Trang 28 MỤC LỤC A ĐẶT VẤN ĐỀ I Lý do chọn đề tài 1 II Mục đích và nhiệm vụ 1 III Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2 IV Phương pháp và nhiệm vụ nghiên cứu 2 V Cơ sở nghiên cứu 2 B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Chư[.]
- - MỤC LỤC A ĐẶT VẤN ĐỀ I Lý chọn đề tài II Mục đích nhiệm vụ: III Đối tượng phạm vi nghiên cứu IV Phương pháp nhiệm vụ nghiên cứu V Cơ sở nghiên cứu B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Chương I : Các phương pháp I Phương pháp đặt nhân tử chung II Phương pháp dùng đẳng thức III Phương pháp nhóm nhiều hạng tử IV Phối hợp nhiều phương pháp (các phương pháp trên) Chương II: Các phương pháp đặc biệt I Phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác II Phương pháp thêm bớt hạng tử 10 III Phương pháp đặt ẩn phụ (Đổi biến) 12 IV Phương pháp tìm nghiệm đa thức 13 V Phương pháp hệ số bất định 16 VI Phương pháp xét giá trị riêng 17 Chương III: Một số tốn áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử 19 I Bài toán chứng minh chia hết 19 II Bài tốn tìm GTLN, GTNN 20 III Bài toán rút gọn 21 IV Bài toán chứng minh đẳng thức 22 V Tìm giá trị biến để biểu thức có giá trị nguyên 23 VI Giải số phương trình 24 C KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ I Kết luận ………… 26 II Khuyến nghị…… 26 A ĐẶT VẤN ĐỀ “Hướng dẫn giải tập có áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8” - - I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Là giáo viên dạy Toán trường THCS suy nghĩ để kiến thức truyền đạt đến em cách đơn giản, dễ hiểu, giúp em có kiến thức vững vàng, hứng thú việc học tập môn Tốn, tránh cho em có suy nghĩ mơn Tốn khơ khan khó tiếp cận Trong chương trình tốn học phổ thơng nói chung mơn tốn nói riêng, phân tích đa thức thành nhân tử vấn đề đặc biệt quan tâm Vì sử dụng nhiều giải toán đa thức, rút gọn phân thức, quy đồng mẫu thức phân thức, biến đổi đồng biểu thức hữu tỉ, chứng minh đẳng thức, giải phương trình xuyên suốt trình học tập sau học sinh Vì yêu cầu học sinh nắm vận dụng nhuần nhuyễn phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vấn đề quan trọng Nắm tinh thần trình giảng dạy tốn lớp tơi dày cơng tìm tịi, nghiên cứu để tìm phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đa dạng dễ hiểu Góp phần rèn luyện kĩ rèn luyện trí thơng minh lực tư sáng tạo cho em Để giúp đỡ em học sinh tiếp cận khai thác lời giải toán phân tích đa thức thành nhân tử tốn áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử trình giải, nhằm nâng cao kiến thức cần thiết giúp em học tốt mơn tốn đồng thời phát huy trí tuệ học sinh Qua q trình giảng dạy mơn Tốn mạnh dạn đưa sáng kiến “Hướng dẫn giải tập có áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8” nhằm giúp em nắm vững số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, đồng thời rèn luyện kĩ giải số tập có áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, thấy cơng cụ đắc lực giải số loại tốn Và qua nhằm phát huy trí tuệ học sinh, góp phần nâng cao chất lượng dạy học II MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ Mục đích: - Trước yêu cầu đổi phương pháp dạy - học, giáo viên cần học hỏi, vận dụng, phát triển dạy học theo phương pháp dạy học tích cực nhằm phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo em học sinh - Nhằm khắc sâu nội dung phân tích đa thức thành nhân tử, giúp học sinh nắm phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, rèn luyện nhiều kĩ giải số tập có áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử, qua phát tiển lực tư duy, lực sáng tạo học sinh “Hướng dẫn giải tập có áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8” - - Nhiệm vụ: - Trong tiết dạy giáo viên phải thường xuyên uốn nắn kĩ vận dụng kiến thức phân tích đa thức thành nhân tử cách linh hoạt vào dạng tập cụ thể - Dạy học không cung cấp kiến thức mà tập dượt cho học sinh phương pháp làm kiến thức III ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU Đối tượng: Học sinh THCS nói chung khối nói riêng trường THCS Phạm vi: Một số phương pháp, số toán áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử mơn tốn lớp IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Phương pháp luyện tập, kiểm tra - Phương pháp nghiên cứu tài liệu thực tế giảng dạy - Phương pháp trao đổi với đồng nghiệp V KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU Từ tháng năm 2021 đến tháng năm 2022 VI CƠ SỞ NGHIÊN CỨU Cơ sở lý luận: Để góp phần thực thành cơng đổi phương pháp dạy học theo hướng tích cực hố hoạt động học học sinh tổ chức hướng dẫn giáo viên, để học sinh tự giác chủ động tìm tịi, phát giải nhiệm vụ nhận thức vận dụng linh hoạt, sáng tạo kiến thức kĩ thu nhận vào thực hành việc hướng dẫn rèn luyện kĩ vận dụng kiến thức vào giải tập cần thiết Muốn phân tích đa thức thành nhân tử cách thành thạo nhanh chóng trước tiên phải hiểu, phân tích đa thức thành nhân tử phân tích đa thức cho thành tích đa thức, sau nắm phương pháp phương pháp nâng cao để giải số tốn có liên quan Cơ sở thực tiễn: Thực tế qua giảng dạy trường THCS nhận thấy bên cạnh số đông học sinh học tốt toán, em vững kiến thức giải thành thạo tốn sách giáo khoa, cịn giải tốn dạng nâng cao Nhưng cịn số em học tốn cịn chậm, tiếp thu kiến thức cịn hạn chế, thực hành tính tốn cịn nhầm lẫn, khơng xác Khi thực phân tích đa thức thành nhân tử lúng túng, chậm chạp, “Hướng dẫn giải tập có áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8” - - trình bày chưa rõ ràng, thiếu lôgic, thiếu khoa học Chưa biết vận dụng phương pháp phân tích học vào dạng tốn khác Các em chưa có phương pháp học tập tốt, thường học vẹt, học máy móc, thiếu nhẫn nại gặp tốn khó Chính q trình giảng dạy tơi cố gắng để em học sinh ngày thêm u thích mơn Tốn hơn, hình thành cho học sinh kĩ năng, tư giải toán, tạo điều kiện giúp em tiếp thu cách chủ động, sáng tạo tránh sai sót Kết kiểm tra phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Năm học Lớp Sĩ số Giỏi - 10 Khá 7-8 T Bình 5-6 Yếu 3-4 Kém 1- 2020 - 2021 8A8 56 12/56 21% 18/56 32% 21/56 38% 5/56 9% 0% Cho thấy số học sinh chưa thực phép phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp khác cao so với sĩ số học sinh lớp Ở lớp em không nắm vững cách phân tích đa thức thành nhân tử em gặp khó khăn học chương phân thức đại số giải phương trình sau Từ thực trạng đưa giải pháp cụ thể để giúp em học sinh lớp nói riêng học sinh THCS nói chung thực tốt tốn liên quan đến phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp khác Trong năm học 2021 - 2022 nghiên cứu đưa vào đề tài giải pháp giảng dạy sát với thực tế Mong với giải pháp thiết thực giúp học sinh học tốt mơn tốn lên lớp B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CHƯƠNG I: CÁC PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN “Hướng dẫn giải tập có áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8” - - I PHƯƠNG PHÁP ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG Phương pháp giải: - Khi phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp đặt nhân tử chung ta thường làm sau: + Tìm nhân tử chung + Phân tích hạng tử thành tích nhân tử chung nhân tử khác + Viết nhân tử chung dấu ngoặc, viết nhân tử lại hạng tử dấu ngoặc với dấu chúng - Khi phân tích phương pháp ta dựa vào tính chất phân phối phép nhân phép cộng đa thức: AB + AC = A(B +C) Ví dụ: Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) 5x2y - 10xy2 b) 4x(2y - z) + 7y(z - 2y) c) 3x3y2 - 6x2y3 + 9x2y2 d) 7x(y - 4)2 - (4 - y)3 Giải: a) Cả hai hạng tử đa thức chứa nhân tử chung 5xy, ta có: 5x2y - 10xy2 = 5xy(x - 2y) b) Nhiều để làm xuất nhân tử chung, ta cần đổi dấu hạng tử: A = - (-A) Nhận xét: z - 2y 2y - z hai đa thức đối nên để làm xuất nhân tử chung ta đổi dấu hạng tử 7y(z - 2y) thành -7y(2y - z), ta có: 4x(2y - z) + 7y(z - 2y) = 4x(2y - z) - 7y(2y - z) = (2y - z)(4x - 7y) c) 3x3y2 - 6x2y3 + 9x2y2 = 3x2y2(x - 2y + 3) d) 7x(y - 4)2 - (4 - y)3 = 7x( - y)2 - (4 - y)3 = (4 - y)2(7x + y - 4) II PHƯƠNG PHÁP DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC Phương pháp giải: Áp dụng bảy đẳng thức đáng nhớ dạng “Tổng hiệu” đưa “Dạng tích”: Đưa bình phương tổng : A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 Đưa bình phương hiệu: A2 - 2AB + B2 = (A - B)2 “Hướng dẫn giải tập có áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8” - - Hiệu hai bình phương: A2 - B2 = (A + B)(A - B) Đưa lập phương tổng: A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 = (A + B)3 Đưa lập phương hiệu: A3- 3A2B + 3AB2 - B3 = (A - B)3 Tổng hai lập phương : A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2) Hiệu hai lập phương: A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2) Ví dụ: Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) 25x4 + 10x2y + y2 b) 8x3y6 - c) (x2 + 1)2 - 6(x2 + 1) + Giải: Mỗi hạng tử đa thức khơng có nhân tử chung nên khơng thể phân tích đa thức thành nhân tử cách đặt nhân tử chung Có thể áp dụng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử a) 8x3y6 - =(2xy2)3 - 13 = (2xy2 - 1)(4x2y4 + 2xy2 + 1) b) 25x4 + 10x2y + y2 = (5x2)2 + 2.5x2.y + y2 = (5x2 + y)2 c) (x2 + 1)2 - 6(x2 + 1) + = (x2 + 1)2 - 2.(x2 + 1).3 + 32 = (x2 + - 3)2 = (x2 - 2)2 III PHƯƠNG PHÁP NHÓM NHIỀU HẠNG TỬ Phương pháp giải: Khi sử dụng phương pháp ta cần nhận xét đặc điểm hạng tử kết hợp hạng tử thích hợp, nhằm làm xuất dạng đẳng thức xuất nhân tử chung nhóm, dùng phương pháp biết để phân tích đa thức thành nhân tử AC - AD + BC - BD = A(C - D) + B(C - D) = (C - D)(A + B) Ví dụ: Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) 3xy + x + 15y + b) - x2 + 2xy - y2 c) 4x2 + 8xy - 3x - 6y d) x2 - y2+ 2xz + z2 Giải: a) Cách 1: Nhóm hạng tử thứ với hạng tử thứ hai, hạng tử thứ ba với hạng tử thứ tư, ta có: “Hướng dẫn giải tập có áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8” - - 3xy + x + 15y + = (3xy + x) + (15y + 5) = x(3y + 1) + 5(3y + 1) = (3y + 1)(x + 5) Cách 2: Nhóm hạng tử thứ với hạng tử thứ bai, hạng tử thứ hai với hạng tử thứ tư, ta có: 3xy + x + 15y + = (3xy + 15y) + (x + 5) = 3y(x + 5) + (x + 5) = (x + 5)(3y + 1) Nhận xét: Trong ví dụ trên, ta nhóm hạng tử thích hợp để sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung Đối với đa thức vó nhiều cách nhóm hạng tử thích hợp b) - x2 + 2xy - y2 = - (x2 - 2xy + y2) = 32 - (x - y)2 = ( + x - y)(3 - x + y) Nhận xét: Trong cách giải trên, ta đa nhóm ba hạng tử cuối đa thức đưa vào dấu ngoặc đằng trước có dấu “- ” để phân tích đa thức phương pháp dùng đẳng thức c) 4x2 + 8xy - 3x - 6y = (4x2 + 8xy ) - (3x + 6y) = 4x.(x + 2y) - 3(x + 2y) = (x + 2y)(4x - 3) d) x2 - y2 + 2xz + z2 = (x2 + 2xz +z2) - y2 = (x + z)2 - y2 = (x + y + z)(x - y + z) IV PHỐI HỢP NHIỀU PHƯƠNG PHÁP - Trong thực hành giải toán thường phải phối hợp ba phương pháp kể để phân tích đa thước thành nhân tử Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: M1 = 3a - 3b + a2 - 2ab + b2 Giải: M1 = 3a - 3b + a2 - 2ab + b2 = (3a - 3b) + (a2 - 2ab + b2) (Nhóm hạng tử) = 3(a - b) + (a - b)2 (Đặt nhân tử chung dùng đẳng thức) = (a - b) (3 + a - b) (Đặt nhân tử chung) Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: M2 = a2 - b2 - 2a + 2b Giải: M2 = a2 - b2 - 2a + 2b = (a2 - b2) - (2a - 2b) (Nhóm hạng tử) = (a - b) (a + b) - 2(a - b) (Dùng đẳng thức đặt nhân tử chung) = (a - b) (a + b - 2) (Đặt nhân tử chung) - Để phối hợp nhiều phương pháp vào phân tích đa thức thành nhân tử cần ý bước sau đây: + Đặt nhân tử chung cho đa thức từ làm đơn giản đa thức “Hướng dẫn giải tập có áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8” - - + Xét xem đa thức có dạng đẳng thức khơng ? + Nếu khơng có nhân tử chung, khơng có đẳng thức ta nhóm hợp lý hạng tử để làm xuất nhân tử chung xuất đẳng thức nhóm Cụ thể ví dụ sau: Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: M3 = 5a2 + 3(a + b)2 - 5b2 Ta thấy M3 khơng có dạng đẳng thức, hạng tử khơng có nhân tử chung, làm để phân tích Quan sát kỹ ta thấy hai hạng tử 5a 2, - 5b2 có nhân tử chung Vì ta dùng phương pháp nhóm hạng tử : M3 = (5a2 - 5b2) + 3(a + b)2 (Nhóm hạng tử) 2 M3 = 5(a - b ) + 3(a + b) (Đặt nhân tử chung) M3 = 5(a + b)(a - b) + 3(a + b)2 (Dùng đẳng thức) M3 = (a + b)[5(a - b) + 3(a + b)] (Đặt nhân tử chung) M3 = (a + b)(8a - 2b) = 2(a + b)(4a - b) (Đặt nhân tử chung) Ví dụ 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: M4 = 3x3y - 6x2y - 3xy3 - 6xy2z - 3xyz2 + 3xy Trước hết xác định xem dùng phương pháp trước ? Ta thấy hạng tử chứa nhân tử chung 3xy + Đặt nhân tử chung: M4 = 3xy (x2 - 2x - y2 - 2yz - z2 + 1) Trong ngoặc có hạng tử xét xem có đẳng thức khơng? + Nhóm hạng tử: M4 = 3xyx2 - 2x + 1) - (y2 + 2yz + z2 + Dùng đẳng thức: M4 = 3xy(x - 1)2 - (y + z)2 xem xét hai hạng tử ngoặc có dạng đẳng thức nào? + Sử dụng đẳng thức hiệu hai bình phương ta có: M4 = 3xy(x + y + z - 1)(x - y - z - 1) - Khi phân tích đa thức thành nhân tử ta cần ý quan sát đa thức, linh hoạt phối hợp sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử học để bước phân tích rõ ràng, mạch lạc triệt để (đa thức khơng thể phân tích nữa) CHƯƠNG II: CÁC PHƯƠNG PHÁP ĐẶC BIỆT I PHƯƠNG PHÁP TÁCH HẠNG TỬ “Hướng dẫn giải tập có áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8” - - Trong số trường hợp phương pháp học giải được, mà ta phải nghĩ tách hạng tử thành nhiều hạng tử để áp dụng phương pháp biết Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: N = a2 - 6a + Cách 1: N = a2 - 4a - 2a + (Tách - 6a = (- 4a) + (-2a)) = (a2 - 4a) - (2a - 8) (Nhóm hạng tử) = a(a - 4) - 2(a - 4) (Đặt nhân tử chung) = (a - 4)(a - 2) (Đặt nhân tử chung) Có thể tách hạng tử tự tạo thành đa thức có nhiều hạng tử kết hợp làm xuất đẳng thức nhân tử chung với hạng tử lại Cách 2: N = a2 - 6a + - (Tách = - 1) = (a2 - 6a + 9) - (Nhóm hạng tử làm xuất đẳng thức) = (a - 3)2 - (Hằng đẳng thức) = (a - 2)(a - 4) (Dùng đẳng thức) Cách 3: N = a2 - 4a + - 2a + (Tách = + 4, - 6x = (- 4a) + ( - 2a) = (a2 - 4a + 4) - (2a - 4) (Nhóm hạng tử) = (a - 2)2 - 2(a - 2) (Dùng đẳng thức đặt nhân tử chung) = (a - 2)(a - 4) (Đặt nhân tử chung) Ta thấy có để tách hạng tử thành hạng tử khác, cách tách sau thơng dụng nhất: - Cách 1: Tách hạng tử tự thành hạng tử cho đa thức đưa hiệu hai bình phương (cách 2) làm xuất đẳng thức có nhân tử chung với hạng tử lại (cách 3) - Cách 2: Tách hạng tử bậc thành hạng tử dùng phương pháp nhóm hạng tử đặt nhân tử chung làm xuất nhân tử chung (cách 1) Như vậy: Phân tích tam thức bậc hai: ax2 + bx + c thành nhân tử Trong thực hành ta làm sau : - Tách hệ số b = b1 + b2 cho b1 b2 = a.c - Tìm tích a.c - Phân tích a.c thành tích hai thừa số nguyên cách - Chọn hai thừa số mà tổng b Ngồi tách đồng thời hai hạng tử (hạng tử tự hạng tử bậc nhất) (như cách 3) Ví dụ 2: Phân tích đa thức 9x2 + 6x- thành nhân tử Ta có : a = ; b = ; c = - “Hướng dẫn giải tập có áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8” - 10 - + Tích a.c = 9.(-8) = -72 + Phân tích -72 thành tích hai thừa số khác dấu cho thừa số dương có giá trị tuyệt đối lớn (để tổng hai thừa số 6) Mà: -72 =(-1).72 =(-2).36 = (-3).24 = (- 4).18 = (-6).12 = (-8).9 + Chọn hai thừa số có tổng 6, -6 12 Từ ta phân tích: 9x2 + 6x - = 9x2- 6x + 12x - = 3x(3x - 2) + 4(3x - 2) =(3x - 2)(3x + 4) Ví dụ 3: Phân tích đa thức x - x - thành nhân tử Ta có : a = ; b = -1 ; c = - + Tích a.c =1.(-6) = - + Phân tích - thành tích hai thừa số khác dấu cho thừa số âm có giá trị tuyệt đối lớn b = -1 < (để tổng hai thừa số -1) Mà: -6 = 1.(-6) = 2.(-3) + Chọn hai thừa số có tổng -1, : -3 Từ ta phân tích: x2 - x - = x2 + 2x - 3x - = x(x + 2) - 3(x + 2) = (x + 2)(x - 3) Chú ý: Trong trường hợp tam thức bậc hai : ax2 + bx + c có b số lẻ, khơng bình phương số nguyên nên giải theo cách gọn so với cách Ví dụ 4: Phân tích thành nhân tử đa thức sau: x3 - 7x - Ta tách sau: Cách 1: x3 - 7x - = x3 - x - 6x - = x (x2 - 1) - (x + 1) = x (x - 1)(x + 1) - 6(x + 1) = (x + 1)(x2 - x - 6) = (x + 1)(x2 - 3x + 2x - 6) = (x +1)[x(x - 3) + 2(x - 3)] = (x + 1)(x + 2)(x - 3) Cách 2: x3 - 7x - = x3 - 4x - 3x - = x(x2 - 4) - 3(x + 2) = x (x - 2) (x + 2) - 3(x + 2) = (x + 2)(x2 - 2x - 3) = (x + 2)(x2 - 3x + x - 3) = (x + 2)(x - 3)(x + 1) Cách 3: x3 - 7x - = x3 - 27 - 7x + 21 = (x - 3)(x2 + 3x + - 7) = (x - 3) (x2 + 3x + 2) = (x - 3)(x2 + x + 2x + 2) = (x - 3) (x + 2) (x + 1) Cách 4: x3 - 7x - = x3 + - 7x - = (x + 1)(x2 - x + 1) - 7(x + 1) = (x + 1)(x2 - x + - 7) = (x + 1)(x2 - x - 6) = (x + 1)(x2 - 3x + 2x - 6) = (x + 1)(x + 2)(x - 3) Cách 5: x3 - 7x - = x3 + - 7x - 14 = (x + 2)(x2 - 2x + - 7) = (x + 2) (x2- 2x - 3) = (x + 2)(x2 + x - 3x - 3) “Hướng dẫn giải tập có áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8” - 14 - = (x2 + 10x)(x2 + 10x + 24) + 128 Đặt x2 + 10x + 12 = y, đa thức có dạng: (y - 12)(y + 12) + 128 = y2 - 144 + 128 = y2 - 16 = (y + 4)(y - 4) = (x2 + 10x + 16 )(x2 + 10x + ) = (x + 2)(x + 8)( x2 + 10x + ) Ví dụ 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + Giả sử x ta viết: x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + = x2( x2 + 6x + = x2[(x2 + Đặt x - ) + 6(x = y x2 + ) ) + 7] = y2 + 2, A = x2(y2 + + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2 = [x(x - ) + 3x]2 = (x2 + 3x - 1)2 Chú ý: Ví dụ giải cách tách hạng tử dùng đẳng thức A = x + 6x3 + 7x2 - 6x + = x4 + (6x3 - 2x2 ) + (9x2 - 6x + )= x4 + 2x2(3x - 1) + (3x - 1)2 = (x2 + 3x - 1)2 IV PHƯƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM CỦA ĐA THỨC - Cách tìm nghiệm đa thức - Phương pháp tìm nghiệm ngun đa thức: Nghiệm ngun (nếu có) đa thức phải ước hạng tử tự - Phương pháp tìm nghiệm hữu tỉ đa thức: Trong đa thức với hệ số nguyên, nghiệm hữu tỉ (nếu có) phải có dạng ; (p, q) = p ước hệ số tự do; q ước dương hệ số cao - Nếu đa thức ax3 + bx2 + cx+ d (1) có nghiệm theo hệ định lý Bê - du ta có: + Nếu m nghiệm (1) (1) chứa nhân tử (x - m), dùng phép chia đa thức ta có: ax3 + bx2 + cx + d = (x - m)(a'x2 + b'x + c'), nhân tử bậc hai phân tích tiếp dựa vào phương pháp nêu + Nếu tổng hệ số đa thức f(x) f(x) có nghiệm x = đa thức chứa nhân tử chung (x - 1) “Hướng dẫn giải tập có áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8” - 15 - + Nếu tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ, đa thức có nghiệm x = -1 đa thức chứa nhân tử chung (x + 1) + Nếu không xét tổng hệ số ta xét ước hệ số tự d (hệ số không đổi) Nếu ước d làm cho đa thức có giá trị ước nghiệm Ví dụ 1: Phân tích đa thức x3 + 3x2 - thành nhân tử Cách 1: Các ước : 1; 2; 4;- 1; -2;- Thử giá trị ta thấy x = x = -2 nghiệm đa thức cho Cách 2: Ta thấy tổng hệ số đa thức + - = nên đa thức chứa nhân tử x Do ta tách hạng tử đa thức làm xuất nhân tử chung x - Cách 1: x3 + 3x2 - = x3 - x2+ 4x2 - = x2(x - 1) + 4(x - 1)(x+1) = (x - 1)(x2 + 4x + 4) = (x - 1)(x + 2)2 Cách 2: x3 + 3x2 - = x3 - + 3x2 - = (x - 1)(x2 + x +1) + 3(x - 1)(x + 1) =(x - 1)(x2 + x + + 3x + 3) = (x - 1)(x2 + 4x + 4) = (x - 1)(x + 2)2 Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: f(x) = x3 - x2 - Ta nhận thấy nghiệm f(x) có x = , có f(2) = nên x = nghiệm f(x) nên f(x) có nhân tử x - Do ta tách f(x) thành nhóm có xuất nhân tử x - Cách 1: Cách 2: = - Trong đa thức với hệ số nguyên, nghiệm hữu tỷ có phải có dạng , (p, q) = với p ước hạng tử tự do, q ước dương hệ số cao Ví dụ 3: Phân tích đa thức 2x3 - 5x2+ 8x - thành nhân tử Các ước -3 : ; mà 1; không nghiệm đa thức Như đa thức khơng có nghiệm nguyên Nhưng đa thức có nghiệm hữu tỉ Kiểm tra thấy x = nghiệm đa thức nên đa thức chứa nhân tử x - hay “Hướng dẫn giải tập có áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8” - 16 - 2x- Do ta tìm cách tách hạng tử đa thức để xuất nhân tử chung 2x- Ta có: 2x3- 5x2+ 8x- = 2x3- x2- 4x2 + 2x + 6x- = x2(2x- 1) - 2x(2x - 1) + 3(2x - 1) = (2x - 1)(x2- 2x + 3) Ví dụ 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: f(x) = 3x3 - 7x2 + 17x - Nhận xét: không nghiệm f(x), f(x) khơng có nghiệm ngun Nên f(x) có nghiệm nghiệm hữu tỉ Ta nhận thấy x = nghiệm f(x) f(x) có nhân tử 3x - Nên: f(x) = 3x3 - 7x2 + 17x - = = Vì với x nên khơng phân tích thành nhân tử - Nếu đa thức có tổng hệ số số hạng bậc chẵn tổng hệ số số hạng bậc lẻ đa thức có nghiệm -1 Ví dụ 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x3 + 5x2 + 8x + Nhận xét: Tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ nên đa thức có nhân tử x + Ta có: x3 + 5x2 + 8x + = (x3 + x2 ) + (4x2 + 4x) + (4x + 4) = x2(x + 1) + 4x(x + 1) + 4(x + 1) = (x + 1)(x2 + 4x + 4) = (x + 1)(x + 2)2 Ví dụ 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: f(x) = x5 - 2x4 + 3x3 - 4x2 + Tổng hệ số nên đa thức có nhân tử x - 1, chia f(x) cho (x - 1) ta có: x5 - 2x4 + 3x3 - 4x2 + = (x - 1)(x4 - x3 + x2 - x - 2) Vì x4 - x3 + x2 - x - khơng có nghiệm ngun khơng có nghiệm hữu tỉ nên khơng phân tích V PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH - Cơ sở phương pháp là: Hai đa thức (viết dạng thu gọn) đồng hệ số đơn thức đồng dạng chứa hai đa thức phải - Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ có dạng , (p, q) = p ước hệ số tự do, q ước dương hệ số cao - Nếu f(x) có tổng hệ số f(x) có nhân tử x - “Hướng dẫn giải tập có áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8” - 17 - - Nếu f(x) có tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ f(x) có nhân tử x + - Nếu a nghiệm nguyên f(x) f(1); f(- 1) khác số ngun Để nhanh chóng loại trừ nghiệm ước hệ số tự Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + Nhận xét: Các số 1, không nghiệm đa thức, đa thức khơng có nghiệm ngun khơng có nghiệm hữu tỉ Như đa thức phân tích thành nhân tử phải có dạng: (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd đồng đa thức với đa thức cho ta có: Xét bd = với b, d Z, với b = d = hệ điều kiện trở thành Vậy: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1) Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + Nhận xét: Đa thức có nghiệm x = nên có thừa số x - ta có: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + = (x - 2)(2x3 + ax2 + bx + c) = 2x4 + (a - 4)x3 + (b - 2a)x2 + (c - 2b)x - 2c Suy ra: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + = (x - 2)(2x3 + x2 - 5x - 4) Ta lại có 2x3 + x2 - 5x - đa thức có tổng hệ số hạng tử bậc lẻ bậc chẵn nên có nhân tử x + nên 2x3 + x2 - 5x - = (x + 1)(2x2 - x - 4) Vậy: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + = (x - 2)(x + 1)(2x2 - x - 4) Ví dụ 3: Phân tích đa thức 12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - thành nhân tử Ta có: 12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - = (ax + by + 3)(cx + dy - 1) = acx2 + (3c - a)x + bdy2 + (3d - b)y + (bc + ad)xy - “Hướng dẫn giải tập có áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8” - 18 - 12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - = (4x - 6y + 3)(3x + 2y - 1) VI PHƯƠNG PHÁP XÉT GIÁ TRỊ RIÊNG Ví dụ 1: Phân tích đa thức P = ab(a - b) + bc(b - c) + ac(c - a) thành nhân tử Giải: Sử dụng phương pháp xét giá trị riêng ta có Nếu ta thay a b P = + bc(b - c) + bc(c - b) = 0, nên P chia hết cho a - b, vai trò a, b, c đa thức nên P chia hết cho (a - b)(b - c)(c - a) Trong phép chia đó, đa thức bị chia P có bậc tập hợp biến đa thức chia (a - b)(b - c)(c - a) có bậc tập hợp biến số nên thương số k Ta có: ab(a - b) + bc(b - c) + ac(c - a) = k(a - b)(b - c)(c - a) với a, b, c nên ta gán cho a, b, c giá trị riêng a = ; b = ; c = 0, ta : 2.1.1 + + = k.1.1.(-2) => = -2k => k = -1 Vậy: P = (a - b)(b - c)(c - a) Ví dụ 2: Phân tích đa thức Q = (a + b + c)3- a3- b3- c3 thành nhân tử Giải: Sử dụng phương pháp xét giá trị riêng ta có Nếu ta thay a - b Q = (0 + c)3 + b3- b3- c3 = Vậy Q chia hết cho (a + b), vai trò a, b, c đa thức nên Q chia hết cho (a + b)(b + c)(c + a) Trong phép chia đó, đa thức bị chia Q có bậc tập hợp biến đa thức chia (a + b)(b + c)(c + a) có bậc tập hợp biến số nên thương số k Ta có: (a + b + c)3- a3- b3- c3 = k(a + b)(b + c)(c + a) Cho biến nhận giá trị riêng a = 0; b = 1; c = , ta : (0 + + 2)3 - - 13- 23 = k(0 + 1)(1 + 2)(2 + 0) =>18 = k => k = Vậy : Q = (a + b + c)3- a3- b3- c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a) *Chú ý : Khi đa thức có nhiều biến số vai trị biến đa thức ta sử dụng phương pháp xét giá trị riêng “Hướng dẫn giải tập có áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8” - 19 - CHƯƠNG III: MỘT SỐ BÀI TOÁN ÁP DỤNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ I BÀI TỐN CHỨNG MINH SỰ CHIA HẾT Ví dụ 1: Chứng minh đa thức A = (a2 + 3a + 1)2 - chia hết cho 24 Với a số tự nhiên Gợi ý: + Trước hết phân tích đa thức cho thành nhân tử A = (a2 + 3a + 1)2 - = (a2 + 3a + 2)(a2 + 3a) (Sử dụng đẳng thức) A = (a + 2)(a + 1)(a + 3)a = a(a + 1)(a + 2) (a + 3) (Sử dụng phương pháp tách hạng tử 3a = 2a + a) * Lập luận: + A cho tích số tự nhiên liên tiếp , mà ba số tự nhiên liên tiếp phải có số chia hết cho Vậy: A + Trong số tự nhiên liên tiếp có số chẵn liên tiếp nên hai số chia hết cho số lại chia hết cho Vậy A + Nhưng (3; 8) = nên tích số tự nhiên liên tiếp ln chia hết cho 24 Ví dụ 2: Chứng minh : P = x3 - x chia hết cho với số nguyên x Giải : Ta có P = x3 - x = x(x2 - 1) = x(x + 1)(x - 1) Vì x nguyên nên x + 1, x - số nguyên Do đó: P = (x - 1).x.(x + 1) (là tích số nguyên liên tiếp chia hết cho Vậy P 3, x Z Ví dụ : Chứng minh : M = x5 - 5x3 + 4x chia hết cho 120 với số nguyên x Giải : Ta có: M = x5 - 5x3 + 4x = x(x4- 5x2 + 4) = x(x4- x2- 4x2 + 4) = x[x2(x2-1)- 4(x2- 1)] = x(x2- 1)(x2- 4) =(x - 2)(x - 1)x(x + 1)(x + 2) M tích số nguyên liên tiếp nên M chia hết cho 2; 3; Vì M M nên M Vậy M 8.3.5 hay M 120 (vì 3; 8; nguyên tố đơi một) Ví dụ 4: Chứng minh với số nguyên x , ta có: [(x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15] (x + 6) Giải: Ta có: (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 = (x + 1)(x + 7)(x + 3)(x + 5) + 15 = (x2 + 8x +7) (x2 + 8x +15) + 15 Đặt t = x2 + 8x +11 (t - 4)(t + 4) +15 = t2 - = (t + 1)(t - 1) Thay t = x2 + 8x +11, ta được: “Hướng dẫn giải tập có áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8” - 20 - (x2 + 8x + 12) (x2 + 8x +10) = (x2 + 8x +10)(x +2)(x + 6) mà (x2 + 8x +10)(x +2)(x + 6) (x+6) Vậy: [(x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) +15] (x + 6) Ví dụ 5: Chứng minh đa thức: x50 + x49 + + x2 + x + chia hết cho đa thức x 16 + x15 + + x2 + x + Ta thấy đa thức bị chia có 51 số hạng, đa thức chia có 17 số hạng, ta phân tích đa thức bị chia sau: x50 + x49 + + x2 + x + = (x50 + x49 + + x35 + x34) +(x33 + x32 + + x18 + x17) + x16 x2 + x + = (x34)(x16 + x15 + + x2 + x + 1) + x17 (x16 + x15+ + x2 + x + 1) + x16 + x + = (x16 + x15 + +x2 + x + 1) (x34 + x17 + 1) Rõ ràng: x50 + x49 + + x2 + x + chia hết cho x 16 + x15 + x + Kết phép chia : x34 + x17 + Để giải toán ta sử dụng việc phân tích đa thức thành nhân tử để biến đa thức bị chia thành tích sau tiếp tục sử dụng kiến thức tính chia hết suy điều phải chứng minh II BÀI TOÁN CHỨNG MINH BIỂU THỨC LN DƯƠNG, LN ÂM TÌM GTLN, GTNN CỦA MỘT BIỂU THỨC Bài tốn kích thích tư học sinh phải tìm đường lối giải giải phải nắm kiến thức: - Biểu thức dương (lớn 0) tử thức mẫu thức dấu - Biểu thức âm (nhỏ 0) tử thức mẫu thức khác dấu - Biểu thức không âm (lớn 0) biểu thức cho luỹ thừa bậc chẵn biểu thức khác - Bên cạnh cần ý với trường hợp biểu thức nguyên ta xét dương âm biểu thức dựa vào dấu nhân tử kết hợp với qui tắc nhân dấu số nguyên Ví dụ 1: Cho biểu thức P = 4x - 12x + Chứng minh P không âm với x Giải : Ta có P = 4x - 12x + = (2x)2- 2.2x.3 + (-3)2 = (2x - 3)2 Vậy P với x Hay biểu thức P không âm với x Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x2 - 4x + y2 + 2y + 12 * Gợi ý: + Trước hết sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để phân tích A “Hướng dẫn giải tập có áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8”