Tóm tắt Trong nhiều vấn đề của lý thuyết kỳ dị và hình học đại số, đa diện Newton đóng vai trò rất quan trọng, nó chứa nhiều thông tin hình học, đại số, tổ hợp và giải tích của hệ phương trình đa thức[.]
Tóm tắt Trong nhiều vấn đề lý thuyết kỳ dị hình học đại số, đa diện Newton đóng vai trị quan trọng, chứa nhiều thơng tin hình học, đại số, tổ hợp giải tích hệ phương trình đa thức Vì vậy, với khái niệm đa diện Newton, nhiều kết quan trọng lý thuyết kỳ dị, hình học đại số, lý thuyết phương trình đạo hàm riêng thiết lập Trong luận án này, áp dụng đa diện Newton để nghiên cứu số vấn đề tối ưu giải tích Luận án nhận kết sau: 1) Đưa điều kiện đủ để đa thức khơng âm tổng bình phương đa thức Điều kiện phát biểu thông qua đa diện Newton đa thức 2) Chứng minh tồn tập nửa đại số mở, trù mật khơng gian tất đa thức có đa diện Newton cho trước, cho với đa thức thuộc tập bị chặn dưới, tốn tìm infimum tồn cục đặt chỉnh 3) Đưa tiêu chuẩn tồn bất đẳng thức Lojasiewicz toàn cục Tiêu chuẩn cung cấp phương pháp cho trường hợp hai biến, kiểm tra tồn bất đẳng thức Lojasiewicz toàn cục 4) Cho đánh giá số mũ Lojasiewicz thông qua bậc đa thức số mũ khác dễ tính tốn Trong trường hợp hai biến, tính toán cách tường minh số mũ Lojasiewicz đa thức Đặc biệt, đa thức hai biến không suy biến theo phần Newton vơ hạn, chúng tơi tính tốn số mũ Lojasiewicz theo phần Newton vơ hạn Hơn nữa, đưa dạng tường minh bất đẳng thức kiểu Hăormander, ú cỏc s m xut hin vi nhng giá trị cụ thể Abstract In many problems of singularity theory and algebraic geometry, Newton polyhedra play a very important role Newton polyhedra contain many geometric, algebraic, combinatorial and analytic information of polynomial systems Using Newton polyhedra, many important results of singularity theory, algebraic geometry, and differential equation theory have been established In this thesis, we apply Newton polyhedra to study some of problems of optimization and analysis We obtain the following results: 1) A sufficient condition for a non-negative polynomial to be the sum of squares is given This condition is expressed in terms of the Newton polyhedron of the polynomial 2) Well-posedness of almost every uncontrain polynomial optimization problem is proved: exists an open and dense semialgebraic set in the space of all polynomials having the same Newton polyhedron, such that if f is a polynomial from this set and if f is bounded from below, then the problem of finding the global infimum of f is well-posed 3) A new criterion of the existence of the global Lojasiewicz inequality is given This criterion provides a method, for the case of two variables, examining the existence of the global Lojasiewicz inequality 4) It is shown that the Lojasiewicz exponents of a polynomial can be estimated via the degree and some exponents, which are much easier to compute In the case of two variables, the Lojasiewicz exponents of an arbitrary polynomial are computed explicitly; the Lojasiewicz exponents of non-degenerate polynomials are expressed in terms of Newton polyhedra; explicite values of some exponients in one of Hăormander inequality are given Lời cam đoan Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi hướng dẫn thầy Hà Huy Vui thầy Phạm Tiến Sơn Các kết viết chung với tác giả khác trí đồng tác giả đưa vào luận án Các kết nêu luận án trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả Đặng Văn Đoạt Lời cám ơn Luận án thực hồn thành Viện Tốn học - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt nam Trước hết, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến PGS.TSKH Hà Huy Vui, PGS.TS Phạm Tiến Sơn, người thầy tận tình hướng dẫn, dìu dắt, bảo suốt thời gian học tập, nghiên cứu để thực luận án Tôi xin cảm ơn Ban Giám đốc Viện Toán học, cán nghiên cứu Viện Tốn học, đặc biệt cán phịng Hình học Tơ pơ, cán Trung tâm đào tạo sau Đại học - Viện Toán học, tạo nhiều điều kiện thuận lợi cho học tập nghiên cứu Xin cảm ơn Quỹ Phát triển khoa học công nghệ Quốc gia hỗ trợ phần kinh phí cho tơi q trình thực đề tài Tôi xin cảm ơn Viện Nghiên cứu cao cấp Tốn động viên, trao giải thưởng cơng trình Chương trình trọng điểm quốc gia phát triển tốn học giai đoạn 2010-2020 cho hai báo Tơi xin cảm ơn lãnh đạo Sở Giáo dục Đào tạo tỉnh Lâm Đồng, lãnh đạo tập thể giáo viên trường THPT Chuyên Thăng Long Đà Lạt tạo điều kiện thời gian, hỗ trợ phần kinh phí để tơi hồn thành nhiệm vụ Tơi xin cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp, bạn nghiên cứu sinh Viện Tốn học ln giúp đỡ, cổ vũ, động viên suốt trình học tập nghiên cứu Đặc biệt, tơi cảm ơn gia đình, người thân yêu luôn động viên, chia sẻ, giúp đỡ mặt vật chất tinh thần suốt trình học tập nghiên cứu để tơi thực ước mơ Quyển luận án dành tặng cho bố mẹ, vợ hai trai yêu quý Tác giả Đặng Văn Đoạt Các ký hiệu sử dụng luận án N Tập số tự nhiên N∗ Tập số tự nhiên khác Z Tập số nguyên Z+ Tập số nguyên không âm R Tập số thực R+ Tập số thực không âm Rn Không gian Euclide thực n chiều R[x1 , x2 , , xn ] Tập đa thức thực n biến inf A infimum tập hợp A sup A supermum tập hợp A A Giá trị nhỏ tập hợp A max A Giá trị lớn tập hợp A kxk Chuẩn véc tơ x dist(x, A) Khoảng cách Euclide từ điểm x đến tập hợp A limx→a f (x) Giới hạn hàm số f (x) x tiến tới a rankA Hạng ma trận A f d (t) ∂ dϕ xdi Γ Đạo hàm cấp d hàm số f theo biến t Đạo hàm riêng cấp d hàm ϕ theo biến xi Γ(f ) Đa diện Newton đa thức f Γ∞ (f ) Đa diện Newton vô hạn đa thức f L0 (V1 ) Số mũ Lojasiewicz gần tập hàm f tập V1 L∞ (V1 ) Số mũ Lojasiewicz xa tập hàm f tập V1 L0 (f ) Số mũ Lojasiewicz gần tập hàm f Rn L∞ (f ) Số mũ Lojasiewicz xa tập hàm f Rn Đa diện Mục lục Mở đầu Điều kiện đủ để đa thức thực tổng bình phương đa thức 1.1 Giới thiệu toán 1.2 Kết chứng minh 10 Tính đặt chỉnh toán tối ưu đa thức 16 2.1 Giới thiệu toán 18 2.2 Kết chứng minh 20 Bất đẳng thức Lojasiewicz toàn cục hàm đa thức 31 3.1 Giới thiệu toán 33 3.2 Bất đẳng thức Lojasiewicz tập V1 36 3.3 Bất đẳng thức Lojasiewicz toàn cục 42 3.4 Số mũ bất đẳng thức Lojasiewicz 47 Bất đẳng thức Lojasiewicz hàm đa thức R2 56 4.1 4.2 Phương pháp kiểm tra tồn bất đẳng thức Lojasiewicz 57 4.1.1 Khai triển Puiseux 4.1.2 Phương pháp kiểm tra Tính số mũ Lojasiewicz 57 59 61 4.2.1 Tính số mũ L0 (V1 ) 61 4.2.2 Tính số mũ L∞ (V1 ) 68 4.2.3 Tính số mũ L0 (f ) 68 4.2.4 Tính số mũ L∞ (f ) 71 4.3 Đa thức không suy biến vô hạn 72 4.4 Một dng bt ng thc Hăormander 78 Kết luận 83 Tài liệu tham khảo 86 Mở đầu Đa diện Newton đa thức nhiều biến bao lồi tập số mũ đơn thức xuất đa thức với hệ số khác không Trong nhiều vấn đề lý thuyết kỳ dị hình học đại số, đa diện Newton đóng vai trị mở rộng khái niệm bậc đa thức, chứa nhiều thơng tin hình học, đại số, tổ hợp giải tích hệ phương trình đa thức Chính vậy, với khái niệm đa diện Newton, nhiều kết quan trọng lý thuyết kỳ dị, hình học đại số, lý thuyết phương trình đạo hàm riêng thiết lập (xem [AGV] ứng dụng đa diện Newton lý thuyết kỳ dị, [Ko], [Kh] ứng dụng đa diện Newton hình học đại số [GV] ứng dụng đa diện Newton phương trình đạo hàm riêng) Đa diện Newton định nghĩa không cho đa thức để nghiên cứu vấn đề mang tính tồn cục, cịn xác định cho mầm hàm giải tích để nghiên cứu tính chất tơ pơ hàm giải tích lân cận điểm kỳ dị Nhiều bất biến tô pô điểm kỳ dị số Milnor, số mũ tiệm cận tích phân dao động tính thơng qua đa diện Newton hàm giải tích (xem [Ko] [AGV] danh mục trích dẫn tài liệu này) Bản luận án sử dụng khái niệm đa diện Newton để nghiên cứu vấn đề sau đây: 1) Tìm điều kiện để đa thức n biến thực không âm toàn Rn , biểu diễn dạng tổng bình phương đa thức; 2) Nghiên cứu tính đặt chỉnh tốn tối ưu đa thức khơng ràng buộc; 3) Nghiên cứu điều kiện tồn bất đẳng thức Lojasiewicz toàn cục đa thức n biến thực tính tốn số mũ Lojasiewicz cho trường hợp n = Các vấn đề 1) 2) vấn đề thời Tối ưu Đa thức Các bất đẳng thức Lojasiewicz toàn cục (đối tượng nghiên cứu vấn đề 3)) nghiên cứu lần cơng trình [DHT] phát triển theo nhiều khía cạnh khác nhau, mặt lý thuyết [HNS], [DKL], [OR], lẫn ứng dụng [Ha2], [DHP2] Bằng việc sử dụng đa diện Newton, luận án đưa cách tiếp cận hữu hiệu để nghiên cứu vấn đề trên, đạt vấn đề mẻ Luận án gồm chương Trong Chương 1, đa diện Newton sử dụng điều kiện đủ để đa thức tổng bình phương đa thức khác Kết mở rộng cách đáng kể kết gần J.B.Lasserre Trong chương 2, sử dụng đa diện Newton tính khơng suy biến đa thức đa diện Newton A.G.Kouchnirenko [Ko], chứng minh rằng, không gian tất đa thức có đa diện Newton tập đa diện Γ cho trước, tồn tập nửa đại số UΓ , mở trù mật, cho f đa thức bị chặn f ∈ UΓ tốn Tính infn f (x) x∈R đặt chỉnh theo nghĩa Zolezzi Các Chương nghiên cứu bất đẳng thức Lojasiewicz toàn cục đa thức Trong Chương 3, đưa tiêu chuẩn tồn bất đẳng thức Lojasiewicz toàn cục Khác với tiêu chuẩn biết [DHT], đây, việc kiểm tra Rn tồn bất đẳng thức Lojasiewicz toàn cục đưa việc kiểm tra tồn tập đại số, xác định cách đơn giản tự nhiên Tiêu chuẩn mở đường cho việc ứng dụng kết cổ điển đa diện Newton (thuật tốn tìm khai triển Newton-Puiseux đường cong đại số) kết tương đối gần (điều kiện không suy biến đa diện Newton A.G.Kouchnirenko) để tính tốn, đánh giá số mũ Lojasiewicz Chương xét trường hợp n = Ở đây, số mũ Lojasiewicz bất đẳng thức Lojasiewicz toàn cục số mũ liên quan, tính toán thuật toán Newton-Puiseux Đặc biệt, đa thức hai biến không suy biến theo lược đồ Newton, số mũ bất đẳng thức Lojasiewicz tồn cục biểu diễn thơng qua tính chất hình học lược đồ Newton