Tham khảo Đề thi KSCL môn Toán lớp 9 năm 2022-2023 có đáp án - Phòng GD&ĐT Long Biên dành cho các bạn học sinh tham khảo, để hệ thống kiến thức học tập cũng như trau dồi kinh nghiệm giải đề thi. Hi vọng sẽ giúp các bạn đạt kết quả tốt trong kì thi sắp tới.
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN LONG BIÊN ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ KHẢO SÁT MƠN TỐN NĂM HỌC 2022 – 2023 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài I: (2,0 điểm) x −2 x +1 x−2 Cho hai biểu= thức P Q = với x > 0, x ≠ + x+2 x x + x −1 x+2 x 1) Tính giá trị biểu thức Q x = 16 x +1 x 3) Tìm tất giá trị x để P ≤ Q Bài II: (2,0 điểm) 1) Giải toán sau cách lập phương trình hệ phương trình: Phát động thi đua chào mừng 20 năm ngày thành lập quận Long Biên, hai phường Ngọc Thụy Phúc Đồng tham gia lắp đặt camera để đảm bảo an ninh đô thị Trong tháng thứ nhất, hai phường lắp 180 camera Sang tháng thứ hai, phường Ngọc Thụy vượt mức 10% , phường Phúc Đồng vượt mức 12% so với tháng thứ nên hai phường lắp 200 Hỏi tháng thứ nhất, phường lắp camera? 2) Một hộp sữa đặc có dạng hình trụ với đường kính đáy cm, chiều cao cm Tính thể tích hộp sữa (Lấy π ≈ 3,14 ) Bài III: (2,5 điểm) 3 y−2 = + 1) Giải hệ phương trình: x −3 y −2 = −2 x (3 2m) x − 2) Cho parabol ( P ) : y = − x đường thẳng (d ) : y =− a) Chứng minh ( P ) cắt (d ) hai điểm phân biệt với m b) Gọi x1 , x2 hoành độ hai giao điểm ( P ) (d ) Tìm giá trị lớn biểu 2) Chứng minh P = thức K =(1 − x12 )(1 − x22 ) − x1 − x2 Bài IV: (3,0 điểm) Từ điểm M nằm đường tròn (O) , kẻ hai tiếp tuyến MA , MB với (O) ( A , B hai tiếp điểm) Vẽ cát tuyến MCD với (O) cho MC < MD tia MD nằm hai tia MA MO Gọi E trung điểm CD 1) Chứng minh tứ giác MEOB nội tiếp = OCE 2) Kẻ AB cắt MD I , cắt MO H Chứng minh EA.EB = EI EM MHC 3) Từ C kẻ đường thẳng vng góc với OA , cắt AE K Chứng minh IK // AC Bài V: (0,5 điểm) c +1 + ≤ Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị nhỏ a+2 b+4 c+3 biểu thức Q =(a + 1)(b + 1)(c + 1) Hết PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN LONG BIÊN Bài Ý I HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP Năm học 2022 – 2023 Mơn: Tốn Nội dung trình bày Tính giá trị biểu thức Q x = 16 Điểm 0,5đ Thay x = 16 (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức Q ta được: 16 − 16 + 16 7.4 − 26 13 = Q = = 16 + 2.4 24 12 0,25đ Q= 13 x = 16 12 Chứng minh P = x + x x +1 x−2 = P + x + x −1 x+2 x 0,25đ Vậy Q = x−2 = P x x +2 x+ x −2 P= x x +2 ( P= ) ( ( x +2 x ( )( ) + x ( 1đ x +1 x + x −1 x ) 0,25đ x +1 x −1 ) x −1 x +2 ) 0,25đ x +1 x −1 0,25đ x +1 (điều phải chứng minh) x Tìm tất giá trị x để P ≤ Q Vậy P = Để P ≤ Q ⇔ Mà ⇒ ( x ( ( 0,25đ 0,5đ x +1 x − ≤ x x+2 x x ) )( x +1 ( x +2 x +2 ) )− x −2 x ( x +2 ) ≤0 ⇔ ( x x −2 ( ) x +2 ) ≤0 x + > (với x > 0, x ≠ ) x −2 ) ≤0 ⇔ x − = ⇔ x = (thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy x = giá trị cần tìm 0,25đ 0,25đ II Phát động thi đua chào mừng 20 năm ngày thành lập quận Long Biên, hai phường Ngọc Thụy Phúc Đồng tham gia lắp đặt camera để đảm bảo an ninh đô thị Trong tháng thứ nhất, hai phường lắp 180 camera 1,5đ Sang tháng thứ hai, phường Ngọc Thụy vượt mức 10% , phường Phúc Đồng vượt mức 12% so với tháng thứ nên hai phường lắp 200 Hỏi tháng thứ nhất, phường lắp camera? Gọi số camera phường Ngọc Thụy phường Phúc Đồng lắp tháng thứ 0,25đ x (chiếc) y (chiếc) (ĐK: x, y ∈ N * ; x < 900; y < 900 ) Do tháng thứ nhất, hai phường lắp 180 camera nên ta có 0,25đ phương trình: x + y = (1) 180 Sang tháng thứ hai, phường Ngọc Thụy vượt mức 10% , phường Phúc Đồng vượt mức 12% so với tháng thứ nên: Số camera phường Ngọc Thụy lắp tháng thứ hai là: x + 10% x = 1,1x (chiếc) Số camera phường Phúc Đồng lắp tháng thứ hai 0,25đ 1,12 y (chiếc) y + 12% y = Do tháng thứ hai hai phường lắp 200 nên ta có phương trình: 0,25đ (2) 1,1x + 1,12 y = 200 180 x + y = Từ (1) (2), ta có hệ phương trình: 0,25đ 200 1,1x + 1,12 y = III x = 80 Giải hệ ta được: (thỏa mãn điều kiện) y = 100 Vậy tháng thứ nhất, phường Ngọc Thụy lắp 80 camera, phường 0,25đ Phúc Đồng lắp 100 camera Một hộp sữa đặc có dạng hình trụ với đường kính đáy cm, chiều cao 0,5đ cm Tính thể tích hộp sữa (Lấy π ≈ 3,14 ) Bán kính đáy hộp sữa là: R= = (cm) πR h ≈ 3,14.32.9 = 254,34 (cm3) Thể tích hộp sữa là: V = 0,25đ Vậy thể tích hộp sữa khoảng 254,34 cm 0,25đ 3 y−2 = + x Giải hệ phương trình: 1đ − y − =−2 x ĐKXĐ: x ≠ 0; y ≥ 0,25đ 1 =a Đặt x , y−2 = b b + 3b 24 = 18a= a 3a + = ⇔ ⇔ ta có hệ phương trình: − = − = a b b 4a − 3b = −2 0,25đ 1 x = =1 (thỏa mãn) ⇔ x ⇔ y=6 y−2 = 0,25đ Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = (1;6) 0,25đ a) Chứng minh ( P ) cắt (d ) hai điểm phân biệt Xét phương trình hồnh độ giao điểm ( P ) (d ) : 0,5đ − x = ( − 2m ) x − ⇔ x + ( − 2m ) x − = (I) Ta có: ∆= b − 4ac= ( 2m − 3) + 16 > với m (do ( 2m − 3) ≥ với m ) 0,25đ ⇒ Phương trình (I) ln có nghiệm phân biệt với m Vậy ( P ) cắt (d ) hai điểm phân biệt với m b) Gọi x1 , x2 hoành độ hai giao điểm ( P ) (d ) ( Tìm giá trị lớn biểu thức K = − x 0,25đ )( − x ) − x 2 1đ − x2 Xét PT hoành độ giao điểm: x + ( − 2m ) x − = có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 x1 + x2 = 2m − Theo Viét: x1 x2 = −4 (1) ( 2) 0,25đ Theo ra, ta có: K =(1 − x12 )(1 − x22 ) − x1 − x2 K= − ( x12 + x22 ) + ( x1 x2 ) − 2( x1 + x2 ) ( x1 + x2 ) + x1 x2 + ( x1 x2 ) − 2( x1 + x2 ) K =− (3) 0,25đ Thay (1), (2) vào (3), ta có: K = − (2m − 3) + 2.(−4) + (−4) − 2.(2m − 3) K= −4m + 8m + K= −(2m − 2) + 10 ≤ 10 (2m − 2) ≥ với m Vậy giá trị lớn K 10 ⇔ (2m − 2) =0 ⇔ m =1 0,25đ 0,25đ IV 0,25đ Chứng minh tứ giác MEOB nội tiếp Xét (O) có: MA, MB hai tiếp tuyến = ⇒ MA ⊥ OA, MB ⊥ OB (tính chất) ⇒ MBO 900 0,75đ = 900 Xét (O) có: E trung điểm dây CD ⇒ OE ⊥ CD (định lí) ⇒ MEO + MBO = 900 + 900 = 1800 ⇒ Tứ giác MEOB nội tiếp Ta có: MEO 0,25đ MHC = OCE Chứng minh EA EB = EI EM = MEO = 900 ⇒ Tứ giác MAEO nội tiếp Ta có: MAO Mà tứ giác MEOB nội tiếp (chứng minh trên) ⇒ Năm điểm M , A, E , O, B thuộc đường trịn đường kính OM MB (tính chất) Xét (O) có: MA, MB hai tiếp tuyến cắt M ⇒ MA = = MB Xét đường trịn đường kính OM có: MA = MB ⇒ MA (hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau) ⇒ AEM = BEM = EBI (hai góc nội tiếp chắn cung) EMA Suy ∆EAM ∽ ∆EIB (g.g) EA EM ⇒ = ⇒ EA.EB = EI EM (điều phải chứng minh) EI EB Ta có AB ⊥ OM H (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Xét ∆OAM vuông A , đường cao AH có: MH MO = MA2 (hệ thức lượng) (3) = MDA = AMC chung Xét ∆MAC ∆MDA có: MAC sđ AC MA MD = ⇒ MC.MD = MA2 ⇒ ∆MAC ∽ ∆MDA (g.g) ⇒ (4) MC MA MH MD = MC.MD ⇒ = Từ (3), (4) ⇒ MH MO MC MO MH MD chung = Xét ∆MCH ∆MOD có: HMC MC MO = MDO ⇒ ∆MCH ∽ ∆MOD (c.g.c) ⇒ MHC = OCE Xét ∆OCD có: OC = OD (bán kính) ⇒ ∆OCD cân O ⇒ MDO = OCE (điều phải chứng minh) Vậy MHC Chứng minh IK // AC 0,25đ 0,25đ 1,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ = (đồng vị) Do CK // MA ⇒ ECK EMA = EBI (chứng minh trên) ⇒ ECK = EBI Mà EMA KEC (chứng minh trên) = EBI = IEB Xét ∆EKC ∆EIB có: ECK ⇒ ∆EKC ∽ ∆EIB (g.g) ⇒ EK CK = EI BI (5) = EIB (do ∆EKC ∽ ∆EIB ) EKC + + CIB = AKC = 180 ; EIB 180 Ta có: EKC ⇒ AKC = CIB V 0,25đ (do CK // MA ); CAM = CBI = ACK = CAM Lại có: sđ AC ⇒ ACK = CBI CK AK = Suy ∆ACK ∽ ∆CBI (g.g) ⇒ (6) BI CI EK AK EK EI ⇒ IK // AC (định lí Ta-lét đảo) Từ (5), (6) ⇒ = ⇒ = EI CI AK CI c+1 + ≤ Cho ba số thực dương a , b, c thỏa mãn điều kiện a+2 b+4 c+3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức Q =(a + 1)(b + 1)(c + 1) 0,25đ 0,5đ y ) * Xét bất đẳng thức: x + y ≥ xy (*) với x ≥ 0, y ≥ (Dấu “=” xảy ⇔ x = * Ta có: c +1 + ≤ ⇔ + + ≤ (1) a+2 b+4 c+3 a+2 b+4 c+3 Áp dụng (1) (*), ta có: a +1 = 1− ≥ + ≥2 a+2 a+2 b+4 c+3 (b + 4)(c + 3) b +1 2 1− = ≥ + ≥2 (a + 2)(c + 3) b+4 b+4 a+2 c+3 c +1 3 = 1− ≥ + ≥2 c+3 c+3 a+2 b+4 (a + 2)(b + 4) 0,25đ * Nhân vế với vế bất đẳng thức ta được: (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ (a + 2)(b + 4)(c + 3) (a + 2)(b + 4)(c + 3) ⇔ (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 48 a = 1 Vậy min(Q) = 48 ⇔ = = = ⇔ b =5 a+2 b+4 c+3 c = 0,25đ Lưu ý: - Tổ giám khảo thống để chia nhỏ điểm thành phần không thay đổi tổng điểm - Học sinh làm cách khác mà vẫn cho điểm tối đa