Bài I (2,0 điểm) Cho hai biểu thức x 2 x 5 x 7A ; B 1 xx 3 x 1 + + − = = + −− + với x 0;x 1;x 9 ≥ ≠ ≠ 1) Tính giá trị biểu thức A khi x = 16 2) Chứng minh rằng x 2B x 1 + = − 3) Tìm các giá trị x để 4[.]
UBND HUYỆN THANH TRÌ PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Bài I (2,0 điểm): Cho hai biểu thức = A x +2 = ;B x −3 1) Tính giá trị biểu thức A x = 16 ĐỀ KIỂM TRA KHẢO SÁT LỚP NĂM HỌC: 2022 - 2023 Môn thi: TOÁN Ngày kiểm tra: 17/05/2023 Thời gian làm bài: 120 phút x +5 x −7 với x ≥ 0;x ≠ 1;x ≠ + x +1 1− x x +2 x −1 4A x 3) Tìm giá trị x để ≤ B x −3 2) Chứng minh rằng: B = Bài II (2,0 điểm): 1) Giải tốn sau cách lập phương trình hệ phương trình Năm ngối, hai xã sản xuất nơng nghiệp thu hoạch 770 thóc Năm nay, xã A thu hoạch vượt mức 15%, xã B thu hoạch vượt mức 20% so với năm ngối Do hai xã thu hoạch vượt mức 133 thóc so với năm ngoái Hỏi năm ngoái xã thu hoạch thóc? 2) Một nón có đường kính đáy 40cm, độ dài đường sinh 30cm Người ta dùng ba lớp để phủ lên bề mặt xung quanh nón Tính diện tích cần dùng để làm thành nón (lấy π ≈ 3,14 ) ? Bài III (2,5 điểm): x −1 − y −1 = 1) Giải hệ phương trình: 2 x −1 + = y −1 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = x đường thẳng (d): y = −3x + m + a) Chứng minh (d) cắt (P) hai điểm phân biệt với m b) Gọi x1; x2 hoành độ giao điểm (d) (P) Tìm giá trị m để x1 > x2 x1 + x = 17 Bài IV (3,0 điểm): Cho đường tròn ( O ) , đường kính AB Lấy điểm H đường kính AB ( H khác O, A B ) Qua điểm H kẻ dây CD vng góc với đường kính AB , lấy điểm E thuộc cung nhỏ BD ( E khác B D ); AE cắt CD điểm F 1) Chứng minh: Tứ giác BEFH nội tiếp 2) Chứng minh: CD = AH HB 3) Đường thẳng qua H song song với CE , cắt đường thẳng AE BE I K Gọi G giao điểm DE IK, M trung điểm đoạn thẳng CE Chứng minh: DI ⊥ AE ba đường thẳng CI, MG, BE đồng quy Bài V (0,5 điểm): Với số thực không âm a, b thỏa mãn a + b = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = + 3a + + 2023b Hết Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: Họ tên chữ kí cán coi thi số 1: Họ tên chữ kí cán coi thi số 2: Bài Ý (0,5 đ) HƯỚNG DẪN CHẤM Đáp án Thay x = 16 (thỏa mãn ĐKXĐ) vào biểu thức A Tính A = = B x +5 x −7 + x +1 1− x B = x +5 − x +1 (1 đ) x −7 ( x + 1)( x − 1) ( x + 5)( x − 1) − x −7 ( x + 1)( x − 1) ( x + 1)( x − 1) B = B= ( ( ( B= ( )( x +1 ) x −1 0,25 x+3 x +2 )( x + 1)( x + 1)( x +1 ) x + 2) x − 1) x −1 0,25 x +2 x −1 4A x ≤ B x −3 B= ⇔ x x −3 x x −4 − ≥0 x −3 x −3 ⇔ (0,5 đ) 0,25 x +2 x +2 : ≤ x −3 x −1 ⇔ ⇔ x−4 x +4 ≥0 x −3 ( x −2 ) x −3 ≥0 TH1: x − = ⇔ x = (thỏa mãn yêu cầu BT) TH2: x ≥ 0;x ≠ 1;x ≠ 4;x ≠ ⇒ 0,25 x +4 x −5− x +7 B= (2 đ) Điểm 0,25 0,25 ( x −2 ) 0,25 >0 Do x −3>0 ⇒x >9 Kết hợp ĐKXĐ x > Kết hợp TH1, TH2, kết luận x = x > (Nếu HS x > cho 0.25đ) 0,25 (1,5 đ) Gọi số thóc mà xã A thu hoạch năm ngoái x (tấn) ( 0< x < 770) Gọi số thóc mà xã B thu hoạch năm ngoái y (tấn) ( 0< y < 770) Do năm ngoái hai xã thu hoạch 770 thóc nên ta có phương trình: x + y = 770 Năm xã A thu hoạch vượt mức 15%x (tấn) Năm xã B thu hoạch vượt mức 20%y (tấn) Do hai xã thu hoạch vượt mức 133 nên ta có phương trình: 15%x + 20% y = 133 0,25 0,25 0,25 770 x + y = 133 0 ,15x + ,2y = Ta có hệ phương trình: (2đ) x = 420 ( TM ) y = 350 ( TM ) Giải hệ phương trình ta được: 0,5 Vậy năm ngoái xã A thu hoạch đươc 420 thóc, xã B thu hoạch đươc 350 thóc 0,25 Diện tích xung quanh hình nón là: (0,5 đ) 0,25 S= rl π 20.30 π= = 600π (cm ) xq Diện tích cần dùng để làm nón là: = S 3.600 = π 1800π ≈ 5652 (cm ) 0,25 Vậy diện tích cần dùng khoảng 5652cm2 x −1 − y −1 = (1) (ĐKXĐ: x ≥ 1, y ≠ ) 2 x −1 + = y −1 (1 đ) x −1 = a ≥ Đặt , ta có hệ phương trình b = y −1 a − b = (2) + = a b a = 1(TM ) Giải hệ phương trình (2), ta 0,25 x −1 = x = (tm) a = ⇔ Với , ta có b = y = (tm) y −1 = 0,25 b = (2,5 đ) 2a (0,75 đ) 0,25 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (2; 1) Phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d) là: x + 3x − m − = (1) Xét a.c =− m − < (với m m ≥ ) ⇒ Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu với m Vậy (d) cắt (P) hai điểm phân biệt với m 0,25 0,5 0,25 x x = −m − Áp dụng hệ thức Viet −3 x1 + x = PT (1) có hai nghiệm x1; x2 trái dấu x1 = x1 Mà x1 > x2 ⇒ x < < x1 ⇒ x = −x Mà x1 + x = 17 ⇒ x1 − 3x = 17 2b (0,75 đ) 0,25 Ta có: 3x 17 = x1 − = x1 ⇒ −3 −5 x1 + x = x = 0,25 Mà x1.x = −m − ⇒ − m − = −10 ⇒ m2 = m = ⇒ m = −3 0,25 Kết luận (3đ) C A Vẽ hình đến ý M H F B O I 0,25 G E D K N Xét (O) đường kính AB có (0,75đ) AEB = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) = ⇒ BEF 90o Mà CD ⊥ AB H = 90o ⇒ BHF Xét tứ giác BEFH có: 0,25 0,25 + BEF = BHF 180o Mà hai góc vị trí đối ⇒ Tứ giác BHFE nội tiếp đường trịn (dhnb) Xét (O;R) có dây CD ⊥ đk AB H ⇒ H trung điểm CD (quan hệ đường kính dây) Xét (O) đường kính AB có: ACB = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) (1đ) Xét ABC vng C, có CH đường cao ⇒ CH = AH HB Mà CH = 0,25 0,25 0,25 0,25 CD 0,25 Nên CD = AH HB = (2 góc đồng vị) HI / / CE ⇒ DHI DCE = DCE (2 góc nội tiếp chắn cung Xét (O; R) có: DAE DE) = ⇒ DHI DAI ⇒ DHI = DAE a = DAI Xét tứ giác DAHI có: DHI Mà H, A đỉnh kề ⇒ Tứ giác AHID nội tiếp (dhnb) ⇒ 0,25 AHD = AID (2 góc nội tiếp chắn cung AD) AHD =90o ⇒ AID =90o Mà 0,25 ⇒ DI ⊥ AE = DAE (2 góc nội tiếp chắn cung DE) Xét (O;R) có DBE (1đ) = DHI (cmt) Mà DAE = ⇒ DHI DBE ⇒ Tứ giác DHBK nội tiếp + DKB = ⇒ DHB 180o = ⇒ DKB 90o 0,25 = IEK = DKE = 90 Xét tứ giác DIEK có: DIE b ⇒ Tứ giác DIEK hình chữ nhật ⇒ IK DE cắt trung điểm đường ⇒ G trung điểm IK Giả sử CI cắt BK N NG cắt CE M’ O IG NG CM ' NM ' GK NG GK / / M ' E = > = M ' E NM ' > = (Hệ định lí Ta let) Ta có: IG / / CM ' = IG GK = > = CM ' M ' E Mà IG = GK (G trung điểm IK) = > CM ' = M 'E => M’ trung điểm CE => M trùng M’ => M, G, N thẳng hàng Vậy CI, MG, BE đồng quy (0,5đ) Ta có: + 2023b = (1 + 3b ) + 2020b ≥ + 3b b ≥ 0,25 ⇒ + 2023b ≥ + 3b Do đó: P ≥ + 3a + + 3b a, b ≥ 0 ≤ a ≤ a ≤ a ⇒ ⇒ Vì + b 0 ≤ b ≤ b ≤ b a= a + 2a + + b + 2b + ≥ a + 2a + + b + 2b + P ≥ + 3a + + 3b= = ( a + 1) + ( b + 1) = a +1+ b +1 = 1+1+1 = 0,25 a = b = Dấu " = " xảy a = b = Vậy Min P = đạt Lưu ý: HS làm cách khác cho điểm tối đa 0,25