Luận án tiến sĩ chuyên ngành cơ học đánh giá và mô phỏng các hệ số đàn hồi đa tinh thể hỗn độn

i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu thân tơi, số liệu kết trình bày luận án hồn tồn trung thực chưa có tác giả khác cơng bố cơng trình từ trước tới Tơi xin chịu hồn tồn trách nhiệm nội dung khoa học cơng trình nghiên cứu Nghiên cứu sinh VƢƠNG THỊ MỸ HẠNH ii LỜI CẢM ƠN Để hồn thành luận án cách hoàn chỉnh, bên cạnh nỗ lực cố gắng thân cịn có hướng dẫn nhiệt tình quý Thầy Cô, động viên ủng hộ gia đình bạn bè suốt thời gian học tập nghiên cứu Đầu tiên, xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy GS TSKH Phạm Đức Chính, người trực tiếp định hướng nghiên cứu, tận tình hướng dẫn tạo điều kiện tốt để tơi học hỏi hồn thành luận án Tôi xin gửi lời cảm ơn đến TS Lê Hồi Châu, có khó khăn khoảng cách địa lý thầy hướng dẫn giúp đỡ nhiều nội dung phương pháp số luận án Xin gửi lời cảm ơn đến thầy, cô giảng dạy lĩnh vực nghên cứu Cơ học, giúp tơi có thêm kiến thức để áp dụng luận án Cảm ơn Học Viện Khoa học Công Nghệ, cảm ơn Ban lãnh đạo Viện Cơ học tạo điều kiện để tập trung nghiên cứu Cảm ơn anh chị nhóm Seminar anh chị em đồng nghiệp giúp đỡ nhiều tài liệu khoa học, thời gian kinh nghiệm Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đến gia đình tơi, người ln sát cánh tơi khó khăn, động viên, khích lệ để tơi chun tâm nghiên cứu iii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT v DANH MỤC CÁC BẢNG viii DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ ix MỞ ĐẦU 1 Lý lựa chọn đề tài Mục tiêu, phương pháp nghiên cứu luận án Đối tượng, phạm vi nghiên cứu luận án Những đóng góp luận án Bố cục luận án CHƢƠNG 1: TỔNG QUAN 1.1 Tổng quan vật liệu đa tinh thể 1.2 Lịch sử nghiên cứu hệ số đàn hồi vật liệu đa tinh thể 12 1.3 Phương pháp nghiên cứu hệ số đàn hồi vật liệu đa tinh thể 20 1.4 Kết luận chương 21 CHƢƠNG 2: XÂY DỰNG CÁC ĐÁNH GIÁ CÁC MÔ ĐUN ĐÀN HỒI VẬT LIỆU ĐA TINH THỂ HỖN ĐỘN D CHIỀU 23 2.1 Các công thức xuất phát 23 2.2 Mô đun đàn hồi khối vật liệu đa tinh thể hỗn độn d chiều 35 2.3 Mô đun đàn hồi trượt vật liệu đa tinh thể hỗn độn d chiều 49 2.4 Kết luận chương 52 CHƢƠNG 3: ĐÁNH GIÁ CÁC MÔ ĐUN ĐÀN HỒI VĨ MÔ CHO CÁC ĐA TINH THỂ HỖN ĐỘN TỪ CÁC LỚP ĐỐI XỨNG TINH THỂ CỤ THỂ 53 3.1 Các đa tinh thể chiều 53 iv 3.2 Các đa tinh thể chiều 69 3.3 Kết luận chương 83 CHƢƠNG 4: ÁP DỤNG PHƢƠNG PHÁP PTHH VÀ SO SÁNH VỚI CÁC ĐÁNH GIÁ CHO MỘT SỐ MƠ HÌNH ĐA TINH THỂ CỤ THỂ 84 4.1 Các công thức xuất phát 84 4.2 Quy trình tính toán PTHH 85 4.3 Áp dụng cho đối xứng tinh thể cụ thể 91 4.4 Kết PTHH so sánh 93 4.5 Kết luận chương 102 KẾT LUẬN VÀ HƢỚNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO 103 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC ĐÃ CÔNG BỐ 105 TÀI LIỆU THAM KHẢO 106 PHỤ LỤC 115 v DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT Ký hiệu thông thƣờng 2D, 3D: không gian chiều, chiều d: số chiều không gian E: mô đun Young G: mô đun trượt (mô đun cắt) n: véc tơ pháp tuyến U: trường chuyển vị U e : trường chuyển vị biên   x  xi d i 1 : vị trí khơng gian d chiều ε : trường biến dạng σ : trường ứng suất  : hệ số Poison λ : hệ số Lame τ e : lực biên cho trước  ij : tốn tử Kronecker   : hàm điều hịa   : hàm song điều hòa Vu : biên cho chuyển vị V : biên cho lực Ký hiệu riêng lĩnh vực luận án A , B : Các tham số thống kê bậc ba hình học pha vật liệu Ceff : ten xơ hệ số đàn hồi (độ cứng) vĩ mô/ hiệu C : ten xơ hệ số đàn hồi (độ cứng) thành phần pha α I : hàm số hình học pha α K eff : mơ đun đàn hồi diện tích vĩ mô vật liệu 2D k eff : mô đun đàn hồi thể tích (khối) vĩ mơ vật liệu 3D (d chiều) vi kV : đánh giá mô đun đàn hồi thể tích (khối) Voigt cho vật liệu 3D (d chiều) k R : đánh giá mô đun đàn hồi thể tích (khối) Ruess cho vật liệu 3D (d chiều) KV : đánh giá mô đun đàn hồi diện tích Voigt cho vật liệu 2D K R : đánh giá mơ đun đàn hồi diện tích Ruess cho vật liệu 2D U : đánh giá mơ đun đàn hồi thể tích (khối) HS cho vật liệu 3D (d chiều) k HS L : đánh giá mơ đun đàn hồi thể tích (khối) HS cho vật liệu 3D (d chiều) k HS U : đánh giá mô đun đàn hồi diện tích HS cho vật liệu 2D K HS L : đánh giá mơ đun đàn hồi diện tích HS cho vật liệu 2D K HS k U : đánh giá mơ đun đàn hồi thể tích (khối) luận án cho vật liệu 3D (d chiều) k L : đánh giá mô đun đàn hồi thể tích/ khối luận án cho vật liệu 3D (d chiều) K U : đánh giá mô đun đàn hồi diện tích luận án cho vật liệu 2D K L : đánh giá mô đun đàn hồi diện tích luận án cho vật liệu 2D  eff : mô đun đàn hồi trượt vĩ mô V : đánh giá mô đun đàn hồi trượt Voigt  R : đánh giá mô đun đàn hồi trượt Ruess U : đánh giá mô đun đàn hồi trượt HS  HS L : đánh giá mô đun đàn hồi trượt HS  HS  U : đánh giá mô đun đàn hồi trượt luận án  L : đánh giá mô đun đàn hồi trượt luận án f1 , g1 , f , g : tham số hình học pha vật liệu bU , f1U , g1U : giá trị biến b, f1 , g1 đạt ứng với đánh giá luận án b L , f1L , g1L : giá trị biến b, f1 , g1 đạt ứng với đánh giá luận án : trung bình thể tích miền V  : trung bình thể tích miền V v : tỷ lệ thể tích pha α vii α, β, γ: pha vật liệu (chỉ hướng tinh thể) S: ten xơ hệ số đàn hồi mềm S : ten xơ hệ số đàn hồi mềm thành phần pha α S k , S  : tương ứng tham số phân tán hệ số đàn hồi khối/ thể tích/ diện tích trượt vĩ mơ vật liệu đa tinh thể ngẫu nhiên SkLA , S LA : tham số phân tán cho mô đun đàn hồi diện tích/thể tích trượt Luận án S kcir , S cir : tham số phân tán cho mơ đun đàn hồi diện tích/ thể tích trượt tinh thể dạng hạt tròn SkVR , S VR : tham số phân tán cho mô đun đàn hồi diện tích/ thể tích trượt Voigt- Reuss SkHS , S HS : tham số phân tán cho mơ đun đàn hồi diện tích/ thể tích trượt Hashin-Strickman Chữ viết tắt HS: Hashin-Strickman NCS: nghiên cứu sinh PĐC: Phạm Đức Chính PTHH: phần tử hữu hạn RVE: phần tử đặc trưng (representative volum element) SC: tự tương hợp (self-consistent) V-R: Voigt- Reuss viii DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 1.1: Các mạng Bravais ………………………………………… …… Bảng 1.2: Quan hệ cặp hệ số mô đun đàn hồi …………… … 24 Bảng 3.1: Các hệ số đàn hồi số tinh thể orthorhombic 2D ……… … 59 Bảng 3.2: Kết mơ đun đàn hồi diện tích orthorhombic 2D 61 Bảng 3.3: Kết mô đun đàn hồi diện tích square 66 Bảng 3.4: Kết mô đun đàn hồi trượt square 66 Bảng 3.5: Các hệ số đàn hồi số tinh thể tetragonal 2D 69 Bảng 3.6: Kết mơ đun đàn hồi diện tích tetragonal 2D 69 Bảng 3.7: Kết mô đun đàn hồi trượt tetragonal 2D 70 Bảng 3.8: Các hệ số đàn hồi số tinh thể tetragonal 3D 80 Bảng 3.9: Kết mô đun đàn hồi thể tích tetragonal 3D 81 Bảng 3.10: Kết mô đun đàn hồi trượt tetragonal 3D 82 ix DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ Hình 1.1: Ứng dụng vật liệu đa tinh thể Hình 1.2: Mơ hình vật liệu đa tinh thể hỗn độn Hình 3.1: Đối xứng tinh thể orthorhombic ……………………………………… 55 Hình 3.2: Quy trình tính đánh giá Matlab 60 Hình 3.3: Đối xứng tinh thể tetragonal … ……………………………………… 67 Hình 4.1 (a-e): Kích thước RVE … 87 Hình 4.2: Quy trình tính tốn phương pháp PTHH 88 Hình 4.3: Kết PTHH cho mơ đun trượt square Cu 95 Hình 4.4: Kết PTHH cho mô đun trượt square Pb 96 Hình 4.5: Kết PTHH cho mô đun trượt square Li 97 Hình 4.6: Kết PTHH cho mơ đun diện tích orthorhombic 2D S(1) 97 Hình 4.7: Kết PTHH cho mơ đun diện tích orthorhombic 2D TiO2 98 Hình 4.8: Kết PTHH cho mơ đun diện tích orthorhombic 2D U(1) 98 Hình 4.9: Kết PTHH cho mơ đun trượt orthorhombic 2D S(1) 99 Hình 4.10: Kết PTHH cho mô đun trượt orthorhombic 2D S(3) 99 Hình 4.11: Kết PTHH cho mơ đun diện tích tetragonal 2D BaTiO3 100 Hình 4.12: Kết PTHH cho mơ đun diện tích tetragonal 2D Hg2Cl2 100 Hình 4.13: Kết PTHH cho mơ đun diện tích tetragonal 2D In 101 Hình 4.14: Kết PTHH cho mô đun trượt tetragonal 2D Hg2Cl2 101 Hình 4.15: Kết PTHH cho mơ đun trượt tetragonal 2D In 102 117  Python 3, gọi Python 3000 Py3K: Dòng 3.x khơng hồn tồn tương thích với dịng 2.x, có cơng cụ hỗ trợ chuyển đổi từ phiên 2.x sang 3.x Nguyên tắc chủ đạo để phát triển Python 3.x “bỏ cách làm việc cũ nhằm hạn chế trùng lặp mặt chức Python” Trong đề tài tác giả sử dụng phiên Python 2.7.11 (phát hành năm 2011) Python thiết kế để trở thành ngôn ngữ dễ học, mã nguồn dễ đọc, bố cục trực quan, dễ hiểu Là ngơn ngữ lập trình dạng thơng dịch, có ưu điểm tiết kiệm thời gian phát triển ứng dụng không cần phải thực biên dịch liên kết Trình thơng dịch sử dụng để chạy file script, sử dụng theo cách tương tác Ở chế độ tương tác, trình thơng dịch Python tương tự shell hệ điều hành họ Unix, đó, ta nhập vào biểu thức gõ Enter, kết thực thi hiển thị Đặc điểm hữu ích cho người học, giúp họ nghiên cứu tính ngơn ngữ; để lập trình viên chạy thử mã lệnh suốt trình phát triển phần mềm Ngồi ra, tận dụng đặc điểm để thực phép tính với máy tính bỏ túi Python sử dụng hệ thống kiểu duck typing, gọi latent typing (tự động xác định kiểu) Có nghĩa là, Python khơng kiểm tra ràng buộc kiểu liệu thời điểm dịch, mà thời điểm thực thi Khi thực thi, thao tác đối tượng bị thất bại, có nghĩa đối tượng khơng sử dụng kiểu thích hợp.Python ngơn ngữ định kiểu mạnh Nó cấm thao tác khơng hợp lệ, ví dụ cộng số vào chuỗi ký tự Sử dụng Python, ta không cần phải khai báo biến Biến xem khai báo gán giá trị lần Căn vào lần gán, Python tự động xác định kiểu liệu biến Python cho phép chia chương trình thành module để sử dụng lại chương trình khác Nó cung cấp sẵn tập hợp module chuẩn mà lập trình viên sử dụng lại chương trình họ Các module cung cấp 118 nhiều chức hữu ích, hàm truy xuất tập tin, lời gọi hệ thống, trợ giúp lập trình mạng (socket),… Python ngơn ngữ đa biến hóa (multiple paradigms) Có nghĩa là, thay ép buộc người phải sử dụng phương pháp lập trình, Python lại cho phép sử dụng nhiều phương pháp lập trình khác nhau: hướng đối tượng, có cấu trúc, chức năng, hướng đến khía cạnh Python kiểu động sử dụng thu gom rác để quản lý nhớ Một đặc điểm quan trọng Python giải pháp tên động, kết nối tên biến tên phương thức lại với suốt thực thi chương trình Trang web thức:https://www.Python.org Các chƣơng trình tính tốn luận án a Chương trình tính cho kết chương luận án Chương trình tính mơ đun đàn hồi d chiều clear; clc; x = [0 0]; fu =(d-1)/d; gu = (d-1)*(d+3)/d/(d+2); lb = [0 0.]; lu = [fu gu]; x0 = [0 ; 0.2]; A = [6/(d+4) -1; -6/(d+4) 1]; c = [0 ; (d^2-1)/(d+2)/(d+4)]; nf = 10; ng = 10; x0b = -1.8; fr = fu; fl = 0; gr = gu; gl = 0; b= zeros((nf+1)*(ng+1),4); deta_fi = (fr-fl)/nf; deta_gi = (gr-gl)/ng; k = 1; for i=1:ng+1 gi = (i-1)*deta_gi; for j=1:nf+1 fi = (j-1)*deta_fi; afg = [fi,gi]; [b(k,1) b(k,2)] = fmincon(@Ku,x0b,[],[],[],[],-2,0,[],[],afg); [b(k,3) b(k,4)] = fmincon(@Kl,x0b,[],[],[],[],-2,0,[],[],afg); 119 k = k+1; end end [bmin,indexb1] = min(b(:,2)); [bmax,indexb2] = max(b(:,4)); [fmax Ku_tetra] = fmincon(@Kub,x0,A,c,[],[],lb,lu,[],[],b(indexb1,1)); [fmin Kl_tetra] = fmincon(@Klb,x0,A,c,[],[],lb,lu,[],[],b(indexb2,3)); [b1 Ku_s] = fmincon(@Ku_S,x0b,[],[],[],[],-2,0,[],[]); [b2 Kl_s] = fmincon(@Kl_S,x0b,[],[],[],[],-2,0,[],[]); clc disp(' bmin fmax gmax disp([b(indexb1,1);fmax;Ku_tetra]') disp(' bmax fmin gmin disp([b(indexb2,3);fmin;Kl_tetra]') disp(' disp([b1 disp(' disp([b2 bminS ;Ku_s]') bmaxS ;Kl_s]') Ku'); Kl'); Ku_s'); Kl_s'); function [K_U] = Ku (x,a) % Du lieu dau vao Tetragonal CaWO4 % C(1,1) = 141; C(2,2) = C(1,1); % C(3,3) = 125; % C(1,2) = 61; C(2,1) = C(1,2); % C(1,3) = 41; C(3,1) = C(1,3); C(2,3) = C(1,3); C(3,2) = C(1,3); % C(4,4) = 33.7; C(5,5) = C(4,4); % C(6,6) = 40.7; % C(1,6) = -17; C(6,1) = C(1,6); C(2,6) = -C(1,6); C(6,2) = C(1,6); % C(1,4) = 0; C(1,5) = C(1,4); % C(2,4) = C(1,4); C(2,5) = C(1,4); % C(3,4) = C(1,4); C(3,5) = C(1,4); C(3,6) = C(1,4); % C(4,1) = C(1,4); C(4,2) = C(1,4); C(4,3) = C(1,4); C(4,5) = C(1,4); C(4,6) = C(1,4); % C(5,1) = C(1,4); C(5,2) = C(1,4); C(5,3) = C(1,4); C(5,4) = C(1,4); C(5,6) = C(1,4); % C(6,3) = C(1,4); C(6,4) = C(1,4); C(6,5) = C(1,4); % % Du lieu dau vao Tetragonal PbMoO4 C(1,1) = 109; C(2,2) = 120; % C22 khac C11 C(3,3) = 92; C(1,2) = 68; C(2,1) = C(1,2); C(1,3) = 0; C(3,1) = C(1,3); C(2,3) = C(1,3); C(3,2) = C(1,3); % % Du lieu dau vao Tetragonal NbO2 % C(1,1) = 433; C(2,2) = C(1,1); % C(3,3) = 388; 120 % C(1,2) = 93; C(2,1) = C(1,2); % C(1,3) = 171; C(3,1) = C(1,3); C(2,3) = C(1,3); C(3,2) = C(1,3); % C(4,4) = 94; C(5,5) = C(4,4); % C(6,6) = 57; % C(1,6) = 1; C(6,1) = C(1,6); C(2,6) = -C(1,6); C(6,2) = C(1,6); % C(1,4) = 0; C(1,5) = C(1,4); % C(2,4) = C(1,4); C(2,5) = C(1,4); % C(3,4) = C(1,4); C(3,5) = C(1,4); C(3,6) = C(1,4); % C(4,1) = C(1,4); C(4,2) = C(1,4); C(4,3) = C(1,4); C(4,5) = C(1,4); C(4,6) = C(1,4); % C(5,1) = C(1,4); C(5,2) = C(1,4); C(5,3) = C(1,4); C(5,4) = C(1,4); C(5,6) = C(1,4); % C(6,3) = C(1,4); C(6,4) = C(1,4); C(6,5) = C(1,4); % % Du lieu dau vao Tetragonal C(CH2OH)4 % C(1,1) = 40.5; C(2,2) = C(1,1); % C(3,3) = 13.9; % C(1,2) = 26.6; C(2,1) = C(1,2); % C(1,3) = 10.5; C(3,1) = C(1,3); C(2,3) = C(1,3); C(3,2) = C(1,3); % C(4,4) = 2.74; C(5,5) = C(4,4); % C(6,6) = 2.52; % C(1,6) = 3.13; C(6,1) = C(1,6); C(2,6) = -C(1,6); C(6,2) = C(1,6); % C(1,4) = 0; C(1,5) = C(1,4); % C(2,4) = C(1,4); C(2,5) = C(1,4); % C(3,4) = C(1,4); C(3,5) = C(1,4); C(3,6) = C(1,4); % C(4,1) = C(1,4); C(4,2) = C(1,4); C(4,3) = C(1,4); C(4,5) = C(1,4); C(4,6) = C(1,4); % C(5,1) = C(1,4); C(5,2) = C(1,4); C(5,3) = C(1,4); C(5,4) = C(1,4); C(5,6) = C(1,4); % C(6,3) = C(1,4); C(6,4) = C(1,4); C(6,5) = C(1,4); % % % Du lieu dau vao Tetragonal AgCIO3 % C(1,1) = 52.5; C(2,2) = C(1,1); % C(3,3) = 42.6; % C(1,2) = 32.4; C(2,1) = C(1,2); % C(1,3) = 27.3; C(3,1) = C(1,3); C(2,3) = C(1,3); C(3,2) = C(1,3); % C(4,4) = 6.6; C(5,5) = C(4,4); % C(6,6) = 9.05; % C(1,6) = -1.65; C(6,1) = C(1,6); C(2,6) = -C(1,6); C(6,2) = -C(1,6); % C(1,4) = 0; C(1,5) = C(1,4); % C(2,4) = C(1,4); C(2,5) = C(1,4); % C(3,4) = C(1,4); C(3,5) = C(1,4); C(3,6) = C(1,4); % C(4,1) = C(1,4); C(4,2) = C(1,4); C(4,3) = C(1,4); C(4,5) = C(1,4); C(4,6) = C(1,4); % C(5,1) = C(1,4); C(5,2) = C(1,4); C(5,3) = C(1,4); C(5,4) = C(1,4); C(5,6) = C(1,4); % C(6,3) = C(1,4); C(6,4) = C(1,4); C(6,5) = C(1,4); % % - 121 % Du lieu dau vao Tetragonal SrMoO4 % C(1,1) = 115.5; C(2,2) = C(1,1); % C(3,3) = 104; % C(1,2) = 59.8; C(2,1) = C(1,2); % C(1,3) = 44.4; C(3,1) = C(1,3); C(2,3) = C(1,3); C(3,2) = C(1,3); % C(4,4) = 35; C(5,5) = C(4,4); % C(6,6) = 47.6; % C(1,6) = -12.1; C(6,1) = C(1,6); C(2,6) = -C(1,6); C(6,2) = -C(1,6); % C(1,4) = 0; C(1,5) = C(1,4); % C(2,4) = C(1,4); C(2,5) = C(1,4); % C(3,4) = C(1,4); C(3,5) = C(1,4); C(3,6) = C(1,4); % C(4,1) = C(1,4); C(4,2) = C(1,4); C(4,3) = C(1,4); C(4,5) = C(1,4); C(4,6) = C(1,4); % C(5,1) = C(1,4); C(5,2) = C(1,4); C(5,3) = C(1,4); C(5,4) = C(1,4); C(5,6) = C(1,4); % C(6,3) = C(1,4); C(6,4) = C(1,4); C(6,5) = C(1,4); % % % % Du lieu dau vao Tetragonal C14H8O4 % C(1,1) = 14; C(2,2) = C(1,1); % C(3,3) = 20.4; % C(1,2) = -6.3; C(2,1) = C(1,2); % C(1,3) = 1.6; C(3,1) = C(1,3); C(2,3) = C(1,3); C(3,2) = C(1,3); % C(4,4) = 8.4; C(5,5) = C(4,4); % C(6,6) = 9.2; % C(1,6) = 1; C(6,1) = C(1,6); C(2,6) = -C(1,6); C(6,2) = C(1,6); % C(1,4) = 0; C(1,5) = C(1,4); % C(2,4) = C(1,4); C(2,5) = C(1,4); % C(3,4) = C(1,4); C(3,5) = C(1,4); C(3,6) = C(1,4); % C(4,1) = C(1,4); C(4,2) = C(1,4); C(4,3) = C(1,4); C(4,5) = C(1,4); C(4,6) = C(1,4); % C(5,1) = C(1,4); C(5,2) = C(1,4); C(5,3) = C(1,4); C(5,4) = C(1,4); C(5,6) = C(1,4); % C(6,3) = C(1,4); C(6,4) = C(1,4); C(6,5) = C(1,4); % % % % % Du lieu dau vao Tetragonal CaMoO4 % C(1,1) = 144; C(2,2) = C(1,1); % C(3,3) = 127; % C(1,2) = 65; C(2,1) = C(1,2); % C(1,3) = 47; C(3,1) = C(1,3); C(2,3) = C(1,3); C(3,2) = C(1,3); % C(4,4) = 36.8; C(5,5) = C(4,4); % C(6,6) = 45.8; % C(1,6) = -13.5; C(6,1) = C(1,6); C(2,6) = -C(1,6); C(6,2) = -C(1,6); % C(1,4) = 0; C(1,5) = C(1,4); % C(2,4) = C(1,4); C(2,5) = C(1,4); % C(3,4) = C(1,4); C(3,5) = C(1,4); C(3,6) = C(1,4); % C(4,1) = C(1,4); C(4,2) = C(1,4); C(4,3) = C(1,4); C(4,5) = C(1,4); C(4,6) = C(1,4); % C(5,1) = C(1,4); C(5,2) = C(1,4); C(5,3) = C(1,4); C(5,4) = C(1,4); C(5,6) = C(1,4); % C(6,3) = C(1,4); C(6,4) = C(1,4); C(6,5) = C(1,4); 122 % % % f1 = a(1); g1 = a(2); b = x; f3=2/3-f1; g3=4/5-g1; % Tinh S = C^-1 S(1,1) S(1,2) S(2,2) S(2,1) S(3,3) S(1,3) S(2,3) = = = = = = = C(2,2)/(C(1,1)*C(2,2) - (C(1,2))^2); -C(1,2)/(C(1,1)*C(2,2) - (C(1,2))^2); C(1,1)/(C(1,1)*C(2,2) - (C(1,2))^2); S(1,2); 1/C(3,3); 0; S(1,3); S(3,2) = S(1,3); % S % Tinh KV, MV, KR, KV = 1/4*(C(1,1) + MV = 1/8*(C(1,1) + KR = (S(1,1) + MR = 2* (S(1,1) + MR: 2*C(1,2) + C(2,2)); C(2,2)) - 1/4*C(1,2) + 1/2*C(3,3); 2*S(1,2) + S(2,2))^-1; S(2,2) - 2*C(1,2) + S(3,3))^-1; % Nhap cac thong so Fi, Gi: F1 = -1/15 - 8*b/105 -13*b^2/315; F2 = 1/10 + 4*b/35 + 16*b^2/315; F3 = -4*b/105 - 4*b^2/315; F4 = 2*b/35 + 16*b^2/315; F6 = F4; 10*b^2/189; F7 = -4*b^2*KV/105 + 4*b^2*MV/63; F8 = b^2*KV/105 - 10*b^2*MV/63; G1 G2 G3 F5 = = = = 43*b^2/1890; -4*b^2/189; G4 = G2; G6 = G2; -b^2/945; 1/10 + 4*b/35 - 4*b^2/315; G5 = G7 = b^2*KV/630 - 5*b^2*MV/189; G8 = 2*b^2*KV/63 + 5*b^2*MV/27; % Tinh D: D1 = (KV - MV)*(f2*F1 + g2*G1) + MV*(f2*F2 + g2*G2) + 2*KV*(f2*F3 + g2*G3) + (KV + 2*MV)*(f2*F4 + g2*G2) + 1/2*(f1 + f2)*F7 + 5/8*(g1 + g2)*G7 + (b^2*KV)/16; D2 = 2*MV*(f2*F1 + g2*G1) + KV*(f2*F2 + g2*G2) + (KV + 2*MV)*(f2*F5 + g2*G5) + 2*KV*(f2*F6 + g2*G6) + 1/2*(f1 + f2)*F8 + 5/8*(g1 + g2)*G8; D(1,1) D(3,3) D(1,2) D(1,3) = = = = D1 + D2; D(2,2) = D(1,1); 1/2*D2; D1; D(2,1) = D(1,2); ; D(3,1) = D(1,3); D(2,3) = D(1,3); D(3,2) = D(1,3); D; % Tinh CK: CK(1,1) = 1/9*(C(1,1) + C(1,2) + C(1,3))*(1+2*b/5) + b*KV/5; CK(2,2) = CK(1,1); CK(3,3) = 1/9*(C(3,3) + 2*C(1,3))*(1+2*b/5) + b*KV/5; 123 CK(1,2)= 0; CK(1,3)= CK(1,2); CK(2,3)= CK(1,2); % CK B1 = 1/4*(1+b/2)^2 + f1*F1 + g1*G1; B2 = f1*F2 + g1*G2; B3 = b/8 + b^2/16 + f1*F3 + g1*G3; B4 = f1*F4 + g1*G4; B5 = f1*F5 + g1*G5; B6 = f1*F6 + g1*G6; % Tinh CA: CA(1,1) = C(1,1)*(B1 + B2) + (C(1,1) + C(1,2) + C(1,3))*(B3 + B6) + (C(1,1) + C(4,4) + C(6,6))*(B4 + B5); CA(2,2) = CA(1,1); CA(3,3) = C(3,3)*(B1 + B2) + (C(3,3) + 2*C(1,3))*(B3 + B6) + (C(3,3) + 2*C(4,4))*(B4 + B5); CA(1,2) = C(1,2)*B1 + C(6,6)*B2 + (C(1,1) + C(1,2) + C(1,3))*B3 + (C(1,1) + C(4,4) + C(6,6))*B4; CA(2,1) = CA(1,2); CA(1,3) = C(1,3)*B1 + C(4,4)*B2 + (C(1,1) + C(3,3) + C(1,2) + 3*C(1,3))*1/2*B3 + (C(1,1) + C(3,3) + 3*C(4,4) + C(6,6))*1/2*B4; CA(3,1) = CA(1,3); CA(2,3) = CA(1,3); CA(3,2) = CA(1,3); CA(4,4) = C(4,4)*B1 + (C(1,3) + C(4,4))*1/2*B2 + (C(1,1) + C(3,3) + 3*C(4,4) + C(6,6))*1/4*B5 + (C(1,1) + C(3,3) + C(1,2) + 3*C(1,3))*1/4*B6; CA(5,5) = CA(4,4); CA(6,6) = C(6,6)*B1 + (C(1,2) + C(6,6))*1/2*B2 + (C(1,1) + C(4,4) + C(6,6))*1/2*B5 + (C(1,1) + C(1,2) + C(1,3))*1/2*B6; CA(1,6) = C(1,6)*(B1 + B2); CA(6,1) = CA(1,6); CA(2,6) = -CA(1,6); CA(6,2) = CA(2,6); A = CA + D; SA = inv(A); % Tinh C_AC: C_AC(1,1) = (SA(1,1)+ SA(1,2))*CK(1,1) + SA(1,3)*CK(3,3); C_AC(2,2) = C_AC(1,1); C_AC(3,3) = SA(3,3)*CK(3,3) + 2*SA(1,3)*CK(1,1); C_AC(1,2) = 0; C_AC(2,1) = C_AC(1,2); C_AC(1,3) = C_AC(1,2); C_AC(3,1) = C_AC(1,2); C_AC(2,3) = C_AC(1,2); C_AC(3,2) = C_AC(1,2); % Tinh C_CAC: C_CAC = 2*CK(1,1)*C_AC(1,1) + CK(3,3)*C_AC(3,3); KKR = (2*SA(1,1) + SA(3,3) + 2*SA(1,2) + 4*SA(1,3))^-1; % Cong thuc cuoi: K_U = KV + (2*C_AC(1,1)+C_AC(3,3))^2*KKR - C_CAC; end 124 b Chương trình tính cho kết chương luận án Chương trình tính cho mơ đun đàn hồi trượt đối xứng tinh thể square: %Calculating HS bounds % %Copper % c11=169; % c12=122; % c33=75.3; % folder = 'matlab'; % [Eh]=homogenization2D('unitCell8.dat',c11,c12,c33) % Eh % return %Lead %c11=48.8; %c12=41.4; %c33=14.8; %folder = 'lead'; % Lithium c11=13.6; c12=11.4; c33=9.8; folder = 'Lithium'; % % % % % % % % % % % % % % % % % % % mu4 = []; for i = 1:10 [Eh]=homogenization2D('unitCell4.dat',c11,c12,c33) mu4(i)=Eh(3,3); end save('mu4') % % % % % % % % % % % save('mu16') mu8 = []; for i = 1:10 [Eh]=homogenization2D('unitCell8.dat',c11,c12,c33) mu8(i)=Eh(3,3); end save('mu8') mu16 = []; for i = 1:10 [Eh]=homogenization2D('unitCell16.dat',c11,c12,c33) mu16(i)=Eh(3,3)/2; end mu16x16 = []; for i = 1:10 [Eh]=homogenization2D('unitCell16x16.dat',c11,c12,c33) mu16x16(i)=Eh(3,3)/2; end save('mu16x16') mu32 = []; for i = 1:10 125 % [Eh]=homogenization2D('unitCell32.dat',c11,c12,c33) % mu32(i)=Eh(3,3)/2; % end % % % % % % % % % % % % % % save('mu32') mu64 = []; for i = 1:10 [Eh]=homogenization2D('unitCell64.dat',c11,c12,c33) mu64(i+2)=Eh(3,3)/2; end save('mu64'); mu64 = []; for i = 1:10 [Eh]=homogenization2D('unitCell128.dat',c11,c12,c33) mu64(i+2)=Eh(3,3)/2; end save('mu128'); %Plots % figure; % hold on; % disp('VRH') mu_v=(c11-c12+2*c33)/4 mu_r=2*(c11-c12)*c33/(2*c33+c11-c12) % H1=plot([0,130],[mu_v,mu_v],':r', 'LineWidth',2); % plot([0,130],[mu_r,mu_r],':r', 'LineWidth',2); % disp('HS') muo_u = max((c11-c12)/2,c33) muo_l = min((c11-c12)/2,c33) Kv=(c11+c12)/2 [P_u]=HS(Kv,muo_u,c11,c12,c33) [P_l]=HS(Kv,muo_l,c11,c12,c33) % H2=plot([0,130],[P_u,P_u],' b', 'LineWidth',2); % plot([0,130],[P_l,P_l],' b', 'LineWidth',2); disp('PDC') [P_u]=HS(Kv,mu_v,c11,c12,c33) [P_l]=HS(Kv,mu_r,c11,c12,c33) % H3=plot([0,130],[P_u,P_u],'-.m', 'LineWidth',2); % plot([0,130],[P_l,P_l],'-.m', 'LineWidth',2); disp('Self-consistent') [P_sc]=HS(Kv,2.9042,c11,c12,c33) %copper 40.5055, lead 7.1517; Lithium 2.9042 % H4=plot([0,130],[P_sc,P_sc],'k', 'LineWidth',2); % legend([H1 H2 H3 H4],'VRH bounds', 'HS bounds', 'New bounds', 'Selfconsistent value') % load([' \',folder,'\mu4']); % for i=1:10 % plot(4+(i-5)*0.02,mu4(i),'ok', 'LineWidth',1.1); % end 126 % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % load([' \',folder,'\mu8']); for i=1:10 plot(8+(i-5)*0.04,mu8(i),'sk', 'LineWidth',1.1); end load([' \',folder,'\mu16']); for i=1:10 plot(16+(i-5)*0.08,mu16(i)*2,'*k', 'LineWidth',1.1); end load([folder,'\ \mu16x16']); for i=1:10 plot(16+1+(i-5)*0.08,mu16x16(i)*2,'*k', 'LineWidth',1.1); end load([' \',folder,'\mu32']); for i=1:10 plot(32+1+(i-5)*0.08,mu32(i)*2,'.k', 'LineWidth',1.1); end load([' \',folder,'\mu64']); for i=1:10 plot(64+1+(i-5)*0.08,mu64(i)*2,'.k', 'LineWidth',1.1); end % load([folder,'\ \mu128']); % for i=1:10 % plot(128+1+(i-5)*0.08,mu64(i)*2,'.b', 'LineWidth',1.1); % end % grid on % % xlabel('Number of hexagons per unit cell side') % ylabel('Effective shear moduli ( \mu^{eff} )') % box on % xlim([0,70]); % ylim([35,50]); % set(gca,'YTick',[32 34 36 38 40 42 44 46 48 50]) % %xlim([0,70]); %ylim([1.5,6.0]); %set(gca,'YTick',[32 34 36 38 40 42 44 46 48 50]) Các hàm function [mpcNum, mpcDofs1, mpcDofs2]=createPeriodicMpcs(boundaryNodeSets) set1=cell2mat(boundaryNodeSets(1)); set2=cell2mat(boundaryNodeSets(2)); set3=cell2mat(boundaryNodeSets(3)); set4=cell2mat(boundaryNodeSets(4)); set5=cell2mat(boundaryNodeSets(5)); tmp = length(set2)*2 + length(set4)*2 + 6; mpcNum = [tmp,tmp,tmp]; mpcDofs1=zeros(mpcNum(1),3); mpcDofs2=zeros(mpcNum(1),3); d = 1; for i=1:length(set2) node1 = set2(i); node2 = set3(i); 127 dof1 = node1*2-1; dof2 = node2*2-1; mpcDofs1(d,:) = [dof1,dof1,dof1]; mpcDofs2(d,:) = [dof2,dof2,dof2]; d=d+1; dof1 = node1*2; dof2 = node2*2; mpcDofs1(d,:) = [dof1,dof1,dof1]; mpcDofs2(d,:) = [dof2,dof2,dof2]; d=d+1; end for i=1:length(cell2mat(boundaryNodeSets(4))) node1 = set4(i); node2 = set5(i); dof1 = node1*2-1; dof2 = node2*2-1; mpcDofs1(d,:) = [dof1,dof1,dof1]; mpcDofs2(d,:) = [dof2,dof2,dof2]; d=d+1; dof1 = node1*2; dof2 = node2*2; mpcDofs1(d,:) = [dof1,dof1,dof1]; mpcDofs2(d,:) = [dof2,dof2,dof2]; d=d+1; end for i=2:4 node1 = set1(1); node2 = set1(i); dof1 = node1*2-1; dof2 = node2*2-1; mpcDofs1(d,:) = [dof1,dof1,dof1]; mpcDofs2(d,:) = [dof2,dof2,dof2]; d=d+1; dof1 = node1*2; dof2 = node2*2; mpcDofs1(d,:) = [dof1,dof1,dof1]; mpcDofs2(d,:) = [dof2,dof2,dof2]; d=d+1; end function [KE]=elem_K(coord, E) M1=[1 0 0; 0 1; 1 0]; % Gauss Quadrature n=2; g_coord=[-1/sqrt(3), 1/sqrt(3)]; KE=zeros(8,8); for i=1:n for j=1:n x=g_coord(i); y=g_coord(j); temp=[-(1+y), (1+y), (1-y), -(1-y); 128 (1-x), (1+x), -(1+x), -(1-x)]; temp=temp/4; J_mat=temp*coord; J=det(J_mat); % M2 relates derivatives w.r.t physical coordinates to that w.r.t % natural coordinates M2(1:2,1:2)=inv(J_mat); M2(3:4,3:4)=M2(1:2,1:2); M3=[-(1+y), , (1+y), , (1-y), , -(1-y) , 0; (1-x), , (1+x), , -(1+x), , -(1-x) , 0; , -(1+y), , (1+y), , (1-y), , -(1-y); , (1-x), , (1+x), , -(1+x), , -(1-x)]; M3=M3/4; B=M1*M2*M3; KE=KE+B'*E*B*J; end end %%%%%%%%%% FE-ANALYSIS function [U]=fea_static(coord,elemCon,E,F,spcDofs,spcNum,mpcDofs1,mpcDofs2,mpcNum) %global variable required: pC - the power parameter for interpolation of stiffness %only isoparametric quadrilateral is implemented for now [elemNum,~]=size(elemCon); [nodeNum,~]=size(coord); dofNum=nodeNum*2; [~,caseNum]=size(F); % assemble K Kval=zeros(elemNum*64,1); i_ind=zeros(elemNum*64,1); j_ind=zeros(elemNum*64,1); for elem=1:elemNum ind=(elem-1)*64+1; nodes=elemCon(elem,:); eCoord=coord(nodes,:); edofs=[nodes(1)*2-1; nodes(1)*2; nodes(2)*2-1; nodes(2)*2; nodes(3)*2-1; nodes(3)*2; nodes(4)*2-1; nodes(4)*2]; i_ind(ind:ind+63)=[edofs; edofs; edofs; edofs; edofs; edofs; edofs; edofs]; j_ind(ind:ind+63)=reshape([edofs'; edofs'; edofs'; edofs'; edofs'; edofs'; edofs'; edofs'],64,1); KE=elem_K(eCoord,E(:,:,elem)); Kval(ind:ind+63)=reshape(KE,64,1); end K=sparse(i_ind,j_ind,Kval,dofNum,dofNum); alldofs = [1:1:dofNum]; for i=1:caseNum removedDofs=union(mpcDofs2(1:mpcNum(i),i),spcDofs(1:spcNum(i),i)); freedofs = setdiff(alldofs,removedDofs); % transformation matrix for mpcs T=speye(dofNum,dofNum); for j=1:mpcNum(i) T(mpcDofs2(j,i),mpcDofs1(j,i))=1; T(mpcDofs2(j,i),mpcDofs2(j,i))=0; 129 end Kt=T'*K*T; Ft=T'*F(:,i); U(freedofs,i) = Kt(freedofs,freedofs) \ Ft(freedofs); U(spcDofs(1:spcNum(i),i),i)= 0.0; U(mpcDofs2(1:mpcNum(i),i),i)= U(mpcDofs1(1:mpcNum(i),i),i); end function [Eh]=homogenization2D(meshFile,c11,c12,c33) [coord,elemCon,elemProp,~,~,boundaryNodeSets] = readNastran(meshFile); %mpcs [mpcNum, mpcDofs1, mpcDofs2]=createPeriodicMpcs(boundaryNodeSets); %spcs nodeSet1=cell2mat(boundaryNodeSets(1)); node1 = nodeSet1(1); spcDofs = [node1*2-1, node1*2-1, node1*2-1; node1*2, node1*2, node1*2]; spcNum = [2,2,2]; % [elemNum,~]=size(elemCon); [nodeNum,~]=size(coord); %Get Random Elasticity Tensor [E]=randomCrystalOrientation(c11,c12,c33,elemNum,elemProp); dofNum=nodeNum*2; % Three test strain cases epsilon=[1 0; 0; 0 1]; %Material forces: load cases F=zeros(dofNum,3); % for elem=1:elemNum nodes=elemCon(elem,:); eDofs=[nodes(1)*2-1; nodes(1)*2; nodes(2)*2-1; nodes(2)*2; nodes(3)*2-1; nodes(3)*2; nodes(4)*2-1; nodes(4)*2]; eCoord=coord(nodes,:); Ba=int_B(eCoord); F(eDofs,:)=F(eDofs,:)-Ba'*E(:,:,elem)*epsilon; end % FE Analysis to get the characteristic displacements %mpcNum = mpcNum-6; %mpcDofs1 = mpcDofs1(1:116,:); %mpcDofs2 = mpcDofs2(1:116,:); [chi]=fea_static(coord,elemCon,E,F,spcDofs,spcNum,mpcDofs1,mpcDofs2,mpcNu m); % while % cla; % plot_results_Q4(coord+(reshape(chi(:,3),2,length(chi(:,3))/2))'*0.1,elemC on); % ylim([-1100,100]); % xlim([-100,1100]); 130 % pause(1); % cla; % plot_results_Q4(coord+(reshape(chi(:,3),2,length(chi(:,3))/2))'*0.0,elemC on); % ylim([-1100,100]); % xlim([-100,1100]); % pause(1); % end % Calculate homogenized stiffness tensor and sensitivity Eh=zeros(3,3); %[1 3; % 5; % 0 6]; Area=0; for elem=1:elemNum nodes=elemCon(elem,:); eDofs=[nodes(1)*2-1; nodes(1)*2; nodes(2)*2-1; nodes(2)*2; nodes(3)*2-1; nodes(3)*2; nodes(4)*2-1; nodes(4)*2]; eCoord=coord(nodes,:); eChi=chi(eDofs,:); for i=1:3 for j=i:3 Eh(i,j)=Eh(i,j)+int_hom(eCoord,epsilon,eChi,E(:,:,elem),i,j); end end Ae=int_A(eCoord); Area=Area+Ae; end Eh(2,1)=Eh(1,2); Eh(3,1)=Eh(1,3); Eh(3,2)=Eh(2,3); Eh=Eh/Area; function [P]=HS(k,mu,c11,c12,c33) mu_star=k*mu/(k+2*mu); c11_ps=c11+mu+mu_star; c33_ps=c33+mu_star; c12_ps=c12+mu-mu_star; P=2*(c11_ps-c12_ps)*c33_ps/(2*c33_ps+c11_ps-c12_ps)-mu_star; function [A]=int_A(coord) %integration of B over isoparametric the element % Gauss Quadrature n=2; g_coord=[-1/sqrt(3), 1/sqrt(3)]; A=0; for i=1:n for j=1:n x=g_coord(i); y=g_coord(j); temp=[-(1+y), (1+y), (1-y), -(1-y); (1-x), (1+x), -(1+x), -(1-x)]/4; J_mat=temp*coord; J=det(J_mat); A=A+J; 131 end end function [B]=int_B(coord) %integration of B over isoparametric the element M1=[1 0 0; 0 1; 1 0]; % Gauss Quadrature n=2; g_coord=[-1/sqrt(3), 1/sqrt(3)]; B=zeros(3,8); for i=1:n for j=1:n x=g_coord(i); y=g_coord(j); temp=[-(1+y), (1+y), (1-y), -(1-y); (1-x), (1+x), -(1+x), -(1-x)]; temp=temp/4; J_mat=temp*coord; J=det(J_mat); % M2 relates derivatives w.r.t physical coordinates to that w.r.t % natural coordinates M2(1:2,1:2)=inv(J_mat); M2(3:4,3:4)=M2(1:2,1:2); M3=[-(1+y), , (1+y), , (1-y), , -(1-y) , 0; (1-x), , (1+x), , -(1+x), , -(1-x) , 0; , -(1+y), , (1+y), , (1-y), , -(1-y); , (1-x), , (1+x), , -(1+x), , -(1-x)]; M3=M3/4; B=B+M1*M2*M3*J; end end