Khoá luận tốt nghiệp đa thức và ứng dụng trong giải các bài toán đại số sơ cấp

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN PHẠM QUỲNH THƠ ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ SƠ CẤP KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS Nguyễn Thị Kiều Nga HÀ NỘI, 2015 n LỜI CẢM ƠN Trong q trình làm khóa luận, em nhận giúp đỡ bảo tận tình TS Nguyễn Thị Kiều Nga Em xin chân thành cảm ơn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô Em xin cảm ơn giúp đỡ thầy cô giáo Khoa Tốn, thầy tổ Đại số Thư viện Trường ĐHSP Hà Nội tạo điều kiện tốt giúp em hồn thành khóa luận Hà Nội, tháng năm 2015 Sinh viên Phạm Quỳnh Thơ n LỜI CAM ĐOAN Khóa luận em hồn thành hướng dẫn TS Nguyễn Thị Kiều Nga với cố gắng thân Trong suốt q trình nghiên cứu thực khóa luận em có tham khảo số tài liệu số tác giả (đã nêu mục tài liệu tham khảo) Em xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp kết nghiên cứu thân em, không trùng với kết tác giả khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm n MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU Chƣơng Kiến thức chuẩn bị 1.1 Xây dựng vành đa thức ẩn 1.2 Phép chia có dư 1.3 Nghiệm đa thức 1.3.1 Nghiệm bội 1.3.2 Định lý Bezout 1.3.3 Biểu diễn đa thức thông qua nghiệm 1.3.4 Nghiệm đa thức với hệ số nguyên 1.4 Công thức Viete, lược đồ Hoocner 1.4.1 Công thức Viete 1.4.2 Lược đồ Hoocner 1.5 Đa thức đồng dư 1.6 Xây dựng vành đa thức nhiều ẩn 1.7 Đa thức đối xứng 10 1.7.1 Định nghĩa đa thức đối xứng 10 1.7.2 Ví dụ đa thức đối xứng sau gọi đa thức đối xứng 10 1.7.3 Đưa đa thức đối xứng đa thức đa thức đối xứng 10 Chƣơng Ứng dụng đa thức ẩn 11 2.1 Chứng minh đẳng thức 11 2.2 Bài toán chia hết 13 2.3 Ứng dụng định lý Viete 15 2.3.1 Dạng 1: Tính giá trị biểu thức đối xứng K nghiệm 15 2.3.2 Dạng 2: Tìm miền giá trị tham số để nghiệm phương trình f  x,m   thỏa mãn điều kiện K n 18 2.3.3 Dạng 3: Tìm mối quan hệ hệ số số phương trình bậc 3, bậc biết mối quan hệ nghiệm ngược lại 21 2.4 Phân tích đa thức thành nhân tử 24 Chƣơng Ứng dụng đa thức nhiều ẩn 28 3.1 Chứng minh đẳng thức 28 3.2 Chứng minh bất đẳng thức 32 3.3 Phân tích đa thức nhiều ẩn thành nhân tử 36 3.4 Giải hệ phương trình 40 3.5 Trục thức mẫu 43 3.6 Giải phương trình thức 45 3.7 Tìm nghiệm nguyên phương trình đối xứng 48 KẾT LUẬN 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO 53 n MỞ ĐẦU Trong nhà trường phổ thơng, mơn tốn giữ vị trí quan trọng Nó giúp học sinh học tốt môn học khác, công cụ nhiều ngành khoa học công cụ để hoạt động đời sống thực tế Mơn tốn có tiềm to lớn việc khai thác phát triển lực trí tuệ chung, rèn luyện thao tác phẩm chất tư Đại số phận lớn tốn học, đa thức khái niệm quan trọng sử dụng nhiều khơng đại số mà cịn giải tích, tốn cao cấp tốn ứng dụng Tuy nhiên nay, vấn đề đa thức ứng dụng việc giải tốn sơ cấp trình bày sơ lược, chưa phân loại hệ thống cách chi tiết Tài liệu đa thức cịn ít, chưa hệ thống theo dạng toán phương pháp giải, việc nghiên cứu đa thức cịn gặp nhiều khó khăn Với lý trên, với lòng say mê nghiên cứu giúp đỡ, bảo tận tình TS Nguyễn Thị Kiều Nga em mạnh dạn chọn đề tài: “Đa thức ứng dụng giải tốn đại số sơ cấp” để làm khóa luận tốt nghiệp, nhằm phân loại, hệ thống số toán đa thức ứng dụng mơn tốn nhà trường phổ thơng Nội dung khóa luận chia làm chương Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Ứng dụng đa thức ấn Chương ứng dụng đa thức nhiều ẩn Do thời gian có hạn lực thân cịn hạn chế nên khóa luận khơng tránh khỏi sai sót Em mong góp ý thầy cô bạn Em xin chân thành cảm ơn! n Chƣơng KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Xây dựng vành đa thức ẩn Cho A vành giao hốn có đơn vị (ký hiệu 1) Khi đó: P   a ,a1, ,a n ,  / a i  A,a i  hầu , hết, i  với hai phép toán: - Phép cộng:  a ,a1, ,a n ,    b0 ,b 1, ,bn ,   a  b0 ,a1  b1,    b0 ,b 1, ,bn ,   c0 ,c1, ,a n  bn , - Phép nhân:  a ,a1, ,a n , với ck   a b , k  0,1, i  jk i ,cn ,  ,n, j lập thành vành giao hốn có đơn vị  1,0,0, ,0,  Ta gọi P vành đa thức, phần tử thuộc P gọi đa thức Xét ánh xạ: f : A  P a  a,0,  ,0, đơn cấu vành Do vậy, ta đồng a  A với phần tử: f  a    a,0, ,0, Ký hiệu: Khi đó:   P Khi đó, A vành P x   0,1,0, ,0,  , x   0,0,1,0, ,0,  , x   0,0,0,1,0, ,0,  ,  x n   0,   ,0,1,0, ,0, n     Do đó, phần tử  P:    a ,a1, ,a k ,  Do a i  hầu hết nên tồn n  n cho  a n 1  a n 2  0 Vì    a ,a1, ,a n ,0, Khi đó:   a 1,0,  a  a1x     a1  0,1,0,     a n  0,   ,0,1,0, n      an xn Thay cho P viết A  x  gọi vành đa thức ẩn x, lấy hệ tử A Mỗi phần tử thuộc A  x  gọi đa thức ẩn x ký hiệu là: f  x  ,g  x  , 1.2 Phép chia có dƣ Cho A  x  vành đa thức, A trường, f  x  ,g  x  hai đa thức vành A x ,g  x   Khi đó, tồn q  x  ; r  x   A  x  cho: f x  gx  qx  r x Nếu r  x   deg r  x   deg g  x  Đa thức q  x  gọi thương r  x  gọi dư phép chia f  x  cho g  x  Nếu r  x   f  x  g  x  A  x  1.3 Nghiệm đa thức * Định nghĩa: Cho K vành chứa vành A Phần tử  K gọi nghiệm đa thức f  x   A  x  f     Ta nói  nghiệm phương trình đại số f  x   K Nếu deg f  x   n phương trình f  x   gọi phương trình đại số bậc n  n  1 n 1.3.1 Nghiệm bội Giả sử k số tự nhiên khác Một phần tử  A gọi nghiệm bội bậc k đa thức f  x   A  x  f  x   x    f  x  k không chia hết cho  x    k 1 1.3.2 Định lý Bezout a) Định lý Bezout Cho vành đa thức A  x  ; A trường; f  x   A  x ;  A Khi đó, dư phép chia f  x  cho  x    f    b) Hệ Cho A trường Phần tử   A nghiệm đa thức f  x   A  x  f  x   x   1.3.3 Biểu diễn đa thức thơng qua nghiệm Định lý: Cho đa thức f  x   a x n  a1x n 1   a n 1x  a n  A  x  ; a  tồn trường K  A f  x  viết dạng:  x  n  vành K  x  nghiệm đa thức f  x  K f  x   a  x  1  x  2  với 1, 2 , , n 1.3.4 Nghiệm đa thức với hệ số nguyên a) Nhận xét Với f  x   Q x  ln tìm a  Q* để f  x   a  f1  x  ; f1  x   Do f  x   f1  x   Để tìm nghiệm hữu tỉ chuyển tìm nghiệm hữu tỉ đa thức với hệ số nguyên f1  x  b) Định lý Cho f  x   a x n  a1x n 1  Nếu phân số tối giản  a n 1x  a n  x  p nghiệm đa thức f  x  thì: q n x f  x  ta p a n q a c) Định lý Nếu phân số tối giản p nghiệm đa thức với: q f  x   a x n  a1x n 1   a n 1x  a  x với số nguyên m ta có f  m  chia hết cho  p  mq  Trường hợp đặc biệt p + q ước f  1 ,p  q ước f 1 d) Nhận xét Nếu   1 nghiệm f  x    x  ;  nguyên thì: f 1 f  1 nguyên 1  1  1.4 Công thức Viete, lƣợc đồ Hoocner 1.4.1 Công thức Viete  a n 1x  a n  A  x  ; deg f  x   n Giả sử Cho f  x   a x n  a1x n 1  f  x  có n nghiệm 1, 2 , , n  K với K  A Khi đó: f  x   a  x  1  x  2   x  n  Đồng hệ tử hai đa thức Ta có: 1     n   1  13  a1 a0   n 1 n  a2 a0 1  k    n k 1 n k 2  n   1 n  n   1 1 an a0 n k ak a0 u  x  y  v  x  z r  z  x  Ta có: u  r  v  2( x  y  z )  21  uv  vr  ru  ( x  y )  ( y  z )  ( z  x)  ( z  x )( x  y )  (x  y  z )  ( xy  yz  zx)   12   Do đó: f ( x, y,z)  21 (412  312  3 )  2 ( 12  3 )  2( x  y  z )( x  y  z  xy  yz  zx) 3.3.4 Bài tập áp dụng Bài tập 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử  x, y a) f ( x, y)  10 x4  27 x3 y  110 x2 y  27 xy3  10 y b) f ( x, y)  x3  x3 y  x2 y  x2 y  3xy  xy3  y3 c) f ( x, y)  x4  119 x3 y  18x2 y  11xy3  y Bài tập 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) f ( x, y, z)  x3  y3  z  3xyz b) g ( x, y, z)  ( x  y  z)5  x5  y5  z c) h( x, y, z)  ( x  y  z)3  x3  y3  z Bài tập 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) f ( x, y)  ( x  y)5  x5  y5 b) g ( x, y, z)  ( x  y  z)3  x3  y3  z 39 n 3.4 Giải hệ phƣơng trình 3.4.1 Cơ sở lý luận Ta hay gặp hệ phương trình mà vế phương trình hệ đa thức đối xứng ẩn Trong trường hợp ta chuyển hệ phương trình thành hệ phương trình mà ẩn đa thức đối xứng bản, hệ phương trình thường hệ phương trình đơn giản so với hệ phương trình ban đầu 3.4.2 Thuật toán Bước 1: Biểu diễn vế trái phương trình qua đa thức đối xứng  i (i  1,n) Bước 2: Ta thu hệ chứa σi Giải hệ tìm σi Bước 3: Vận dụng cơng thức Viet tìm nghiệm hệ ban đầu 3.4.3 Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Giải hệ phương trình  x  y  65  2  x y  xy  20 (I ) Giải  x  y  1 Đặt   xy   Ta có: 12  4  0) (*) Hệ (I) trở thành ( x  y)3  3xy( x  y)  65   xy( x  y)  20  13  3 1  65 tương đương   1  20 40 n  13  3.20  65 tương đương   1  20   tương đương    Các giá trị tìm thỏa mãn điều kiện (*) Do x, y nghiệm phương trình: t  5t   t   t  Vậy hệ cho có nghiệm (4; 1) (1; 4) Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:  x  y  z  3  3  x  y  z  27  x  y  z  113  Giải Đặt:   x  y  z;   xy  xz  yz;   xyz Hệ phương trình tương đương với  x  y  z  1   xy  yz  zx    xyz    Ta có x3  y3  z  13  31  3 x4  y5  z  14  412  2 22  41  113 Do ta có hệ phương trình:   3    3 1  3  27  2   4   2  4 1  113 41 n   3  Suy 3    36  2  12  32   3     3  2  32    3        12     3    4     12 (1) (2) a) Với 1  3;  4;  12 x, y, z nghiệm phương trình t  3t  4t  12  Khi (t  3)(t  4)  t1  3 t  2i 2 t3  2i Khi x, y, z hoán vị (- 3, - 2i; 2i) b) Với 1  3;  4,  12 x, y, z nghiệm phương trình: t  3t  4t  12  Khi (t  3)(t  4)  t1  3 Suy t2  t3  2 Khi x, y, z hốn vị (- 3; - 2; 2) Vậy hệ phương trình cho có 12 nghiệm có nghiệm hoán vị (- 3; - 2i; 2i) nghiệm hoán vị (- 3; -2; 2) 3.4.4 Bài tập áp dụng Bài tập 1: Giải hệ phương trình: 42 n  x  xy  y    x  y  xy  Bài tập 2: Giải hệ phương trình:  x  xy  y  1  2  x y  xy  2 Bài tập 3: Giải hệ phương trình: x  y  z   2  x  y  z  25  3  x  y  z  27 Bài tập 4: Giải hệ phương trình: x  y  z   2  x  y  z  37  3 x  y  z  3.5 Trục thức mẫu 3.5.1 Cơ sở lý luận Để khử thức mẫu số, người ta dùng đẳng thức nhận biểu thức nhận biểu thức liên hợp mẫu số Nhưng trường hợp mẫu số chứa hai biến dạng: a  n b hay n a n b Còn trường hợp mẫu số ba (hay nhiều hơn) thức vận dụng đa thức đối xứng 3.5.2 Thuật toán Bước 1: Biến đổi biểu thức cho biểu thức chứa đa thức đối xứng Bước 2: Sử dụng đa thức đối xứng dạng tổng    12  2    13  3 1    14  4 12  4 1  2 22 43 n Bước 3: Biểu diễn biểu thức qua 1, , thay vào thức ban đầu 3.5.3 Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Trục thức mẫu số biểu thức: a b c Giải Đặt a  x; b  y ; c  z   x  y  z  Đặt   xy  yz  zx   xyz  1   a  b  c x  y  z 1 Khi đó: Lại có:   x2  y  z  12  2  a  b  c   x4  y  z  14  412  41  2 22  a2  b2  c2 Ta tổ hợp tổng cho  lamf thừa số chung Có:  22  2  (12  2 )2  2(14  412  41  2 22 )   14  4 12  8 1   (4 1   13  8 ) 4 1   13  8 Từ đó:  1  22  2 Tức : 4( a  b  c )( ab  bc  ca  ( a  b  c )3  abc  (a  b  c)2  2(a  b  c ) a b c Ví dụ 2: Trục thức mẫu: A 433 44 n Giải Ta có: A  Vậy A  7( 16  12  9)   3 (  3)( 16  12  9) 7( 16  12  9) 91 7( 16  12  9) 91 3.5.4 Bài tập áp dụng Bài tập 1: Trục thức mẫu biểu thức sau: a b c d Bài tập 2: Trục thức mẫu biểu thức sau: a b5c Bài tập 3: Trục thức mẫu biểu thức sau: n a  n a   n a m (m, n  * ) 3.6 Giải phƣơng trình thức 3.6.1 Cơ sở lý luận Một số phương trình thức mà việc giải chuyển việc giải hệ phương trình đối xứng thơng qua việc đặt ẩn phụ 3.6.2 Thuật tốn Bước 1: Đặt ẩn phụ đưa phương trình thức hệ phương trình đối xứng Bước 2: Giải hệ phương trình đối xứng tìm giá trị ẩn phụ Bước 3: Thay giá trị ẩn phụ vào tìm giá trị ẩn ban đầu 45 n 3.6.3 Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Giải phương trình x    x 1 Giải Đặt x   u;  x  v; (u, v  0) Ta có hệ: 1     1      1  u  v    4 2 u  v  (1  2 )  2    - Với    u   v  u   v  + Nếu u = 1; v = phương trình có nghiệm x = + Nếu u = 0; v = phương trình có nghiệm x =   - Với     vô nghiệm Vậy phương trình có nghiệm x1 = 2; x2 = Ví dụ 2: Giải phương trình:  8 x    x  27   (8  x)( x  27)  Giải 8  x  Điều kiện:   27  x  x  27   (*) Đặt u   x ; v  x  27 ; (u, v  0) Suy ra: u3   x; v  x  27 u  v  uv  Ta có hệ:  3 u  v  35 (u  v)  3uv   (u  v)  3uv (u  v )  35 Đặt 1  u  v;   uv hệ trở thành: 46 n   32     3 1  35   12     3    (  7)  35  1        Với     u, v nghiệm phương trình t  1t    , nghĩa phương trình t2 – 5t + = t   t   u   v    u    v  x    x  15 x  Vậy nghiệm phương trình cho   x  15 3.6.4 Bài tập áp dụng Bài tập 1: Giải phương trình sau a) 18  x  64  x  b)  x2   x3   53 ( x  2)( x  3) Bài tập 2: Giải phương trình sau: 1  x   x 1 2 47 n Bài tập 3: Giải phương trình sau a) x   x   2x b) x3   x  3.7 Tìm nghiệm nguyên phƣơng trình đối xứng 3.7.1 Cơ sở lý luận Từ phương trình mà hai vế đa thức đối xứng hai biến ta đưa phương trình đơn giản với ẩn  1, Tìm nghiệm  1, suy tìm nghiệm nguyên phương trình ban đầu 3.7.2 Thuận tốn + Biểu diễn phương trình ban đầu theo phương trình  1, với   x  y    xy Khi x, y nghiệm phương trình t  1t    (  0) + Tìm x, y theo  1, 3.7.3 Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2  y  x  y  xy (1) Giải Phương trình (1)  ( x  y)2  ( x  y)  3xy Đặt  x  y  1 Điều kiện   xy   12  4 Khi đó, phương trình (1) trở thành: 12  1  3  12  1  3  Kết hợp điều kiện (*) suy ra: 48 n (*)    12   Khi 12  41  Khi  1  Do x, y  suy  nhận giá trị 0, 1, 2, 3, + Với 1  ta tìm   x  y  Suy   xy  x   y  + Với   ta tìm   x  y  Suy   xy  x  x    y 1 y  + Với 1  ta tìm    Với   ta tìm   x  y  Suy   xy  x   y  x   y 1 + Với 1  ta tìm   x  y  Suy   xy  x   y  Vậy phương trình có nghiệm số (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 2) , (2; 1), (2; 2) Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x3  y3  z  3xyz  Giải Đặt   x  y  z    xy  yz  zx   xyz  49 n Phương trình cho trở thành: 13  31  3  3   13  31   Vì x, y, z   1; ;  Xét phương trình: 13  31   với ẩn  Nếu phương trình có nghiệm nguyên 1  1 + Nếu 1     Ta có hệ: x  y  z    xy  yz  zx  (1) (2) Suy x2  y  z  Do x, y, z   x2   y  z  nên:  y2   x  z  z2   x  y   x2  - Với  y  z   ( x, y, z )  (1,0,0);(1,0,0)  y2  - Với  x  z   ( x, y, z )  (0,1,0);(0, 1,0) z2  - Với  x  y   ( x, y, z )  (0,0,1);(0,0, 1) Vì x, y, z > nên nghiệm thỏa mãn là: (1, 0, 0); (0, 1, 0); (0, 0, 1) + Nếu   1    (loại   ) Vậy nghiệm phương trình là: (x, y, z) = { (1, 0, 0); (0, 1, 0); (0, 0, 1)} 50 n 3.7.4 Bài tập áp dụng Tìm nghiệm nguyên phương trình sau: 1) x2  y  x  y  2) x  y  x2  xy  y 3) x3  y3  xy  25 4) 39( x  y)  7( x2  xy  y ) 51 n KẾT LUẬN Đa thức có vị trí quan trọng Tốn học, khơng đối tượng nghiên cứu chủ yếu Đại số mà cịn cơng cụ đắc lực Giải tích Nó phần kiến thức quan trọng giới thiệu từ năm đầu bậc phổ thông dạng đơn giản mà ta thường gọi biểu thức chứa chữ đại diện cho số Ngoài ra, lý thuyết đa thức sử dụng nhiều toán cao cấp, toán ứng dụng Và thường xuyên gặp toán đa thức kỳ thi học sinh giỏi, thi Olympic toán học trường phổ thơng Tuy khóa luận trình bày kiến thức đa thức tốn đại số sơ cấp có liên quan đến đa thức nhỏ so với lượng kiến thức đa thức Khóa luận thực với mong muốn đóng góp kinh nghiệm việc nghiên cứu, giúp việc dạy học học tập mơn tốn trường phổ thơng Từ khóa luận giúp bạn đọc nghiên cứu sâu hơn, rộng đa thức Do lần làm quen với cơng tác nghiên cứu, thời gian lực cịn hạn chế nên khơng thể tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn sinh viên Em xin chân thành cảm ơn! 52 n TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Hữu Điển (2003), Đa thức ứng dụng, Nxb Giáo dục [2] Nguyễn Văn Mậu (2004), Đa thức đại số phân thức hữu tỷ, Nxb Giáo dục [3] Ngô Thúc Lanh (1987), Đại số số học, tập 3, Nxb Giáo dục [4] Hồng Xn Sính (1998), Đại số đại cương, Nxb Giáo dục [5] Bùi Huy Hiền, Nguyễn Hữu Hoan (2005), Bài tập đại số số học, Nxb Đại học Sư phạm Hà Nội [6] Tạp chí Tốn học tuổi trẻ 53 n