Líi cam �oan Tæi xin cam �oan �¥y l cæng tr¼nh nghi¶n cùu cõa tæi d÷îi sü h÷îng d¨n cõa PGS TSKH T¤ Thà Ho i An C¡c k¸t qu£ trong luªn ¡n vi¸t chung vîi c¡c t¡c gi£ kh¡c �¢ �÷ñc sü nh§t tr½ cõa �çng t[.]
Líi cam oan Tỉi xin cam oan ¥y l cỉng trẳnh nghiản cựu cừa tổi dữợi sỹ hữợng dăn cừa PGS TSKH TÔ Th Hoi An CĂc kát quÊ luên Ăn viát chung vợi cĂc tĂc giÊ khĂc  ữủc sỹ nhĐt trẵ cừa ỗng tĂc giÊ ữa vo luên Ăn CĂc kát quÊ ữủc nảu luên ¡n l trung thüc v ch÷a tøng ÷đc cỉng bố bĐt ký cổng trẳnh no khĂc TĂc giÊ Nguyạn Viằt Phữỡng i Lới cÊm ỡn Luên Ăn ữủc hon thnh dữợi sỹ hữợng dăn cừa PGS TSKH TÔ Th Hoi An, mởt nh giĂo mău mỹc, nh khoa hồc tên tƠm  khổng ch nh hữợng v dẳu dưt tĂc giÊ trản ữớng nghiản cựu, m cỏn luổn quan tƠm v dÔy bÊo cho tĂc giÊ nhỳng bi hồc quỵ giĂ cuởc sống Lới Ưu tiản, tĂc giÊ xin ữủc php by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc nhĐt án ngữới cổ Ăng kẵnh TĂc giÊ xin ữủc trƠn trồng cÊm ỡn Ban lÂnh Ôo Viằn To¡n håc - Vi»n H n l¥m Khoa håc v Cỉng nghằ Viằt Nam, Trung tƠm o tÔo sau Ôi hồc, c¡c pháng chùc n«ng v c¡c nh khoa håc cõa Viằn ToĂn hồc  giúp ù, tÔo iÃu kiằn thuên lủi nhĐt cho tĂc giÊ quĂ trẳnh hồc têp v nghiản cựu tÔi Viằn TĂc giÊ cụng xin trƠn trồng cÊm ỡn Ôi số v Lỵ thuyát số  tÔo iÃu kiằn thuên lủi tĂc giÊ ữủc tham gia cĂc buời sinh hoÔt khoa hồc cừa liản pháng T¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìn Ban Gi¡m hiằu trữớng Ôi hồc Kinh tá v QuÊn tr Kinh doanh - Ôi hồc ThĂi Nguyản, Khoa Khoa hồc cỡ b£n v c¡c th¦y cỉ gi¡o Bë mỉn To¡n  luổn ởng viản v tÔo iÃu kiằn tốt nhĐt tĂc giÊ hon thnh ữủc luên Ăn ny NhƠn dàp n y t¡c gi£ cơng xin gûi líi c£m ìn sƠu sưc tợi PGS TS H TrƯn Phữỡng  dnh cho tĂc giÊ nhỳng tẳnh cÊm v sỹ ởng viản giúp ù quỵ bĂu Cuối cũng, xin dnh mõn qu tinh thƯn ny dƠng tng Bố, Mà, cĂc anh ch em Ôi gia ẳnh thƠn yảu, tng ngữới vủ hiÃn yảu dĐu, nhỳng ngữới  chu nhiÃu khõ khôn v dnh hát nhỳng tẳnh cÊm yảu thữỡng, ởng viản tĂc giÊ hon thnh kát quÊ nghiản cựu cừa mẳnh TĂc giÊ Nguyạn Viằt Phữỡng ii Mửc lửc Lới cam oan i Líi c£m ìn ii Mð ¦u Khỉng iºm cừa cĂc a thực vi phƠn cừa hm phƠn hẳnh 1.1 Mởt số kián thực chuân b 7 1.1.1 Lỵ thuyát Nevanlinna cờ in 1.1.2 Mët sè k¸t qu£ cõa Yamanoi 12 1.2 ìợc lữủng khổng im cừa a thực vi phƠn cừa hm phƠn hẳnh 15 1.3 Kát luên 20 Ph¥n bè gi¡ trà cõa a thùc vi phƠn cừa hm phƠn hẳnh 22 2.1 Quan hằ số khuyát cừa a thực vi phƠn cừa hm phƠn h¼nh 23 2.2 Mð rëng cừa giÊ thuyát Hayman cho mởt số dÔng a thực vi phƠn 26 2.3 Kát luên 37 Tẵnh nhĐt cừa cĂc hm phƠn hẳnh trữớng hủp cĂc a thực vi phƠn chung mởt hm nhọ 39 3.1 CĂc hm phƠn hẳnh chung mët h m nhä 39 3.2 C¡c a thùc vi ph¥n cõa c¡c h m phƠn hẳnh chung mởt hm nhọ 52 3.3 Kát luên 73 Kát luên cừa luªn ¡n T i li»u tham kh£o 75 79 iii Mð Ưu nh lỵ cỡ bÊn cừa Ôi số nõi rơng mởt a thực bêc n trản trữớng số phực C câ óng n khỉng iºm V o nhúng n«m ci cõa thá k 18 Ưu thá k 19, cĂc nh toĂn hồc  phĂt trin nhỳng kát quÊ Ôt ữủc và sỹ phƠn bố giĂ tr cừa cĂc a thực lản ối tữủng l cĂc hm nguyản mt phng phực Trong thíi gian n y, Borel ¢ th nh cỉng vi»c k¸t hđp v c£i ti¸n c¡c k¸t qu£ cõa Picard, Poincar v Hadamard cho cĂc hm nguyản v lỵ thuyát phƠn bố giĂ tr bưt Ưu hẳnh thnh Lỵ thuyát ny nghiản cựu mêt ở cừa cĂc im m tÔi õ hm phƠn hẳnh nhên mởt giĂ tr cử th Mởt õng gõp nời bêt cừa lỵ thuyát phƠn bố giĂ tr cho cĂc hm phƠn hẳnh  ữủc nh toĂn hồc ngữới PhƯn Lan Rolf Nevanlinna ữa Sau ny, cĂc kát quÊ õ  gưn liÃn vợi tản tuời cừa v thữớng ữủc nhưc án vợi tản gồi Lỵ thuyát Nevanlinna Sỹ ới cừa lỵ thuyát n y ÷đc ¡nh gi¡ l mët nhúng th nh tüu àp v sƠu sưc nhĐt ngnh giÊi tẵch phùc v ng y c ng câ nhi·u ùng döng nhúng lắnh vỹc khĂc cừa toĂn hồc, chng hÔn nhữ lỵ thuyát phữỡng trẳnh vi phƠn, lỵ thuyát hồ chuân tưc, hẳnh hồc phực v lỵ thuyát số, TrÊi qua gƯn mởt trôm nôm, hữợng nghiản cựu  ữủc phĂt trin rĐt mÔnh m v  chựng kián sỹ õng gõp to lợn cừa cĂc nh toĂn hồc nữợc ngoi nh÷ Gol'dberg, Ostrovskii, Ahlfors, Shimizu, Drasin, Hayman, Bergweiler, Langley, Ru, Vojta, Yamanoi, v cĂc nh toĂn hồc nữợc nhữ L V Thiảm, H H KhoĂi, ThĂi, S Quang, T V T§n, T T H An, Tuy nhiản, vợi tƯm quan trồng giÊi tẵch phực, hữợng nghiản cựu ny văn ang tiáp tửc thu hút ữủc sỹ quan tƠm cừa cĂc nh toĂn hồc Mửc tiảu cừa cĂc nh toĂn hồc l ữa cĂc bĐt ng thực giỳa hm ám, hm xĐp x v hm c trững cừa hm phƠn hẳnh, thổng qua cĂc bĐt ng thực õ cõ th xem xt sỹ phƠn bố giĂ tr cừa cĂc hm phƠn hẳnh v tẳm c¡c ùng dưng cõa c¡c k¸t qu£ â B i to¡n quan trồng lỵ thuyát ny l nghiản cựu mối quan h» giúa c¡c khæng iºm, cüc iºm cõa mët hm v Ôo hm cừa hm õ Nôm 1922, Põlya [43]  chựng mẳnh rơng náu hm phƠn hẳnh f cõ ẵt nhĐt hai cỹc im thẳ vợi mội số nguyản dữỡng k ừ lợn, Ôo hm cĐp k cừa hm phƠn hẳnh õ cõ ẵt nhĐt mởt khổng im Liản quan tợi kát quÊ õ, Gol'dberg [19]  °t gi£ thuy¸t sau: Cho f l mët h m phƠn hẳnh siảu viằt trản C v k l mët sè nguy¶n Khi â, ta câ N (r, f ) ≤ N r, f (k) + o(T (r, f )), r → ∞ ngo i mët têp cõ ở o hỳu hÔn, õ T (r, f ) l h m °c tr÷ng Nevanlinna, N (r, f ) l hm ám cĂc cỹc im khổng tẵnh bëi cõa f v N r, f (k) l hm ám cĂc khổng im cừa Ôo hm cĐp k cừa hm f tẵnh cÊ GiÊ thuyát cừa Gol'dberg ch úng vợi cĂc Ôo hm cõ cĐp ẵt nhĐt l hai, chóng ta x²t v½ dư ìn gi£n l h m f (z) = tan z , â h m f cõ vổ số cỹc im Ôo hm cĐp mởt f khổng cõ khổng im Nôm 1986, Frank v Weissenborn [18]  chựng minh giÊ thuyát Gol'dberg bơng phữỡng phĂp Wronskian ối vợi trữớng hủp hm phƠn h¼nh f ch¿ câ c¡c cüc iºm ìn Sau â, Langley [25]  chựng minh rơng náu f l mởt hm phƠn hẳnh cĐp hỳu hÔn thọa mÂn iÃu kiằn Ôo hm cĐp hai f 00 cõ hỳu hÔn khổng im thẳ f cõ hỳu hÔn cỹc im Nôm 2013, bơng viằc xƠy dỹng hm xĐp x hiằu chnh v ữa cĂc chn cho hm xĐp x õ, Yamanoi [33]  tÔo mởt bữợc ởt phĂ lỵ thuyát Nevanlinna vợi chựng minh hon ton giÊ thuyát Gol'dberg v thêm chẵ kát quÊ cừa ữa cỏn mÔnh hỡn giÊ thuyát ban Ưu Viằc chựng minh giÊ thuyát Gol'dberg cõ ỵ nghắa rĐt lợn lỵ thuyát phƠn bố giĂ tr, nõ  giúp cho cĂc nh toĂn hồc vữủt qua nhiÃu khõ khôn viằc giÊi quyát cĂc bi toĂn quan trồng cừa lỵ thuyát phƠn bố giĂ tr cừa cĂc hm phƠn hẳnh GiÊ sỷ f l mởt hm phƠn hẳnh trản C v a ∈ C K½ hi»u δ(a, f ) = lim inf r→∞ m r, f −a = − lim sup T (r, f ) N r, f −a r→∞ T (r, f ) l sè khuy¸t Nevanlinna cõa h m f v Θ(a, f ) = − lim sup r→∞ N r, f −a T (r, f ) l phƠn nhĂnh ton phƯn cừa f Tứ cĂc nh nghắa trản, dng thu ÷đc c¡c ch°n sau: ≤ δ(a, f ) (a, f ) Mt khĂc, nh lỵ cì b£n thù hai cõa Nevanlinna cho chóng ta th§y tờng tĐt cÊ cĂc số khuyát cừa mởt hm phƠn hẳnh luổn b chn trản bi v Ơy l b chn tốt nhĐt ối vợi hm phƠn hẳnh xt trữớng hủp tờng quĂt Tuy nhiản, ối vợi mởt số lợp hm hàp hỡn, chn trản ny cõ th ữủc giÊm xuống Thêt vêy, vợi ỵ rơng tĐt cÊ cĂc cỹc im cừa Ôo hm cĐp k cừa hm phƠn hẳnh f Ãu cõ ẵt nhĐt l k + 1, Hayman [21]  ch rơng, vợi mồi k N, X (a, f (k) ) ≤ + a∈C k+1 N«m 1971, Mues [41]  chựng minh dĐu bơng bĐt ng thùc tr¶n x£y f l mët nghi»m cõa phữỡng trẳnh vi phƠn Riccati vợi cĂc hằ số hơng iÃu õ chựng tọ bĐt ng thực trản cừa Hayman l tốt nhĐt Khi thay phƠn nhĂnh ton phƯn (a, f (k) ) bði sè khuy¸t δ(a, f (k) ) bĐt ng thực trản thẳ chn trản thu ữủc câ thº l mët sè nhä hìn thüc sü Cư th, Mues  chựng minh rơng X (a, f (k) ) ≤ a∈C k + 5k + < + k + 4k + k+1 vợi mồi k N Ngoi ra,  t giÊ thuyát rơng chn trản õ phÊi l 1, v  chựng minh ữủc giÊ thuyát õ vợi k v hm phƠn hẳnh f cõ ẵt cüc iºm bëi N«m 1990, Yang [36] v Ishizaki [23]  ởc lêp ữa mởt chn trản tốt hỡn cho tờng số khuyát cừa Ôo hm cừa hm phƠn hẳnh l 2k+2 2k+1 án nôm 1992, Yang v Wang [37]  chựng minh giÊ thuyát Mues úng vợi måi k ≥ K(f ), vỵi K(f ) l mët số nguyản dữỡng ch phử thuởc vo hm f Sau õ, giÊ thuyát ny  ữủc Wang [30] chựng minh l úng vợi mồi k 0, ngoÔi trứ nhiÃu nhĐt bốn giĂ tr cừa k Chẳa khõa c¡c chùng minh ÷đc ÷a bði c¡c t¡c gi£ ð tr¶n ·u câ mët iºm chung â l hå cố gưng tẳm mối liản hằ giỳa số cỹc im cừa hm phƠn hẳnh v số khổng im cừa Ôo hm cừa hm phƠn hẳnh õ dÔng yáu hỡn giÊ thuyát Gol'dberg Nôm 2013, Yamanoi [33]  chựng minh th nh cỉng gi£ thuy¸t Gol'dberg, v tø â ỉng thu ữủc giÊ thuyát Mues nhữ mởt hằ quÊ VĐn à tỹ nhiản ữủc t õ l tờng quĂt giÊ thuyát Gol'dberg v giÊ thuyát Mues theo hữợng nhữ sau: 1) Tẳm mối liản hằ giỳa số cỹc im cừa mởt hm phƠn hẳnh v số khổng im cừa a thực vi phƠn cừa hm phƠn hẳnh õ 2) Tẳm quan hằ số khuyát cừa a thực vi phƠn cừa mởt hm phƠn hẳnh Liản quan án vĐn à thự hai trản, Jiang v Huang [24]  xt cho cĂc ỡn thực vi phƠn cừa hm phƠn hẳnh f cõ dÔng f l (f (k) )n , õ l, n, k l cĂc số nguyản lợn hỡn Hồ  nhên ữủc chn trản cho tờng cĂc số khuyát cừa ỡn thực vi phƠn ny l + nk+n+l Tuy nhi¶n, ch°n n y câ thº ữủc lm tốt hỡn, Ơy l mởt nhỳng mửc tiảu cừa luên vôn ny Ta nõi rơng mởt giĂ trà a ∈ C l mët gi¡ trà Picard cõa hm phƠn hẳnh f náu f a khổng cõ khổng im nh lỵ Picard ch rơng mởt hm phƠn hẳnh khĂc hơng ch cõ th cõ nhiÃu nhĐt hai giĂ tr Picard hỳu hÔn Nôm 1959, Hayman  chựng minh rơng Ôo hm cĐp k (k 1) cừa mởt hm phƠn hẳnh bĐt ký cõ th cõ nhiÃu nhĐt mởt giĂ tr Picard hỳu hÔn ối vợi trữớng hủp hm nguyản, kát quÊ cừa Milloux [22] ch rơng náu mởt hm nguyản siảu viằt cõ mởt giĂ tr Picard hỳu hÔn thẳ cĂc Ôo hm cừa nõ nhên mội giĂ tr hỳu hÔn khĂc khổng vổ số lƯn Kát quÊ ny sau õ ữủc m rởng cho hm phƠn hẳnh siảu viằt bi Hayman [21] Mởt im hÔn chá cĂc kát quÊ trản õ l yảu cƯu hm phƠn hẳnh cõ giĂ tr Picard hỳu hÔn Mởt cƠu họi tỹ nhiản ữủc t l liằu giÊ thiát và sỹ tỗn tÔi cừa giĂ trà Picard câ thº bä i hay khỉng n¸u ta xem xt mởt lợp hm phƠn hẳnh no õ? Liản quan án vĐn à ny, Hayman [21]  chựng minh rơng: Cho f l mởt hm phƠn hẳnh siảu viằt tr¶n C v n ≥ l mët sè nguy¶n Khi â, f n f nhªn méi gi¡ trà hỳu hÔn khĂc khổng vổ số lƯn ặng giÊ thuyát rơng kát quÊ ny úng vợi mồi n Nôm 1979, Mues [42]  ữa chựng minh cho trữớng hủp n = án nôm 1995, Bergweiler v Eremenko [10] v Chen v Fang [14]  ữa chùng minh cho tr÷íng hđp n = Thay cho vi»c ch¿ x²t b i to¡n cho ìn thùc vi ph¥n, Hayman [21]  ữa cƠu họi: Náu f l hm phƠn hẳnh siảu viằt trản C, n v a 6= th¼ ϕ = f − af n nhên mội giĂ tr hỳu hÔn vổ số lƯn? ặng  chựng minh ữủc rơng khng nh õ óng n ≥ v cơng ÷a c¡c phÊn vẵ dử ch rơng khng nh trản khỉng óng n = v n = Tuy nhiản, Mues [42]  ữa cĂc phÊn vẵ dư º ch¿ r¬ng kh¯ng ành â khỉng óng vợi n = 3, bơng viằc xt hm f l nghiằm khĂc hơng bĐt ký cừa phữỡng trẳnh vi ph¥n Riccati w0 = −(1 + 2η)(w + 1)(w + ) (vợi = e2i/3 ) cho trữớng hủp n = v phữỡng trẳnh vi phƠn Riccati w0 = 2(w2 + 1) cho trữớng hủp n = Nôm 1982, Doringer [15]  chựng minh rơng kát quÊ trản ữủc thọa mÂn náu thay = f af n bði ϕ = f (k) − af n n k + Mửc tiảu tiáp theo ữủc chúng tổi nghiản cựu luên Ăn ny õ l : Xem x²t ph¥n bè gi¡ trà cõa a thùc vi phƠn tờng quĂt hỡn Thổng thữớng vợi mội kát quÊ trản lỵ thuyát phƠn bố giĂ tr, hy vồng cõ mởt kát quÊ tữỡng ựng và sỹ xĂc nh nhĐt cừa cĂc hm Nôm 1996, Fang v Hua [17] ¢ xem x²t sü x¡c ành nhĐt cừa cĂc hm nguyản f thổng qua Ênh ngữủc cừa a thực vi phƠn f f n Sau õ, kát quÊ ny ữủc Yang v Hua [35] m rởng cho trữớng hủp cĂc hm phƠn hẳnh Bi toĂn cho a thực vi phƠn cĐp mởt f f n (f − 1) ÷đc chùng minh bði Fang v Hong [16] f l h m nguy¶n v bði Lin v Yi [27] f l h m ph¥n hẳnh Nôm 2013, Boussaf v cĂc ỗng nghiằp [12]  xt bi toĂn cho trữớng hủp tờng quĂt hỡn bơng viằc ữa cĂc iÃu kiằn thẵch hủp và số cừa cĂc khổng im cừa Ôo hm cừa a thực Q(z) cho vợi hai hm phƠn hẳnh f v g , n¸u (Q(f ))0 v (Q(g))0 chung mët hm nhọ tẵnh cÊ thẳ f = g Bản cÔnh õ mởt số tĂc giÊ khĂc chng hÔn nhữ: Bhoosnurmatha v Dyavanal [11], Zang [38], Xu ỗng nghiằp [31],  xt cho trữớng hủp a thực vi phƠn cĐp cao hỡn Chú ỵ rơng cĂc kát quÊ trản Ãu xt a thực vi phƠn cõ dÔng [f n P (f )](k) v kát luên rơng náu f v g l cĂc hm phƠn hẳnh thọa m¢n [f n P (f )](k) − α v [g n P (g)](k) − α chung khỉng iºm, vỵi α l hm nhọ v n l số nguyản dữỡng ừ lợn, thẳ f = g Tuy nhiản, chúng tổi nhên thĐy cõ mởt số hÔn chá liản quan án cĂc k¸t qu£ n y Cư thº, c¡c t¡c gi£ ch¿ x²t cĂc a thực cõ ẵt nhĐt mởt khổng im cĐp õ cao v c¡c h m nhä α ph£i câ húu hÔn khổng im v cỹc im Vẳ vêy, mửc tiảu tiáp theo cừa chúng tổi l xt bi toĂn trản cho c¡c biºu di¹n têng qu¡t hìn v bä qua iÃu kiằn và tẵnh hỳu hÔn cừa cĂc khổng im v cỹc im cừa hm nhọ ỗng thới, chúng tổi cụng ữa cĂc kát quÊ trữớng hủp c¡c a thùc vi ph¥n chung mët h m nhä khỉng tẵnh Luên Ăn ữủc chia thnh ba chữỡng vợi phƯn m Ưu, kát luên v ti liằu tham khÊo Chữỡng 1, ngoi phƯn Ưu dnh cho viằc trẳnh b y mët sè kh¡i ni»m cì b£n ÷đc dịng luên Ăn, chúng tổi ữa cĂc kát quÊ và c¡c khỉng iºm cõa a thùc vi ph¥n cõa c¡c hm phƠn hẳnh ( nh lỵ 1.2.1) nh lỵ ny ữa mèi li¶n h» giúa sè cüc iºm cõa mët hm phƠn hẳnh v số khổng im cừa a thực vi phƠn cừa hm phƠn hẳnh õ Nhữ mởt hằ quÊ cừa nh lỵ 1.2.1 chúng tổi thu ữủc kát qu£ cõa Yamanoi tr÷íng hđp °c bi»t v mð rởng giÊ thuyát Gol'dberg Kát quÊ nghiản cựu cừa chúng tỉi ch÷ìng n y düa v o b i b¡o [5] Ch÷ìng dnh cho viằc nghiản cựu phƠn bố giĂ tr cừa cĂc a thực vi phƠn PhƯn Ưu cừa chữỡng ữa quan hằ số khuyát cho a thực vi phƠn cừa hm phƠn hẳnh ( nh lỵ 2.1.1) nh lỵ ny l mởt ựng dửng trỹc tiáp cừa nh lỵ 1.2.1 Chữỡng v ỗng thới cụng cho ta mởt dÔng tờng quĂt hỡn cừa giÊ thuyát Mues cho a thực vi phƠn cừa cĂc hm phƠn hẳnh PhƯn cuối cừa chữỡng ny ữủc dnh cho viằc nghiản cựu ph¥n bè gi¡ trà cõa c¡c a thùc vi ph¥n cừa hm phƠn hẳnh Trong phƯn ny, cĂc nh lỵ 2.2.1, 2.2.5 v 2.2.7 l c¡c mð rëng cõa gi£ thuyát Hayman cho cĂc a thực vi phƠn tờng quĂt hỡn Chữỡng ữủc trẳnh by dỹa vo cĂc bi bĂo [5, 7] Chữỡng trẳnh by cĂc kát quÊ và tẵnh nhĐt cừa cĂc hm phƠn hẳnh trữớng hủp cĂc a thực vi phƠn chung mởt hm nhọ PhƯn Ưu cừa chữỡng ữa cĂc c trững cừa cĂc hm phƠn hẳnh chung mởt hm nhọ cĂc trữớng hủp tẵnh cÊ v khổng tẵnh ( nh lỵ 3.1.2, nh lỵ 3.1.4 v nh lỵ 3.1.5) PhƯn cuối cừa chữỡng ữa cĂc ựng dửng cừa cĂc nh lỵ phƯn Ưu cho viằc nghiản cựu tẵnh nhĐt cừa cĂc hm phƠn hẳnh trữớng hủp cĂc a thực vi phƠn chung mët h m nhä ÷đc thº hi»n nëi dung cõa cĂc nh lỵ: nh lỵ 3.2.1 án nh lỵ 3.2.6, nh lỵ 3.2.8 v nh lỵ 3.2.9 Kát thúc phƯn n y, chóng tỉi ÷a °c tr÷ng nghi»m cõa ph÷ìng trẳnh hm dÔng Q(f ) = Q(g) + c õ Q(z) l a thực vợi hằ số trản C, f, g l cĂc hm phƠn hẳnh v c l mởt hơng số phực Nởi dung cừa chữỡng dỹa vo c¡c b i b¡o [6, 8, 28] Ch÷ìng Khỉng iºm cõa c¡c a thùc vi ph¥n cõa h m ph¥n hẳnh Trong chữỡng ny ngoi viằc trẳnh by mởt số kián thực chuân b cho cĂc nởi dung chẵnh, chúng tổi trẳnh by kát quÊ nghiản cựu và khổng im cừa cĂc a thực vi phƠn cừa hm phƠn hẳnh Vợi ỵ tững sỷ dửng cĂc ữợc lữủng thổng qua hm xĐp x hiằu chnh, chúng tổi ữa mối liản hằ giỳa số cỹc im cừa hm phƠn hẳnh v sè khỉng iºm cõa mët a thùc vi ph¥n cừa hm phƠn hẳnh õ Trong trữớng hủp c biằt, kát quÊ cừa chúng tổi thu ữủc kát quÊ Â bi¸t cõa Yamanoi [33] v gi£ thuy¸t cõa Gold'berg K¸t quÊ nghiản cựu cừa chúng tổi chữỡng ny dỹa vo bi bĂo [5] Trữợc hát, chúng tổi trẳnh by mởt số kián thực cỡ bÊn lỵ thuyát Nevanlinna cê iºn v mët sè k¸t qu£ cõa Yamanoi 1.1 Mởt số kián thực chuân b 1.1.1 Lỵ thuyát Nevanlinna cờ in Trong phƯn ny chúng tổi trẳnh by mởt số khĂi niằm cỡ bÊn lỵ thuyát phƠn bố gi¡ trà cê iºn dịng cho vi»c nghi¶n cùu c¡c nởi dung chẵnh CĂc khĂi niằm v cĂc kát quÊ cỡ bÊn ny chừ yáu ữủc tham khÊo cĂc ti liằu [13, 22, 29] Chúng ta nhưc lÔi mởt nhỳng kát quÊ quan trồng cừa giÊi tẵch phực â l cæng thùc Jensen Cæng thùc n y cho ta cĂch tẵnh mổ un cừa hm phƠn hẳnh tÔi gốc thổng qua mổ un cừa hm tÔi cĂc im trản ữớng trỏn v cĂc khổng im, cỹc im cừa hm phƠn hẳnh ¾a â