Nguyên lí đirichlet

1 NGUYÊN LÍ ĐIRICLET Có n con thỏ được nhốt vào m chuồng Rõ ràng nếu n > m thì có (ít nhất) một chuồng có số thỏ ≥ 2; còn nếu n < m thì có (ít nhất) một chuồng để trống Tổng quát hơn nếu n > km (k là.

NGUN LÍ ĐIRICLET Có n thỏ nhốt vào m chuồng Rõ ràng n > m có (ít nhất) chuồng có số thỏ ≥ 2; cịn n < m có (ít nhất) chuồng để trống Tổng quát hơn: n > km (k số tự nhiên) có chuồng với số thỏ khơng k+1, cịn n < km có chuồng với số thỏ khơng vượt q k-1 Dưới dạng ngôn ngữ tập hợp, nguyên lý Điricle phát biểu sau: Cho m tập hợp có tổng số gồm n phần tử khác (tức hợp m tập hợp tập hợp gồm n phần tử) Khi đó: Nếu n > km có tập hợp có số phần tử khơng k+1 Nếu n < km tập hợp đơi rời có tập hợp có số phần tử khơng vượt q k-1 Khởi động: Ví dụ 1: Có 10 đội bóng thi đấu với đội phải đấu trận với đội khác CMR vào lúc có hai đội đấu số trận GIẢI: Rõ ràng 10 đội bóng có đội chưa đấu trận đội cịn lại khơng có đội thi đấu trận 10 đội có số trận đấu từ đến từ đến Vậy theo nguyên lý Đirichlê phải có đội có số trận đấu Ví dụ 2: Trong 45 học sinh làm kiểm tra khơng có bị điểm 2, có học sinh điểm 10 CMR tìm học sinh có điểm kiểm tra (điểm kiểm tra số tự nhiên từ đến 10) GIẢI: Có 43 học sinh phân chia vào loại điểm (từ đến 9) Giả sử loại loại điểm điểm khơng q học sinh lớp học có khơng q 5.8 = 40 học sinh, 43 học sinh Vậy tồn học sinh có điểm kiểm tra 1.Nguyên lý Điricle hình học: Bài tốn 1: Trong tam giác có cạnh lấy 17 điểm tùy ý Chứng minh tồn hai điểm chúng với khoảng cách không vượt Lời giải: Ta chia tam giác cho thành 16 tam giác nhỏ có cạnh A (xem hình vẽ) Vì 16 tam giác nhỏ chứa 17 điểm nên tam giác chứa hai điểm 17 điểm (ở bên biên), khoảng cách hai điểm khơng vượt q độ dài cạnh tam giác, tức không vượt Nhận xét: Ở ta coi 17 điểm 17 thỏ chia tam giác B cho thành 16 “chuồng” Bài tốn 2: Cho hình vng ABCD 2009 đường thẳng di (i=1,2, 2009) thoả mãn điều kiện: 1/ di cắt hai cạnh đối diện hình vng P 2/ di chia hình vng thành hai phần có tỷ số diện tích B 1:3 Chứng minh 2009 đường cho có E H 503 đường đồng quy Lời giải: C C F N K O I M Gọi N; P; M; Q theo thứ tự trung điểm AB; BC; CD; DA Gọi O tâm hình vng Giả sử EF đường thẳng thoả mãn điều kiện toán (E AB; F CD) EF cắt PQ H Ta có: dt(AEFD) = 3dt(BEFC) HQ = HP H cố định (H trung điểm OP) di thoả mãn toán di ln qua điểm cố định H, I, J, K ( theo thứ tự trung điểm OP; OM; OQ; ON) 2009 đường thẳng cho qua điểm H, I, J, K nên có đường qua điểm cố định Vậy có 503 đường thẳng đồng quy Bài toán 3: Biết từ tờ giấy hình vng cạnh a ta ln cắt hình trịn có bán kính Tìm số a nhỏ thỏa mãn điều kiện Lời giải: Giả sử dùng tờ giấy hình vng ABCD cạnh a ta cắt hình trịn bán kính có tâm O 1, O2, O3, O4, O5 Khi hình trịn phải nằm ngồi tiếp xúc ngồi với Tâm hình trịn phải cách cạnh hình vng phía khoảng 1, chúng thuộc hình vng MNPQ có cạnh a-2 nằm ABCD, có cạnh song song với cạnh ABCD cách chúng khoảng ( xem hình vẽ) Ta chia MNPQ thành hình vng đường thẳng qua tâm vng góc với cạnh Vì điểm O 1, O2, O3, O4, O5 phải thuộc hình vng nhỏ nên có hình vng nhỏ chứa điểm chúng Giả sử hình vng MEOF chứa điểm O 1, O2 (xem hình vẽ) Khi Mặt khác O1O2 ≥2 (các hình trịn nằm tiếp xúc với nhau) nên ta có bán kính Như từ tờ giấy hình vng cạnh a ta cắt hình trịn Ngược lại, với tờ giấy hình vng ABCD có cạnh ta ln cắt hình trịn bán kính Muốn ta xét hình vng MNPQ đồng tâm O với ABCD có cạnh song song với cạnh ABCD Dễ thấy hình trịn có tâm M, N, P, Q O, bán kính thỏa mãn yêu cầu Bài toán 4: Trong mặt phẳng cho 2011 điểm Biết điểm lấy từ 2011 điểm cho ln có điểm mà khoảng cách điểm nhỏ Chứng minh có 1006 điểm 2011 điểm nói nằm hình trịn có bán kính Lời giải: Gọi A điểm 2011 điểm cho Xét hình trịn tâm A bán kính Nếu 2010 điểm cịn lại nằm hình trịn (A; 1) ta đpcm Nếu có điểm B cho AB > 1, vẽ hình trịn (B; 1) Với điểm C 2009 điểm cịn lại ta có AC < BC < ( theo giả thiết ) Suy C thuộc hình trịn (A; 1) C thuộc hình trịn (B; 1) Vì C điểm tùy ý 2009 điểm nên có 1005 điểm thuộc hình trịn tâm A tâm B Vậy có 1006 điểm thuộc hình trịn bán kính Bài tốn 5: Trong hình vng có cạnh 10 cm người ta đặt 2011 đường tròn có đường kính cm Chứng minh rằng: tồn đường thẳng cắt 26 đường trịn số 2011 đường trịn nói Lời giải: Chia hình vng cạnh 10 cm thành 81 hình chữ nhật 80 đường thẳng song song với cạnh hình vuông , đường thẳng cách cm Do nên đường trịn bị cắt nhất đường thẳng nói Có 80 đường thẳng, 2011 đường tròn; 2011 chia 80 25 dư 11 nên tồn đường thẳng cắt 26 đường trịn số 2011 đường trịn nói Bài toán 6: đường Trong mặt phẳng, cho 2011 điểm phân biệt trịn bán kính ta tìm Chứng minh rằng: điểm M cho Lời giải: Gọi M1, M2 điểm đầu mút đường kính đường trịn bán kính M1M2 = Ta có: (dấu “=” xảy A1 nằm đoạn M1M2) Tương tự Cộng vế ta : Suy điểm M1, M2 có điểm thoả mãn u cầu tốn Bài tốn 7: Trong hình vng cạnh 1, đặt 51 điểm bất kì, phân biệt Chứng minh có số 51 điểm nằm hình trịn bán kính Giải: Chia hình vng cho thành 25 hình vng có cạnh Theo nguyên lý Dirichlet, tồn hình vng a chứa ba điểm số 51 điểm Đường trịn ngoại tiếp (a) có bán kính Vậy ba điểm nói nằm hình trịn đồng tâm với đường trịn (a) có bán kính Bài tốn 8: Chứng minh từ số vô tỉ tùy ý chọn ba số (mà gọi a,b,c) cho a+b, b+c, c+a số vô tỉ Lời giải: Xét mặt phẳng điểm cho khơng có ba điểm thẳng hàng Với điểm ta gắn cho số vô tỉ Như sáu điểm gắn với số vô tỉ cho Hai điểm mang số a b nối với đoạn thẳng màu đỏ a+b số vô tỉ, cịn có màu xanh a+b số hữu tỉ Ta chứng minh tồn tam giác màu Xét A số điểm nói Khi xét đoạn thẳng nối A với điểm cịn lại Vì đoạn thẳng bôi màu đỏ màu xanh nên theo nguyên lý Điricle có ba đoạn thẳng nói màu Giả sử đoạn AB1, AB2, AB3 cho chúng màu xanh Chỉ có hai khả sau xảy ra: Nếu ba đoạn thẳng B1B2, B2B3, B3B1 màu xanh tồn tam giác với ba cạnh xanh Nếu vậy, tức B 1B2, B2B3, B3B1 màu đỏ, tam giác B 1B2B3 có ba cạnh màu Vậy điểm nói trên, ln tồn ba điểm cho tam giác tạo ba điểm có ba cạnh màu Nếu ba cạnh màu xanh có ba số hữu tỉ a+b, b+c, c+a Suy (a+b) + (b+c) – (c+a) = 2b số hữu tỉ, điều mâu thuẫn với b số vô tỉ Nếu ba cạnh tam giác màu đỏ có ba số vơ tỉ a+b, b+c, c+a, điều cần chứng minh Bài tốn 9: Cho đa giác A1A2…A1981 nội tiếp (O) Chứng minh số 64 đỉnh đa giác ln có đỉnh đỉnh hình thang Lời giải: Nhận xét: Nếu có hai dây cung (được tạo thành từ 1981 đỉnh đa giác) có độ dài khơng có đỉnh chung ta có hình thang Xét độ dài dây cung A1A2, A1A3,…., A1A1981 Ta thấy A1A2= A1A1981, A1A3= A1A1980,…., A1A991= A1A992 độ dài đôi khác nhau.Vậy có 990 độ dài dây cung có đỉnh A tất độ dài dây cung tạo thành từ 1981 điểm cho Trong 64 đỉnh có dây cung Vì có 990 độ dài suy có dây cung có độ dài Nếu dây cung đơi có đỉnh chung tạo thành tam giác (vì có dây cung chung đỉnh có độ dài) hình vẽ: Khi đường trịn chia thành cung nhau, suy số đỉnh đa giác phải số nguyên lần 3, điều vơ lí 1981 không chia hết cho Vậy dây cung có độ dài có hai dây cung khơng có chung đỉnh, hai dây cung tạo thành hình thang cân có đỉnh đỉnh đa giác ban đầu Bài toán 10: Trên tờ giấy kẻ caro ta lấy 101 ô (mỗi hình vng nhỏ) Chứng minh 101 ta ln chọn 26 ô đôi không chung cạnh đỉnh Lời giải: Ta tô màu vào ô caro màu xanh, đỏ, tím, vàng (như X Đ X Đ X Đ … hình vẽ) hai màu khơng chung cạnh, khơng chung đỉnh Có màu tơ 101 nên có 26 màu T V T V T V … Vậy có 26 ô không chung cạnh đỉnh X Đ X Đ X Đ … T V T V T V … … Bài toán 11: Từ đa giác 15 đỉnh, chọn chọn ba đỉnh tam giác cân đỉnh Chứng minh có đỉnh số đỉnh B2 C2 A2 C1 A3 B1 B3 A1 C3 C5 A4 B5 B4 C4 A5 Ký hiệu đỉnh liên tiếp đa giác 15 cạnh có ngũ giác rời đó, ta A1 A2 A3 A4 A5 , B1B2 B3 B4 B5 , C1C2C3C4C5 Theo nguyên lý Dirichlet đỉnh chọn có đỉnh thuộc ngũ giác kể Mặt khác ngũ giác đỉnh ba đỉnh tam giác cân Vậy đỉnh chọn tồn đỉnh đỉnh tam giác cân Bài tốn 12: Cho hình vng có cạnh 20 Bên hình vng chọn 2017 điểm phân biệt (khơng nằm cạnh hình vng) Xét tập hợp có 2021 điểm gồm đỉnh hình vng 2017 điểm chọn Chứng minh tồn tam giác có đỉnh thuộc với diện tích nhỏ Trước hết chọn điểm bên hình vng Nối điểm với đỉnh hình vng tạo tam giác Ta chọn điểm Hình Hình Tiếp theo chọn điểm khác bên hình vng Có hai trường hợp + Nếu điểm vừa chọn cạnh tam giác tạo thành ta nối Hình để tạo thành tam giác + Nếu điểm vừa chọn bên trong tam giác tạo thành ta nối Hình để tạo thành tam giác Như lần lấy thêm điểm số tam giác tạo thành tăng thêm Ta chọn với 2016 điểm ta có số tam giác tạo thành Tổng diện tích tam giác diện tích hình vng Suy có tam giác có diện tích khơng vượt q Ta có điều phải chứng minh Bài tốn 13: Một khu rừng thơng có dạng hình vng, chiều dài 1000m Trong khu rừng có 4500 thơng, to đường kính 0,5m Chứng minh khu vườn có 60 mảnh đất, diện tích mảnh , khơng có thơng Ngun lý Điricle độ đo: Bài toán 1: Trong hình vng cạnh ta vẽ số đường trịn có tổng chu vi 10 Chứng minh tồn đường thẳng cắt đường trịn chúng Lời giải: Giả sử hình vng cạnh ABCD Chiếu tất đường trịn nằm lên cạnh AB Hình chiếu đường tròn (Oi) đoạn thẳng AiBi đường kính di ( với i = 1, 2, …) Vì tổng chu vi đường trịn 10 nên (n số đường trịn) hay Vì đoạn thẳng AiBi chứa AB có tổng độ dài lớn 3AB nên tồn điểm điểm đoạn AiBi Khi đường thẳng d qua M, vng góc với AB cắt đường trịn có hình chiếu đoạn AiBi nói Bài tốn 2: Trong hình trịn có diện tích S lấy 17 điểm Chứng minh 17 điểm có ba điểm thẳng hàng lập thành hình tam giác có diện tích bé Lời giải: Nếu khơng có điểm 17 điểm thẳng hàng dễ dàng chứng minh dựng 15 tam giác đơi nằm ngồi (cùng chung điểm cạnh), tam giác có đỉnh 17 điểm cho Vì 15 tam giác dựng nằm hình trịn diện tích S nên phải có tam giác có diện tích bé (Hợp tam giác khơng thể trùng với hình trịn) Bài tốn 3: Trong hình vng có cạnh 10 kẻ 12 đoạn thẳng bất kỳ, đoạn có độ dài Chứng minh ta dựng hình trịn có bán kính nằm hình vng cho khơng có điểm chung với đoạn 12 đoạn Lời giải: Xét đoạn thẳng AB có độ dài Xét lân cận đoạn AB (tức tập hợp tất điểm có khoảng cách đến điểm gần AB không vượt 1) Dễ thấy lân cận đoạn AB hình gồm hai hình vng cạnh 1, chung cạnh AB, nằm hai phía AB ( ABNM ABPQ hình vẽ bên) hai nửa hình trịn nằm ngồi hình chữ nhật MNPQ có tâm A, B bán kính Lân cận AB có diện tích Bây giả sử hình vng ABCD cạnh 10 chứa 12 đoạn thẳng A iBi , đoạn có độ dài Xét hình vng MNPQ nằm ABCD có cạnh song song với cạnh ABCD cách cạnh ABCD khoảng (xem hình vẽ) Với đoạn A iBi ta dựng lân cận Tổng diện tích 12 lân cận Trong diện tích MNPQ 64 > 61,8 Do 12 lân cận đoạn cho khơng lấp kín hết MNPQ Do tồn điểm O thuộc MNPQ nằm ngồi tất lân cận Khi hình trịn tâm O bán kính nằm ABCD (vì có tâm thuộc MNPQ) khơng có điểm chung với đoạn 12 đoạn cho Bài tốn 4: Trong hình chữ nhật có diện tích S lấy 2005 điểm Chứng minh có ba điểm chúng thằng hàng lập thành tam giác có diện tích khơng vượt Lời giải: ( có nhiều cách Ta chia hình chữ nhật cho thành 1002 hình chữ nhật có diện tích chia vậy) Khi 2005 > 2.1002 nên có điểm 2005 điểm cho thuộc hình chữ nhật nhỏ Nếu điểm khơng thẳng hàng dễ thấy chúng ba đỉnh tam giác có diện tích khơng vượt q nửa diện tích hình chữ nhật chứa chúng tức không vượt Bài tốn 5: Trong hình vng cạnh lấy 100 điểm Chứng minh có điểm nằm hình trịn bán kính Lời giải: Giả sử điểm cho A1, A2,…, A100 Ta dựng hình trịn có tâm điểm bán kính Tổng diện tích 100 kình trịn 100 Tất hình trịn nằm hình vng MNPQ có cạnh 10 chứa hình vng ABCD cho Hình vng MNPQ có cạnh song song với cạnh ABCD cách chúng phía ngồi khoảng Ta có SMNPQ = 100 Vì MNPQ chứa tất hình trịn vẽ, tổng diện tích hình trịn 100 >3SMNPQ nên MNPQ có điểm O điểm chung hình trịn số 100 hình trịn Khi hình trịn tâm O bán kính chứa tâm hình trịn nói bên Bài toán 6: Cho điểm nằm hình trịn Chứng minh số điểm cho có điểm mà khoảng cách chúng nhỏ bán kính R hình trịn Lời giải: Trong số điểm cho, có điểm khơng trùng với tâm O hình trịn Mỗi điểm cho chắn nằm bán kính (O) *Nếu có điểm ( số điểm cho) thuộc bán kính khoảng cách hai điểm nhỏ bán kính R *Nếu bán kính qua điểm mà thơi có bán kính xác định góc tâm, số có góc Ta giả sử: Từ (*) suy Nếu (*) với A B số điểm cho không trùng với tâm O OB > AB  AB < R Nếu OA > AB  AB < R Vậy số điểm cho nằm hình trịn (O; R) có điểm mà khoảng cách chúng nhỏ bán kính R Bài tốn 7: Trong hình trịn (C) tâm O, bán kính R=2,5 cho 10 điểm Chứng minh có hai điểm mà khoảng cách chúng nhỏ Lời giải: Chia hình trịn (O; R) thành phần hình vẽ (gồm hình trịn bán kính tám “hình thang cong” – ta tạm gọi phần cịn lại hình quạt góc 45 nằm ngồi hình trịn tâm O bán kính “hình thang cong” ) Vì 10 điểm thuộc phần nên theo ngun lý Điricle có phần chứa hai điểm (giả sử A B) 10 điểm cho Xét hai trường hợp: - Hai điểm A, B năm hình trịn nhỏ: hiển nhiên AB < - Hai điểm A, B nằm cạnh “hình thang cong”cịn lại: Giả sử “hình thang cong” MNPQ Khi xét hình thang MNPQ có: Do khoảng cách hai điểm thuộc hình thang MNPQ miền nhỏ * Nếu A, B thuộc hình thang MNPQ miền ta có đpcm * Nếu A, B khơng nằm hồn tồn hình thang lấy đoạn OM điểm A’ cho OA’ = OA, lấy đoạn ON điểm B’ cho OB’ = OB Vì OA = OA’, OB=OB’ nên ta suy AB ≤ A’B’ < Vậy trường hợp AB < ( đpcm) Ngun lí Đirichlet đại số, số học Bài tốn 1: Cho 100 số nguyên dương Chứng minh rằng: Trong 100 số ln tồn vài số có tổng 100 Giải Nếu = aj với i  j hiển nhiên ta có tổng 50 số có tổng 100 Nếu a1  a2 lập dãy sau: a1, a2, a1 + a2, a1 + a2 + a3,…, a1 + a2 +…+ a99 (các số hạng thuộc [1, 199]) Nếu tồn số hạng dãy chia hết cho 100 số hạng 100 (đpcm) Nếu khơng có số hạng chia hết cho 100 100 số chia cho 100 có hai số hạng có số dư Hiệu chúng cho ta tổng cần tìm Bài tốn 2: Cho 10 số nguyên dương Chứng minh tồn số không đồng thời không cho số Giải Xét tất số có dạng: Ứng với Khi chia số , Đặt số , nên có tất số cho 1023 theo ngun lí Dirichle có hai số cho Giả sử chia hết cho 1023 , có hai cách chọn , với có dạng sau: , với ; , nên Vì khơng đồng thời khơng, , với Mặt khác Ta có nên Như vậy, ta chứng minh tồn 10 số không đồng thời không cho số chia hết cho 1023 Bài tốn 3: Trong thi, có 2015 học sinh đến từ 62 trường, học sinh làm thi Biết học sinh làm thi có hai thí sinh tháng sinh Chứng minh có thí sinh tháng sinh, làm thi đến từ trường Theo nguyên lí Dirichlet có học sinh đến từ trường Trong 33 học sinh có học sinh làm thi Ta chứng minh số tháng sinh học sinh tối đa Thật vậy, có học sinh có thang sinh đơi khác tría với giả thiết học sinh làm thi có hai học sinh có tháng sinh Lại theo nguyên lí Dirichlet, học sinh làm thi chọn có học sinh tháng sinh Và học sinh có tháng sinh, làm thi đến từ trường Bài tập tự luyện Trong hình vng có cạnh lấy 51 điểm Chứng minh có 51 điểm nằm đường trịn có bán kính Cho đường thẳng song song nằm ngang đường thẳng song song nằm dọc Người ta đánh dấu giao điểm chúng màu xanh, màu đỏ Chứng minh tồn hai đường nằm ngang hai đường nằm dọc mà giao điểm chúng đánh dấu màu Trên đường trịn cho 16 điểm tơ màu: xanh, đỏ, vàng Các dây cung nối điểm 16 điểm tô hai màu: tím, đen Chứng minh ta ln có 16 điểm tô màu dây cung nối chúng tô màu Cho hình vng có cạnh 20 Bên hình vng chọn 2006 điểm Xét tập A có 2010 điểm gồm đỉnh hình vng 2006 điểm vừa chọn Chứng minh tồn tam giác có đỉnh thuộc Avới diện tích nhỏ Cho đa giác gồm 2009 cạnh Người ta sơn đỉnh đa giác hai màu xanh đỏ Chứng minh tồn đỉnh sơn màu tạo thành tam giác cân Trong hình vng có cạnh 100 vẽ số đường trịn có bán kính Biết đoạn thẳng có độ dài 10 nằm hình vng cho cắt đường tròn số đường tròn Chứng minh số đường trịn vẽ khơng 416 10