SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN QUỐC HỌC SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN QUỐC HỌC THỪA THIÊN HUẾ Môn TOÁN CHUYÊN Năm học 2009 2010 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian[.]
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUN QUỐC HỌC THỪA THIÊN HUẾ Mơn: TỐN CHUYÊN - Năm học 2009-2010 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (2 điểm) Cho phương trình : x2−mx−m−1=0 ( m tham số) a) Tìm tất giá trị m để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt , b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức S=m2+2mx12+x22 Bài 2: (3 điểm) a) Cho phương trình ax2+bx+c=0 có hai nghiệm dương phân biệt Chứng minh phương trìnhcx2+bx+a=0 có hai nghiệm dương phân biệt c) Chứng minh có số thực (x;y;z) thỏa mãn điều kiện : x−2008−−−−−−−√+y−2009−−−−−−−√+z−2010−−−−−−−√+3012=12 (x+y+z) Bài 3: (2,5 điểm) Cho góc xOy có số đo 60o Đường trịn có tâm K nằm góc xOy tiếp xúc với tia Ox M tiếp xúc với tia Oy N Trên tia Ox lấy điểm Psao cho OP=3OM Tiếp tuyến đường tròn (K) qua Pcắt tiaOy Qkhác O Đường thẳng PK cắt đường thẳngMNởE Đường thẳng QK cắt đường thẳng MN F a) Chứng minh tam giác MPEđồng dạng với tam giác KPQ b) Chứng minh tứ giác PQEF nội tiếp đường tròn c) Gọi Dlà trung điểm đoạn PQ Chứng minh tam giác DEF tam giác Bài 4: (1,5 điểm) Tìm tất cặp số nguyên (a ; b) nghiệm điều kiện : (a−1)2.(a2+9)=4b2+20b+25 Bài 5: (1 điểm) Người ta gọi “Hình vng (V) ngoại tiếp tứ giác lồi ABCD” tứ giácABCD nằm (V) cạnh (V) có chứa đỉnh tứ giác ABCD(Hình 1) Giả sử tứ giác lồi ABCD có hai hình vng ngoại tiếp khác Chứng minh tứ giác có vơ số hình vng ngoại tiếp minh xin lỗi nha bạn thấy viết minh hay nhấn phím like nha - HẾT SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN QUỐC HỌC THỪA THIÊN HUẾ Mơn: TỐN CHUN - Năm học 2009-2010 CHNH THC Đáp án thang điểm (Hng dn có 03 trang) I/Hướng dẫn chung: - Dưới Hướng dẫn tóm tắt cách giải, làm học sinh có lời giải khác đáp án, giám khảo vận dụng thang điểm hướng dẫn điểm - Bài làm học sinh đến đâu giám khảo cho điểm tới - Học sinh sử dụng kết phần trước để làm phần sau - Khi chấm phần cho từ 0,5 điểm trở lên, giám khảo thống chia nhỏ tới 0,25 điểm II/Đáp án thang điểm : (1đ) Giả sử tứ giác lồi ABCD có hai hình vng ngoại tiếp khác Chứng minh tứ giác có vơ số hình vng ngoại tiếp Xét MNPQ hình vng ngoại tiếp tứ giác ABCD Gọi A’ hình chiếu A lên PQ, B’ hình chiếu B lên MQ Từ B kẻ đường vng góc với AC cắt MQ E Ta chứng tỏ: BE = AC Nếu E trùng B’ A’ trùng C Lúc đó: BE = BB’ = AA’ = AC Nếu E khác B’ xét hai tam giác vng BB’E AA’C Chúng có: BB’=AA’ nên Δ BB’E = Δ AA’C Suy ra: BE = AC 0,5 Bây giờ, xét hai hình vng M1N1P1Q1 M2N2P2Q2 ngoại tiếp tứ giác ABCD Từ B kẻ đường vng góc với AC cắt M1Q1 E1 cắt M2Q2 E2 Theo chứng minh trên: BE1 = AC BE2 = AC Suy E1 E2 trùng D Vì vậy, tứ giác ABCD có hai đường chéo AC BD vng góc 0,25 Cuối cùng, cho tứ giác lồi ABCD có hai đường chéo AC BD vng góc Dựng đường thẳng (d) tùy ý cho tứ giác ABCD (d) có điểm chung A Qua C dựng đường thẳng song song với (d) Qua B D dựng đường thẳng vng góc với (d) Ta có hình chữ nhật MNPQ ngoại tiếp tứ giác ABCD Gọi A’ hình chiếu A lên PQ, B’ hình chiếu B lên MQ Từ tính chất “hai đường chéo AC, BD vng góc nhau”, suy AA’ = BB’ (chứng minh phần đầu) Do đó, hình chữ nhật MNPQ hình vng Vì vậy, có vơ số hình vng ngoại tiếp tứ giác ABCD 0,25