấy dãy unk   un , un (2.8) nN cho   21 Ta chứng minh dãy hội tụ Thật vậy, đặt: Ak  k pk t | u np (t )  un p 1   21 k (2.11) Ta có:  measAk   p k 1  k 1 Ak  Ak 1 k p p Xác định u U nhƣ sau: t  Ak , u(t )  un (t ) k (2.12) Theo định nghĩa, dãy (unk )kN hội tụ tới u Dãy  un nN Cauchy, nên hội tụ đến u 34 KỈ YẾU HỘI NGHỊ SINH VIÊN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC NĂM HỌC 2013-2014 Bổ đề 2.3: Ánh xạ U  u liên tục U ( x(T )) , x nghiệm tương ứng (2.1) Chứng minh:Cho dãy  un nN hội tụ đến u U Dãy quỷ đạo  xn nN compact tƣơng đối, tồn dãy xk hội tụ tới x Ta chứng minh quỷ đạo tƣơng ứng với u Biến đổi phƣơng trình (2.1) ta có: t xk (t )  x0   ( xk ( s), uk ( s), s)ds (2.13) t Cho k  ; xk  x; uk  u (h.k.n) tích phân  ( xk ( s), uk ( s), s)ds bị chặn (2.3) Áp dụng định lí hội tụ Lebesgue ta đƣợc: t x(t )  x0   ( x( s), u ( s), s)ds (2.14) Bổ đề 2.4: d ( x (T )) | 0  ( x (t0 ), u0 , t0 )  ( x (t0 ), u (t0 ), t0 ),  (t0 ) d Chứng minh: Đây kết cổ điển chúng tơi trình bày vắn tắt chứng minh: x (t0 )  x (t0   )  t0  ( x ( s), u0 , s)ds t0   x (t0 )   (dx / dt )(t0 )  ( x (t0 ), u0 , t0 )  O( ) (2.15)  x (t0 )   (( x (t0 ), u (t0 ), t0 )  ( x (t0 ), u0 , t0 ))  O( ) Nghĩa là:  d    x (t0 )) | 0  ( x (t0 ), u0 , t0 )  ( x (t0 ), u (t0 ), t0 )  d  (2.16) Do đó:  d   d  (2.17)  x (T ) | 0  R(T , t0 )[( x (t0 ), u0 , t0 )  ( x (t0 ), u (t0 ), t0 )]  Trong R(T , t0 ) ma trận nghiệm phƣơng trình tuyến tính:  d    (t )   '( x (t ), u (t ), t ). (t )  dt   d  d Ta có:  35   d   ( x(T )) | 0   '( x (T )),    d (2.18)   x (T ) | 0  KỈ YẾU HỘI NGHỊ SINH VIÊN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC NĂM HỌC 2013-2014   '( x (T )), R(T , t0 )[( x (t0 ), u0 , t0 )  ( x (t0 ), u (t0 ), t0 )]  t (2.19) R(T , t0 ) '( x (T )) ,[( x (t0 ), u0 , t0 )  ( x (t0 ), u (t0 ), t0 )] Nhƣng t R(T , t0 ) '( x (T ))   (t0 )  nghiệm (2.6) Do bổ đề đƣợc chứng minh Chứng minh định lí 2.1 Bƣớc 1: Trƣớc hết giả sử L  tức ta có hàm mực tiêu Meyer J (u)  ( x(T )) Từ bổ đề 2.2; 2.3, áp dụng định lí 1.4, tồn hàm điều khiển đo đƣợc u U thỏa mãn: (u )  inf   (2.20) u U , (u)  (u )   (u, u ) (2.21) U Quỷ đạo tƣơng ứng x u đƣợc cho dx (t )  ( x (t ), u (t ), t );(h.k n) dt x (0)  x0 (2.22) Lấy t0  (0, T ), u0  K xác định v U với   theo bƣớc sau: u0 ; t   0; T    t0   , t0  v (t )   (2.23) u (t ); t  0;T    t0   , t0  Rõ ràng  (v , u )   ,  đủ nhỏ Kí hiệu x quỷ đạo tƣơng ứng, áp dụng bổ đề 2.4 ta có: d ( x (T )) | 0  ( x (t0 ), u0 , t0 )  ( x (t0 ), u (t0 ), t0 ),  (t0 ) dt (2.24) Nhƣng theo (2.21) ta có: ( x (T ))  ( x (T ))   với   (2.25) Từ (2.24) (2.25) ta đƣợc: ( x (t0 ), u0 , t0 )  ( x (t0 ), u (t0 ), t0 ),  (t0 )   (2.26) Cuối cùng, điểm u0 K t0 điểm (0, T ) nên thu đƣợc điều kiện (2.5) , với hạn chế L  Bƣớc 2: Trƣờng hợp tổng quát L  đƣợc đƣa trƣờng hợp cách thêm biến t Thật vậy, kí hiệu xn 1 (t )   L( x, u, s )ds 36 KỈ YẾU HỘI NGHỊ SINH VIÊN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC NĂM HỌC 2013-2014   y (t )  F ( y (t ), u (t ), t ); t  0, T  Khi ta có hệ điều khiển:    y (0)  ( x0 ,0); u U (2.27) Trong  ( x(t ), u (t ), t )  y  ( x(t ), xn1 (t )), F ( y (t ), u (t ), t )     L( x(t ), u (t ), t  Và hàm mục tiêu ( y(T ))  ( x(T ))  xn1 (T ) (2.28) Phƣơng trình liên hợp tốn theo biến có dạng  y  t Fy' ( y (t ), u (t ), t ) p(t ) p(T ) t  'y ( y (T )) (2.29) p  ( p, pn1 ) Dễ thấy phƣơng trình tƣơng đƣơng với phƣơng trình (2.6) pn1  Xét toán điều khiển tối ƣu hệ (2.27) với hàm mục tiêu (2.28), tốn đƣợc đƣa bƣớc Do định lí đƣợc chứng minh III KẾT LUẬN Trong báo cáo chúng tơi trình bày mở rộng ngun lí cực đại Pontryagin cho tốn điều khiển tối ƣu với hàm mục tiêu Bolza không gian hữu hạn chiều Tuy khơng phải kết hồn toàn (xem [1] cho trƣờng hợp hàm mục tiêu Meyer) nhƣng bƣớc để tiến tới nghiên cứu tốn điều khiển tối ƣu khơng gian vơ hạn chiều (điều khiển tối ƣu tốn phƣơng trình đạo hàm riêng) Một khó khăn chuyển sang tốn điều khiển tối ƣu không gian vô hạn chiều thiếu vắng bổ đề tính compact hay tính tốn tốn tử nghiệm địi hỏi hiểu biết sâu sắc lí thuyết nửa nhóm sinh tốn tử tuyến tính khơng bị chặn Do khả cịn hạn chế với thời lƣợng nghiên cứu khơng nhiều, chúng tơi xét tốn điều khiển tối ƣu không gian hữu hạn chiều Trong tƣơng lai, dành nhiều thời gian để trả lời phần câu hỏi mở TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] [2] [3] [4] [5] [6] 37 Ekenland, I., On the Variantionl Principle, Journal of Mathematiccal Analysis and Application 47, 324-353, 1974 Evans, L.C., Partial differential equations, American Mathematical Soc., 2010 De Figueiredo, D.G., Lectures on The Eleland Variational Principle with Applications and Detour, Tata Institute of Fundamental Research, Bombay 1989 Zabczyk J., Mathematical control theory, Birkhauser, 1992 Vũ Ngọc Phát, Nhập mơn Lí thuyết điều khiển tốn học, Nhà xuất ĐHQG Hà Nội, 2007 Trần Đức Vân, Lí thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng, Nhà xuất ĐHQG Hà Nội, 2005  ... bƣớc để tiến tới nghiên cứu toán điều khiển tối ƣu không gian vô hạn chiều (điều khiển tối ƣu tốn phƣơng trình đạo hàm riêng) Một khó khăn chuyển sang tốn điều khiển tối ƣu khơng gian vơ hạn chiều... (2.27) với hàm mục tiêu (2.28), toán đƣợc đƣa bƣớc Do định lí đƣợc chứng minh III KẾT LUẬN Trong báo cáo trình bày mở rộng ngun lí cực đại Pontryagin cho toán điều khiển tối ƣu với hàm mục tiêu Bolza...  (2.5) Nói cách khác, tồn điều khiển tối ƣu, ngun lí cực đại Pontryagin thỏa mãn Hơn nữa, định lí cịn khơng có nghiệm tối ƣu Bổ đề 2.2: Giả sử U tập hợp hàm điều khiển đo u : 0, T   K Trên