Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 8 năm 2022-2023 có đáp án - Sở GD&ĐT Nam Định

Hãy tham khảo “Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 8 năm 2022-2023 có đáp án - Sở GD&ĐT Nam Định” được chia sẻ dưới đây để giúp các em biết thêm cấu trúc đề thi như thế nào, rèn luyện kỹ năng giải bài tập và có thêm tư liệu tham khảo chuẩn bị cho kì thi sắp tới đạt điểm tốt hơn.

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2022 - 2023 Mơn: Tốn – Lớp: THCS SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH Thời gian làm bài: 120 Phút Đề thi gồm: 01 trang Câu (4,0 điểm) 1) Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức:  1     x − 3x − = A   − 1 +  + 1  : −1 2   x − x − 10 x  x − 3x + 3x −  x  x − x +  x 1 1 Tính giá trị biểu thức: 2) Cho số thực x, y, z thoả mãn + + = x + y + z = x y z P= ( x 2023 + y 2023 ).( y 2023 + z 2023 ).( z 2023 + x 2023 ) Câu (4,0 điểm) 1) Biết đa thức f ( x) chia cho x − dư 11 , chia cho x + dư ( −1) , chia cho x − thương 3x cịn dư Tính f (2023) + f (−2023) 2) Tìm tất giá trị số tự nhiên n để biểu thức B = n6 − n − 2n3 + 2n có giá trị số phương Câu (3,0 điểm) 1) Tìm tất nghiệm nguyên phương trình: x ( x + x + ) = y − 2  x+3  x −  63 − x + + = 2) Giải phương trình:     x2 −  x−2  x+2 Câu (7,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ) Các đường cao AD, BM , CN tam giác ABC cắt H Gọi O trung điểm đoạn thẳng BC , E điểm đối xứng H qua O Kẻ CF vng góc với đường thẳng BE F  1) Tính số đo FMN 2) Gọi K , L, R chân đường vng góc kẻ từ N đến đường thẳng AC , AD, BC Gọi giao điểm DM CN S Chứng minh rằng: a) Ba điểm K , L, R thẳng hàng b) HN CS = NC SH  cắt BC I , kẻ đường thẳng qua C vng góc với đường thẳng 3) Tia phân giác BAC AI P, đường thẳng CP cắt đường thẳng AO Q Gọi G trung điểm đoạn thẳng IQ Chứng minh đường thẳng PG qua trung điểm đoạn thẳng AC Câu (2,0 điểm) 1) Xét x, y hai số thực dương thay đổi thoả mãn điều kiện x y = Tìm giá trị lớn biểu thức A = (x ( x3 + y ) + y )( x + y ) 2) Một hộp đựng 99 thẻ màu vàng, 100 thẻ màu đỏ 101 thẻ màu xanh Người ta tiến hành trò chơi rút thẻ sau: lần rút thẻ người ta lấy hai thẻ khác màu thay vào hai thẻ có màu cịn lại, q trình diễn liên tục Hỏi đến lúc người ta nhận hộp tất thẻ có màu hay khơng? Hãy giải thích sao? Hết Họ tên thí sinh: Số báo danh: Họ, tên chữ ký GT1: Họ, tên chữ ký GT2: Câu Đáp án Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức  1     x − 3x − = A   − 1 +  + 1  : −1   x − x − 10 x  x − 3x + 3x −  x  x − x +  x Điều kiện xác định x ≠   x − 3x + 3x − ≠  x − 2x +1 ≠ 2 x − 3x − ≠  2 x − x3 − 10 x ≠ 1.1 (2,0 đ)  1− x 1 + x  ( x − ) ( x + 1) + −1 A= :  2  − + x x x x x ( ) ( ) − − x x ( ) ( )    −2 + x2  x +1 : A= + −1  2 x ( x − 1)  x ( x + )  x ( x − 1) −2 x + + x x +1 = : −1 A 2 x ( x + 2) x ( x − 1) ( x − 1) x ( x + ) −=1 x +1 x ( x − 1) (x + y thức: P = Kết hợp 1.2 (2,0đ) ).( y 2023 x+2 −= x +1 x +1 +z 2023 ).( z 2023 0,5 0,25 0,25 A = x +1 1 1 Tính giá trị biểu Cho số thực x, y, z thoả mãn + + = x + y + z = x y z 2023 0,25 0,25 Vậy với x ≠ 0; x ≠ 1; x ≠ −1; x ≠ −2; x ≠ 2023 (2,0) 0,25 Tìm điều kiện kết luận x ≠ 0; x ≠ 1; x ≠ −1; x ≠ −2; x ≠ = A Điểm +x 2023 0,25 (2,0) ) 1 1 1 1 ta + + = + + = x + y + z = x y z x y z x+ y+z 0,25 ⇔ 1 1 1  1 1 + + − =0 ⇔  + + −  =0 x y z x+ y+z  x y  z x+ y+z 0,25 ⇔ x+ y x+ y + = ⇔ z ( x + y )( x + y + z ) + xy ( x + y ) = xy z ( x + y + z) 0,25 ⇔ ( x + y ) ( xz + yz + z + xy ) =0 ⇔ ( x + y )( x + z )( y + z ) =0 0,25 x + y =  ⇔ x + z =  y + z = 0,25 x =− y ⇒ x 2023 =− y 2023 ⇒ x 2023 + y 2023 =0 Nếu x + y = P = ( x 2023 + y 2023 ).( y 2023 + z 2023 ).( z 2023 + x 2023 ) = 0,25 0,25 z + x = Tương tự y + z = P = 0,25 Vậy với x, y, z thoả mãn 1 1 P = + + = x + y + z = x y z Biết đa thức f ( x) chia cho x − dư 11 , chia cho x + dư −1 , chia cho x − thương 3x cịn dư Tính f (2023) + f (−2023) (2,0) f ( x) chia cho x − dư 11 ⇒ f ( x) = 11 ( x − ) P( x) + 11 ⇒ f (2) = 0,25 f ( x) chia cho x + dư −1 ⇒ f ( x) = ( x + ) Q( x) − ⇒ f (−2) =−1 0,25 f ( x) chia cho x − thương 3x dư ⇒ f ( x) = (x 0,25 − ) x + ax + b (1) 2.1 2a + b, f (−2) = −2a + b (2,0đ) Từ (1) ⇒ f (2) = 11  2a + b = ⇒ −2a + b =−1 0,25 0,25 a 3,= b tìm được= (x Suy f ( x)= − ) x + x + 5= x − x + 0,25 f (2023) + f (−2023) = 3.20233 − 9.2023 + + 3.(−2023)3 − 9.(−2023) + 10 ⇒ f (2023) + f (−2023) = Tìm tất giá trị số tự nhiên n để biểu thức B = n6 − n − 2n3 + 2n có giá trị số phương B = n − n − 2n + 2n = n ( n − n − 2n + ) 2 = n (n − 1) (n + 2n + 2) 2.2 - Xét n ≥ ta thấy n (n − 1) số phương, n + 2n + > n + 2n + = (n + 1) (2,0đ) n + 2n + < n + 4n + = (n + 2) Mà (n + 1) (n + 2) số phương liên tiếp ⇒ n + 2n + khơng phải số (**) (**) suy B khơng số phương với n ≥ Vậy n = n = B có giá trị số phương Tìm tất nghiệm nguyên phương trình x ( x + x + ) = y − x ( x + x + ) = y − ⇔ y = x3 + x + x + 3(*) Ta có x + x += ( x + 1) + > với x ⇒ y > x (1) 3.1 (1,5đ) y = x3 + x + x + = ( x + 2) − ( x + 1) − < ( x + ) với x (2) Từ (1) (2) suy x < y < ( x + ) Mà x, y nguyên nên y= x + 0,25 0,25 0,25 0,25 Suy (n + 1) < n + 2n + < (n + 2) Từ (*) (2,0) 0,25 0,25 (*) - Xét n = B = số phương - Xét n = B = số phương phương 0,25 0,25 0,25 0,25 (1,5 ) 0,25 0,25 0,25 Thay y= x + vào (*) ta được: x3 + x + x + = x3 + 3x + 3x + 0,25 ⇔ x2 − x − =  x = −1 ⇔ x = Với x = −1 y = 0,25 Với x = y = 0,25 Vậy phương trình cho có nghiệm ngun ( x; y ) = (−1;0) ; ( x; y ) = (2;3) 2  x+3  x −  63 − x + + = Giải phương trình     x2 −  x−2  x+2 Điều kiện xác định x ≠ 2, x ≠ −2 (1,5đ) 0,25 Phương trình viết lại ( x − 3)( x + 3) = x2 −  x+3  x −3   x+3  x −3  = 0⇔   + 6  −7  + 6  −7 x −4 ( x − )( x + )  x−2  x+2  x−2  x+2 = Đặt u 2 0,25 x+3 x −3 = ;v , x−2 x+2 3.2 u = v (1,5đ) Phương trình trở thành u − 7uv + 6v = ⇔ ( u − v )( u − 6v ) ⇔  u = 6v x +3 x −3 = ⇔ x + x + = x − x + ⇔ x = (TMĐK ) x−2 x+2 x+3 x −3 TH2: u = 6v ⇔ ⇔ x − 30 x + 36 = x + x + = x−2 x+2  x = 1(TMĐK ) ⇔ x − x + = ⇔ ( x − 1)( x − ) = ⇔   x = 6(TMĐK ) TH1: u= v ⇔ Vậy phương trình cho có tập nghiệm S = {0;1;6} 0,25 0,25 0,25 0,25 Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ) Các đường cao AD, BM , CN tam giác ABC cắt H Gọi O trung điểm đoạn thẳng BC , E điểm đối xứng H qua O Kẻ CF vng góc với đường thẳng BE F  1) Tính số đo FMN 2) Gọi K , L, R chân đường vng góc kẻ từ N đến đường thẳng AC , AD, BC Gọi giao điểm DM CN S Chứng minh rằng: a) Ba điểm K , L, R thẳng hàng b) HN CS = NC SH  cắt BC I , kẻ đường thẳng qua C vng góc với 3) Tia phân giác BAC đường thẳng AI P, đường thẳng CP cắt đường thẳng AO Q Gọi G trung điểm đoạn thẳng IQ Chứng minh đường thẳng PG qua trung điểm đoạn thẳng AC (7,0) A K M N L H V B R D S C O E F  Tính số đo FMN Vì E đối xứng với H qua O nên O trung điểm EH Chứng minh tứ giác BHCE hình bình hành ⇒ CH //EB Chứng minh tứ giác BNCF hình chữ nhật ⇒ O trung điểm NF BC = NF BM đường cao ∆ABC ⇒ BM ⊥ AC ⇒ ∆BMC vuông M 4.1 Vì MO đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông (2,0đ) BC ⇒ MO = ⇒ MO = NF Xét ∆MNF có MO đường trung tuyến MO = NF ⇒ ∆MNF vuông M = ⇒ FMN 900 2,0 0,25 0,25 0,25 0,25 BMC Gọi K , L, R chân đường vng góc kẻ từ N đến đường thẳng 4.2 AC , AD, BC Gọi giao điểm DM CN S Chứng minh rằng: (3,0đ) a) Ba điểm K , L, R thẳng hàng b) HN CS = NC SH AK AN Chứng minh NK //BM ⇒ = AM AB AN AL Chứng minh NL //BC ⇒ = AB AD 4.2a AK AL (1,25đ) ⇒ =⇒ KL //DM (1) AM AD Chứng minh tương tự ta KR //DM (2) Từ (1) (2) suy điểm K , L, R thẳng hàng 0,25 0,25 0,25 0,25 3,0 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Gọi V giao điểm KR BM BN BR Chứng minh NR //AD ⇒ = (3) BA BD BR BV Vì KR //MD ⇒ = (4) BD BM BN BV Từ (3) (4) ⇒ = ⇒ NV //AC BA BM 4.2b  = KVM  Chứng minh tứ giác MKNV hình chữ nhật, suy NMH (1,75đ)  ⇒ MH tia phân giác NMS   = KVM  ⇒ SMH = Vì KR //DM nên SMH NMH HN MN Xét ∆NMS có MH đường phân giác ⇒ = (5) HS MS CN MN Chứng minh MC đường phân giác góc ∆NMS ⇒ = (6) CS MS HN CN Từ (5) (6) ⇒ = ⇒ HN CS = NC.SH HS CS  cắt BC I , kẻ đường thẳng qua C vng góc với đường 4.3 Tia phân giác BAC (2,0đ) thẳng AI P, đường thẳng CP cắt đường thẳng AO Q , gọi G trung điểm đoạn thẳng IQ Chứng minh đường thẳng PG qua trung điểm đoạn thẳng AC 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 2,0 A T X B O C I J G Q Y P U Gọi giao điểm CP với AB U, giao điểm PO với IQ AC J T Kẻ đường thẳng qua O song song với AC cắt AI CP X Y Chứng minh ∆AUC cân A ⇒ P trung điểm UC ⇒ OP //BU ⇒ T trung điểm AC OX PO Xét ∆PTA có OX //AT ⇒ = TA PT OX OY OY PO Xét ∆PTC có OY //CT ⇒ = ⇒ OX = OY = ⇒ TA TC TC PT QO OY Xét ∆AQC có OY //AC ⇒ = QA AC Xét ∆AIC có OX //AC ⇒ Xét ∆APT có IJ//AT ⇒ IO OX QO IO = Suy = ⇒ IQ //AC IC AC QA IC IJ PJ QJ PJ =, Xét ∆CPT có QJ//CT ⇒ = AT PT CT PT 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 QJ IJ = ⇒ IJ = QJ ⇒ J trung điểm IQ ⇒ J trùng với G ⇒ PG qua trung AT CT điểm AC Xét x, y hai số thực dương thay đổi thoả mãn điều kiện x y = Tìm giá trị lớn ⇒ biểu thức A = (x ( x3 + y ) + y )( x + y ) ( x3 + y ) A = = ( x + y )( x + y ) 1,0 x + y + ( x + y ) x3 + y + x3 + y = ( x + y )( x2 + y ) ( x4 + y )( x2 + y ) x3 + y + xy ( x3 + y ) y ( x + y ) + x ( x + y ) x y = = + 4 2 4 2 x +y x + y4 ( x + y )( x + y ) ( x + y )( x + y ) 5.1 (1,0đ) Ta có ( x − y ) ≥ ∀x, y ⇒ x + y ≥ x y ∀x, y ⇒ Chứng minh tương tự 0,25 1 x x ≤ = = (do x, y > ) x + y x y xy y ≤ ⇒ A ≤1 x +y 2  x2 = y  Dấu “=” xảy  x = y ⇔ x = y = Vậy giá trị lớn A = x= y=  xy =  Một hộp đựng 99 thẻ màu vàng, 100 thẻ màu đỏ 101 thẻ màu xanh Người ta tiến hành trò chơi rút thẻ sau: lần rút thẻ người ta lấy hai thẻ khác màu thay vào hai thẻ có màu cịn lại, q trình diễn liên tục Hỏi đến lúc người ta nhận hộp tất thẻ có màu hay khơng? Hãy giải thích sao? Ta thấy 99 chia cho dư 0, 100 chia cho dư 1, 101 chia cho dư 2, số lượng thẻ loại chia cho số dư khác 0, 1, 5.2 Sau lần rút thẻ, số lượng thẻ loại hộp giảm tăng thêm Khi số (1,0đ) dư chúng chia cho thay đổi sau: Số thẻ chia cho dư sau lần rút chia cho dư Số thẻ chia cho dư sau lần rút chia cho dư Số thẻ chia cho dư sau lần rút chia cho dư Do sau lần rút thẻ, số thẻ loại hộp chia cho có số dư khác 0, 1, Giả sử đến lúc người ta nhận hộp tất thẻ có màu số thẻ màu lại 0, số dư chúng chia cho 0, điều mâu thuẫn với kết luận Vậy nhận thẻ hộp có màu Chú ý: - Nếu thí sinh làm mà cách giải khác với đáp án phù hợp kiến thức chương trình THCS tổ chấm thống cho điểm thành phần đảm bảo tổng điểm hướng dẫn quy định - Tổng điểm tồn khơng làm trịn Hết 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 0,25 0,25 0,25 0,25