TÍN HiỆU VÀ HỆ THỐNG TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG Giảng viên Nguyễn Thu Nga HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG Khoa Viễn thông 1 Bộ môn Tín hiệu & Hệ thống Chương 2 – Hệ thống tuyến tính bất biến theo th[.]
HỌC VIỆN CƠNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THƠNG Khoa Viễn thơng - Bộ mơn Tín hiệu & Hệ thống TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG Giảng viên Nguyễn Thu Nga Chương – Hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian • • Hệ thống LTI liên tục • Đáp ứng hệ thống LTI liên tục tích chập • Các hệ thống LTI liên tục • Hàm đặc trưng hệ thống LTI liên tục • Biểu diễn hệ thống phương trình vi phân Hệ thống LTI rời rạc • Đáp ứng hệ thống LTI rời rạc tổng chập • Các hệ thống LTI rời rạc • Hàm đặc trưng hệ thống LTI rời rạc • Biểu diễn hệ thống phương trình sai phân • Hệ thống LTI liên tục ➢ Định nghĩa: Hệ thống LTI (Linear Time Invarian) hệ thống thỏa mãn điều kiện sau: ▪ Tính truyến tính: ngun lý xếp chồng - Nếu: Thì: ▪ Tính bất biến theo thời gian: - Nếu • Hệ thống LTI liên tục - Trong kĩ thuật, hệ thống LTI đóng vai trị quan trọng - Rất nhiều hệ thống vật lý có đặc tính cho phép mơ tả dạng hệ thống tuyến tính, bất biến theo thời gian - Nhiều cơng cụ tốn học mạnh phát triển để phân tích hệ thống LTI - Hệ thống LTI dễ dàng phân tích nhiều so với hệ thống khơng phải LTI: tín hiệu đầu vào hệ thống LTI phân tích thành tổ hợp tuyến tính nhiều tín hiệu bản, đầu sử dụng tính chất xếp chồng để thu tín hiệu - Hệ thống LTI đóng vai trị quan trọng phân tích, xử lý hệ thống khơng phải LTI: thực tế, hệ thống LTI đạt xấp xỉ gần sử dụng mơ hình LTI • Hệ thống LTI liên tục ▪ Đáp ứng xung (Impulse Response) - Đáp ứng xung h(t) hệ thống LTI liên tục (đặc trưng T): đáp ứng hệ thống đầu vào δ(t) ▪ Đáp ứng với đầu vào Tín hiệu đầu y(t) Do hệ thống bất biến - Hệ thống LTI hoàn toàn đặc trưng đáp ứng xung h(t) - Khi x(t)=(t) y(t)=h(t) 4/2/2021 • Hệ thống LTI liên tục ▪ Sử dụng tích chập để viết lại mối quan hệ tín hiệu đầu vào, tín hiệu đầu đáp ứng xung hệ thống LTI liên tục ▪ Nếu biết đáp ứng xung hệ thống LTI liên tục, xác định tín hiệu đầu hệ thống với tín hiệu vào ▪ Đáp ứng xung hệ thống CT-LTI đại lượng vô hữu ích, xác định hệ thống thực tế cần thiết Nhưng thực tế, khơng thể xác định trực tiếp từ định nghĩa đáp ứng xung HỆ THỐNG LTI LIÊN TỤC ĐƠN GIẢN LÀ MỘT PHÉP TÍCH CHẬP 4/2/2021 • Hệ thống LTI liên tục ▪ Đáp ứng nhảy bậc s(t) hệ thống CT-LTI (đặc trưng T): đáp ứng hệ thống đầu vào xung nhảy bậc u(t) ▪ Đáp ứng xung h(t) đáp ứng nhảy bậc s(t) hệ thống CT-LTI có mối quan hệ sau ▪ Đáp ứng xung hệ thống hồn tồn xác định từ đáp ứng nhảy bậc nhờ phép tính đạo hàm ▪ Đáp ứng nhảy bậc cung cấp thêm cách thức thực tế để xác định đáp ứng xung hệ thống 4/2/2021 • Hệ thống LTI liên tục Tích chập (Convolution) ▪ Tích chập f(t) h(t) tạo y(t) tính theo cơng thức sau: ▪ Để tính tích chập, thực theo bước sau: - Đảo ngược thời gian h(𝛕) để h(-𝛕) - Dịch thời gian h để có h(t- 𝛕) - Nhân kết với f(𝛕)để có f(𝛕) h(t- 𝛕) 4/2/2021 • Hệ thống LTI liên tục - Tính tích chập f(t)*h(t) • Hệ thống LTI liên tục • Hệ thống LTI rời rạc ▪ Tổng chập x[n] h[n] tạo y[n] tính theo cơng thức sau: ▪ Tính tổng chập theo phương pháp đồ thị gồm bước sau: - Đảo ngược thời gian h[k] (đối xứng qua trục tung) để h[-k] - Dịch n để thu h[n-k] = h[-(k-n)] (hàm theo k, n tham số) - Nhân giá trị x[k] với h[n-k] vị trí k ứng với n xác định - Tại giá trị n, thu y[n] tương ứng cách cộng tất tích x[k]k[n-k] - Lặp lại bước với n biến đổi từ -∞ đến +∞ để thu toàn đầu y[n] 4/2/2021 28 • Hệ thống LTI rời rạc ▪ Tính tổng chập theo phương pháp ma trận: - Nếu x[n] có chiều dài N1, đáp ứng xung h[n] có chiều dài N2 tổng chập có chiều dài N1+N2-1 tính sau 4/2/2021 29 • Hệ thống LTI rời rạc ▪ Ví dụ: Tính tổng chập x[n] h[n] cho đồ thị sau Đồ thị Ma trận 4/2/2021 30 • Hệ thống LTI rời rạc 4/2/2021 31 • Hệ thống LTI rời rạc ▪ Phương trình sai phân tuyến tính ▪ Phương trình sai phân tuyến tính sử dụng để mơ tả DT-LTI Trong ak, bk hệ số thực ▪ Các đặc trưng hệ thống rời rạc tính tuyến tính, nhân quả, bất biến theo thời gian xác định hoàn toàn tương tự với hệ thống liên tục ▪ Mô tả hệ thống mức độ trừu tượng hơn: tín hiệu lối biểu diễn hàm theo tín hiệu đầu vào → thu nhờ giải phương trình sai phân tuyến tính 4/2/2021 32 • Hệ thống LTI rời rạc ▪ Phtr sai phân tuyến tính viết lại sau Trong ak, bk hệ số thực ▪ Đầu thời điểm phụ thuộc vào đầu vào đầu vào đầu thời điểm q khứ Vì thế, cần phải có điều kiện ban đầu để giải phương trình sai phân ▪ Phương trình sai phân tuyến tính đệ qui bậc N có đáp ứng xung khơng xác định (Infinite Impusle Response – IIR) → Bộ lọc IIR hồn tồn đặc trưng phương trình sai phân đệ qui 4/2/2021 33 • Hệ thống LTI rời rạc ▪ Một hệ thống DT-LTI không đệ qui biểu diễn phtr sai phân tuyến tính khơng đệ qui sau Nhân Trong bm hệ số thực ▪ Đầu thời điểm không phụ thuộc vào đầu thời điểm q khứ Vì thế, khơng cần điều kiện ban đầu để giải phương trình sai phân ▪ Phương trình sai phân tuyến tính khơng đệ qui bậc N có đáp ứng xung xác định (Finite Impusle Response – FIR) → Bộ lọc FIR hồn tồn đặc trưng phương trình sai phân khơng đệ qui 4/2/2021 34 • Hệ thống LTI rời rạc Giải phương trình sai phân ▪ Nghiệm tổng quát phương trình sai phân biểu diễn đầu y[n] tương ứng với đầu vào x[n] hệ thống có dạng: y[n] = yc[n] + yp[n] - yp[n]: gọi nghiệm riêng phtr sai phân: tín hiệu có dạng với tín hiệu đầu vào - yc[n]: gọi nghiệm đồng (nghiệm bù): nghiệm phtr sai phân đồng (phtr sai phân hệ thống x[n] [n] = 0), đặc trưng cho đáp ứng tự nhiên (natural response) hệ thống 4/2/2021 35 • Hệ thống LTI rời rạc Tìm nghiệm bù (nghiệm đồng nhất) ▪ Phtr đồng có x[n]=0 - Đặt yc[n]=λn thay vào phtr: Phương trình đặc trưng: - Nếu phtr đặc trưng có N nghiệm phân biệt, - Nếu phtr đặc trưng có λ1 nghiệm kép bậc m nghiệm phân biệt 4/2/2021 , 36 • Hệ thống LTI rời rạc Tìm nghiệm bù (nghiệm đồng nhất) ▪ Nếu phtr đặc trưng có nghiệm phức, với C1 C2 số ▪ Các hệ số thu từ điều kiện ban đầu cụ thể hệ thống (thu nghiệm riêng) 4/2/2021 37 • Hệ thống LTI rời rạc Tìm nghiệm riêng ▪ Nghiệm riêng nghiệm thoả mãn phtr sai phân với đầu vào xác định ▪ Cần ý: có dạng tín hiệu đầu vào x[n] - Nếu x[n] số, - Nếu x[n] có dạng hàm sin, 4/2/2021 số có dạng hàm sin 38 • Hệ thống LTI rời rạc Ví dụ ▪ Xác định đáp ứng xung x[n] = δ[n] hệ thống đặc trưng phtr sai phân sau với điều kiện ban đầu y(-1)=0 y(-2)=0 y[n] + 2y[n-1] – 3y[n-2] = x[n] Xác định nghiệm bù (nghiệm đồng nhất): Đặt x[n]=0, y[n]=λn thay vào phtr đồng nhất, ta có Nghiệm phtr đặc trưng λ1= -3, λ2= 1, nghiệm bù 4/2/2021 39 • Hệ thống LTI rời rạc Xác định nghiệm bù (nghiệm đồng nhất) (tiếp): Tìm α1, α2 sau: x[n]=δ[n], x[n] = với n>0 x(0)=1 Thay vào phtr sai phân với giả thiết y(-1)=0 y(-2)=0, ta có y(0) + 2y(-1) – 3y(-2) = x(0) = → y(0) = y(1) + 2y(0) – 3y(-1) = x(1) = → y(1) = -2 Thay vào phtr nghiệm bù với n tương ứng, thu α1 + α2 = y(0) = -3α1 + α2 = y(1) = -2 α1 = 3/4, α2 = 1/4 Xác định nghiệm riêng: x[n] = với n>0 nên khơng có nghiệm riêng Đáp ứng đầu hệ thống: 4/2/2021 40 • Hệ thống LTI rời rạc Ví dụ ▪ Xác định đáp ứng xung x[n] = u[n] hệ thống đặc trưng phtr sai phân sauvới điều kiện ban đầu y(-1)=0 y(-2)=0 y[n] + 5y[n – 1] + 6y[n – 2] = x[n] Xác định nghiệm bù: Đầu vào x[n]=δ[n], y[n]=λn thay vào phtr đồng nhất, ta có Nghiệm phtr đặc trưng λ1= -3, λ2= -2, nghiệm bù 4/2/2021 41 • Hệ thống LTI rời rạc Xác định nghiệm riêng: Do tín hiệu đầu vào xung nhảy bậc đơn vị nên nghiệm riêng có dạng Với n>2, thay x(n) = vào phtr sai phân, ta có K + 5K + 6K = x(n) = → K = 1/12 → yp(n) = 1/12 Nghiệm tổng quát: y(n) = yc(n) + yp(n) = α1(-3)n + α2(-2)n + 1/12 Xác định α1, α2: Với n = 0, y(0) + 5y(-1) + 6y(-2) = x(0) = → y(0) = Với n = 1, y(1) + 5y(0) + 6y(-1) = x(1) = → y(1) = -4 α1 + α2 + 1/12 = -3α1 - 2α2 + 1/12 = -4 α1 = 27/12, α2 = -16/12 Kết 4/2/2021 42