Microsoft Word TOM TAT LUAN VAN doc BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN VĂN HẢI KHÔNG GIAN D Chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp Mã số 60 46 40 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng Năm[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN VĂN HẢI KHÔNG GIAN D Chuyên ngành : Phương pháp Tốn sơ cấp Mã số : 60.46.40 TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2013 Cơng trình hồn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học : TS CAO VĂN NUÔI Phản biện 1: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến Phản biện 2: PGS.TS Huỳnh Thế Phùng Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ Khoa học họp Đại học Đà Nẵng vào ngày 15 tháng 12 năm 2013 Có thể tìm hiểu luận văn : - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện Trường Đại học Kinh tế, Đại học Đà Nẵng MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Không gian C thích hợp để mơ tả q trình ngẫu nhiên q trình Poisson, khơng thuận lợi để nghiên cứu chuyển động Brown chứa hàm bước nhảy Chính lý đó, người ta khảo sát không gian D, không gian hàm liên tục phải có giới hạn bên trái Để nghiên cứu tìm hiểu rõ mở rộng ứng dụng tơi chọn việc nghiên cứu không gian D để làm đề tài luận văn tốt nghiệp bậc cao học Mặc dù cịn nhiều hạn chế việc tiếp cận khái niệm tốn học đại, tơi cố gắng thực thành công đề tài “Không gian D” để kết thúc bậc cao học Mục đích nghiên cứu Mục đích đề tài nghiên cứu không gian lớp hàm liên tục phải có giới hạn trái Đề tài khảo sát tơpơ Skorohod, tính compact D tập hữu hạn chiều, sau đề tài khảo sát hội tụ yếu tính tight D Nhiệm vụ nghiên cứu Nhiệm vụ đề tài khảo sát từ tính chất hình học đến tơpơ khơng gian D Tính tight, compact hội tụ yếu đề tài quan tâm khảo sát Phương pháp nghiên cứu Tập hợp tài liệu liên quan đến không gian D, sách chuyên khảo mạng internet Sau đó, xếp kiến thức theo trình tự phù hợp để hồn thành luận văn theo nội dung vạch Ý nghĩa khoa học thực tiễn Luận văn tài liệu tham khảo không gian D vấn đề liên quan Nó sử dụng để khảo sát số vấn đề xác suất đại CHƯƠNG MÔ TẢ HÌNH HỌC CỦA KHƠNG GIAN D Khơng gian C (khơng gian hàm thực liên tục [0,1]) thích hợp để mơ tả q trình ngẫu nhiên q trình Poisson, khơng thuận lợi để nghiên cứu chuyển động Brown chứa hàm bước nhảy Trong chương nghiên cứu hội tụ yếu không gian bao gồm hàm không liên tục 1.1 KHÔNG GIAN D Giả sử D = D[0,1] không gian hàm số x [0;1], liên tục phải có giới hạn bên trái, nghĩa là: (i)Với ≤ t < , tồn x(t + ) = lim s↓t x( s ) (ii) Với x(t+)= x(t) < t ≤ , tồn x(t − ) = lim s↑t x( s) Một hàm x gọi gián đoạn loại t tồn x(t-) x(t+) khác x(t) nằm chúng Bất kỳ gián đoạn phần tử D thuộc loại x(t) = x(t+) Tất nhiên, C[0 ;1] tập hợp D, (C[0 ;1] tập hàm số liên tục [0 ;1]) Với x ∈ D T0 ⊂ [ 0,1] , đặt w x (T0 ) = sup { x ( s ) − x (t ) : s, t ∈ T0 } (1.1) Mô đun liên tục x định nghĩa bởi: w x (δ ) = w( x, δ ) = sup s −t 3, n (1.21) cho có dãy (khơng hội tụ) {xn} khơng phải d0-cơ Nếu d0 (x, y) < ε , (1.17) (1.18) thỏa mãn với thuộc Λ Nếu ε < λ , từ λ (0) = , log(1 − 2ε ) < −ε ≤ log λt t ≤ ε < log(1 + 2ε ), cho λ t − t ≤ 2ε Do d ( x, y ) ≤ 2d ( x, y ) d0 ( x, y) < (1.22) So sánh (1.15) (1.21) suy khơng có bất đẳng thức theo chiều ngược lại với (1.22) Bổ đề sau đây, cho thấy, d0(x, y) bé d(x, y) wx' (δ ) hai bé Bổ đề Nếu d ( x, y ) < δ , 0 a} ≤ η , n ≥ (ii) Với ε η dương, tồn δ , < δ < , số nguyên n0 cho Pn { x : w "x (δ ) ≥ ε } ≤ η , (2.7) n ≥ n0 , cho Pn { x : w x [0, δ ) ≥ ε } ≤ η , n ≥ n0 , (2.8) cho Pn { x : w x [1-δ ,1) ≥ ε } ≤ η , n ≥ n0 (2.9) Định lý 2.4 Giả sử Pnπ t−1 tk ⇒ Pπ t−1 tk nghiệm với t1 , , tk (2.10) nằm TP Giả sử thêm P ( J1 ) = Cuối giả sử rằng, với ε η dương, tồn δ, < δ < , số nguyên n0 cho Pn { x : w "x (δ ) ≥ ε } ≤ η , n ≥ n0 (2.11) 15 Khi đó, Pn ⇒ P Định lý 2.5 Giả sử rằng, với số η dương, tồn a cho Pn { x : x(0) > a} ≤ η , n ≥ Giả sử thêm rằng, với ε η (2.17) dương, tồn δ, < δ < , số nguyên n0 cho Pn { x : w x (δ ) ≥ ε } ≤ η , n ≥ n0 (2.18) Thì Pn có tính tight, và, P giới hạn yếu dãy {Pn} P(C) = 2.3 PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN TRONG D Chúng ta thường gọi phần tử ngẫu nhiên D hàm ngẫu nhiên Nếu X ánh xạ từ (Ω,B,P) vào D với ω, X (ω ) phần tử D mà giá trị t ký hiệu X (t ,ω ) Với t, X(t) biểu thị hàm thực π t X Ω giá trị ω X (t , ω ) Như không gian C, X phần tử ngẫu nhiên D(X-1D ⊂ B ) với t, X(t) biến ngẫu nhiên Một dãy {Xn} phần tử ngẫu nhiên D gọi có tính tight dãy phân phối tương ứng có tính tight Mỗi định lý từ định lý 2.1 đến 2.5 thiết lập lại tương tự cho hàm ngẫu nhiên Cho Xn X phần tử ngẫu nhiên D Viết TX cho TP, mà P phân phối X Vì TX có chứa 1, < t < , 16 t ∈ TX P{ X (t ) ≠ X (t − )} = Chúng ta viết w "x ( X , δ ) thay cho w"x (δ ) Định lý 2.6 Giả sử D ( X n (t )1 , , X n (tk ) ) → ( X (t1 ), , X (tk ) ) (2.20) nghiệm với t1 , , tk nằm TX; mà P{ X (1) ≠ X (1− )} = ; P{ X n (t ) − X n (t1 ) ≥ λ , X n (t2 ) − X n (t ) ≥ λ} ≤ λ 2γ [F (t2 ) − F (t1 )]2α (2.21) với t1 ≤ t ≤ t2 n ≥ , γ ≥ , α > , F hàm liên tục D khơng giảm [0,1] Khi đó, X n →X Có phiên hạn chế (2.21) liên quan đến mômen, cụ thể { γ E X n (t ) − X n (t1 ) X n (t2 ) − X n (t ) γ } ≤ [ F (t ) − F (t )] 2α 2.4 TIÊU CHUẨN HỘI TỤ Định lý 2.7 Tồn D phần tử ngẫu nhiên với phân phối hữu hạn chiều µt , ,t k giả sử phân phối tương thích,miễn là: µt +t {( β1, β , β ) : β − β1 ≥ λ , β2 − β ≥ λ} ≤ λ 2γ 2α [ F (t2 ) − F (t1 )] (2.31) 17 γ ≥ 0, α > với t1 ≤ t ≤ t2 , F hàm liên tục khơng giảm [0,1] giả sử lim µt1 ,t +h {( β1 , β ) : β1 − β ≥ ε } = , ≤ t < h↓0 (2.32) Có phiên hạn chế điều kiện (2.31) là: ∫ β −β R3 γ 2α γ β − β d µt +t ( β1 , β , β ) ≤ [ F (t2 ) − F (t1 )] 2.5 QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊU TÁCH ĐƯỢC Định lý 2.8 Nếu {ξt : ≤ t ≤ 1} trình ngẫu nhiên tách được, tồn (D, D) độ đo xác suất có phân phối hữu hạn chiều giống {ξt } đường dẫn mẫu, với xác suất 1, liên tục phải t = 0, có giới hạn trái t = liên tục (0,1) trừ điểm gián đoạn loại Một ví dụ cho thấy tiếp tục chứng minh đường dẫn phải liên tục D (với xác suất 1): Xác định 0 nÕu ≤ t ≤ ω , 1 nÕu ω ≤ t ≤ ξt (ω ) = trường hợp ω lấy Ω = (0,1) Điều thể thực tế để phần tử D liên tục phải, theo khẳng định định lý 18 CHƯƠNG CÁC ÁP DỤNG 3.1 ĐỊNH LÝ DONKER Định lý 3.1 Giả sử biến ngẫu nhiên ξ n độc lập phân phối với trung bình 0, phương sai σ dương: E{ξ n } = , E{ξ 2n } = σ (3.1) Khi hàm ngẫu nhiên Xn xác định (3.1) thỏa mãn D X n →W (3.2) Định lý 3.2 Cho E1, E2, tập hợp đo không gian xác suất (Ω, B, P) Giả sử tồn số α liên tục trường B0 B mà P( En ∩ E ) → α P ( E ) (3.5) với E B0 Giả sử thêm tất En nằm σ(B0) Nếu P0 liên tục tuyệt đối P, độ đo xác suất thứ hai B, P0 ( En ) → α (3.6) Định lý 3.3 Định lý 3.1 P thay độ đo xác suất P0 liên tục tuyệt đối P Định lý 3.4 Giả sử ξ n độc lập có hàm phân phối chung F(t) Nếu xn xác định (3.14),do D Yn →Y , (3.15) Trong Y phần tử ngẫu nhiên Gaussi D, đặt trưng