ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐÀO THỊ YẾN VỀ PHÂN HOẠCH SỐ NGUYÊN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp Mã số 8 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐÀO THỊ YẾN VỀ PHÂN HOẠCH SỐ NGUYÊN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NƠNG QUỐC CHINH THÁI NGUYÊN - 2021 Lời cảm ơn Để hồn thành luận văn thạc sĩ này, tơi xin bày tỏ cảm kích đặc biệt tới PGS.TS Nông Quốc Chinh, người định hướng, dẫn dắt cố vấn cho suốt thời gian thực luận văn thạc sĩ Xin cảm ơn giảng tài liệu tham khảo thầy giúp tơi mở mang thêm nhiều kiến thức hữu ích để hoàn thành luận văn Đồng thời, thầy người cho lời khuyên vô quý giá kiến thức chuyên môn định hướng phát triển nghiệp Một lần nữa, xin cảm ơn thầy tất lòng biết ơn Tơi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu nhà trường, phịng Đào tạo, khoa Tốn Tin, quý thầy cô giảng dạy lớp cao học K13A8 (2019-2021) trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên tận tình truyền đạt kiến thức quý báu tạo điều kiện cho em hồn thành khóa học Tơi xin cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đồng nghiệp, người động viên, hỗ trợ tạo điều kiện cho tơi suốt q trình học tập thực luận văn Xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 10 năm 2021 Tác giả Đào Thị Yến Mục lục Lời cảm ơn Các kí hiệu Mở đầu Chương Phân hoạch số nguyên 1.1 Các định nghĩa ví dụ 1.2 Hàm sinh 1.3 Biểu đồ Ferres Chương Giả thuyết M.Merca số kết 1 hệ số đa thức phân hoạch phân hoạch thành 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 phần lẻ 18 Đặt vấn đề 18 Hệ số đa thức phân hoạch n giả thuyết M.Merca 21 Chứng minh giả thuyết M.Merca 26 Hệ số đa thức phân hoạch n thành phần lẻ 29 Ứng dụng hệ số đa thức phân hoạch thành phần lẻ để biểu diễn số Fibonacci số Padovan 32 Tài liệu tham khảo 40 Các kí hiệu R Tập số thực N Tập số tự nhiên Z Tập số nguyên Z+ Tập số nguyên dương ∀x Với x ⌈x⌉ Số nguyên nhỏ không nhỏ x ⌊x⌋ Số nguyên lớn không lớn x Kết thúc chứng minh định lý bổ đề MỞ ĐẦU Lý thuyết phân hoạch quan trọng toán học, mà ứng dụng tìm thấy nhiều lĩnh vực khác lý thuyết số, tổ hợp, toán học rời rạc Vào kỷ 18, Euler thực nghiên cứu cách có hệ thống có nhiều kết lý thú phân hoạch, ông chứng minh nhiều định lý phân hoạch đẹp có ý nghĩa Nhiều nhà toán học vĩ đại khác Cayley, Gauss, Hardy, Jacobi, Lagrange, Legendre, Littlewood, Rademacher, Ramanujan, Schur Sylvester có nhiều đóng góp vào phát triển lý thuyết phân hoạch Mục tiêu luận văn nghiên cứu trình bày phân hoạch số nguyên, số kết hệ số đa thức phân hoạch lẻ Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo luận văn bao gồm hai chương: • Chương 1: Chương giới thiệu phân hoạch số nguyên, định nghĩa ví dụ, hàm sinh, biểu đồ Ferres • Chương 2: Giả thuyết M.Merca số kết hệ số đa thức phân hoạch phân hoạch thành phần lẻ Chương Phân hoạch số nguyên 1.1 Các định nghĩa ví dụ Định nghĩa 1.1.1 Cho n số nguyên dương Phân hoạch số nguyên dương n dãy hữu hạn không tăng số nguyên dương Pr r λ = n , số λ i = λ1 , λ2 , λ3 , , λr thoả mãn λ1 +λ2 +· · ·+λr = n hay i i i=1 gọi phần phân hoạch Trong trường hợp viết λ = (λ1 , λ2 , λ3 , , λr ), kí hiệu λ ⊢ n (nghĩa λ phân hoạch n) Nếu ta kí hiệu fs số lần xuất số nguyên cụ thể s (như phần) phân hoạch λ (λ = (λ1 , λ2 , λ3 , , λr ) ⊢ n), phân hoạch viết dạng: f1 f2 f3 fn λ= .n Trong có fs phần phân hoạch λ s Vì ta có: f1 + 2f2 + · · · + nfn = n Định nghĩa 1.1.2 Kí hiệu p(n) số tất phân hoạch số nguyên n, số p(n) gọi hàm phân hoạch Quy ước: p(0) = 1, p(n) = n < Luận văn thạc sĩ Toán học Về phân hoạch số nguyên ứng dụng Ví dụ 1.1.1 Với n = 1, ta có phân hoạch sau: p(1) = : = (1) Với n = 2, ta có phân hoạch sau: p(2) = : = (2), + = Với n = 3, ta có phân hoạch sau: p(3) = : = (3), + = (12), + + = 13 Với n = 4, ta có phân hoạch sau: p(4) = : = (4), + = (13), + = 22 + + = (12 2), + + + = (14 ) Với n = 5, ta có phân hoạch sau: p(5) = : =4+1=3+2=3+1+1=2+2+1=2+1+1+1 = + + + + Với n = 6, ta có phân hoạch sau: p(6) = 11 : =5+1=4+2=4+1+1=3+3=3+2+1=3+1+1 =2+2+2=2+2+1+1 =2+1+1+1+1 = + + + + + Với n = 7, ta có phân hoạch sau: p(7) = 14 : =6+1=5+2=5+1+1=4+3=4+2+1=4+1+1+1 =3+3+1=3+2+1+1=3+1+1+1+1 =2+2+2+1=2+2+1+1+1=2+1+1+1+1+1 = + + + + + + Với n = 8, ta có phân hoạch sau: Đào Thị Yến Luận văn thạc sĩ Toán học p(8) = 22 : Về phân hoạch số nguyên ứng dụng =7+1=6+2=6+1+1=5+3=5+2+1=5+1+1+1 =4+4=4+3+1=4+2+2=4+2+1+1=4+1+1+1+1 =3+3+2=3+3+1+1=3+2+2+1=3+2+1+1+1 =3+1+1+1+1+1=2+2+2+2=2+2+2+1+1 =2+2+1+1+1+1=2+1+1+1+1+1+1 = + + + + + + + Ta thấy hàm phân hoạch tăng n tăng p(10) = 42, p(50) = 204226 p(20) = 672, p(100) = 190569292 Định nghĩa 1.1.3 Tập hợp tất phân hoạch số nguyên n kí hiệu S Nếu T ⊂ S Ta kí hiệu p(T, n) tập tất phân hoạch nguyên n thuộc vào tập T Ví dụ 1.1.2 Ta ký hiệu: • D tập tất phân hoạch n thành phần khác • O tập tất phân hoạch n thành phần lẻ • C tập tất phân hoạch n thành phần lẻ lớn Khi đó: Với n = 6, ta có: D = {6 = + = + = + + 1} O = + = + = + + + = (16 ) C = {3 + 3} Nên p(D, 6) = p(O, 6) = p(C, 6) = Đào Thị Yến Luận văn thạc sĩ Toán học Về phân hoạch số nguyên ứng dụng Với n = 7, ta có: D = {7 = + = + = + = + + 1} O = {7 = + + = + + = + + + + = + + + + + 1} C = {7} Nên p(D; 7) = p(O; 7) = p(C; 7) = Với n = 8, ta có: D = {8 = + = + = + = + + = + + 1} O = + = + = + + + = + + + = + + + + + = (18 ) C = {5 + 3} Nên p(D; 8) = p(O; 8) = p(C; 8) = Nhận xét 1.1.1 p(O, n) = p(D, n) với n ≤ 1.2 Hàm sinh Định nghĩa 1.2.1 Hàm sinh f (q) dãy a0 , a1 , a2 , chuỗi luỹ thừa: X an q n f (q) = n≥0 Định nghĩa 1.2.2 Với tập H ⊂ Z+ , ta kí hiệu “ H ” tập tất phân hoạch số nguyên n có phần nằm H Khi p(“ H ” , n) số phân hoạch n có phần nằm H Đào Thị Yến Luận văn thạc sĩ Toán học Về phân hoạch số nguyên ứng dụng Ví dụ 1.2.1 Nếu H0 tập tất số nguyên dương lẻ “ H0 ” = O Do p(“ H0 ” , n) = p(O, n) Định nghĩa 1.2.3 Giả sử H ⊂ Z+ Ta kí hiệu “ H ” (≤ d) tập tất phân hoạch n có phần nằm H khơng có số ngun xuất nhiều d lần Khi H = N ta có: p(“N” (≤ 1), n) = p(D, n) Định lý 1.2.1 Giả sử H ⊂ Z+ f (q) = X p (“ H ” , n) q n , n≥0 fd (q) = X p (“ H ” (≤ d), n) q n n≥0 Khi với | q |< ta có: f (q) = Y (1 − q n )−1 , (1.1) n∈H fd (q) = Y + q n + · · · + q dn n∈H = Y − q (d+1)n (1 − q n )−1 n∈H (1.2) Chứng minh a) Để chứng minh Định lý, sử dụng khai triển chuỗi hình học biểu diễn hàm 1−q n sau: ∞ X (q n )i = + q n + q 2n + · · · + q hn + · · · = − qn i=0 Giả sử H ⊂ Z+ , Z+ tập xếp thứ tự tốt, nên H tập thứ tự tốt, ta kí hiệu H = {h1 , h2 , h3 , }, hi−1 < hi Khi ta có: Đào Thị Yến