Báo cáo bài tập lớn môn đại số tuyến tính đề tài 2 cơ sở lý thuyết và ứng dụng phân tích a = lu

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH ĐỀ TÀI CƠ SỞ LÝ THUYẾT VÀ ỨNG DỤNG PHÂN TÍCH A = LU GVHD: Nguyễn Xuân Mỹ Lớp: DT01 Nhóm số: TP HỒ CHÍ MINH, tháng 05 năm 2023 Trang I ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MƠN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH ĐỀ TÀI CƠ SỞ LÝ THUYẾT VÀ ỨNG DỤNG PHÂN TÍCH A = LU GVHD Nguyễn Xuân Mỹ Lớp: DT01 Nhóm số: Danh sách thành viên MSSV Nguyễn Tiến Đạt 2210704 Lê Minh Giang 2210821 Nguyễn Hương Giang 2210824 Từ Ngọc Hân 2113317 Phạm Ngọc Bảo Hằng 2210928 Nguyễn Minh Hảo 2013092 Tô Phước Hào 1913229 Mai Huy Hoàng 1913432 Phạm Trương Tung Hoành 2211127 10 Nguyễn Xuân Hùng 2211344 Trang MỤC LỤC Trang MỤC LỤC _ VỀ ĐỀ TÀI CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT I.1 CÁC KHÁI NIỆM VỀ MA TRẬN. I.1.1 Ma trận _ I.1.2 Các loại ma trận I.1.3 Phép nhân hai ma trận I.1.4 Hệ phương trình tuyến tính I.2 PHÂN TÍCH A = LU I.2.1 Giới thiệu _ I.2.2 Phân tích A = LU _ I.3 PHÂN TÍCH PA = LU _ CHƯƠNG 2: CHƯƠNG TRÌNH PHÂN TÍCH A = LU II.1 THUẬT TOÁN CƠ BẢN II.2 CHẠY CHƯƠNG TRÌNH II.3 NHẬN XÉT CHƯƠNG TRÌNH _ CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG CỦA PHÂN TÍCH A = LU _ 10 III.1 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH _ 10 III.2 TÌM MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO _ 11 III.3 TÍNH ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN _ 12 TÀI LIỆU THAM KHẢO _ 13 Trang VỀ ĐỀ TÀI ĐỀ 1/ Nêu sở lý thuyết phân tích A = LU phân tích PA = PLU 2/ Viết chương trình dùng để phân tích A = LU 3/ Tìm ứng dụng phân tích A = LU Trang CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT I.1 CÁC KHÁI NIỆM VỀ MA TRẬN I.1.1 Ma trận Trong toán học, ma trận mảng chữ nhật – số, ký hiệu, biểu thức, xếp theo hàng cột – mà ma trận tuân theo quy tắc định trước Từng ô ma trận gọi phần tử mục Ví dụ ma trận có hàng cột: −3 � � I.1.2 Các loại ma trận Ma trận tam giác ma trận đường chéo Nếu phần tử A bên đường chéo 0, A gọi ma trận tam giác Tương tự, phần tử A bên đường chéo 0, A gọi ma trận tam giác Nếu phần tử nằm bên ngồi đường chéo 0, A gọi ma trận đường chéo Ma trận đơn vị Ma trận đơn vị In có số chiều n ma trận n × n phần tử đường chéo tất phần tử khác 0, ví dụ �0 0 0 0� Ma trận bậc thang Ma trận A ma trận bậc thang thoả mãn hai điều kiện: + Các hàng (nếu có) ma trận + Phần tử sở hàng phía bên phải so với phần tử sở hàng Biến đổi ma trận bậc thang thông qua phương pháp khử Gauss Ví dụ � 0 −3 0 2 0 −1 1 � Ma trận nghịch đảo + Ma trận vuông A gọi khả nghịch hay không suy biến tồn ma trận B cho AB = BA = In + Nếu B tồn tại, gọi ma trận nghịch đảo A, ký hiệu A−1 + Một số tính chất ma trận khả nghịch: (A−1) −1 = A (AB) −1 = B−1A−1 (AT) −1 = (A−1)T Trang I.1.3 Phép nhân hai ma trận Cho hai ma trận Am×n Bn×p ma trận A có số cột số dịng ma trận B Tích ma trận A ma trận B ma trận cấp m×p, kí hiệu AB Ví dụ phép tính ma trận 3×2 với ma trận 2×3: a×g+b×j a×h + b×k a×i+b×l 𝐚𝐚 𝐛𝐛 𝐠𝐠 𝐡𝐡 𝐢𝐢 �𝐜𝐜 𝐝𝐝� × � � = � c × g + d × j c × h + d × k c × i + d × l� 𝐣𝐣 𝐤𝐤 𝐥𝐥 e×g+f×j e×h+f×k e×i+f×l 𝐞𝐞 𝐟𝐟 I.1.4 Hệ phương trình tuyến tính Một hệ phương trình tuyến tính tập hợp phương trình tuyến tính có biến số, ví dụ: x1 − 2x2 − x3 + 5x4 = −x + 3x2 + 4x3 − 3x4 = −1 � −x1 + 4x2 + 7x3 − x4 = −1 2x1 − 5x2 − 5x3 + 8x4 = Giải hệ phương trình cách đưa dạng AX = b sử dụng phương pháp khử Gauss Nếu biến số hệ phương trình tuyến tính số thực số phức, có ba trường hợp xảy ra: hệ vơ nghiệm, hệ có nghiệm, hệ có vơ số nghiệm I.2 PHÂN TÍCH A = LU I.2.1 Giới thiệu Một ứng dụng phép biến đổi sơ cấp dùng để phân tích ma trận A = LU Phân tích có nhiều ứng dụng: dùng để tính định thức, giải phương trình tuyến tính, tìm ma trận nghịch đảo Trong đó: + A ma trận vuông cấp n + L ma trận tam giác (L lower lower triangle) + U ma trận tam giác (U upper upper triangle) Sử dụng phép biến đổi sơ cấp đưa A ma trận phía U Để tính ma trận L cần dùng phép biến đổi sơ cấp ngược lại với biến đổi biến đổi I thành L I.2.2 Phân tích A = LU Tìm ma trận U Phép phân tích ma trận đơn giản, ta thực phép biến đổi dòng để đưa A thành ma trận bậc thang Lúc đó, ma trận bậc thang ma trận tam giác U Lấy ma trận có kích thước 3×3 để làm ví dụ: A=� −2 2 4� Trang Đầu tiên, ta cần tính tốn hệ số để nhân dòng (r1 ) trừ cho dòng (r2 ) để thực loại trừ Có thể tính l = A21 A11 = = Gọi hệ số l21 Vậy phép biến đổi dòng r2 − l21 r1 = r2 − 3.r3 Tương tự, ta tính l31 = A31 A11 = −2 phép biến đổi dòng thứ hai r3 − l31 r1 = r3 + 2.r1 Đến đây, ta có ký hiệu chung lij hệ số nhân cho dòng j trừ cho dòng i �3 −2 2 r2 − 3r1 4� �⎯⎯⎯⎯� � −2 Tiếp tục bước biến đổi, ta có l32 = �0 −9 12 −9 =− r3 + 2r1 −2� �⎯⎯⎯⎯� �0 r3 + 4� r2 −2� �⎯⎯⎯⎯⎯⎯� �0 11 −9 12 −9 Vậy kết thu ma trận tam giác U: U = �0 −9 −2 � 25� −9 12 −2� 11 −2 � 25� Tiếp theo cần phải xác định ma trận tam giác L Tìm ma trận L Ta có phân tích A = LU nên tìm L thơng qua cơng thức L = AU−1 −1 5 L = � 4� �0 −9 −2 � −2 0 25�3 Trên thực tế không cần thực phép tính trên, ma trận L tìm sau: 0 0 0� L = �l21 0� = � −4 −2 �3 l31 l32 Những phần tử dòng L giúp đảo lại phép tốn dịng mà ta làm Ví dụ với dịng ma trận U có từ việc trừ l21 r1 dịng ma trận L ta khơi phục lại, lấy dịng U cộng thêm vào dòng để lấy lại dòng ban đầu: = l21 (1 (l21 1 0) �0 2) + (0 −9 −9 −2 � 25� −2) = (3 4) Trang l21 ⋮ lm1 L biểu diễn sau: L = � Vậy kết phân tích A = LU = � −2 I.3 PHÂN TÍCH PA = LU 1 −4� lm2 ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ 0� �0 0 −9 � −2 � 25� Đôi cần phải thay đổi dịng với thực loại trừ Trong trường hợp ta khơng thể sử dụng cách phân tích A = LU nói LU kết phép phân tích ma trận A đổi dòng (tạm gọi A′) Lúc ta phải sử dụng thêm ma trận P để thực phép hoán đổi dòng A Lúc này: A′ = LU ⇔ PA = LU Trang CHƯƠNG 2: CHƯƠNG TRÌNH PHÂN TÍCH A = LU II.1 THUẬT TOÁN CƠ BẢN Cho ma trận m×m A = (an,n), đặt A(0) :=A lặp với n = 1, 2, , m−1 Khử phần tử bên đường chéo cột thứ n A(n–1) cách cộng vào dòng thứ i ma trận với dòng thứ n nhân thêm hệ số li,n, với i = n + 1, n + 2, …, m Sau m−1 bước, ta khử tất phần tử bên đường chéo chính, nhận ma trận tam giác A(m–1) A(m–1) ma trận tam giác U Có thể sử dụng ma trận nghịch đảo để tìm L đơn giản công thức L = AU−1 II.2 CHẠY CHƯƠNG TRÌNH Ví dụ 1: Cho A ma trận cấp 2×3, A = � −3 � Phân tích A = LU Hình Chương trình báo lỗi Do ma trận A ma trận cấp 2×3 nên chương trình khơng thể chạy Để chương trình phân tích chạy cần nhập vào ma trận vng cấp n Ví dụ 2: Cho A ma trận vuông cấp 3, A = �2 A = LU hình 2 −1 −3� Kết phân tích Hình Cửa sổ Command Window phân tích ma trận A = LU Trang Ví dụ 3: Cho A ma trận vuông cấp 4, A = � 5 � Phân tích A = LU Hình Cửa sổ Command Window phân tích ma trận A = LU II.3 NHẬN XÉT CHƯƠNG TRÌNH Chương trình phân tích A = LU Matlab giúp phân tích nhanh ma trận A thành ma trận tam giác U ma trận tam giác L Từ ứng dụng vào tốn khác Thuận tiện cho việc làm tập tính tốn Tuy nhiên để viết chương trình cần có kiến thức lập trình code Matlab Vì cần có thời gian tìm hiểu tìm tịi thuật tốn Nên sử dụng phân tích cho tập có khối lượng tính tốn nhiều Ngồi chương trình chưa giải số trường hợp đặc biệt cần hoàn thiện Trang CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG CỦA PHÂN TÍCH A = LU III.1 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Từ phương trình tuyến tính, ta có Ax = b (với A b cho trước) Từ A ta phân tích thành A = LU Khi nghiệm phương trình tính toán theo bước sau: Giải Ly = b => Tìm y Giải Ux = y => Tìm x Ví dụ: Giải hệ phương trình −x1 + 1x2 − 1x3 = −5 17x1 + 10x2 = 19 + 6x3 = −19 19x1 Từ hệ phương trình ta biến đổi thành: x1 −1 −1 x = �x � A = � 17 10 � x3 19 Phân tích ma trận A = LU: −1 0 0� � A = LU = �−17 19 �27 −19 −5 b = � 19 � −19 27 −1 −17 � −28� 27 Hình Kết phân tích ma trận A Matlab Giải Ly = b: Giải Ux = y: −17 Ly = b ⇔ � −19 −1 Ux = y ⇔ � 0 19� 27 y1 −5 0� �y2 � = � 19 � y3 −19 −5 y1 ⇔ �y2 � = � −66 � −608� y3 ⇔ 27 Vậy nghiệm hệ cho x1 = −1 −5 x1 −17 � �x2 � = � −66 � −28� −608� 27 x3 x1 −151 �x2 � = 1�7 � 270 � x3 456 −151 , x2 = 270 , x3 = 456 Trang 10 III.2 TÌM MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO Khi giải hệ phương trình, thường b xem vector có chiều dài số dịng A Nếu thay vector b, ta có ma trận B, với B ma trận kích thước n×p, ta phải tìm ma trận X (cũng có kích thước n×p): AX = LUX = B Có thể sử dụng phương pháp Ly = b, Ux = y để giải cho cột ma trận X Với giả sử B ma trận đơn vị với kích thước n X nghịch đảo A Ví dụ cho ma trận A = �2 Gọi ma trận A, B, X: 2 A = �2 � 1 Phân tích A = LU: A = LU ⇔ �2 6� Tìm ma trận nghịch đảo B = �0 1 � � = 0� 1 −1 x11 X = �x21 x31 0� �0 Giải Ly = Bi, với i cột ma trận B 1 0 y11 y Ly = B1 ⇔ �2 0� � 21 � = �0� −1 y31 Giải Ux = y 2 2� x12 x22 x32 x13 x23 � x33 y11 y ⇔ � 21 � = �−2� y31 −3 UX = y ⇔ �0 1 x11 2� �x21 � = �−2� −3 x31 x11 ⇔ �x21 � = � � x31 −1 Thực tương tự với B2 B3, tìm x12 x13 −4 �x22 � = �3 � � �x23 � = 1�3 �−2� x32 x33 1 −4 ⇒ Vậy X = �3 �0 −2� ma trận nghịch đảo A 1 Trang 11 III.3 TÍNH ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN Các ma trận L U dùng để tính định thức ma trận A hiệu det(A) = det(L) det(U) định thức ma trận tam giác đơn giản tích phần tử đường chéo Đặc biệt, L ma trận tam giác đơn vị thì: Ví dụ: Tính định thức ma trận A = � Ta có A = LU =� −1 0 1 � 1 0 �� 0 0 2 � −3 Hình Kết phân tích ma trận A Matlab ⇒ det(A) = det(L) × det(U) = (1×1×1×1) × (1×1×2×(−3)) = −6 Vậy det(A) = −6 Trang 12 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đặng Văn Vinh, Giáo trình Đại Số Tuyến Tính, Nhà Xuất Bản Đại Học Quốc Gia, 2020 [2] https://vi.wikipedia.org/wiki/Phân_tích_LU [3] https://tailieuvnu.com/wp-content/uploads/2020/11/19/Slide-2-Dai-so-Tuyen-TinhMa-Tran-nghich-dao-va-phan-tich-LU-Le-Xuan-Thanh-UET.pdf [4] https://rootonchair.blogspot.com/2019/06/phep-phan-tich-ma-tran-alu.html [5] Vũ Thị Hương Trang, Phân Tích Ma Trận Và Một Số Ứng Dụng, Đại Học Thái Nguyên, 2016 Trang 13