Khoá luận tốt nghiệp đa thức và ứng dụng trong giải các bài toán đại số sơ cấp

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN PHẠM QUỲNH THƠ ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ SƠ CẤP KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành Đại số Ngƣời hƣớng dẫn khoa học TS Nguyễn T[.]

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN PHẠM QUỲNH THƠ ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ SƠ CẤP KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS Nguyễn Thị Kiều Nga HÀ NỘI, 2015 LỜI CẢM ƠN Trong q trình làm khóa luận, em nhận giúp đỡ bảo tận tình TS Nguyễn Thị Kiều Nga Em xin chân thành cảm ơn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô Em xin cảm ơn giúp đỡ thầy giáo Khoa Tốn, thầy cô tổ Đại số Thư viện Trường ĐHSP Hà Nội tạo điều kiện tốt giúp em hồn thành khóa luận Hà Nội, tháng năm 2015 Sinh viên Phạm Quỳnh Thơ LỜI CAM ĐOAN Khóa luận em hồn thành hướng dẫn TS Nguyễn Thị Kiều Nga với cố gắng thân Trong suốt trình nghiên cứu thực khóa luận em có tham khảo số tài liệu số tác giả (đã nêu mục tài liệu tham khảo) Em xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp kết nghiên cứu thân em, không trùng với kết tác giả khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU Chƣơng Kiến thức chuẩn bị 1.1 Xây dựng vành đa thức ẩn 1.2 Phép chia có dư 1.3 Nghiệm đa thức 1.3.1 Nghiệm bội 1.3.2 Định lý Bezout 1.3.3 Biểu diễn đa thức thông qua nghiệm 1.3.4 Nghiệm đa thức với hệ số nguyên 1.4 Công thức Viete, lược đồ Hoocner 1.4.1 Công thức Viete 1.4.2 Lược đồ Hoocner 1.5 Đa thức đồng dư 1.6 Xây dựng vành đa thức nhiều ẩn 1.7 Đa thức đối xứng 10 1.7.1 Định nghĩa đa thức đối xứng 10 1.7.2 Ví dụ đa thức đối xứng sau gọi đa thức đối xứng 10 1.7.3 Đưa đa thức đối xứng đa thức đa thức đối xứng 10 Chƣơng Ứng dụng đa thức ẩn 11 2.1 Chứng minh đẳng thức 11 2.2 Bài toán chia hết 13 2.3 Ứng dụng định lý Viete 15 2.3.1 Dạng 1: Tính giá trị biểu thức đối xứng K nghiệm 15 2.3.2 Dạng 2: Tìm miền giá trị tham số để nghiệm phương trình f x, m   thỏa mãn điều kiện K 18 2.3.3 Dạng 3: Tìm mối quan hệ hệ số số phương trình bậc 3, bậc biết mối quan hệ nghiệm ngược lại 21 2.4 Phân tích đa thức thành nhân tử 24 Chƣơng Ứng dụng đa thức nhiều ẩn 28 3.1 Chứng minh đẳng thức 28 3.2 Chứng minh bất đẳng thức 32 3.3 Phân tích đa thức nhiều ẩn thành nhân tử 36 3.4 Giải hệ phương trình 40 3.5 Trục thức mẫu 43 3.6 Giải phương trình thức 45 3.7 Tìm nghiệm nguyên phương trình đối xứng 48 KẾT LUẬN 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO 53 MỞ ĐẦU Trong nhà trường phổ thông, mơn tốn giữ vị trí quan trọng Nó giúp học sinh học tốt mơn học khác, công cụ nhiều ngành khoa học công cụ để hoạt động đời sống thực tế Mơn tốn có tiềm to lớn việc khai thác phát triển lực trí tuệ chung, rèn luyện thao tác phẩm chất tư Đại số phận lớn toán học, đa thức khái niệm quan trọng sử dụng nhiều đại số mà cịn giải tích, tốn cao cấp toán ứng dụng Tuy nhiên nay, vấn đề đa thức ứng dụng việc giải tốn sơ cấp trình bày sơ lược, chưa phân loại hệ thống cách chi tiết Tài liệu đa thức ít, chưa hệ thống theo dạng toán phương pháp giải, việc nghiên cứu đa thức cịn gặp nhiều khó khăn Với lý trên, với lòng say mê nghiên cứu giúp đỡ, bảo tận tình TS Nguyễn Thị Kiều Nga em mạnh dạn chọn đề tài: “Đa thức ứng dụng giải toán đại số sơ cấp” để làm khóa luận tốt nghiệp, nhằm phân loại, hệ thống số toán đa thức ứng dụng mơn tốn nhà trường phổ thơng Nội dung khóa luận chia làm chương Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Ứng dụng đa thức ấn Chương ứng dụng đa thức nhiều ẩn Do thời gian có hạn lực thân cịn hạn chế nên khóa luận khơng tránh khỏi sai sót Em mong góp ý thầy bạn Em xin chân thành cảm ơn! Chƣơng KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Xây dựng vành đa thức ẩn Cho A vành giao hoán có đơn vị (ký hiệu 1) Khi đó: P  a0 ,a1 , ,an ,  /  A,ai  hầu hết, i  phép toán: - Phép cộng: a ,a1 , ,a n ,   b , b ,   ,bn,  a0 , với hai  b ,a1  b1 , ,a n  b n , - Phép nhân: a ,a1 , với c k 0,1, ,a n ,   b0,b1, ,bn,  aibj,k  , n, i  jk lập thành vành giao hốn có đơn vị   1,0,0,   ,0, c ,c1 ,  Ta gọi P vành đa thức, phần tử thuộc P gọi đa thức Xét ánh xạ: f : A  P a,0, a ,0,  đơn cấu vành Do vậy, ta đồng a  A với phần tử: f a    a,0, ,0, P Khi đó, A vành P x  0,1,0, Ký hiệu: ,0, , x  0, 0,1, Khi đó: 0, , 0, , x  0, 0, 0,1, ,0, , 0, xn    0, ,0,1,0,  n Do đó, phần tử  P:   Do a i a ,a1 , ,a k ,  , 0,      hầu hết nên tồn n sao cho ,c n ,  an 1 an  0 a ,a1 , Vì   Khi đó:   a a Thay cho P viết A A Mỗi phần tử thuộc A  ,a n ,0,  1,0, ax  f 2  a a n  0,1,0,    a n  0,  xn x gọi vành đa thức ẩn x, lấy hệ tử x gọi đa thức ẩn x ký hiệu là: x ,g x , 1.2 Phép chia có dƣ Cho A x vành đa thức, A trường, f f x ,g x hai đa thức vành A x ,g x   Khi đó, tồn q x ; r x A x cho: x   g x  q x  r x Nếu r x   deg r x   deg g x Đa thức q x được gọi thương r x được gọi dư phép chia f xcho g x  Nếu r x   f x  g x A x 1.3 Nghiệm đa thức * Định nghĩa: thức Cho K vành chứa vành A Phần tử  K gọi nghiệm đa f x A x f    Ta nói  nghiệm phương trình đại số f K Nếu deg f x   n phương trình f đại số bậc n n 1 x  x    gọi phương trình  ,0,1,0,    n 1.3.1 Nghiệm bội Giả sử k số tự nhiên khác Một phần tử  A gọi nghiệm bội bậc k đa thức f x A không chia hết cho x  k 1 1.3.2 Định lý Bezout x f x Cho vành đa thức A x ; A trường; f dư phép chia f x cho x   f    f k x       a) Định lý Bezout x x  A x ; A Khi đó, b) Hệ Cho A trường đa thức f Phần tử  A nghiệm f x   x x A x    1.3.3 Biểu diễn đa thức thông qua nghiệm Định lý: Cho đa thức f x; x   a x n  a 1x n 1  an 1x  a n A tồn trường K  A f x viết dạng: f x   a x  1 x  x  n  vành K 2  với 1 ,  , ,n nghiệm đa thức f x a0  x K 1.3.4 Nghiệm đa thức với hệ số nguyên a) Nhận xét Với f x Q x  Do f x  x ln tìm a  f1 Q* để f x  x   a f1 x ; f1  Để tìm nghiệm hữu tỉ f x ta chuyển tìm nghiệm hữu tỉ đa thức với hệ số nguyên f1 x  b) Định lý Cho f x  a0x n  a 1x p n 1  a n 1x Nếu phân số tối giản q nghiệm đa thức f a n  xthì: x x