Về lý thuyết Nevanlinna cho hình vành khuyên và vấn đề duy nhất.Về lý thuyết Nevanlinna cho hình vành khuyên và vấn đề duy nhất.Về lý thuyết Nevanlinna cho hình vành khuyên và vấn đề duy nhất.Về lý thuyết Nevanlinna cho hình vành khuyên và vấn đề duy nhất.Về lý thuyết Nevanlinna cho hình vành khuyên và vấn đề duy nhất.Về lý thuyết Nevanlinna cho hình vành khuyên và vấn đề duy nhất.Về lý thuyết Nevanlinna cho hình vành khuyên và vấn đề duy nhất.Về lý thuyết Nevanlinna cho hình vành khuyên và vấn đề duy nhất.Về lý thuyết Nevanlinna cho hình vành khuyên và vấn đề duy nhất.Về lý thuyết Nevanlinna cho hình vành khuyên và vấn đề duy nhất.Về lý thuyết Nevanlinna cho hình vành khuyên và vấn đề duy nhất.Về lý thuyết Nevanlinna cho hình vành khuyên và vấn đề duy nhất.
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LEUANGLITH VILAISAVANH VỀ LÝ THUYẾT NEVANLINNA CHO HÌNH VÀNH KHUYÊN VÀ VẤN ĐỀ DUY NHẤT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2022 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LEUANGLITH VILAISAVANH VỀ LÝ THUYẾT NEVANLINNA CHO HÌNH VÀNH KHUN VÀ VẤN ĐỀ DUY NHẤT Ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 9460102 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS HÀ TRẦN PHƯƠNG THÁI NGUYÊN - 2022 i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu hướng dẫn PGS TS Hà Trần Phương Các kết viết chung với tác giả khác trí đồng tác giả đưa vào luận án Các kết luận án chưa công bố cơng trình khoa học khác Thái Nguyên, tháng 10 năm 2022 Tác giả LEUANGLITH Vilaisavanh ii Lời cảm ơn Luận án thực hoàn thành dự hướng dẫn tận tình PGS TS Hà Trần Phương Tác giả luận án xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến thầy Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám đốc Đại học Thái Nguyên, Ban Đào tạo Đại học Thái Nguyên, Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo, Ban chủ nghiệm khoa Tốn phịng Ban chức Trường Đại học Sư phạm Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ tác giả q trình học tập nghiên cứu hồn thành luận án Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy, cô, bạn bè Seminar Bộ môn Giải tích Tốn ứng dụng, Khoa Tốn Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên giúp đỡ, động viên tác giả nghiên cứu khoa học Tác giả xin chân thành cảm ơn Trường Đại học Savannakhet nước CHDCND Lào đồng nghiệp tạo điều kiện giúp đỡ mặt trình học tập hồn thành luận án Cuối tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn người thân gia đình, người chịu nhiều khó khăn, vất vả dành hết tình cảm u thương, động viên, chia sẻ, khích lệ để tác giả hồn thành luận án Thái Nguyên, tháng 10 năm 2022 Tác giả LEUANGLITH Vilaisavanh iii Mục lục Mở đầu Chương Hai định lý cho đường cong chỉnh hình hình vành khuyên 14 1.1 Một số kiến thức Lý thuyết phân bố giá trị cho hàm phân hình 14 1.1.1 Trường hợp hàm phân hình C 14 1.1.2 Trường hợp hàm phân hình hình vành khuyên 17 1.2 Các hàm Nevanlinna-Cartan Định lý thứ 23 1.2.1 Các hàm Nevanlinna-Cartan 23 1.2.2 Định lý thứ 25 1.3 Định lý thứ hai 26 1.3.1 Kiến thức bổ trợ 26 1.3.2 Định lý thứ hai 29 Chương Vấn đề cho đường cong chỉnh hình hình vành khuyên 41 2.1 Một số kiến thức chuẩn bị 41 2.1.1 Hàm đếm có trọng 41 2.1.2 Hai định lý với mục tiêu siêu phẳng 44 2.2 Hai định lý cho đường cong chỉnh hình 45 2.2.1 Trường hợp không xét nghịch ảnh siêu mặt 45 2.2.2 Trường hợp có xem xét điều kiện nghịch ảnh siêu mặt 53 iv Chương Vấn đề cho hàm nguyên liên quan đến gi thuyt Bră uck 57 3.1 Kiến thức bổ trợ 57 3.1.1 Phân bố giá trị cho đa thức vi phân 57 3.1.2 Họ chuẩn tắc hàm phân hình 59 3.2 Vấn đề 64 3.2.1 Tiêu chuẩn chuẩn tắc họ hàm phân hình 64 3.2.2 Định lý 77 Kết luận 82 Danh mục Cơng trình tác giả cơng bố liên quan đến luận án 83 Tài liệu tham khảo 84 Mở đầu Lịch sử nghiên cứu lý chọn đề tài Được bắt nguồn cơng trình R Nevanlinna từ đầu kỷ XX, Lý thuyết phân bố giá trị cho hàm phân hình (cịn gọi Lý thuyết Nevanlinna) đánh giá thành tựu sâu sắc đẹp đẽ Toán học Với nội dung bao gồm hai định lý bản: Định lý thứ Định lý thứ hai, Lý thuyết phân bố giá trị ngày thu hút quan tâm nhiều tác giả nước, thu nhiều kết quan trọng có ứng dụng nhiều lĩnh vực khác Toán học vấn đề cho hàm phân hình, hệ động lực phức, phương trình vi phân phức, Kí hiệu Pn (C) không gian xạ ảnh n chiều trường C Năm 1933, H Cartan mở rộng kết Nevanlinna cho trường hợp đường cong chỉnh hình vào Pn (C) đưa số ứng dụng Theo hướng nghiên cứu nhiều nhà tốn học ngồi nước công bố nhiều kết đặc sắc dạng định lý thứ thứ hai trường hợp khác nghiên cứu ứng dụng định lý lĩnh vực khác Toán học, đặc biệt vấn đề cho đường cong chỉnh hình Với đường cong chỉnh hình f : C → Pn (C) có biểu diễn tối giản (f0 , , fn ), hàm Tf (r) = 2π 2π log ∥f (reiθ )∥dθ gọi hàm đặc trưng Nevanlinna-Cartan đường cong f , ∥f (z)∥ = max{|f0 (z)|, , |fn (z)|} Cho H siêu phẳng, xác định dạng tuyến tính L Hàm mf (r, H) = mf (r, L) := 2π 2π ∥f (reiθ )∥ dθ log |L(f )(reiθ )| gọi hàm xấp xỉ f kết hợp với siêu phẳng H Kí hiệu nf (r, H) số khơng điểm L(f )(z) đĩa {|z| < r}, kể bội, nM f (r, H) số không điểm L(f )(z) đĩa {|z| < r}, bội cắt cụt số nguyên dương M Hàm r Nf (r, H) = Nf (r, L) = nf (t, H) − nf (0, H) dt + nf (0, H) log r t gọi hàm đếm kể bội hàm r NfM (r, H) = NfM (r, L) = M nM f (t, H) − nf (0, H) dt + nM f (0, H) log r t gọi hàm đếm bội cắt cụt M đường cong f kết hợp với siêu M phẳng H , nf (0, H) = lim nf (r, H), nM f (0, H) = lim nf (r, H) r→0 r→0 Số M kí hiệu NfM (r, H) gọi số bội cắt cụt Năm 1933, H Cartan ([4]) chứng minh hai kết sau: Định lý Cho đường cong chỉnh hình f : C → Pn (C) siêu phẳng H cho f (C) ̸⊂ H , ta có Tf (r) = Nf (r, H) + mf (r, H) + O(1) Định lý Cho đường cong chỉnh hình khơng suy biến tuyến tính f : C → Pn (C) q siêu phẳng H1 , , Hq vị trí tổng quát Pn (C) Khi bất đẳng thức q Nfn (r, Hj ) + o(Tf (r)) (q − n − 1)Tf (r) ⩽ j=1 với r > đủ lớn nằm ngồi tập có độ đo Lebesgue hữu hạn Định lý gọi Định lý thứ nhất, Định lý gọi Định lý thứ hai với bội cắt cụt cho đường cong chỉnh hình từ C vào Pn (C) khơng suy biến tuyến tính kết hợp với siêu phẳng vị trí tổng qt Cơng trình H Cartan đánh giá quan trọng, mở hướng nghiên cứu việc phát triển lý thuyết phân bố giá trị - nghiên cứu phân bố giá trị ánh xạ phân hình, chỉnh hình - mà ngày ta biết đến với tên gọi gắn với tên hai nhà toán học xuất sắc “Lý thuyết Nevanlinna-Cartan” Các kết nghiên cứu theo hướng thời gian gần tập trung vào hai vấn đề: Xây dựng dạng định lý (định lý thứ thứ hai) cho đường cong chỉnh hình từ C miền C vào Pn (C) đa tạp đại số xạ ảnh Pn (C) với mục tiêu siêu phẳng, siêu mặt cố định di động, cách thiết lập quan hệ hàm đặc trưng Nevanlinna-Cartan với hàm xấp xỉ, hàm đếm hay hàm đếm bội cắt cụt Từ suy kết quan hệ số khuyết Nghiên cứu ứng dụng lý thuyết Nevanlinna-Cartan lĩnh vực khác toán học, chẳng hạn, nghiên cứu suy biến đường cong đại số, vấn đề cho hàm phân hình đường cong chỉnh hình, hệ phương trình vi phân, đạo hàm riêng phức, Hướng nghiên cứu thứ thu hút quan tâm nhiều nhà toán học thu nhiều kết sâu sắc, chẳng hạn, G Dethloff, E I Nochka, M Ru, P Vojta, H H Khoai, D D Thai, T V Tan, T T H An, S D Quang Năm 1983, Nochka ([33]) mở rộng kết H Cartan cho trường hợp họ siêu phẳng H1 , , Hq vị trí N −tổng quát Pn (C) Năm 2004, M Ru ([41]) đưa dạng Định lý thứ hai cho đường cong chỉnh hình khơng suy biến đại số kết hợp với siêu mặt cố định Trong ([42]), Ông mở rộng kết cho đường cong chỉnh hình vào đa tạp đại số xạ ảnh V Năm 2007, T T H An H T Phuong ([1]) năm 2008, Q M Yan Z H Chen ([51]) chứng minh quan hệ hàm đặc trưng Tf (r) đường cong chỉnh hình f : C → Pn (C) với hàm đếm bội cắt cụt NfM (r, Dj ) trường hợp họ siêu mặt cố định {D1 , , Dq } vị trí tổng quát Ngoài ra, năm gần G Dethloff, T V Tan ([13]), D D Thai, S D Quang ([48]), L Shi ([45]), P C Hu, N V Thin ([23]) cơng bố số cơng trình theo hướng cho đường cong chỉnh hình nhiều biến phức vào Pn (C) hay đa tạp đại số xạ ảnh Pn (C) với mục tiêu siêu phẳng hay siêu mặt, cố định hay di động, vị trí tổng quát hay N − tổng quát Một ứng dụng quan trọng lý thuyết Nevanlinna-Cartan, lý thuyết Nevanlinna nghiên cứu xác định ánh xạ chỉnh hàm phân hình thơng qua ảnh ngược hay nhiều tập hữu hạn phần tử Vấn đề thu hút quan tâm nhiều nhà toán học: A Boutabaa, W Cherry, G Dethloff, H Fujimoto, M Ru, L Smiley, C C Yang, H H Khoai, D D Thai, T V Tan, S D Quang, H T Phuong nhiều tác giả khác Cho ánh xạ chỉnh hình f : U → Pn (C) biểu diễn tối giản (f0 , , fn ) f , U tồn mặt phẳng phức C miền C Với họ siêu mặt cố định D = {D1 , , Dq }, với Dj ∈ D, ta kí hiệu E f (Dj ) = {z ∈ U | Qj ◦ f (z) = không kể bội}; Ef (Dj ) = {(z, m) ∈ U × N | Qj ◦ f (z) = ordQ◦f (z) = m} Và đặt E f (D) = E f (Dj ) Ef (D) = Dj ∈D Ef (Dj ) Dj ∈D Kí hiệu F họ ánh xạ chỉnh hình khác từ U vào Pn (C) Họ siêu mặt D gọi tập xác định khơng kể bội, kí hiệu URSIM (hoặc tập xác định kể bội, kí hiệu URSCM) cho họ ánh xạ F với cặp ánh xạ f, g ∈ F , điều kiện E f (D) = E g (D) (hoặc 75 k k tj +2, theo Mệnh đề 3.2.1, nj ⩾ Nếu n ⩾ k ⩾ 2, nj ⩾ tj , n+ j=1 j=1 phương trình (3.23) có vô số không điểm b) g đa thức Do k, n, nj , tj thỏa mãn giả thiết Định lý 3.2.3 kéo theo g n (ξ)(g n1 (ξ))(t1 ) (g nk (ξ))(tk ) − b đa thức bậc 1, suy phương trình (3.23) có nghiệm Như vậy, trường hợp Phương trình (3.23) ln có nghiệm, tức tồn ξ0 ∈ C thỏa mãn g n (ξ0 )(g n1 )(t1 ) (ξ0 ) (g nk )(tk ) (ξ0 ) = b (3.24) Ta thấy g(ξ0 ) ̸= 0, ∞, nên gv (ξ) hội tụ đến g(ξ) lân cận ξ0 Từ (3.22) định lý Hurwitz, tồn dãy ξv → ξ0 thỏa mãn fvn (zv + ρv ξv )(fvn1 )(t1 ) (zv + ρv ξv ) (fvnk )(tk ) (zv + ρv ξv ) = b với số v đủ lớn Hiển nhiên ζv = zv + ρv ξv ∈ Efv Điều kéo theo |gv (ξv )| = |fv (ζv )| M ⩾ α ραv ρv (3.25) Do ξ0 cực điểm g , nên g(ξ) bị chặn lân cận ξ0 Tuy nhiên, cho v → ∞ (3.25), ta có mâu thuẫn với việc hàm g(ξ) bị chặn lân cận ξ0 Trường hợp a = Với f ∈ F, tồn z0 ∈ D cho f (z0 ) = Giả sử z0 không điểm bội m ⩾ f , z0 khơng điểm bội k m n+ k nj j=1 − tj ⩾ j=1 f n (f n1 )(t1 ) (f nk )(tk ) , f n (z0 )(f n1 )(t1 ) (z0 ) (f nk )(tk ) (z0 ) = 0, mẫu thuẫn với giả thiết b ̸= Như với f ∈ F ta ln có f (z) ̸= với z ∈ D Hơn nữa, f n (z0 )(f n1 )(t1 ) (z0 ) (f nk )(tk ) (z0 ) = b, 76 với z0 ∈ D từ giả thiết ta suy f (z0 )n+n1 +···+nk = 0, f (z0 ) = 0, kéo theo b = Đó mâu thuẫn Như f ̸= f n (f n1 )(t1 ) (f nk )(tk ) ̸= b với f ∈ F Theo định lý Hurwitz, ta có g ̸= 0, g n (g n1 )(t1 ) (g nk )(tk ) ̸= b g n (g n1 )(t1 ) (g nk )(tk ) ≡ b Nếu g n (g n1 )(t1 ) (g nk )(tk ) ≡ b Theo Mệnh đề 3.1.19, bậc g cao Do ta có g(z) = eP (z) theo Mệnh đề 3.1.4, P đa thức với bậc cao Như g(ξ) = ecξ+d , c số khác không Điều kéo theo k k g n (ξ)(g n1 (ξ))(t1 ) (g nk (ξ))(tk ) = (n1 c)t1 (nk c)tk e nj )cξ+(n+ (n+ j=1 j=1 nj )d ≡ b Đây điều mâu thuẫn Như g n (g n1 )(t1 ) (g nk )(tk ) ̸= b (3.26) Ta xét hai trường hợp sau: Trường hợp 2.1 g hàm phân hình Từ điều kiện k nj ⩾ tj , n + k nj ⩾ j=1 tj + 3, j=1 ta thấy g n (g n1 )(t1 ) (g nk )(tk ) − b có khơng điểm theo Mệnh đề 3.2.1 Mệnh đề 3.2.2 Điều mâu thuẫn với (3.26) Trường hợp 2.2 Nếu g hàm nguyên siêu việt (chú ý g ̸= 0) Thứ nhất, n = 0, k = 1, n1 = t1 + (xem [20]) n1 ⩾ t1 + (theo Mệnh đề 3.2.1 Mệnh đề 3.2.2), (g n1 )t1 − b có khơng điểm Thứ hai, k n ⩾ or k ⩾ 2, nj ⩾ tj , n + k nj ⩾ j=1 tj + 2, theo Mệnh đề 3.2.1, ta thấy j=1 g n (g n1 )(t1 ) (g nk )(tk ) − b có khơng điểm Điều mâu thuẫn với (3.26) Nếu g đa thức, từ k, n, nj , tj thỏa mãn giả thiết Định lý 3.2.3, ta có g n (g n1 )(t1 ) (g nk )(tk ) − b có khơng điểm Điều mâu thuẫn với (3.26) Như Định lý 3.2.3 chứng minh 77 3.2.2 Định lý Như ó núi phn m u, nm 1996 Bră uck ([2]) đặt giả thuyết: cho f hàm nguyên thỏa mãn σ2 (f ) không số nguyên hay ∞ Nếu f f ′ chung giá trị hữu hạn a ∈ C kể bội f′ − a = c, f −a (3.27) c số Gi thuyt ny ó c Bră uck chng minh nm 1996 cho trường hợp a = (xem [2]), sau hút quan tâm nhiều tác giả có nhiều cơng trình cơng bố Với hàm phân hình f , kí hiệu M [f ] := f n (f n1 )(t1 ) (f nk )(tk ) F = f n+n1 +···+nk , n, n1 , , nk , t1 , , tk số nguyên dương Định lý sau kết vấn đề cho hàm phân hình liờn quan n gi thuyt Bră uck thay th f F f ′ M [f ] Kỹ thuật chứng minh định lý dựa vào tiêu chuẩn chuẩn tắc họ hàm phân hình chứng minh Mục 3.2.1 Định lý 3.2.4 ([47]) Cho n ∈ N k, ni , ti ∈ N∗ , i = 1, , k thỏa mãn điều kiện sau: 1) k = 1, n = 0, n1 ⩾ t1 + 1; k 2) n ⩾ k ⩾ 2, nj ⩾ tj , n + k nj ⩾ j=1 tj + j=1 Cho a b hai giá trị hữu hạn khác f hàm nguyên khác Nếu F = a ⇌ M [f ] = b M [f ] − b = c, F −a c số Đặc biệt, a = b f = c1 etz , c1 t số khác t thỏa mãn điều kiện (tn1 )t1 (tnk )tk = 78 Chứng minh Đặt F = {gω (z) = f (z + ω), ω ∈ C}, z ∈ D = ∆, ∆ đĩa đơn vị Sử dụng Định lý 3.2.3, ta có họ hàm F chuẩn tắc D Theo định lý Marty, tồn số M > thỏa mãn f # (ω) = |gω′ (0)| |f ′ (ω)| = ⩽ M, + |f (ω)|2 + |gω (0)|2 với ω ∈ C Theo Mệnh đề 3.1.19, bậc f cao Từ điều kiện f n+n1 +···+nk = a ⇌ f n (f n1 )(t1 ) (f nk )(tk ) = b, ta suy f hàm nguyên siêu việt f n (f n1 )(t1 ) (f nk )(tk ) − b = eα(z) n+n +···+n k f −a (3.28) Từ (3.28), ta có T (r, eα(z) ) = O(T (r, f )) Do σ(eα ) ⩽ σ(f ) ⩽ Điều kéo theo α(z) đa thức deg(α) ⩽ Do f hàm nguyên siêu việt nên M (r, f ) → ∞ r → ∞ Đặt M (rn , f ) = |f (zn )|, zn = rn eiθn , θn ∈ [0, 2π), |zn | = rn Ta thấy 1 = lim = rn →∞ M (rn , f ) rn →∞ |f (z n )| lim (3.29) Theo Mệnh đề 3.1.3, tồn tập hợp F ⊂ R+ có độ đo logarit hữu hạn thỏa mãn f (m) (z) = f (z) ν(r, f ) z m (1 + o(1)) (3.30) với m ⩾ r ̸∈ F Tính tốn đơn giản ta có (f n )(k) = cm0 ,m1 , ,mk f m0 (f ′ )m1 (f (k) )mk , (3.31) 79 cm0 ,m1 , ,mk số m0 , m1 , , mk số nguyên không k âm thỏa mãn m0 + m1 + · · · + mk = n, jmj = k j=1 Từ (3.31), ta có (f n )(k) = fn (f (k) )mk f m0 (f ′ )m1 cm0 ,m1 , ,mk m f f m1 f mk Điều kéo theo (f (k) )mk (zj ) (f ′ )m1 (zj ) cm0 ,m1 , ,mk m (3.32) f (zj ) f mk (zj ) m +···+mk ν(rj , f ) cm0 ,m1 , ,mk (1 + o(1)) zj (f n )(k) (zj ) = f n (zj ) = Từ (3.28), ta có (f n1 )(t1 ) (f nk )(tk ) f n1 f nk 1− − b f n+n1 +···+nk a f = eα(z) (3.33) n+n1 +···+nk Áp dụng (3.32) vào (3.33), sử dụng (3.30) Mệnh đề 3.1.2, ta có |α(zn )| = | log eα(zn ) | = log (f n1 )(t1 ) (zn ) (f nk )(tk ) (zn ) b − f n+n1 +···+n k (zn ) f n1 (zn ) f nk (zn ) a − f n+n1 +···+nk (zn ) ⩽ O(log ν(rn , f )) + O(log rn ) + O(1) = O(log rn ), (3.34) rn → ∞ Từ (3.34), ta thu α(z) số α(z) đa thức Theo đẳng thức (3.28), ta có f n (f n1 )(t1 ) (f nk )(tk ) − b = c f n+n1 +···+nk − a Nếu a = b, ta tồn ξ0 thỏa mãn f n (ξ0 )(f n1 )(t1 ) (ξ0 ) (f nk )(tk ) (ξ0 ) = b Vì f hàm nguyên siêu việt, theo [20] n = 0, k = 1, n1 = t1 + theo Mệnh đề 3.2.1 Mệnh đề 3.2.2 n1 ⩾ t1 + 2, ta suy 80 (f n1 )t1 − b có vơ số không điểm Nếu n ⩾ k ⩾ 2, từ điều kiện k k nj ⩾ n+ j=1 tj + Mệnh đề 3.2.1, ta có f n (f n1 )(t1 ) (f nk )(tk ) = b có j=1 vơ số khơng điểm Như vậy, trường hợp f n (f n1 )(t1 ) (f nk )(tk ) = b có nghiệm Ta gọi ξ0 khơng điểm bội m ⩾ f n (f n1 )(t1 ) (f nk )(tk ) − b, theo giả thiết, ta suy ξ0 không điểm f n+n1 +···+nk − b với bội m Điều kéo theo f n (ξ0 )(f n1 )(t1 ) (ξ0 ) (f nk )(tk ) (ξ0 ) − b 1= = c f n+n1 +···+nk (ξ0 ) − b Do f n (f n1 )(t1 ) (f nk )(tk ) = f n+n1 +···+nk , kéo theo f khơng điểm bậc f nhiều Điều kéo theo f = c1 etz , c1 t số t thỏa mãn (tn1 )t1 (tnk )tk = Định lý chứng minh Trường hợp đặc biệt Định lý 3.2.4, ta chọn n = 0, k = 1, t1 = Định lý 3.2.4, ta có: Hệ 3.2.5 Cho f hàm nguyên khác hằng, n ⩾ số nguyên F = f n Nếu F F ′ chung giá trị CM F ≡ F ′ f có dạng f = cez/n , c số khác Chú ý Như nói phần mở đầu, năm 2008, L Z Yang J L Zhang ([52]) chứng minh kết tương tự Hệ 3.2.5 với điều kiện n ⩾ Như Định lý 3.2.4 cải tiến thực kết Yang Zhang 81 Kết luận Chương Trong Chương 3, việc giới thiệu số kiến thức lý thuyết phân bố giá trị Nevanlinna tính chuẩn tắc họ hàm phân hình, luận án thu kết sau : - Phát biểu chứng minh số kết bổ trợ nghiệm f n (f n1 )(t1 ) (f nk )(tk ) = a trường hợp f hàm phân hình siêu việt hay hữu tỷ - Phát biểu chứng minh tiêu chuẩn chuẩn tắc cho họ hàm phân hình (Định lý 3.2.3) Điều kiện đại số định lý liên quan đến lũy thừa hàm phân hình có số khơng điểm với đơn thức vi phân hàm phân hình - Phát biểu chứng minh Định lý 3.2.4 vấn đề cho hàm phân hình liên quan n gi thuyt Bră uck, ú chỳng tụi thay f F = f n+n1 +···+nk f ′ đa thức vi phân f dạng M [f ] := f n (f n1 )(t1 ) (f nk )(tk ) 82 Kết luận chung đề nghị Luận án nghiên cứu số dạng định lý lý thuyết Nevanlinna - Cartan cho đường cong chỉnh hỉnh hình vành khuyên trường hợp siêu mặt vấn đề cho đường cong chỉnh hình hình vành khuyên hàm nguyên liên quan đến gi thuyt Bră uck Cỏc kt qu chớnh ca lun án bao gồm: Phát biểu chứng minh hai dạng định lý bản: Định lý thứ Định lý thứ hai cho đường cong chỉnh hình hình vành khuyên trường hợp mục tiêu siêu mặt Đưa hai định lý cho đường cong chỉnh hình hình vành khuyên từ ∆ vào Pn (C) trường hợp mục tiêu siêu mặt vị trí tổng quát phép nhúng Veronese Đưa tiêu chuẩn chuẩn tắc cho họ hàm phân hình mặt phẳng phức C chứng minh kết vấn đề cho hm phõn hỡnh liờn quan n gi thuyt Bră uck Chúng đề xuất số hướng nghiên cứu cho kết luận án sau: Nghiên cứu số Định lý thứ hai cho đường cong chỉnh hình hình vành khuyên vào đa tạp đại số Pn (C) trường hợp mục tiêu siêu phẳng hay siêu mặt Nghiên cứu vấn đề cho đường cong chỉnh hình hình vành khuyên trường hợp siêu mặt vị trí tổng quát Nghiên cứu vấn đề xác định cho hàm hay đường cong chỉnh hình với mục tiêu tập hợp điểm hay siêu phẳng mà chứng minh dựa vào dạng định lý thứ hai với hàm đếm 83 Danh mục Cơng trình tác giả công bố liên quan đến luận án 1) ([47]) Thin N V., Phuong H T., Vilaisavanh L (2018), A uniqueness problem for entire functions related to Bră ucks conjecture, Mathematica Slovaca, Vol 68, No 4, pp 823-836 2) ([39]) Phuong H T., Vilaisavanh L (2021), Some uniqueness theorems for holomorphic curves on annulus sharing hypersurfaces, Complex Variables and Elliptic Equations , Vol 66, Issue 1, pp 22-34 3) ([40]) Phuong H T., Vilaisavanh L (2022), On fundamental theorems for holomorphic curves on an annulus intersecting hypersurfaces, Bulletin of the Iranian Mathematical Society, Vol 48, pp 151-163 84 Tài liệu tham khảo [1] An T T., Phuong H T (2009), An explicit estimate on multiplicity truncation in the second main theorem for holomorphic curves encountering hypersurfaces in general position in projective space, Houston Journal of Mathematics, Vol 35, No.3, pp 774-786 [2] Bră uck, R (1996), On entire functions which share one value CM with their first derivatives, Results Math 30, pp 21-24 [3] Banerjee A., Chakraborty B (2016), On the generalizations of Bră uck conjecture, Commum Korean Math, Soc.31, no 2, 311-327 [4] Cartan H (1933), Sur les zéros des combinaisons linéaires de p fonctions holomorphes données, Mathematica (Cluj) 7, pp 80-103 [5] Chuang C T (1987), On differential polynomials, Analysis of One Complex Variable, World Sci Publishing, Singapore, pp 12-32 [6] Chakraborty B., (2018), Some uniqueness results related to the Bră uck conjecture, Analysis, Doi: 10.1515/anly-2017-0060 [7] Cao T B., Deng Z S (2012), On the uniqueness of meromorphic functions that share three or two finite sets on annuli, Proc Indian Acad Sci (Math Sci.), Vol 122, No 2, pp 203-220 [8] Cao T B., Yi H X., Xu H Y (2009), On the multiple values and uniqueness of meromorphic functions on annuli, Computers and Mathematics with Applications, Vol 58, Issue 7, pp 1457-1465 85 [9] Clunie J., Hayman W K (1965), The spherical derivative of integral and meromorphic functions, Commentarii Mathematici Helvetici 40, pp 117-148 [10] Chen Z X., Shon K H (2004), On conjecture of R Bră uck concerning the entire function sharing one value CM with its derivative, Taiwanese journal of Mathematichs, Vol 8, No 2, pp 235-244 [11] Chen Z H., Yan Q M (2010), A note on uniqueness problem for meromorphic mappings with 2N + hyperplanes, Science China Mathematics, Vol 53, No 10, pp 2657-2663 [12] Corvaja P., Zannier U M (2004), On a general Thue’s equation, American Journal of Mathematics, Vol 126, No 5, pp 1033-1055 [13] Dethloff G., Tan T V (2006), An extension of uniqueness theorems for meromorphic mappings, Vietnam Journal of Mathematics 34, No 1, pp 71-94 [14] Dulock M., Ru M (2008), A uniqueness theorem for holomorphic curves sharing hypersurfaces, Complex Variables and Elliptic Equations, Issue 8, pp 797-802 [15] Fujimoto H (1975), The uniqueness problem of meromorphic maps in to complex projective space, Nagoya Math J., Vol 58, pp 1-23 [16] Fujimoto H (1998), Uniqueness problem with truncated multiplicities in value distribution theory, Nagoya Math J., Vol 152, pp 131-152 [17] Giang H H (2021), Uniqueness theorem for holomorphic mappings on annuli sharing few hyperplanes, Ukrainian Mathematical Journal, Vol 73, Issue 2, pp 289-302 86 [18] Gundersen G G., Yang L Z (1998), Entire functions that share one value with one or two of their derivatives, Journal of Mathematical Analysis and Applications, Vol 223, Issue 1, pp 88-95 [19] Hayman W K (1964), Meromorphic Functions, Clarendon Press, Oxford ă [20] Hennekemper W (1981), Uber die Werteverteilung von (f k+1 )k Math Z 177, pp 375-380 [21] Hinchliffe J D (2002), On a result of Chuang related to Hayman’s Alternative, Comput Method Funct Theory, Issue 2, pp 293-297 [22] Hu P C., Li P., Yang C C (2003), Unicity of meromorphic mappings, Kluwer Academic Punlishers, Dordrecht [23] Hu P C., Thin N V (2021), Difference analogue of second main theorems for meromorphic mapping into algebraic variety, Analysis Mathematica, Vol 47, pp 811–842 [24] Khrystiyanyn A Y., Kondratyuk A A (2005), On the Nevanlinna theory for meromorphic functions on annuli I, Matematychni Studii, Vol 23, No 1, pp 19-30 [25] Khrystiyanyn A Y., Kondratyuk A A (2005), On the Nevanlinna theory for meromorphic functions on annuli II, Matematychni Studii, Vol 24, No 2, pp 57-68 [26] Korhonen R (2004), Nevanlinna Theory in an Annulus, in Book: Value Distribution Theory and Related Topics, pp 167-179 [27] Lang S (1987), Introduction to Complex Hyperbolic spaces, SpringerVerlag New York Inc 87 [28] Lahiri I., Dewan S (2003), Value distribution of the product of a meromorphic function and its derivative, Kodai Mathematical Journal, Vol 26, Issue 1, pp 95-100 [29] Laine I (1993), Nevanlinna Theory and Complex Differential Equations, in Book: De Gruyter Studies in Mathematics, Walter de Gruyter, Berlin, New York [30] Li X M., Cao C C (2008), Entire functions sharing one polynomial with their derivatives, Proc Indian Acad Sci (Math Sci.), Vol 118, No 1, pp 13–26 [31] Lund M E., Ye Z (2009), Logarithmic derivatives in annuli, Journal of Mathematical Analysis and Applications, Vol 356, pp 441-452 [32] Lund M E., Ye Z (2010), Nevanlinna theory of meromorphic functions on annuli, Science China Mathematics, Vol 53, pp 547-554 [33] Nochka I E (1983), On the theory of meromorphic functions, Sov Math Dokl., Vol 27, pp 377-381 [34] Phuong H T (2009), On unique range sets for holomorphic maps sharing hypersurfaces without counting multiplicity, Acta Mathematica Vietnamica, Vol 34, No 3, pp 351-360 [35] Phuong H T (2011), On Uniqueness theorems for holomorphic curves sharing hypersurfaces without counting multiplicity, Ukrainian Mathematical Journal, Vol 63, No 4, pp 556-565 [36] Phuong H T (2013), Uniqueness theorems for holomorphic curves sharing moving hypersurfaces, Complex Variables and Elliptic Equations, Vol 58, Issue 11, pp 1481-1491 88 [37] Phuong H T., Minh T H (2013), A uniqueness theorem for holomorphic curves on annullus sharing 2n+3 hyperplanes, VietNam Journal of Mathematics, Vol 41, No 2, pp 167-179 [38] Phuong H T., Thin N V (2015), On fundamental theorems for holomorphic curves on the annuli, Ukrainian Mathematical Journal, Vol 67, Issue 7, pp 1111-1125 [39] Phuong H T., Vilaisavanh L (2021), Some uniqueness theorems for holomorphic curves on annulus sharing hypersurfaces, Complex Variables and Elliptic Equations , Vol 66, Issue 1, pp 22-34 [40] Phuong H T., Vilaisavanh L (2021), On fundamental theorems for holomorphic curves on an annulus intersecting hypersurfaces, Bulletin of the Iranian Mathematical Society, Vol 48, pp 151-163 [41] Ru M (2004), A defect relation for holomorphic curves intersecting hypersurfaces, American Journal of Mathematics, Vol 126, No 1, pp 215-226 [42] Ru M (2009), Holomorphic curves into algebraic varieties, Annals of Mathematics, Vol 169, pp 255–267 [43] Ru M., Wang J T-Y (2004), Truncated second main theorem with moving targets, Trans Amer Math Soc., Vol 356, No 2, pp 557-571 [44] Schiff J (1993), Normal Families, Springer-Verlag [45] Shi L (2020), Degenerated second main theorem for holomorphic curves into algebraic varieties, International Journal of Mathematics, Vol 31, No 06, 2050042 [46] Smiley L (1983), Geometric conditions for unicity of holomorphic curves, Contemp Math Soc., Vol 25, pp 149-154 89 [47] Thin N V., Phuong H T., Vilaisavanh L (2018), A uniqueness problem for entire functions related to Bră ucks conjecture, Mathematica Slovaca, Vol 68, No 4, pp 823-836 [48] Thai D D., Quang S D (2008), Second main theorem with truncated counting function in several complex variables for moving targets, Forum Mathematicum , Vol 20, pp 163-179 [49] Tan Y., Zang Q (2015), The fundamental theorems of algebroid functions on annuli, Turkish Journal of Mathematics, Vol 39, pp 293-312 [50] B.L van der Waerden (1991), Algebra Spinger Verlag, Vol II [51] Yan Q M., Chen Z H (2008), Weak Cartan-type second main theorem for holomorphic curves, Acta Mathematica Sinica, English Series, Vol 24, No.3, pp 455-462 [52] Yang L Z., Zhang J L (2008), Non-existence of meromorphic solutions of a Fermat type functional equation, Aequationes mathematicae, Vol 76, pp 140-150 [53] Zalcman L (1998), Normal families: New perspectives, Bulletin (New Series) of the American Mathematical Society, Vol 35, pp 215-230 [54] Zang Q (2005), Meromorphic function that shares one small function with its derivative, Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, Vol 6, Issue 4, Article 116 [55] Zang T D., Lu W R (2008), Notes on a meromorphic function sharing one small function with its derivative, Complex Variables and Elliptic Equations, Vol 53, Issue 9, pp 857-867 ... đề tài "Về lý thuyết Nevanlinna cho hình vành khuyên vấn đề nhất" tác giả luận án nhằm tiếp tục phát triển thêm điều lý thú Lý thuyết Nevanlinna - Cartan cho đường cong chỉnh hình hình vành khuyên. .. niệm lý thuyết Nevanlinna- Cartan cho đường cong chỉnh hình hình vành khun Ngồi chúng tơi phát biểu chứng minh dạng định lý thứ lý thuyết Nevanlinna- Cartan cho đường cong chỉnh hình hình vành khuyên. .. đếm hàm đặc trưng gọi hàm Nevanlinna hàm phân hình hình vành khuyên Mệnh đề sau dạng định lý Jensen cho hàm phân hình hình vành khuyên Mệnh đề 1.1.8 ([24]) Cho f hàm phân hình khác ∆ Khi với r ∈