QUY TRÌNH DẠY HỌC SINH GIẢI BÀI TOÁN TÌM SỐ CỰC TRỊ CỦA HÀM HỢP

sáng kiến về cách tìm cực trị của hàm hợp, một kiến thức rất hữu ích cho học sinh ôn thi TN THPT, đồng thời cũng là tài liệu tham khảo cho những ai quan tâm vấn đề này. Sáng kiến này nêu lên quy trình dạy học sinh từ những kiến thức nền tảng đến những kiến thức nâng cao, các bài toán thường xuất hiện trong những đề thi trắ nghiệm Toán 12 gần đây.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG THPT CẦN THẠNH SÁNG KIẾN NĂM HỌC 2019-2020 QUY TRÌNH DẠY HỌC SINH GIẢI BÀI TỐN TÌM SỐ CỰC TRỊ CỦA HÀM HỢP Tên người viết sáng kiến: PHẠM VĂN TRÍ Chức vụ: Giáo viên mơn Tốn Đơn vị công tác: Trường THPT Cần Thạnh Tên Sáng kiến: Quy Trình Dạy Học Sinh Giải Bài Tốn Tìm Số Cực Trị Của Hàm Hợp A PHẦN MỞ ĐẦU Thực trạng : - Như biết, theo định Bộ Giáo dục Đào tạo, từ năm học 20142015, trường Trung học phổ thông (THPT) tồn quốc thực kì thi Trung học phổ thơng quốc gia Trong kì thi này, tất học sinh (HS) khối 12 phải thi ba mơn bắt buộc, có mơn Tốn - Chương trình Tốn Giải tích 12 gồm chương, có chương I “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số” Trong chương học có dạng tốn mức độ vận dụng, tốn: “Cho hàm số y  f ( x) liên tục tập K cho trước hàm số y  f '( x) đồ thị f '( x ) Tìm số cực trị hàm số y  f  u ( x)   h( x ) ” Trong chương trình thi Tốn phương pháp Trắc nghiệm dạng toán cho phổ biến - Khi làm dạng học sinh thường gặp nhiều khó khăn việc tìm hướng giải dễ bỏ qua đánh “lụi” Đây toán nằm mức độ vận dụng quy trình lập bảng biến thiên hàm hợp gặp nhiều khó khăn mức độ nhận biết thông hiểu, học sinh tìm số cực trị hàm số y  f ( x) - Từ thực tiễn nhà trường, thay đổi cho phù hợp với cách đề thi bộ, thân dạy khối 12 nên nhiều nhận thức khó khăn Tôi nhận thấy nhận thấy cần phải đưa quy trình tức bước quan trọng để dạy học sinh giải loại toán cách xác hiệu Đó đòi hỏi cấp bách học sinh khối 12 trường - Từ lý trên, qua trình trực tiếp giảng dạy, nghiên cứu tài liệu học hỏi từ đồng nghiệp, viết sáng kiến: “Quy Trình Dạy Học Sinh Giải Bài Tốn Tìm Số Cực Trị Của Hàm Hợp” nhằm giúp em học sinh lớp 12 có thêm mảng kiến thức, tự tin kỳ thi THPT Quốc gia tới đồng thời tài liệu tham khảo thêm cho quan tâm vấn đề Cơ sở pháp lí sáng kiến: Sáng kiến dựa sở pháp lí: Trang - Thơng tư BGDĐT thay đổi cấu trúc đề thi THPTQG năm 2016-2017 - Kế hoạch giảng dạy nhà trường năm học 2019-2020 - Kế hoạch cá nhân năm học 2019-2020 - Cấu trúc đề thi THPTQG mơn Tốn - Tình hình học tập khối lớp 12 trường THPT Cần Thạnh Phạm vi đối tượng sáng kiến: - Với nội dung sáng kiến phạm vi trường học, người viết nêu chủ yếu kinh nghiệm, phương pháp áp dụng đạt hiệu thân năm giảng dạy khối lớp 12 - Sáng kiến áp dụng cho chương trình Tốn 12 – THPT - Đối tượng nghiên cứu sáng kiến HS khối 12 B NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN I CƠ SỞ LÝ THUYẾT Khái niệm cực đại, cực tiểu x   a; b  Cho hàm số y  f ( x ) xác định liên tục khoảng (a;b) o x   xo  h; xo  h  Nếu tồn số h >0 cho f ( x )  f ( xo ) với x  xo ta nói hàm số đạt cực đại xo x   xo  h; xo  h  Nếu tồn số h >0 cho f ( x )  f ( xo ) với x  xo ta nói hàm số đạt cực tiểu xo Chú ý: - Nếu f ( x) đạt cực đại (cực tiểu) xo thì: + xo gọi điểm cực đại (cực tiểu) hàm số + f ( xo ) gọi giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) hàm số hay cực trị hàm số + Điểm M  xo ; f ( xo )  gọi điểm cực đại (điểm cực tiểu) đồ thị hàm số hay điểm cực trị - Nếu hàm số y  f ( x) có đạo hàm khoảng (a;b) đạt cực trị xo f '( xo ) 0 Trang 2 Quy tắc tìm cực trị x   a; b  Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm khoảng (a;b) o a) Dấu hiệu 1: + Nếu hàm số f '( x ) đổi dấu từ + sang – qua xo điểm xo gọi điểm cực đại + Nếu hàm số f '( x ) đổi dấu từ - sang + qua xo điểm xo gọi điểm cực tiểu Minh họa: giả sử ta có bảng xét dấu đạo hàm sau: x  y’ y + x1 x2 – +    Suy hàm số đạt cực đại x1 cực tiểu x2 Quy tắc 1:  Bước 1: Tìm TXĐ  Bước 2: Tính đạo hàm y ' Giải phương trình: y ' 0 tìm nghiệm x1 , x2 , điểm làm f(x) không xác định  Bước 3: Lập bảng biến thiên  Bước 4: Nêu kết luận điểm cực trị VD: Tìm cực trị hàm số: a ) y  x  3x  x  TXĐ: D =R y ' x2  x   x 1 y ' 0    x  Bảng biến thiên: x y’ y  +  -7 – 30 +    14 Trang   14   1;   7;30   Điểm cực đại điểm cực tiểu   b) y  x  x  TXĐ: D =R  x 0 y ' 0   x 2  x  y ' x3  x Bảng biến thiên: x y’ y   -2 0 +  +  -3 -3 Điểm CĐ(0;1) Điểm CT(-2;-3), (2;-3) c) y  2x  x 1 TXĐ: D = R \ { 1} y'  0, x  D ( x  1) Hàm số khơng có cực trị pt: y ' 0 vô nghiệm (theo ý 2) b) Dấu hiệu 2: Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm liên tục tới cấp xo  f '( xo ) 0  f ''( xo )   xo + Nếu  điểm cực tiểu  f '( xo ) 0  f ''( xo )   xo + Nếu  điểm cực đại Quy tắc 2:  Bước 1: Tìm TXĐ  Bước 2: Tính đạo hàm y ' Giải phương trình: y ' 0 tìm nghiệm x1 , x2 , điểm làm f(x) khơng xác định  Bước 3: Tính f ''( x ) tính f ''( xi ) Trang Bước 4: Dựa vào dấu f ''( xi ) kết luận điểm cực trị  VD: Dùng quy tắc 2, tìm điểm cực trị hàm số: a) y x  x  TXĐ: D=R y ' 4 x  x  x 0 y ' 0   x 1  x  y '' 12 x  y ''(0)   0, y ''(1) 8  0, y ''(  1) 8  Hàm số đạt cực đại x=0 yCĐ 2 Hàm số đạt cực tiểu x=1;-1 yCT 1 b) y sin x TXĐ: D=R y ' 2 cos x   k y ' 0  cos x 0  x   k  x   y ''  4sin x   k     k 2l y ''     4sin   k  4 k 2l  1(l  Z ) 4  2   Vậy:  x   l điểm cực đại hàm số x 3  l điểm cực tiểu hàm số VD: Tìm m để hàm số: y  x  3mx  ( m  21) x  đạt cực đại x=2 Giải: TXĐ: D=R Trang y ' 3 x  6mx  m  21 y '' 6 x  6m Hàm số đạt cực đại x=2 khi: 3.22  6m.2  m  21 0  y '(2) 0    y ''(2)  6.2  6m    11m  33 0 m 3    m 3   6m   12 m  Đạo hàm hàm hợp a) Khái niệm hàm hợp: Giả sử hàm số u= g(x) hàm số x, xác định (a;b) lấy giá trị (c;d); Và y=f (u) hàm số u, xác định (c;d) lấy giá trị R Khi ta lập hàm số xác định (a;b) lấy giá trị R theo quy tắc : x  f ( g ( x)) Ta nói hàm y  f ( g ( x )) hàm hợp hàm y  f (u ) với u g ( x) ta tóm tắt qua sơ đồ: (a; b)  (c; d )  R x  u g ( x)  y  f (u ) 10 VD: y (2 x  1) hàm hợp hàm y u 10 với u 2 x  b) Đạo hàm hàm hợp: ' Nếu hàm số u g ( x ) có đạo hàm x u x ' Hàm số y  f (u ) có đạo hàm u yu Khi hàm hợp y  f ( g ( x)) có đạo hàm x y x'  yu' u x' VD : Tính đạo hàm hàm số: 10 a) y (2 x  1) b) y  x  c) y sin  3x   d) y  f (2 x  x  1) Giải: Trang ' ' a) y 10(2 x  1) (2 x  1) 20((2 x  1) y'  b) 1 (2 x  1)'  2 x  2x 1 ' y ' cos  x    x   6 x.cos  x   c) d ) y ' (4 x  3) f '(2 x  3x  1) II QUY TRÌNH THỰC HIỆN Bước 1: Kiến thức bổ sung [GV: kiến thức cực trị hàm số biết, ý thêm kiến thức sau đây] Kiến thức 1: xo gọi nghiệm bội lẻ phương trình f ( x ) 0 phân tích f ( x) thành nhân tử k ta có dạng: f ( x ) ( x  xo ) h( x) với k số tự nhiên lẻ h( xo ) 0 Chú ý: xo gọi nghiệm đơn k=1 VD: Phương trình: x  x  0  ( x  1)( x  4) 0 nên có hai nghiệm bội lẻ x 1, x 4 Phương trình: ( x  1) ( x  2) (2 x  1) 0 có hai nghiệm bội lẻ x 1, x  Kiến thức 2: Trong bảng xét dấu hàm số y  f ( x ) hàm số đổi dấu qua nghiệm bội lẻ phương trình f ( x ) 0 Chứng minh: k Cho f ( x ) 0 có nghiệm bội lẻ xo suy f ( x ) ( x  xo ) h( x) với k lẻ  x ;x  Xét ( x1; xo ), ( xo ; x2 ) Vì h( xo ) 0 nên h(x) khơng đổi dấu k Nếu x  ( xo ; x2 )  ( x  xo )  Trang k Nếu x  ( x1 ; xo )  ( x  xo )  Vậy f(x) đổi dấu qua nghiệm bội lẻ xo Kiến thức 3: Cho hàm số y  f ( x) liên tục K Số cực trị đồ thị hàm số y  f ( x) số nghiệm bội lẻ phương trình f '( x ) 0 Chứng minh: Giả sử phương trình f '( x ) 0 có n nghiệm bội lẻ bảng biến thiên f '( x ) đổi dấu qua n nghiệm nên đồ thị hàm số y  f ( x) có tương ứng n điểm cực trị Kiến thức 4: Số cực trị đồ thị hàm số y  f ( x) số giao điểm đồ thị hàm số y  f '( x) với trục hồnh (khơng tính điểm tiếp xúc với trục hồnh) Chứng minh: Giả sử đồ thị hàm số y  f '( x ) có k giao điểm với trục hồnh (khơng tính điểm tiếp xúc) nghĩa hàm số y  f '( x) đổi dấu qua k nghiệm (tức f '( x ) 0 có k nghiệm bội lẻ) nên đồ thị hàm số y  f ( x) có tương ứng k điểm cực trị Kiến thức 5: Số cực trị đồ thị hàm số y  f ( ax  b) với a, b  R số cực trị đồ thị hàm số y  f ( x) Chứng minh: Giả sử đồ thị hàm số y  f ( x) có k cực trị tức phương trình f '( x ) 0 có k nghiệm bội lẻ xi Đặt t ax  b ( t  R ) y ' af '(t ) 0  f '(t ) 0 có k nghiệm bội lẻ ti axi  b Trang Lời giải Chọn D h x  f   x   2019 x  2020 Đặt   h x  f   x   2019      x      x    g   x   2019  2019 Ta có:    x 0 h x  0    x   x  g   x   x 3 ; Bảng biến thiên hàm số h x Vậy hàm số đạt cực đại x0 3 Câu 7: Cho hàm số f  x có đạo hàm g  x  f  x    x A f  x   x  x   Số điểm cực trị hàm số C B D Lời giải Chọn B 2 g  x   f  x     x   f  x    x    x   x  x  Ta có  x 2 g  x  0   x   x 3 ( nghiệm đơn, nghiệm kép)   Suy hàm số có điểm cực trị   f  x   x   x   y  f  x Câu 8: Cho hàm số có đạo hàm với x  R Hàm số g  x f   x có điểm cực đại? A B C D Lời giải Chọn B g x f   x Ta có   g  x   f   x    (3  x)  1  (3  x)      x    x     x   x  g '( x) 0   x 2  x 4 Như ta có bảng biến thiên hàm số Trang 12 g  x Từ bảng biến thiên, ta nhận thấy hàm số g  x có điểm cực đại y  f  x Câu 9: Cho hàm số xác định, liên tục, có đạo hàm ¡ y  g ( x)  f  x  2019  f  x   x  x  2028   x  2023 Khi hàm số có tất điểm cực trị? A B C D Lời giải Chọn A y  g ( x )  f  x  2019  Ta có  y  g ( x)  x  2019  f  x  2019 2 x f  x  2019 2 f  x  x  x  2028   x  2023 Mặt khác   Nên suy ra: 2 y   g ( x ) 2 x f  x  2019  2 x  x  2019   x  2019  2028   x  2019  2023   2 x  x  2019    x      x   2 x  x  2019   2  x  3  x    x    x   y 2 x  x  2019  Suy hàm số 2  x  3  x  3  x    x   y  g ( x )  f  x  2019   x 0 (nghiem don)  x 3 (nghiem don)  0   x  (nghiem don)   x 2 (nghiem boi 2)  x  ( nghiem boi 2) có tất điểm cực trị y  f  x Câu 10: Cho hàm số có đạo hàm y  f  x  8x  có điểm cực trị? A B f  x   x  x C , x  R Hàm số D Lời giải Chọn C f  x   x  x x  x   Ta có: y  x   f  x  x  2  x    x  x   x  x   Trang 13  x 4   x 0   x 8  x  0    x 4    x  x 0   x  x  0  y  0   x 4  (5 nghiệm đơn) y  f  x2  8x  Vậy hàm số có điểm cực trị Câu 11: Cho hàm số y  f  x có đạo hàm f  x   x  x , x  R Hàm số  x y  f 1   4x  2 có điểm cực trị? A B C D Lời giải Chọn C  x g  x  f 1   4x  2 Xét hàm số   x  x g  x   f               2  x 6 x2  x         0    Suy hàm số có điểm cực trị Câu 12: Cho hàm số y  f  x có đạo hàm f  x    x   x   y  f  x    x  x  2020 có điểm cực trị ? A B 2019 C Lời giải Chọn C g  x   f  x    x  x  2020 Xét hàm số + g  x  2 x f  x    x  x 2019 , x  R D 2020 g  x  0  x f  x    x  x 0  x  f  x    x   0 +  x 0  2  f  x    x  0     : Đặt t x  Giải phương trình Trang 14 Hàm số    f  t   t  0 2019 2019    t   t  8   t   0    t    t    1 0     t 0   2019  0   t    x  2   x  3   x    Suy  g  x  0  t 2    t  1  t 2  t 3   x 4   x 5   x    x 2   x  có nghiệm (khơng có nghiệm bội chẵn) Vậy hàm số có cực trị Bước 3: Bài tốn tìm số cực trị hàm số y  g ( x) kf ( x )  h( x ) y  g ( x)  f (u ) biết trước đồ thị bảng xét dấu hàm số y  f '( x) Bước 1: Tính g '( x) Bước 2: Dựa vào đồ thị bảng xét dấu, giải phương trình g '( x) 0 tìm số nghiệm bội lẻ Bước 3: Kết luận (Nếu tốn hỏi cụ thể ta lập bảng biến thiên hàm số y  g ( x) y  f  x y  f  x  xác định, liên tục R có đồ thị đạo hàm y  f  x hình vẽ bên Tìm số điểm cực đại đồ thị hàm số Câu 1: Cho hàm số A C B D Lời giải Chọn A Trang 15 y  f  x  x ,x ,x ,x Đồ thị hàm số giao với trục hoành điểm f  x  Nhận thấy đổi dấu từ âm sang dương qua x1 x3 nên hàm số y  f  x đạt cực tiểu x1 x3 Và f  x  y  f  x đổi dấu từ dương sang âm qua x2 nên hàm số đạt cực đại x2 f  x  không đổi dấu qua x4 nên x4 không điểm cực trị hàm số y  f  x Vậy hàm số có điểm cực đại f  x  f  x Câu 2: Cho hàm số có đồ thị khoảng K hình vẽ Khi K , hàm số y  f  x  2020  có điểm cực trị? y x O A B C D Lời giải Chọn A Câu 3: Trang 16 f  x  Vì đồ thị hàm số có cắt trục hồnh điểm (khơng tính điểm tiếp xúc) nên f  x  đồ thị hàm số có cực trị y  f  x  2020  Theo kiến thức bổ sung hàm số có cực trị y = f ( x) f ¢( x ) Cho hàm số có đồ thị hàm hình bên Hỏi hàm số A g ( x) = f ( x - x ) B có cực trị ? C Lời giải D Chọn B Xét g ( x) = f ( x - x ) ị g Â( x ) = ( 1- x) f ¢( x - x ) é êx = ê ê Û êx - x = (*) ê é1- x = êx - x = (**) ê g ¢( x ) = Û ê ê f ¢x- x ) =0 ê ê ë ( ë Û x= (vì phương trình (*)(**) vơ nghiệm) Vậy hàm số có điểm cực trị y  f  x y  f  x  Câu 4: Cho hàm số xác định liên tục R Biết hàm số có đồ thị hình vẽ bên dưới: Hàm số A y g ( x)  f  x  5 có tất điểm cực trị? B C Lời giải D Chọn C y g ( x)  f  x   Xét hàm số y g '( x) 2 x f  x   Ta có  x 0  x 0   x   x 0   y  0     x    x 3    x  3  x 8  x 0 ( nghiem boi 3)   x  ( nghiem don )  x 2 (nghiem don )  y  f  x  5 Từ bảng biến thiên suy hàm số có tất điểm cực trị Trang 17 y  f  x có đạo hàm liên tục R có đồ thị hàm số y  g  x   f  x  3 hình vẽ Tìm số điểm cực trị hàm số Câu 5: Cho hàm số A C B y  f ' x D Lời giải Chọn C  x   nghiem don  f '  x  0    x 1 nghiem kep  - Dựa vào đồ thị ta thấy: g '  x  2 x f ' x  - Ta có  x 0  nghiem don   x 0   g '  x  0   x     x 1 nghiem don   x 2 nghiem kep  x  1     Suy hàm số có điểm cực trị  Câu 6: Cho hàm số hình sau: Hàm số A y = f ( x - x) Chọn C Xét hàm số Trang 18 y = f ( x)  y = f ¢( x ) có đạo hàm tập ¡ Hàm số có đồ thị có điểm cực tiểu? B C Lời giải y = f ( x - x) Ta có y ¢= ( x - 1) f ¢( x - x ) D