01 d5 ứng dụng tính đơn điệu vào pt,bpt,hpt,bđt (1)

HQ MATHS – 0827.360.796 – DẠNG Câu 1: Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Ứng dụng đơn điệu vào PT, BPT, HPT, BĐT Cho hàm số y = f ( x ) nghịch biến Tập nghiệm bất phương trình A ( −;1) Cho hàm số y = f ( x ) nghịch biến A ( −;1) Câu 3: Câu 5: D ( −;0 )  ( 0;1) 1 Tập nghiệm bất phương trình f    f (1) x B ( −;0 )  (1; + ) C ( 0;1) D ( −;0 )  ( 0;1) Giá trị tham số m để bất phương trình ( x − − m) x −  m − có nghiệm là: A m  Câu 4: C ( 0;1) B m  Cho hàm số y = f ( x ) liên tục C m  có đạo hàm y = − x − 1, x  sau đúng? A f ( )  f ( 2020 ) B f ( −2 ) = f ( ) C f ( −2020 )  f ( 2020 ) D f (1)  f ( ) Cho hàm số y = f ( x ) có f  ( x )  0, x  D m  Khẳng định Có giá trị nguyên x để f ( 22 x )  f ( x ) ? A 23 Câu 6: B 20 C 21 D 22  m có nghiệm khoảng ( −;1) x −1 B m  −3 C m  D m  −1 Tìm m để bất phương trình x + A m  HQ MATHS – 0827.360.796 – Câu 2: B ( −;0 )  (1; + ) Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp 1 f    f (1)  x Câu 7: Cho hàm số f ( x ) = log x + 3x − x Tính tổng bình phương giá trị tham số m để   phương trình f  có ba nghiệm thực phân biệt:  x − m +  + f ( x − x + ) =   A 14 B 13 C 10 D “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – HQ MATHS – 0827.360.796 – Câu 8: Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị y = f  ( x ) hình vẽ Xét hàm số g ( x ) = f ( x ) + x3 − x − 3m − với m tham số thực Tìm tất giá trị thực tham số m để g ( x )  0, x   − 5;  ) ( ) Câu 9: ( ) f D m  f ( ) − B m  f x có đồ thi hàm số y = f  ( x ) hình vẽ Biết f ( −1) = Cho hàm số bậc ba y a, b, c số thực thỏa mãn a  ( −3; −1) , b  ( −1; ) , c  ( 2;5 ) Khẳng định sau đúng? f a f b f b C f a 2f a f c f c f b f b 7a b c f c f c 44 7a b c 44 14a b c 14a b c B HQ MATHS – 0827.360.796 – A f a 83 D 83 Câu 10: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau  9  Số nghiệm thuộc đoạn 0;  phương trình f ( f ( cos x ) ) =   A 10 HQ MATHS – B C Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp ( f − − C m  f A m  D “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Câu 11: Cho hàm số f ( x) = x3 + x + Số giá trị nguyên tham số m để phương trình f ( ) f ( x) + f ( x) + m = − x − x + có nghiệm x  [−1;2] A 1746 B 1750 C 1747 D 1748 Câu 12: Cho hàm số f ( x ) = x + x + Số giá trị nguyên tham số m để phương trình f ( ) f ( x ) + f ( x ) + m = − x − x + có nghiệm x   −1; 2 A 1746 B 1750 C 1747 D 1748 ( Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Câu 13: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau ) Gọi S tập hợp số nguyên dương m để bất phương trình f ( x )  mx x − + 2m có A B 10 Câu 14: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm C Vơ số D thỏa mãn f ( x )  f  ( x ) + với số thực x Bất phương trình f ( x )  me x + nghiệm với x  ( 0; + ) A m  f ( e ) − B m  f ( e ) − C m  f ( ) − D m  f ( ) − Câu 15: Tổng nghiệm thực phương trình x6 + 2020 x = ( x − ) − 2020 ( − x ) là: A 2021 B −6 Câu 16: Cho hàm số f ( x ) , hàm số f  ( x ) liên tục C 2020 D có đồ thị hình vẽ Bất phương trình HQ MATHS – 0827.360.796 – nghiệm thuộc đoạn  0;3 Số phần tử tập S f ( x )  x + m ( m số thực) nghiệm với x  ( −1;0 ) khi: “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – HQ MATHS – 0827.360.796 – A m  f ( ) B m  f ( −1) + Câu 17: Cho hàm số y = f ( x) liên tục Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp C m  f ( −1) + D m  f ( ) có đồ thị hình vẽ Tập hợp tất giá trị D ( −1;1 C ( 0;1 B ( −1;1) Câu 18: Cho phương trình sin x − cos x + sin x + cos x − cos x + m − m = Có giá trị nguyên tham số m để phương trình có nghiệm thực? A B C Câu 19: Xét số thực x, y thỏa mãn: x + y +1 ( D )  x + y − x + x Giá trị nhỏ biểu thức 4y gần với số đây? 2x + y +1 A −2 B −3 C −5 P= D −4 Câu 20: Có cặp số nguyên dương ( m, n ) cho m + n  14 ứng với cặp ( m, n ) tồn ( ) ba số thực a  ( −1;1) thỏa mãn 2a m = n ln a + a + ? A 14 B 12 C 11 D 13 Cho hàm số y = f ( x ) Hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên hình vẽ Câu 21: Bất phương trình x f ( x )  mx + nghiệm với x  1; 2020 ) HQ MATHS – “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 0827.360.796 – A ( 0;1) Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp   tham số m để phương trình f (cos x) = −2m + có nghiệm thuộc khoảng  0;   2 HQ MATHS – 0827.360.796 – A m  f ( 2020 ) − 2020 Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp B m  f ( 2020 ) − 2020 D m  f (1) − C m  f (1) − Câu 22: Có giá trị nguyên tham số m để phương trình cos3 x − cos x + ( m − 3) cos x − = có bốn nghiệm khác thuộc khoảng B C D Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp    − ; ?  2 A Câu 23: Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị hàm số y = f  ( x ) cho hình vẽ bên Có giá trị nguyên tham số m khoảng (1; 2021) để bất phương trình A B C 2019 D 2020 Câu 24: Cho hàm số y = f ( x ) hàm đa thức bậc thỏa mãn f ( −2 ) + f (1) = f ( ) Đồ thị hàm số y = f  ( x ) hình vẽ sau: HQ MATHS – 0827.360.796 – f (1 − m ) − f ( − x + 2mx + − 3m )  x − 2mx + 2m có nghiệm? Tìm m để bất phương trình f ( x − 1) − x + x − x − − m  có nghiệm thuộc ( −1; ) A m  f ( −1) − B m  f ( −1) − C m  f ( −2 ) + D m  f ( −2 ) + “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Câu 25: Cho hàm số y = f ( x ) = + x + x Gọi S tập tất giá trị tham số m để bất phương trình ( x − m ) f ( x − m ) + + − x2 ( f 1+ 1− x ) )  nghiệm với x   −1;1 Biết S =  a + b ; + Khi khẳng định sau đúng? A a + 2b  10 B a + 2b = C ab = x2 2x x f x2 Tổng bình phương giá trị tham số m để phươngtrình x2 2x 2x f x m 2mx m có nghiệm phân biệt là: A 13 B ( ) C ( D ) Câu 27: Cho hàm số f ( x ) = − m3 x3 + 3mx + 3m2 − 2m + x + m3 + 2m với m tham số Có số nguyên m   −2020; 2021 cho f ( x )  với x   2020; 2021 ? B 2022 C 2021 D 2020 HQ MATHS – 0827.360.796 – A 2023 Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Câu 26: Cho f x D a + b = HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT HQ MATHS – “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 0827.360.796 – Câu 1: Cho hàm số y = f ( x ) nghịch biến Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Tập nghiệm bất phương trình 1 f    f (1)  x B ( −;0 )  (1; + ) A ( −;1) C ( 0;1) D ( −;0 )  ( 0;1) Lời giải Chọn B Vì hàm số y = f ( x) nghịch biến Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp nên x  1− x 1 f    f (1)    0 x x  x x  Câu 2: Cho hàm số y = f ( x ) nghịch biến 1 Tập nghiệm bất phương trình f    f (1) x B ( −;0 )  (1; + ) A ( −;1) C ( 0;1) D ( −;0 )  ( 0;1) Lời giải Chọn B nên ta có  x     x  x    x  1 f    f (1)      x  ( −;0 )  (1; + ) x   x  x    x      x Vậy tập nghiệm bất phương trình x  ( −;0 )  (1; + ) Câu 3: Giá trị tham số m để bất phương trình ( x − − m) x −  m − có nghiệm là: B m  A m  C m  Lời giải D m  HQ MATHS – 0827.360.796 – Vì hàm số y = f ( x ) nghịch biến Chọn B Đặt t = x − 1; t  Khi bất phương trình ban đầu trở thành: (t − m − 1)t  m −  m  Xét hàm số: f (t ) = t3 − t + t +1 t3 − t + , t   0; + ) t +1 2t + 3t − (t − 1)(2t + 5t + 5) = Có f (t ) = ; f (t ) =  t = (t + 1) (t + 1) “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp t3 − t + BBT f (t ) = , t   0; + ) : t +1 Từ BBT suy để bất phương trình có nghiệm m  sau đúng? A f ( )  f ( 2020 ) có đạo hàm y = − x − 1, x  Khẳng định B f ( −2 ) = f ( ) D f (1)  f ( ) C f ( −2020 )  f ( 2020 ) Lời giải Chọn A y = − x − 1, x   f   0, x  , hàm số y = f ( x ) nghịch biến Do  2020  f ( )  f ( 2020 ) Câu 5: Cho hàm số y = f ( x ) có f  ( x )  0, x  Có giá trị nguyên x để f ( 22 x )  f ( x ) ? A 23 B 20 C 21 Lời giải D 22 Chọn C f  ( x )  0, x   f ( x ) đồng biến ( ) 2 Suy f ( 22 x )  f x  22 x  x   x  22 Vậy có 21 giá trị nguyên x Câu 6:  m có nghiệm khoảng ( −;1) x −1 B m  −3 C m  D m  −1 Lời giải Tìm m để bất phương trình x + A m  Chọn B Bất phương trình x + Với g ( x ) = x + HQ MATHS –  m có nghiệm khoảng ( −;1)  m  max g ( x ) ( −;1 x −1 x −1 “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Cho hàm số y = f ( x ) liên tục HQ MATHS – 0827.360.796 – Câu 4: HQ MATHS – 0827.360.796 – g ( x) = 1−  x =  ( −;1) ; g ( x) =    x = −1 ( −;1) ( x − 1) Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp x Cho hàm số f ( x ) = log x + − Tính tổng bình phương giá trị tham số m để x    + f ( x − x + ) = có ba nghiệm thực phân biệt:  x−m +3 phương trình f  A 14 B 13 C 10 Lời giải D Chọn A 1   1 Ta có: f   = log3 + x − 3x = −  log3 x + 3x − x  = − f ( x ) x  x  x   Lại có: f  ( x ) = 1 1x x + ln + ln  x   Hàm số f ( x ) đồng biến x ln x ( 0; +  )   2  + f ( x − x + ) =  f ( x − m + 3) = f x − x +  x−m +3 ( Do f  )  4m = − x + x −  x − m + = x − 4x +  x − m = x − 4x +    4m = x + 2 Vẽ hai parabol y = − x + x − y = x + hệ trục “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – HQ MATHS – 0827.360.796 – Câu 7: Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Vậy m  −3 Hai parabol y = − x + x − y = x + tiếp xúc với điểm A ( 2;8 ) Parabol y = − x + x − có đỉnh I1 ( 4;12 ) ; parabol y = x + có đỉnh I ( 0; )  4m = m =  Phương trình cho có ba nghiệm thực phân biệt  4m =   m =    4m = 12  m = Vậy tổng bình phương giá trị m + + = 14 Câu 8: 2 Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị y = f  ( x ) hình vẽ Xét hàm số g ( x ) = f ( x ) + x3 − x − 3m − với m tham số thực Tìm tất giá trị thực tham số m để g ( x )  0, x   − 5;  ( ) f − − C m  f A m  ( ) ( ) f D m  f ( ) − Lời giải B m  Chọn B HQ MATHS – 10 “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp HQ MATHS – 0827.360.796 – HQ MATHS – 0827.360.796 – HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Chọn B Ta có: f  ( x ) = 3x +  x  , suy hàm số f ( x ) đồng biến x   −1; 2  f ( x )   0;12 Phương trình cho tương đương với: f ) f ( x) + f ( x) + m = f (−x) f ( x ) + f ( x ) + m = − x  f ( x ) + f ( x ) + m = − x3  f ( x ) + f ( x ) + x3 = −m ( *) Xét hàm số g ( x ) = f ( x ) + f ( x ) + x , ta có: g  ( x ) = f ( x ) f  ( x ) + f  ( x ) + 3x  x  , suy hàm số g ( x ) đồng biến  −1; 2 Vậy phương trình (*) có nghiệm g ( x )  −m  max g ( x )  g ( −1)  − m  g ( ) −1;2 −1;2  f ( −1) + f ( −1) −  − m  f ( ) + f ( ) + HQ MATHS – 0827.360.796 –  −1  −m  123 + 12 +  −1748  m  Câu 5: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau ( ) 2 Gọi S tập hợp số nguyên dương m để bất phương trình f ( x )  mx x − + 2m có nghiệm thuộc đoạn  0; 3 Số phần tử tập S A B 10 Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp ( C Vô số Lời giải D Chọn A Từ bảng biến thiên suy f ( x )  5;9 , x   0;3 max f ( x ) = x = 0;3 f ( x )  mx ( x − ) + 2m f ( x )  m ( x − x + ) “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 15 HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Xét hàm số g ( x ) = x − x + đoạn  0; 3 x =  y = Ta có g  ( x ) = x − x =    x = 1  y = 0;3 Do f ( x) f ( x)  9, x   0;3 max = x = 0;3 g ( x ) g ( x) f x f ( x )  mx ( x − ) + 2m  m  ( ) g ( x) Khi có nghiệm thuộc đoạn  0; 3  m  max 0;3 f ( x)  m  g ( x) Vì m nguyên dương nên m  1; 2;3; 4;5; 6; 7;8;9 Câu 6: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm thỏa mãn f ( x )  f  ( x ) + với số thực x Bất phương trình f ( x )  me x + nghiệm với x  ( 0; + ) B m  f ( e ) − A m  f ( e ) − C m  f ( ) − D m  f ( ) − Lời giải Chọn C Ta có f ( x )  me x +  f ( x ) −  me x  Xét hàm g ( x ) = Có g  ( x ) = f ( x) −1 m ex f ( x) −1 ( 0; + ) ex f  ( x ) −  f ( x ) − 1 ex  0, x  ( 0; + ) Bảng biến thiên HQ MATHS – 16 “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 0827.360.796 – Từ bảng biến thiên suy g ( x )  1; 65 , x   0;3 g ( x ) = x = Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Bảng biến thiên g ( x ) HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Vậy bất phương trình f ( x )  me x + nghiệm với x  ( 0; + ) Câu 7: Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp m  f (0) − Tổng nghiệm thực phương trình x + 2020 x = ( x − ) − 2020 ( − x ) là: A 2021 B −6 C 2020 Lời giải D Chọn D Xét hàm số f ( t ) = t + 2020t  f ' ( t ) = 3t + 2020  0, t  R nên hàm số y = f ( t ) đồng biến khoảng R Phương trình x + 2020 x = ( x − ) + 2020 ( x − ) có dạng: x = f ( x2 ) = f ( 5x − 6)  x = 5x −   x = Vậy tổng nghiệm Câu 8: Cho hàm số f ( x ) , hàm số f  ( x ) liên tục có đồ thị hình vẽ Bất phương trình f ( x )  x + m ( m số thực) nghiệm với x  ( −1; ) khi: A m  f ( ) B m  f ( −1) + C m  f ( −1) + HQ MATHS – 0827.360.796 – D m  f ( ) Lời giải Chọn B Ta có: f ( x )  x + m  f ( x ) − x  m Xét g ( x ) = f ( x ) − x , ta có: g  ( x ) = f  ( x ) − Với x  ( −1; ) −1  f  ( x )  Từ g  ( x ) = f  ( x ) −  nên hàm số nghịch biến ( −1; ) “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 17 HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Suy g ( x ) = f ( x ) − x  f ( −1) + Yêu cầu toán tương đương với m  f ( −1) + Câu 9: Cho hàm số y = f ( x) liên tục có đồ thị hình vẽ Tập hợp tất giá trị     2 D ( −1;1 Lời giải Chọn A Đặt cos x = t , t  ( 0;1)    2 Phương trình cho có nghiệm thuộc khoảng  0;   phương trình f (t ) = −2m + có nghiệm thuộc khoảng (0;1) Dựa vào đồ thị suy −1  −2m +    m  Câu 10: Cho phương trình sin x − cos x + sin x + cos x − cos x + m − m = Có giá trị nguyên tham số m để phương trình có nghiệm thực? A B C Lời giải D Chọn C Điều kiện: 2cos x + m  2 Ta có: sin x − cos x + sin x + cos x − cos x + m − m =  2sin x.cos x − cos x + + sin x + cos x − cos x + m − m =  ( sin x + cos x ) + sin x + cos x = cos x + m + cos x + m (1) Xét hàm số f ( u ) = u + u với u  có f  ( u ) = 2u +  0, u  Nên phương trình 2 (1)  sin x + cos x = cos x + m  + sin x = 2cos x + m  sin x − cos x = m Điều kiện để phương trình có nghiệm  +  m  −  m  HQ MATHS – 18 2 “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 0827.360.796 – C ( 0;1 B ( −1;1) A ( 0;1) Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp tham số m để phương trình f (cos x) = −2m + có nghiệm thuộc khoảng  0; HQ MATHS – 0827.360.796 – Do m  nên m  −1; 0;1 Câu 11: Xét số thực x, y thỏa mãn: x P= Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp + y +1 ( )  x + y − x + x Giá trị nhỏ biểu thức 4y gần với số đây? 2x + y +1 A −2 B −3 D −4 C −5 Lời giải Ta có:  2x x + y +1 + y − x +1 ( )  x + y − x +  2 ( x 2x + y +1 x Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Chọn B  x2 + y − 2x + ) − x + y − x + −  ( *) 2 t Đặt t = x + y − x +  t = ( x − 1) + y  Khi (*) trở thành − t −  Xét hàm số: f ( t ) = 2t − t −  0; + )   f  ( t ) = 2t ln −  f  ( t ) =  t = log    ln  HQ MATHS – 0827.360.796 – Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên ta có f ( t )    t   ( x − 1) + y  Khi x + y +  P = 4y  Px + ( P − ) y + P = 2x + y + Các cặp ( x; y ) thỏa mãn: ( x − 1) + y  tọa độ điểm ( x; y ) thuộc hình trịn ( C ) Tâm I (1; ) , bán kính R = Các cặp ( x; y ) thỏa mãn: Px + ( P − ) y + P = tọa độ điểm ( x; y ) thuộc đường thẳng ( d ) : Px + ( P − ) y + P = Do tồn giá trị nhỏ P đường thẳng ( d ) phải có điểm chung với hình trịn ( C )  d( I ;d )  R  3P 4P + ( P − 4) 2   P + P −   −1 −  P  −1 + “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 19 HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Vậy P = −1 −  −3, 24 Dấu xảy ( x; y ) tọa độ tiếp điểm đường thẳng ( d ) với hình trịn ( C ) Câu 12: Có cặp số nguyên dương ( m, n ) cho m + n  14 ứng với cặp ( m, n ) tồn ) ( m ba số thực a  ( −1;1) thỏa mãn 2a = n ln a + a + ? A 14 B 12 C 11 Lời giải D 13 ) (1) Nhận xét: a = nghiệm phương trình (1) ( 2 ln a + a + Với a  , phương trình (1)  = n am Xét hàm số: f ( a ) = a +1 Xét hàm số g ( a ) = 1− m a2 + − am a Xét phương trình g ( a ) = ( ln a + a + ( − m ln a + a + = a a +1 a2 a +1 ) ( (*) ) ( −1;1) ; f  ( a ) = ) ( ) a a +1 ( − m ln a + a + a m+1 ( 2) ) − m ln a + a + ( −1;1)  g  ( a )  0, a  ( −1;1) ; m  * Suy hàm số g ( a ) nghịch biến khoảng ( −1;1) Do đó, phương trình ( ) có nghiệm a = Trường hợp 1: m chẵn HQ MATHS – 20 “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” ) HQ MATHS – 0827.360.796 – ( m Xét phương trình: 2a = n ln a + a + Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Chọn C HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Phương trình cho có nghiệm phân biệt thuộc khoảng ( −1;1) phương trình ( *) có nghiệm phân biệt khác thuộc khoảng ( −1;1) Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy với n nguyên dương phương trình f ( a ) = khơng có hai n nghiệm phân biệt Suy loại trường hợp m chẵn Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Trường hợp 2: m lẻ m  Phương trình cho có nghiệm phân biệt thuộc khoảng ( −1;1) phương trình thuộc khoảng ( −1;1) (*) có hai nghiệm phân biệt khác n = 2  ln +  n   n ln + n = ( ) ( ) HQ MATHS – 0827.360.796 –  Với n = , m lẻ m  1, m +  14 suy m  3;5;7;9;11;13 Với n = , m lẻ m  1, m +  14 suy m  3;5;7;9;11  Trường hợp 3: m = Phương trình cho có nghiệm phân biệt thuộc khoảng ( −1;1) phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác ( )  ln +  thuộc khoảng ( −1;1) 2 1  n  suy không tồn số tự nhiên n thỏa mãn n ln + ( ) Vậy có 11 cặp ( m ; n ) thỏa mãn yêu cầu toán Câu 13: Cho hàm số y = f ( x ) Hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên hình vẽ “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 21 HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Bất phương trình x f ( x )  mx + nghiệm với x  1; 2020 ) B m  f ( 2020 ) − 2020 Lời giải Chọn D Ta có: x f ( x )  mx + nghiệm với x  1; 2020 )  f ( x)  m + 1  m  f ( x ) − nghiệm với x  1; 2020 ) x x Xét hàm số: g ( x ) = f ( x ) − 1 với x  1; 2020 ) Ta có: g  ( x ) = f  ( x ) + x x  f ( x)   Do  với x  1; 2020 ) nên g  ( x ) = f  ( x ) +  với x  1; 2020 ) x  0 x Suy hàm số g ( x ) đồng biến nửa khoảng 1; 2020 ) Vậy yêu cầu toán tương đương m  g ( x ) = g (1) = f (1) − 1;2020) Câu 14: Có giá trị nguyên tham số m để phương trình cos3 x − cos x + ( m − 3) cos x − = có bốn nghiệm khác thuộc khoảng    − ; ?  2 A B C Lời giải D Chọn B ( ) Ta có: 4cos3 x − cos x + ( m − 3) cos x − =  4cos3 x − 2cos x − + ( m − 3) cos x − = HQ MATHS – 22 “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp C m  f (1) − 2020 D m  f (1) − HQ MATHS – 0827.360.796 – A m  f ( 2020 ) − HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp  cos3 x − cos x + ( m − 3) cos x =  cos x ( cos x − cos x + ( m − 3) ) =   cos x =  x = + k     cos x − cos x + ( m − 3) = (1) (2)    Ta thấy nghiệm không thuộc khoảng  − ;  nên phương trình cho có bốn nghiệm  2 Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp    thuộc khoảng  − ;  phương trình có bốn nghiệm thuộc khoảng  2    − ;   2 Xét: cos x − cos x + ( m − 3) = (2)    Đặt cos x = t , dễ thấy với t ,0  t  có giá trị x thuộc khoảng  − ;   2 4t − 2t + ( m − 3) = có nghiệm t ,0  t  Ta tìm m để phương trình: −4t + 2t + = m có nghiệm t ,0  t  Xét f ( t ) = −4t + 2t + có f ' ( t ) = −8t + 13 Do m nguyên nên m = 2; m = Câu 15: Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị hàm số y = f  ( x ) cho hình vẽ bên Có Từ bảng biến thiên suy  m  HQ MATHS – 0827.360.796 –    Do phương trình có nghiệm thuộc khoảng  − ;  phương trình  2 giá trị nguyên tham số m khoảng (1; 2021) để bất phương trình f (1 − m ) − f ( − x + 2mx + − 3m )  x − 2mx + 2m có nghiệm? “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 23 HQ MATHS – 0827.360.796 – A B Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp C 2019 Lời giải D 2020 Chọn C f (1 − m ) − f ( − x + 2mx + − 3m )  x − 2mx + 2m  − x + 2mx + − 3m2 − f ( − x + 2mx + − 3m2 )  − m2 − f (1 − m2 ) ( *) Ta có: − m  0, m  (1; 2021) Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Xét hàm số g ( t ) = t − f ( t ) , t  Có g  ( t ) = − f  ( t )  0, t  Vậy g ( t ) hàm số đồng biến ( −;0 ) (*) có dạng g ( − x2 + 2mx + − 3m2 )  g (1 − m2 )  − x + 2mx + − 3m2  − m2  − x + 2mx − m2  m2  − ( x − m )  m2 Câu 16: Cho hàm số y = f ( x ) hàm đa thức bậc thỏa mãn f ( −2 ) + f (1) = f ( ) Đồ thị hàm số y = f  ( x ) hình vẽ sau: Tìm m để bất phương trình f ( x − 1) − x + x − x − − m  có nghiệm thuộc ( −1; ) A m  f ( −1) − B m  f ( −1) − C m  f ( −2 ) + Lời giải D m  f ( −2 ) + Chọn C HQ MATHS – 24 “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 0827.360.796 – − x + 2mx + − 3m2 = − ( x − m ) − 2m2 +  0, m  (1; 2021) , x  HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp 3 1 Ta có f ( x − 1) − x + x − x − − m   m  f ( x − 1) − x + x − x − (*) 3 6 Gọi g ( x ) = f ( x − 1) − x + x − x − Đặt t = x − x  ( −1; )  t  ( −2;1) 3 (*)  m  f ( t ) − ( t + 1) + ( t + 1) − ( t + 1) − Xét hàm số g ( t ) = f ( t ) − Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp 3 ( t + 1) + ( t + 1) − ( t + 1) − g  ( t ) = f  ( t ) − ( t + 1) + ( t + 1) − g (t ) = f  (t ) − t + t + HQ MATHS – 0827.360.796 – g (t ) =  f  (t ) = t − t −1 t = −1  x =  Dựa vào đồ thị ta thấy f  ( t ) = t − t −  t =  x = t = ( l )  Ta có bảng biến thiên g ( −1) = f ( −2 ) + ; g (1) = f ( ) Lại có f ( −2 ) + f (1) = f ( )  f ( −2 ) − f ( ) = f ( ) − f (1) “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 25 HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp 8 Xét g ( −1) − g (1) = f ( −2 ) − f ( ) + = f ( ) − f (1) +  Do g ( −1)  g (1) 3 Vậy m  f ( x − 1) − x + x − x −  m  g ( −1) = f ( −2 ) + 3 Câu 17: Cho hàm số y = f ( x ) = + x + x Gọi S tập tất giá trị tham số m để bất ( f + − x2 ) )  nghiệm với x   −1;1 Biết S =  a + b ; + Khi khẳng định sau đúng? A a + 2b  10 B a + 2b = C ab = Lời giải D a + b = Chọn B Ta có: f ( − x ) = + x − x ; 1 + x2 − x = = = + x2 − x = f ( − x ) 2 f ( x) 1+ x + x 1+ x − x ( f + − x2 ) 0 ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( *) HQ MATHS – 0827.360.796 – BPT: ( x − m ) f ( x − m ) + + − x2 )  ( x − m ) f ( x − m ) + + − x f −1 − − x   ( x − m ) f ( x − m ) − − − − x f −1 − − x   ( x − m ) f ( x − m )  −1 − − x f −1 − − x Xét hàm số g ( t ) = t f ( t ) = t + t + t ; g '(t ) = + t + t 1+ t + 2t = + t + 2t + t + t 2 1+ t2 suy hàm số g ( t ) đồng biến ( ( = 1+ t2 + t ) 1+ t2  với t  ) Do BPT (*) : g ( x − m )  g −1 − − x  x − m  −1 − − x  x + + − x  m (**) với x   −1;1 Xét hàm số: h ( x ) = x + + − x ( −1  x  1) HQ MATHS – 26 Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp phương trình ( x − m ) f ( x − m ) + + − x2 “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 0827.360.796 – h '( x) = 1− x − x2 − x2 − x = − x2 ; h '( x) =  x = Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp   −1;1   h ( x) = 1+ Nhận xét: h ( −1) = 0, h   = + 2, h (1) = nên max  −1;1  2 Vậy BPT (**) với x   −1;1 max h ( x )  m hay m  + −1;1 Câu 18: Cho f x x2 2x x2 x f Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp nên ( a, b ) = (1, ) Ta có: a + b = + a, b  Tổng bình phương giá trị tham số m để phươngtrình x2 2x 2x f x m 2mx m có nghiệm phân biệt là: A 13 B C D Chọn B Ta có: x − 2mx + m = x − m ; f '( x) = + x = x2 + + x 0 x2 + 1 f (− x) = − x + x +  f ( x) f (− x) =  f ( x) =  f (− x + x − 2) = f ( − x) f ( x − x + 2) 2 Phương trình tương đương x2 + x − m +1 x2 − x + = f (2 x − m + 1) f ( x − x + 2) Xét hàm số: g (t ) = t f (t ) − t f '(t ) (t  0)  g '(t ) = = f (t ) f (t ) t + t2 +1 − t − f (t ) HQ MATHS – 0827.360.796 – Lời giải t2 t2 +1 = t + f (t ) 0 Vậy hàm số g (t ) đồng biến, phương trình tương đương với pt  x − x + = 2( x − m) x2 − x + = x − m +  x2 − x + = x − m    x − x + = −2( x − m)  2m = − x + x −   2m = x + “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 27 HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Ta thấy hai parabol y = − x + x − 1, y = x + tiếp xúc với điểm có tọa độ (1; ) nên đồ thị chúng hệ tọa độ Oxy sau y x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -2 -8 Khi để phương trình có nghiệm đường thẳng y = 2m cắt hai parabol điểm phân  m=   2m =   biệt, từ đồ thị suy 2m =   m =    2m = 1 m =  Vậy tổng bình phương giá trị m ( ) ( ) Câu 19: Cho hàm số f ( x ) = − m3 x3 + 3mx + 3m2 − 2m + x + m3 + 2m với m tham số Có số nguyên m   −2020; 2021 cho f ( x )  với x   2020; 2021 ? A 2023 B 2022 C 2021 Lời giải D 2020 Chọn B f ( x ) = (1 − m3 ) x + 3mx + ( 3m − 2m + ) x + m3 + 2m  x   2020;2021  ( x + m ) + ( x + m )  ( mx ) + 2mx x   2020;2021 (1) 3 Xét hàm số f (t ) = t + 2t , f '(t ) = 3t +  0t Vậy hàm số f (t ) đồng biến R nên (1) suy x + m  mx x   2020;2021  m  x 2021 x   2020;2021  m  x −1 2020 Vậy đoạn  −2020;2021 có 2022 giá trị nguyên m thỏa mãn HQ MATHS – 28 “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 0827.360.796 – -6 Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp -4 Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp HQ MATHS – 0827.360.796 – “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 29