Đang tải... (xem toàn văn)
TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI TRƯỜNG THPT CHUYÊN Đề thi gồm có 01 trang KỲ THI THỬ VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM 2023 – LẦN 2 BÀI THI MÔN 1 Môn Toán chung Dành cho tất cả các thí sinh thi thử Thời gian làm bài 90 p[.]
TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI TRƯỜNG THPT CHUYÊN Đề thi gồm có: 01 trang KỲ THI THỬ VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM 2023 – LẦN BÀI THI MÔN 1: Mơn Tốn chung Dành cho tất thí sinh thi thử Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề) Họ tên thí sinh: Số báo danh: Câu (2,0 điểm) Cho biểu thức: A x 8 3x x x 11 x 10 , x x x x x với x 0, x 4 A 1) Chứng minh x 1 2) Tìm tất số thực x để A nhận giá trị nguyên Câu (2,0 điểm) Một hội trường có 374 ghế, xếp thành nhiều dãy, số ghế dãy không vượt 30 Hãy tìm số dãy ghế hội trường biết rằng: kê dãy thêm ghế bổ sung thêm dãy ghế (số ghế dãy nhau) tổng số ghế 432 Câu (2,0 điểm) y m 1 x 2m 1) Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số cắt hai trục tọa độ Ox, Oy tương ứng hai điểm A, B phân biệt cho tam giác OAB có diện tích 2) Chứng minh rằng, với hai số thực a, b bất kì, hai phương trình (ẩn x ) sau x 2ax a 4b 0 x 4bx b 2ab a 0 có nghiệm: Câu (3,0 điểm ) O (M có đường kính AB M điểm nằm khác A, B ) Trong nửa mặt phẳng chứa M , có bờ đường thẳng AB vẽ tia Ax, By vuông góc với AB Tiếp tuyến O M cắt tia Ax, By C , D Cho đường tròn O 1) Chứng minh đường thẳng AB tiếp tuyến đường trịn đường kính CD I I 2) Vẽ đường tròn qua M , tiếp xúc với Ax C Tia OC cắt đường tròn điểm thứ hai J Chứng minh J trung điểm OC 3) Gọi E trung điểm OA Chứng minh đường thẳng qua E vng góc với BC cắt OM điểm thuộc đường tròn I Câu (1, điểm) 1) Hãy số thực x khác 0, 1 để x x số nguyên 1 x 0, x số nguyên Chứng minh 2) Cho x số thực khác thỏa mãn vô tỉ 1 x x 2023 -Hết ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM KÌ THI THỬ VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM 2023 – LẦN Câu A A Câu 1.1 1,0 điểm Điể m Đáp án A A x 2 x 2 x x 2 x 1 2 x 1 x 1 x x 11 x 10 x 2 x 1 x 1 x x 1 2 2 3 A 2 x 1 x 3x x x 2 x 1 x 1 x 1 x x x x 1 x x 1 x 1 3 x x 2 x 1 x x 1 0,25 x 11 x 10 2 x 11 x 10 0,25 x 1 x 1 x x 1 x 1 +Dễ chứng minh: A 3 Câu 1.2 1,0 điểm 0,25 0,25 0, ,1 16 x 0;1 Ghi chú: Nếu học sinh lập luận x ước tìm khơng cho điểm từ đến hết câu +Gọi x số dãy ghế y số ghế dãy hội trường lúc bình x, y N * ; y 30 thường Vì bình thường hội trường có 374 ghế số ghế dãy nên ta có phương trình: xy 374 (1) 0,25 0,25 A 1; 2;3 +) Vì A số nguyên nên +) A 1 x 1 A 2 x 16 +) +) A 3 x 0 +Kết hợp điều kiện ta có giá trị x thỏa mãn Câu 2,0 điểm 0,25 Vì kê dãy thêm ghế bổ sung thêm dãy ghế (số ghế dãy nhau) tổng số ghế 432 nên ta có phương trình: x 1 y 432 +Từ (2) ta có xy +y +2 x +2 =432 (3) y x 56 + Lấy (3) – (1) theo vế ta thu 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 số x 56 x 374 + Từ (4) ta có y 56 x, vào (1) ta thu x 56 x 374 0 x 28 x 187 0 x 17 x 17 x 11 0 x 11 0,25 0,25 x 17 y 22 x 11 y 34 Kết hợp điều kiện y 30 ta có x 17, y 22 Vậy bình thường hội trường có 17 dãy ghế y m 1 x 2m 1)Vì hàm số hàm bậc nên m 1 Khi đồ thị hàm số cắt hai trục tọa độ Ox, Oy hai điểm 2m A ;0 , m B 0; 2m 3 OA.OB (2 m 3) 2m OA , OB 2m SOAB 2 m m + Khi (2m 3) 4 (2m 3) 8 m (*) m + Từ giả thiết, ta có + TH 1: m 1 Phương trình (*) trở thành: 4m 12m 8m Câu 3.1 1,0 điểm 4m2 4m 17 0 , 64 nên phương trình vơ nghiệm +TH2: m Phương trình (*) trở thành: 6 m 2 6 m Kết hợp điều kiện ta có Ghi chú: làm học sinh không m ¹ trừ 0,25 điểm x 2ax a 4b 0 có +Ta thấy 1 a a 4b 2a 4b 2 x 4bx b 2ab a 0 có 2 4b b 2ab a 5b 2ab a 2 2 2a b 2ab a +Xét Câu 3.2 1,0 điểm 0,25 0,25 0,25 6 m 4m 12m 8m 4m 20m 0 2 6 m 0,25 0,25 0,25 0,25 1 1 2 2a b 2ab a ( a b) a 2 Ta thấy 1 nên có hai số 1 , số dương Từ suy hai phương trình cho có nghiệm 2 0,25 0,25 x y I C F O' J A G E O M D B +Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có OC phân giác góc AOM , OD phân giác góc BOM Câu 4.1 1,0 điểm COD 90 COD vuông O O thuộc đường trịn đường kính CD (1) +Gọi O ' trung điểm CD O ' tâm đường trịn đường kính CD (2) +Mặt khác OO ' đường trung bình hình thang ABDC nên OO ' / / AC / / BD OO ' AB (3) +Từ (1), (2), (3) suy AB tiếp tuyến đường trịn đường kính CD (đpcm) + OM cắt đường tròn ( I ) F khác M +Vì CM tiếp tuyến đường trịn (O) nên CMO 90 CMF 90 C , I , F thẳng hàng hay CF đường kính đường tròn ( I ) Câu 4.2 1,0 điểm Câu 4.3 1,0 điểm +Vì đường trịn ( I ) tiếp xúc với Ax C nên IC AC hay CF / / AB FCO COA (4) +Mặt khác, OC phân giác góc AOM (theo phần 4.1) nên COA COF (5) Từ (4), (5) FCO COF hay tam giác FCO cân F (6) +Mặt khác, J thuộc đường trịn đường kính CF nên CJF 90 FJ CO (7) +Từ (6), (7) suy tam giác FCO cân F có FJ đường cao đồng thời trung tuyến Do đó, J trung điểm OC (đpcm) +Ta chứng minh FE vng góc với BC Thật vậy, gọi G giao điểm FE BC +Ta thấy EJ đường trung bình tam giác OCA nên EJ / / CA, EJ CA 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 EJ AB +Ta thấy: FJO đồng dạng với JEO ( g g ) FJO JEO 90 , FOJ JOE FJ JO CO CO JE EO AO BO (do J , E trung điểm CO, AO ) (8) +Mặt khác, theo tính chất góc tam giác: COB EJO 90 FJE (9) Từ (8), (9) suy FJE đồng dạng với COB (c.g c ) JEF OBC OBC OEG JEF OEG JEO 90 EF BC +Từ đó, ta thấy đường thẳng qua E vng góc với BC cắt OM điểm F thuộc đường tròn ( I ) (đpcm) Câu 5.2 0,75điể m 0,25 0,25 1 x 3 x số nguyên ta xét phương trình x x Câu 5.1 0,25điể m 0,25 +Để có số thực x để 3 x x 3x 0 3 x x +Trước hết ta chứng minh số vô tỉ Thật vậy, giả sử x số hữu tỉ x có m m2 n2 x x mn dạng n với m Z , n N *, (m, n) 1 Khi đó, x 2 2 x số nguyên nên ( m n ) m.n Do đó, m n, n m +Vì 0,25 0,25 Mà (m, n) 1 nên m n , n m Lại (m, n) 1 nên m 1 x 1 Tương tự n 1 Do x 1 (trái giả thiết ) Vậy x số vô tỉ (1) 1 1 x x x 2 x x x x số hữu tỉ +Ta thấy: Nếu 1 1 x x x x x x x số vô tỉ (2) số hữu tỉ (trái với (1)) Do 2 1 1 x x x x x x số nguyên nên +Mặt khác, Vì 1 x x số 2022 1 x x nguyên Do đó, x 0 x 1 x +Do nên 1 x x +Ta thấy: 1 x x 2023 2023 1 : x x số nguyên 1 x x 2022 x 2022 1 x x Nếu 1 x x x số hữu tỉ (trái với (2)) 2022 số hữu tỉ 0,25 0,25 1 x x Vậy 2023 số vô tỉ