Sáng kiến kinh nghiệm phát huy trí lực học sinh trong giải toán bất đẳng thức và cực trị

Phát huy trí lực học sinh giải Tốn bất đẳng thức cực trị PHẦN I: PHẦN MỞ ĐẦU I.1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Toán học mơn khoa học trí tuệ cao đồng thời chìa khố mở cửa, tạo cho tất ngành khoa học khác Song toán học mà đã, tiếp tục nghiên cứu phần lớn sở lý thuyết góp phần nhiều cho thành tựu khoa học thực nghiệm Lí học, Hố học, thiên văn học Tin học Ngay từ thời kì tiền lồi người, tốn học hình thành từ vật cụ thể để đến phép đếm so sánh Trải qua qú trình lao động sáng tạo người khơng chiếm lĩnh khoa học ngày đại sáng tạo, tìm quy luật số, phép tốn, cơng thức tốn học chân lý Ngày mơn Tốn chiếm ưu quan trọng giáo dục đặc biệt dạy học, học tập, địi hỏi người thầy giáo lao dộng nghệ thuật sáng tạo, tạo phương pháp để dạy em học sinh học giải tốn, nhiệm vụ trung tâm người thầy giáo dạy Toán Ai biết muốn giải toán phải luyện tập nhiều thơng qua việc giải tốn đa dạng, gải toán cách khoa học, kiên nhẫn tỉ mỉ, để tự tìm đáp sốcủa chúng Như nhà tâm lí học, tốn học cổ Xơ Clat nói “Những hiểu biết mà ta thu cách khơng khó khăn khơng lâu bền, (có thể giúp từ bên ngồi) mà ta tìm hiểu giống cối dụng thứ nước rễ chúng hút từ lịng đất” (Đối thoại tốn học) Để đạt nhiệm vụ giảng dạy muốn người thầy dạy tốn, học sinh phải kiên trì biết vận dụng kiến thức học nhiều tình khác Một tốn thường có nhiều cách giải, toán nằm dạng toán khác nhau, địi hỏi phải vận dụng kiến thức học nhiều lĩnh vực, nhiều mặt cách sáng tạo, phải xếp tốn Bùi Thị Nga– Trường THCS Mạo Khê II Phát huy trí lực học sinh giải Toán bất đẳng thức cực trị vào vấn đề việc khó, khó số tốn gặp hai nhiều vấn đề khác Trong chương trình phổ thơng cấp loại tập thật đa dạng, phong phú khơng phức tạp, mà học sinh gặp khó khăn Trong khn khổ đề tài này, xin nêu số phương pháp đề cập đến giải toán “Bất đẳng thức cực trị” Phải nói loại tốn khó, đa dạng chương trình cấp (từ lớp - 9) đề cập song học sinh gặp nhiều bế tắc đứng trước loại toán I.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU - Nhằm nâng cao chất lượng học tập mơn đại số nói chung Rèn luyện khả tư duy, giúp học sinh có hứng thú tốn học, khắc phục tình tạng thụ động, dập khn, máy móc q trình giải tập Giúp học sinh củng cố, khắc sâu kiến thức bất đẳng thức - tốn tìm giá trị lớn nhất, tìm giá trị nhỏ số dạng toán thường gặp I.3 THỜI GIAN, ĐỊA ĐIỂM I.3.1 THỜI GIAN - Thời gian để nghiên cứu đề tài năm I.3.2 ĐỊA ĐIỂM - Địa điểm để thực nghiệm đề tài học sinh lớp khối khối 9ủ trường THCS Mạo Khê II - Đơng Triều - Quảng Ninh I.4 ĐĨNG GĨP MỚI VỀ MẶT LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN Trong tình hình đổi nghiệp giáo dục, đặc biệt quan tâm tới học sinh có khiếu, ham học tập, đòi hỏi người thầy đặc biệt quan tâm, giúp đỡ em phương pháp giải toán Cũng loại tập hay đề cập đến kỳ thi học sinh giỏi từ cấp huyện thị trở lên, nói loại tốn bất đẳng thức - cực trị khơng mơn đại số hình học, khơng lý thuyết tốn, mà áp dụng thực tiễn Bùi Thị Nga– Trường THCS Mạo Khê II Phát huy trí lực học sinh giải Toán bất đẳng thức cực trị Từ vấn đề nêu trên, khó khăn, tác dụng, yêu cầu tốn học, lí để chọn đề tài: Phát huy trí lực học sinh giải toán “Bất đẳng thức - cực trị” lớp - PHẦN II: PHẦN NỘI DUNG II.1 CHƯƠNG : TỔNG QUAN Nắm định nghĩa bất đẳng thức, tính chất bất đẳng thức đại số, phương pháp chứng minh bất đẳng thức thường dùng Nêu số ví dụ áp dụng bất đẳng thức Một số dạng toán cực trị phương pháp giải chúng II.2 CHƯƠNG : NỘI DUNG VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU II.2.1 BẤT ĐẲNG THỨC Ta biết để so sánh hai số a, b a>b a-b>0 a0 A0 a-b b II.2.1.2.2 a > b a + m > b+ m a, b, m am > bm m > am < bm m < II.2.1.2.3 a > b b > c => a > c II.2.1.2.4 a > b c > d => a + c> b + c II.2.1.2.5 a > b ab > => II.2.1.2.6 a > b > c > d > => ac > bd II.2.1.2.7 a > b m Z+ => am > bm Bùi Thị Nga– Trường THCS Mạo Khê II Phát huy trí lực học sinh giải Tốn bất đẳng thức cực trị II.2.1.2.8 a > b n Z+ => Đó tính chất cần trang bị cho học sinh tiếp nhận vấn đề song tính chất khơng có tính chất hai chiều Trong giải tập địi hỏi việc biến đổi đồng hay tương đương vơ quan trọng, địi hỏi phải nắm kỹ kiến thức kĩ kĩ xảo Cũng cần trang bị cho em vốn kiến thức chứng minh công nhận bất đẳng thức để em giải nhanh góp phần cho tư để giải toán khó Ví dụ: Trong giải tốn ta lấy bất đẳng thức đáng nhớ như: (a b)2 (a + b - c + d +)2 Tổng quát hoá (a Hoặc b + +)2k 0 mà số dương => Hoặc: biểu thức có tổng độ dài yếu tố đoạn thẳng tính chất mối quan hệ cạnh (góc) tam giác II.2.1.3 Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức thường dùng II.2.1.3.1 Dựa vào định nghĩa tức để chứng minh: A > B ta xét: A - B A - B > khẳng dịnh A > B Nếu A - B < bất đẳng thức sai II.2.1.3.2 Dùng phép biến đổi tương đương (có nhiều cách biến đổi) chẳng hạn chứng minh A > B ta biến A -> M; B -> N so sánh M với N: M > N => A > B Hoặc biến đổi tương đương dựa vào tính chất bất đẳng thức II.2.1.3.3 Dụa vào bất đẳng thức biết đẳng thức nói (2) II.2.1.3.4 Dùng phép làm trội: thường chứng minh với bất đẳng thức dãy số Tách dãy thành nhóm có giá trị tổng đặc biệt theo quy luật định để tính giá trị tổng gồm nhiều hạng tử Giả sử: M1 + M2 + M3 + +Mn > P Bùi Thị Nga– Trường THCS Mạo Khê II Phát huy trí lực học sinh giải Tốn bất đẳng thức cực trị Khi ta tính ; II.2.1.3.5 Dùng phép phản chứng để chứng minh: Để chứng minh A > B ta giả sử A B từ dẫn đến điều trái giả thiết Ví dụ: Chứng mih: Giả sử: (vơ lý) Vậy II.2.1.3.6 Dùng phép trung toán (hay quy nạp toán học) II.2.1.3.7 Dùng phối hợp phương pháp cách hợp lí lơgic Nói chung tập bất đẳng thức đa dạng phức tạp Thơng thường tốn vận dụng phương pháp dùng định nghĩa, phép biến đổi tương đương phản chứng đỡ khó khăn gần gũi với học sinh kết hợp phương pháp Bài toán bất đẳng thức thường cho dạng biết số điều kiện chứng minh biểu thức, bất đẳng thức nhiều (hay đề cập) đại số song có hình học thường gặp Việc giải toán bất đẳng thức khó lẽ đương nhiên ngồi kiến thức liên quan tới bất đẳng thức, đòi hỏi phải vận dụng cách đắn trường hợp cho phù hợp Kĩ biến đổi tốt giúp cho giải đỡ dài dòng tránh sai lầm góp phần cho tư duy, sáng tạo cách chắn II.2.1.4 Thực tiễn giải tốn hướng dẫn (các ví dụ) II.2.1.4.1 Chứng minh a > b > a > b2 Dùng định nghĩa để chứng minh: Xét a2 - b2 = (a - b) (a + b) Vì a > b => a - b > a > b > => a + b > Bùi Thị Nga– Trường THCS Mạo Khê II Phát huy trí lực học sinh giải Tốn bất đẳng thức cực trị => (a - b) (a + b) > a2 - b > a2 > b2 Như sở điều phải chứng minh dùng định nghĩa kết hợp điều kiện cho biết để lí luận điều phải chứng minh Nếu ta thay đổi điều kiện ngược lại sau: Nếu a > 0, b > => a > b a2 > b2 dùng định nghĩa việc chứng minh xét a - b đến ta biến đổi tiếp được, ta khai thác điều kiện ta có: Vì a2 > b2 a2 - b2 > (a - b) (a + b) > Đến học sinh phải nắm việc xét tích m.n > m, n dấu để vận dụng vào tốn Vì a > 0; b > => a + b > mà (a -b) (a + b) > => a - b > a>b Trong bước đầu hình thành kĩ cho học sinh, giáo viên thường xuyên cho em chứng minh số bất đẳng thức đơn giản, sau chứng minh cơng nhận chúng để vận dụng vào toán phức tạp II.2.1.4.2 Chứng minh (a + b)2 4ab Khi dấu xảy ra? Dùng định nghĩa xét: (a + b)2 - 4ab a2 + b2 - 2ab = (a - b)2 => Dấu xảy a - b = a=b II.2.1.4.3 Cho a, b không âm Chứng minh Với điều kiện toán a )2; b = ( 0, b nên ta vận dụng: a = ( )2 Dùng phép biến đổi tương đương ta có: Bùi Thị Nga– Trường THCS Mạo Khê II Phát huy trí lực học sinh giải Toán bất đẳng thức cực trị Xét vế trái: VT a+b-2 =( )2 - nên => điều phải chứng minh Dấu “=” xảy a = b Thơng qua tốn giáo viên giới thiệu bất đẳng thức (bất đẳng thức Cơsi với số khơng âm) Có thể giới thiệu cơng thức (định lí CơSi) Với số khơng âm: a, b, c Ta ln có a + b + c Dấu xảy a = b = c Tổng quát a1 + a2 + +an n với (i = ) không âm Cần nhấn mạnh điều kiện để vận dụng định lí Cơsi với số khơng âm * Chứng minh bất đẳng thức: (a +b + c) ( ) với a, b, c > Cách 1: Xét (a +b + c) ( )=1+ =3+ Từ bất đẳng thứ đúng: (a - b)2 ta có: a2 + b2 2ab Do a, b > nên a.b > ta có: Tương tự: Hay (a +b + c) ( => + ) 9 Cách 2: Vận dụng bất đẳng thức Côsi với số không âm: Bùi Thị Nga– Trường THCS Mạo Khê II Phát huy trí lực học sinh giải Tốn bất đẳng thức cực trị Ta có: a +b + c => (a +b + c) ( ) =9 Rõ ràng vận dụng định lí Cơsi giải ngắn gọn hớn khơng phức tạp Trên sở sử dụng kết 4.2.1 vận dụng vào toán sau: Chứng minh bất đẳng thức: với x, y, z Dựa vào bất đẳng thức chứng minh ta thay a = y + z; b= z + x; c = x + y Rõ ràng a,b, c > Ta có bất đẳng thức Dấu “=” xảy khi: y + z = z + x = x + y hay x = y = z II.2.1.4.4 Chứng minh x2 + y2 = Đối với tốn ta khơng thể dùng trước định nghĩa hay biến đổi, áp dụng bất đẳng thức khác mà ta phải xuất phát từ bất đẳng thức Từ: x2 + y2 = (*) từ (x - y)2 Ta có: x2 + y2 2xy => 2xy (**) Cộng (*) với (**) ta có: x2 + 2xy + y2 (x + y)2 | x + y| Dấu xảy x=y= 2 hay x = y = - * Chứng minh a + b = a4 +b4 Xét a4 +b4 - Bùi Thị Nga– Trường THCS Mạo Khê II 10 Phát huy trí lực học sinh giải Tốn bất đẳng thức cực trị Dùng phép biến đổi đồng thức: Vì a + b = nên ta đặt: a=1+m b=1-m Có: a4 +b4 - = (1 +m)4 + (1 - m)4 - = + 4m + 6m2 + 4m3 + m4 + - 4m +6m2 - 4m3 + m4 - = 12m2 + 2m4 m2 Vậy từ => a4 +b4 Dấu “=” ; m4 a = b = a = b = -1 a + b = => a = b = -1 (loại) II.2.1.4.5 Cho số a, b, c, d.Chứng minh (ab + cd)2 (a2 + c2) (b2 + d2) (1) Dùng phép biến đổi tương đương: Từ (1) a2b2 + 2abcd + c2d2 a2d2 - 2adbc + b2c2 (ad - bc)2 a2b2 +a2d2 +c2b2 +c2d2 0 Đây đẳng thức với a, b, c, d R Dấu “=” xảy ad - bc = hay ad = bc để k = Trên bất đẳng thức Bunhiacopski Từ học sinh giỏi đưa trường hợp tổng qt mà khơng địi hỏi phải chứng minh việc chứng minh phức tạp học sinh cấp mà yêu cầu nhìn nhận sử dụng đến bất đẳng thức Cho 2n số a1, a2, an R b1, b2, bn Khi ta có (a1b1 + +anbn)2 (a R + + a ) ( b + + b ) Dấu “=” xảy Vận dụng kết toán 4.3.1 đưa toán: Cho 4x - 6y = Chứng minh 4x2 + 9y2 Bùi Thị Nga– Trường THCS Mạo Khê II Phát huy trí lực học sinh giải Tốn bất đẳng thức cực trị Thật từ giả thiết: 4x - 6y = 2.2x + (-2).3y = Rõ ràng a = 2; b = 2x; c = -2; d = 3y Ta có [2.2x + (-2).3y]2 [22 + (-2)2][(2x)2 + (3y)2] (4x2+ 9y2) 4x2 +9y2 Ta có: => x = ;y=- Vậy dấu “=” xảy x = ;y=- II.2.1.4.6 Loại toán dùng phương pháp làm trội Chứng minh bất đẳng thức: Rõ ràng vế trái gồm tổng 1000 phân số nhóm thứ (*) 250 hạng tử Vì nên (*) lớn Tương tự nhóm thứ hai: Nhóm thứ ba: Nhóm thứ tư: Vậy : II.2.1.4.7 Loại chứng minh quy nạp Bùi Thị Nga– Trường THCS Mạo Khê II 11 12 Phát huy trí lực học sinh giải Tốn bất đẳng thức cực trị Với số nguyên dương n bất đẳng thức sau đúng: 2n > n2 Dùng phương pháp quy nạp: Dùng phép thử: Với n = : > Với n = : 22 = 22 không Với n = 3, bất đẳng thức không Với n = : 25 > 52 Giả sử bất đẳng thức với n = k (k Z; k 5) 2k > k2 Ta phải chứng minh bất đẳng thức với n = k + nghĩa là: 2k+1 > (k +1)2 Thật 2k + 2k - (k2 + 2k + 1) (2k - k2) + [2k - [2k + 1] Vì 2k > k2 (đúng điều giả sử trên) Vì k => 2k > 2k+ Do bất đẳng thức với n = n * Cho An = + (n Z; n > 1) Chứng minh bất đẳng thức: Trong số phương pháp toán trình bày qua ví dụ phương pháp làm trội, phương pháp quy nạp gặp khó khăn em lẽ phương pháp đề cập trường phổ thông (loại trừ trường chuyên, lớp chọn) Do cần hướng dẫn chi tiết cho đối tượng học sinh không nêu nhiều mà cần tập trung cho phương pháp thông thường Kết thúc phần nêu số toán chứng minh bất đẳng thức tam giác II.2.1.4.8 Cho a, b, c số đo ba cạnh tam giác Chứng minh bất đẳng thức: a(b - c)2 +b(c - a)2 + c(a - b)2 + 4abc > a3 + b3 + c3 Đây tốn khó học sinh thấy a, b, c hiển nhiên số dương phải thấy quan hệ cạnh tam giác: a + b > c; b + c > a; a + c > b ( HH lớp 8) Bùi Thị Nga– Trường THCS Mạo Khê II Phát huy trí lực học sinh giải Tốn bất đẳng thức cực trị 13 Trước hết ta có nhận xét: c(a - b)2 + 4abc = c[(a - b)2 + 4ab]= c(a + b)2 a(b - c)2 +b(c - a)2 + c(a - b)2 + 4abc - a3 - b3 - c3 > Bất đẳng thức [a(b - c)2 - a3] + [b(c - a)2 - b3] + [ c(a - b)2 - c3 ] > a[(b - c)2 - a2] + b[(c - a)2 - b2] + c[(a - b)2 - c2 ] > a(b - c - a)(b - c + a) + b(c - a - b)(c- a + b) + c(a + b - c)(a + b + c)> a (a +b - c)(b - c - a) - b(a + b - c)(c - a + b) + (c(a+b - c) (a + b+c) > (a + b - c) (ab - ac- a2 - bc + ab - b2 + ac + ab + c2) > (a + b - c)(2ab - a2 - b2 + c2) > (a + b - c)[c - (a -b)2] > (a + b - c)(c + a - b)(c + b - a) > Bất đẳng thức cuối Vậy bất đẳng thức chứng minh * Cho tam giác ABC có chu vi 2p= a +b + c (a, b, c độ dài ba cạnh) Chứng minh rằng: Để giải dễ dàng cần đưa trước tốn sau: Cho x, y dương: Chứng minh Trên sở kết tốn giải dễ dàng tốn cho ban đầu II.2.2 TỐN CỰC TRỊ II.2.2.1 Lý luận Cực trị đồng nghĩa với giá trị lớn hay nhỏ biểu thức, để giúp học sinh ban đầu nắm vững sở lí luận ta đưa số vấn đề tính chất, đẳng thức có liên quan Ta nói M giá trị lớn (nhỏ nhất) biểu thức A hai điều kiện sau thoả mãn A M (Hằng số) hay A M (Hằng) Có lúc A = M ( điều kiện tốn để tốn xảy dấu bằng) ta nói biểu thức A đạt giá trị lớn (nhỏ nhất) M Bùi Thị Nga– Trường THCS Mạo Khê II 14 Phát huy trí lực học sinh giải Tốn bất đẳng thức cực trị MỘT SỐ TÍNH CHẤT HẰNG BẤT ĐẲNG THỨC: a2 0; a2= |a| - |a| 0; |a| = a a=0 a=0 |a|; - |a| = a = |a| a=0 |a + b| |a| + |b|; |a+b|= |a| + |b| |a - b| |a| - |b|; |a-b|= |a| - |b| ab ab 0 |a| |b| Vấn đề cực trị loại toán khó, đa dạng, phong phú mơn số học, đại số, hình học Trong khn khổ đề tài xin nêu số dạng quen thuộc môn đại số cấp 2, chủ yếu tập trung cho lớp vấn đề cực trị mà nhiều học sinh giỏi yêu cầu quan tâm thay nhiều lĩnh vực II.2.2.2 Các toán đại số cực trị số dạng sau phương pháp giải: II.2.2.2.1 A = |x+ a| + |x+b| + +|xn + p| với a, b, p Z Phương pháp giải Cách 1: Dựa vào tính chất giá trị tuyệt đối A = A giá trị biến để A = - A giá trị biến để A < - Xét tất nghiệm |xn + p| - Phân miền (khoảng) xác định - Lập bảng xét dấu - Tìm giá trị mà A đạt giá trị lớn (nhỏ nhất) khoảng (miền) xác định biến) Cách 2: Dựa vào bất đẳng thức tam giác II.2.2.2.2 A = + Phương pháp giải: - Trước hết xác định miền tam thức bậc dấu cho thích hợp Bùi Thị Nga– Trường THCS Mạo Khê II Phát huy trí lực học sinh giải Tốn bất đẳng thức cực trị 15 - Nếu biểu thức đưa dạng luỹ thừa tổng (hoặc hiệu) đưa dạng (1) - Nếu biến đổi biểu thức dạng:(mx n)2 + q tìm giá trị lớn hay nhỏ Lưu ý giá trị lớn (nhỏ nhất) phải thoả mãn với điều kiện tốn tìm phần đầu II.2.2.2.3 Dạng a1xn + a2xn+ a3xn - + +an Phương pháp: - Dùng phép biến đổi đồng để đưa dạng tổng số dương (hoặc âm) bị chặn số đó) II.2.2.2.4 Dạng A = Phương pháp: - Trước hết phải đặt điều kiện để mẫu số khác - Có thể đưa mẫu số dạng biểu thức dương (âm) lớn nhỏ số đó) - Có thể thực phép chia đa thức tử cho đa thức mẫu dạng: A= M + - Xác định giá trị x biểu thức phân để triệt tiêu để đưa dạng bản: A = M +Q(x) M A - M + Q(x) M Ngồi cịn có số dạng khác dạng phức tạp II.2.2.3 Thực tiễn giải tốn hướng dẫn II.2.2.3.1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = |x- 3| + | x - 5| Cách 1: Xét x - x |x - 3| = - x x < Bùi Thị Nga– Trường THCS Mạo Khê II 16 Phát huy trí lực học sinh giải Tốn bất đẳng thức cực trị x - x |x - 5| = - x x < Để dễ dàng xét miền ta lập bảng để xét x - + |x - 3| 3-x | x-3 |x - 5| 5-x | 5- x x-5 A -2x 2 2x - - Nếu x < A = -2x < => A < - Nếu x < A = - Nếu x A = 2x - Vậy giá trị nhỏ biểu thức A ứng với x Cách 2: Theo tính chất giá trị tuyệt đối: |a+ b| |a|+ |b| Nên A = | x - | + | x - 5| = | x - 3| + | 5- x| | x - + 5- x| = => A= với x hay (x - 3) (5 - x) II.2.2.3.2 Tìm giá trị x Z biểu thức M = |x- 2| + |x- 3| + |x - 4| + |x-5| với giá trị nhỏ Để giải nhanh ta sử dụng cách đặt: |x- 2| + |x - 4| =M1 |x- 3| + |x-5| = M2 sử dụng kết câu để tìm giá trị nhỏ M giá trị nhỏ M1+M2 II.2.2.3.3 Tìm giá trị nhỏ hàm số: y= - Rõ ràng biểu thức ln có nghĩa với x R - y= Bùi Thị Nga– Trường THCS Mạo Khê II 17 Phát huy trí lực học sinh giải Tốn bất đẳng thức cực trị = = Ta biểu diễn tọa độ: M (x; 0) A( Theo quan điểm tính độ dài đoạn thẳng AB ) B( - mặt phẳng toạ độ ) Như ta chuyển tốn dạng hình học cách biểu diễn toạ độ trục toạ độ Từ tốn dẫn tới: Cho điểm A, B cố định Tìm điểm M cho MA + MB nhỏ với M đường thẳng // với AB Khi lấy A’ đối xứng với A qua Ox Min(AM + BM) =Min(BM’ + M’A’) M’ (a’B, Ox) => Suy giá trị nhỏ toán x = giá trị y = II.2.2.3.4 Tìm giá trị nhỏ II.2.2.3.5 Tìm giá trị lớn nhỏ của: A = x2 + x+ Để giải toán phải dùng phép biến đổi để đưa dạng A = X2 + M Có A = x2 + x + = x2 + = (x + )2 + 3/4 ( x + -> AMin = 3/4 x + )2 + x+( )2 nên A = (x + )2 + 3/4 ắ = => x = -1/2 II.2.2.3.6 Tìm giá trị x, y M = x3 + y3 + xy nhỏ x+y=1 Ta biến đổi M = x3 + y3 + xy Bùi Thị Nga– Trường THCS Mạo Khê II Phát huy trí lực học sinh giải Tốn bất đẳng thức cực trị 18 (x + y) (x2 - xy + y2) +xy Vì x + y = => M = x2 - xy + y2 + xy = x2+ y2 Có y = - x => M = x2 + (1 - x)2 = x2 + - 2x + x2 M = 2x2 - 2x + Đến ta dùng phép biến đổi giống 3.1 2x2 - 2x + = 2(x2 - x + 1/4) +1/2 M = (x - 1/2)2 + 1/2 1/2 => M nhỏ =1/2 x = 1/2 => y = 1/2 II.2.2.3.7 Tìm giá trị lớn A = - Thực phép chia đa thức tử cho mẫu ta được: A= = giá trị lớn (được thương dư 3) đến A đạt đạt giá trị lớn ta biến đổi x - 2x + tương tự loại tốn phần (3) A=2+ Vì (x-1)2 + 1 nên A 2+ =5 Dấu “=” xảy x = A = Lưu ý loại học sinh hay mắc phải việc tìm giá trị: Để A lớn lớn lớn (x -1)2 + phải nhỏ II.2.2.3.8 Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức: A= Đây loại tốn có giá trị lớn giá trị nhỏ nên việc biến đổi A phải tuỳ theo việc tìm giá trị lớn hay nhỏ Bùi Thị Nga– Trường THCS Mạo Khê II Phát huy trí lực học sinh giải Toán bất đẳng thức cực trị 19 * Tìm giá trị lớn làm tương tự II.2.2.3.7 A= = Vì nên A lớn AMax = * Tìm giá trị nhỏ ta phải viết A dạng tổng số dương (việc khó khơng phải làm dễ dàng địi hỏi phải có kĩ kĩ xảo nhìn nhận cách thấu đáo) A= AMin = = x = -1 II.2.2.3.9 Tìm giá trị lớn nhỏ M = * Cuối phần xin trình bày vấn đề nhỏ việc áp dụng dùng bất đẳng thức để chứng minh giá trị lớn nhỏ nhất.Cụ thể áp dụng bất đẳng thức Côsi Nếu tổng số dương số tích chúng lớn số Gọi số x y; x + y = Áp dụng bất đẳng thức Côsi: xy đạt giá trị lớn Nếu tích số số tổng chúng nhỏ hai số Làm tương tự số x, y có xy = P (hằng số) Áp dụng bất đẳng thức Côsi hay Giá trị nhỏ x + y = Bùi Thị Nga– Trường THCS Mạo Khê II Phát huy trí lực học sinh giải Toán bất đẳng thức cực trị 20 Trong tất hình chữ nhật nội tiếp đường trịn bán kính R hình có diện tích lớn * Cịn nhiều tốn hình học khác thường dùng (vận dụng) bất đẳng thức để tìm giá trị lớn (nhỏ nhất) song phải nói tốn hình học khơng dễ dàng mà áp dụng trực tiếp mà phải thơng qua q trình biến đổi tạo đựơc tình phù hợp II.3 CHƯƠNG : PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU II.3.1 Kết Trong năm học 2007 - 2008 giảng dạy bình thường, không vào chuyên đề bất đẳng thức cực trị nên với kiến thức đề cập sách giáo khoa, sách ơn tập học sinh khó giải nhiều tập tốn chí hiểu lơ mơ, khơng biết vận dụng có, cơng nhận để sử dụng vào tập, vận dụng định nghĩa bất đẳng thức khó khăn Chính mà chất lượng làm loại tốn thấp Thí nghiệm cho tập: Chứng minh:Nếu a > 0, b > Đây toán lớp - Chương bậc Đa số học sinh khơng giải chất lượng kiểm tra đạt 20 25% Qua xét nghiệm qua kiểm tra học sinh thấy khơng giải sai sót sau: * Vì để chứng tỏ bất đẳng thức đúng, ta cần phải lập luận chặt chẽ, dựa tính chất bất đẳng thức Do nhiều học sinh phạm sai lầm sau: II.3.2.1 Trừ vế tương ứng bất đẳng thức chiều Chẳng hạn A > B C>D => A - C > B - D sai lầm lớn Ta lấy ví dụ cụ thể: > 3; > => - > 3- => -2 > (Vô lý) Bùi Thị Nga– Trường THCS Mạo Khê II Phát huy trí lực học sinh giải Toán bất đẳng thức cực trị 21 II.3.2.2 Bình phương vế bất đẳng thức mà không kiểm nghiệm; xem xét hai vế bất đẳng thức có dương hay khơng? (trong dạy luỹ thừa bậc có tính chất a> b (a , b > => a2 > b2) đưa phản ví dụ: > - 52< (-7)2 II.3.2.3 Sử dụng phép biến đổi khơng tương đương khác Vì phương pháp chứng minh bất đẳng thức đa dạng, chủ yếu dựa vào đặc thù riêng bất đẳng thức cần ý áp dụng nhiều cách khác để chứng minh; song có nhiều phối hợp nhiều phương pháp cách hợp lí mà giới thiệu phần lí luận Sau đúc rút thực tiễn học sinh, gắn dạy củng cố trang bị cho học sinh kiến thức bất đẳng thức giới thiệu số phương pháp chứng minh phương pháp suy nghĩ, sử dụng phương pháp cho hợp lí Dần dần em hiểu kĩ vấn đề, từ biết vận dụng đến có kĩ biến đổi, có phương pháp áp dụng tốt Vì năm học 2007 - 2008 kết cho thấy toán đưa em làm tương đối tốt đạt 65% 70% ngày gây niềm tin cho học sinh Cũng từ sở mà em giải toán cực trị Bởi toán cực trị áp dụng chủ yếu từ sở việc chứng minh bất đẳng thức II.3.2 Phương pháp II.3.2.1 Nghiên cứu lập luận qua đọc tài liệu tham khảo II.3.2.2 Tổng kết kinh nghiệm thực tế giảng dạy (đặc biệt bồi dưỡng học sinh giỏi) thân đồng nghiệp II.3.2.3 Tham gia lớp bồi dưỡng giáo viên Sở Giáo dục Đào tạo tổ chức PHẦN III: PHẦN KẾT LUẬN - ĐỀ NGHỊ Là người giáo viên trực tiếp giảng dạy trường phổ thông cấp thời gian định Do có số kinh nghiệm định Giải tốn cấp khơng phải đơn giản số người Bùi Thị Nga– Trường THCS Mạo Khê II Phát huy trí lực học sinh giải Toán bất đẳng thức cực trị 22 giảng dạy nhận xét Nếu đảm bảo kiến thức scsh giáo khoa điều kiện cần, songchưa đủ mà phải đòi hỏi người giáo viên cần phải sâu vào vấn đề cụ thể nghiên cứu nghiêm túc hiểu thật sâu sắc PoLia có nói “Phải hứng thú hiểu biết mơn học mình” Có “giúp đỡ” học sinh học tập có kết cao Trong dạy học ngồi người thầy khơng nắm vững kiến thức, mà điều vô quan trọng tới chất lượng học học sinh phương pháp dạy -dạy để em dễ hiểu, hiểu kĩ, chất vận dụng tốt sáng tạo, tìm cách giải tốn cách độc lập Có người thầy cịn nhà biểu diễn “nghệ thuật” tài tình khó khăn Là giáo viên trực tiếp giảng dạy em, thân ln ln có suy nghĩ “Dạy để em học nhanh có kết tốt Trong đề tài với khn khổ cịn hạn chế, số phương pháp khác chưa đề cập hết Trong có phương pháp chưa địi hỏi học sinh phổ thơng cấp với phương pháp hướng dẫn chu đáo thầy học sinh tự giải nhiều loại tập, từ toán đơn giản, đến toán phức tạp; với kiến thức trang bị em học sinh phát huy khả mình, tạo sở cho có cách nhìn, phán đốn đúng, đồng thời có kĩ biến đổi, áp dụng công thức điều biết Thông qua giải toán bất đẳng thức mà giúp em giải toán cực trị cách khơng khó khăn Cái khó giảng dạy người thầy dạy làm đóng vai trị “bà đỡ” cịn học sinh phải tự tìm thấy say mê học tập, tiếp thu kiến thức Mặc dù giành nhiều thời gian, cơng sức, tìm hiểu, rút kinh nghiệm cố gắng đề tài song nhiều lí do, lí cịn hạn chế kiến thức phương pháp nên đề tài khơng thể tránh khỏi thiếu xót.Tơi mong đóng góp, bổsung Tơi xin chân thành cảm ơn! Bùi Thị Nga– Trường THCS Mạo Khê II 23 Phát huy trí lực học sinh giải Tốn bất đẳng thức cực trị Mạo Khê, ngày 20 tháng năm 2008 NGƯỜI VIẾT Bùi Thị Nga PHẦN IV: TÀI LIỆU THAM KHẢO - PHỤC LỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO - Sách giáo khoa Đại số Lớp 8,9 NXB GD - Sách ơn tập Tốn, NXB Hà Nội - Đại số Hoàng Chúng: Đinh Quang Hảo, Nguyễn Ngọc Huân, Phan Hoàng Quý, Nguyễn Văn Vinh - Một số phương pháp chọn lọc, giải tốn sơ cấp - Phan Đức Chính, Nguyễn Văn Mậu - Giải toán - Polia - Những toán chọn lọc- Đại số, số học - Đỗ Đức Thái - Sáng tạo toán học - Hồng Chúng - Tốn chọn lọc cấp - Lê Hải Châu PHỤ LỤC I PHẦN MỞ ĐẦU .1 I.1 Lý chọn đề tài .1 I.2 Mục đích nghiên cứu Bùi Thị Nga– Trường THCS Mạo Khê II Phát huy trí lực học sinh giải Toán bất đẳng thức cực trị 24 I.3 Thời gian địa điểm I.4 Đóng góp mặt lí luận, mặt thực tiễn II PHẦN NỘI DUNG II.1 Chương 1: Tổng quan II.2 Chương 2: Nội dung vấn đề nghiên cứu I.3 Chương 3: Phương pháp nghiên cứu, kết nghiên cứu III PHẦN KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ IV TÀI LIỆU THAM KHẢO Bùi Thị Nga– Trường THCS Mạo Khê II