PAGE 1 Đề cho Học sinh giỏi Toán 9 ĐỀ SỐ 1 Thời gian 150 phút Câu I ( 4 điểm) Giải phương trình 1 2 y2 – 2y + 3 = EMBED Equation DSMT4 Câu II (4 điểm) 1 Cho biểu thức A = Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu[.]
Đề cho Học sinh giỏi Toán ĐỀ SỐ Thời gian: 150 phút Câu I ( điểm) Giải phương trình x x x 10 x 25 8 y2 – 2y + = x 2x Câu II (4 điểm) Cho biểu thức : x2 2x A= ( x 2) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A Cho a>0; b>0; c>0 1 Chứng minh bất đẳng thức ( a+b+c) 9 a b c Câu III (4,5 điểm) Giải toán cách lập phương trình Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết chữ số hàng chục lớn chữ số hàng đơn vị số lớn tổng bình phương chữ số Cho phương trình: x2 –(m+1)x+2m-3 =0 (1) + Chứng minh phương trình ln có nghiệm phân biệt với giá trị m + Tìm giá trị m để phương trình (1) có nghiệm Câu IV (4 điểm) Cho hình thang cân ABCD, (AB//CD; AB > CD) Hai đường chéo AC BD cắt I Góc ACD = 600; gọi E; F; M trung điểm đoạn thẳng IA; ID; BC Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp đường tròn Chứng minh tam giác MEF tam giác Câu V (3,5 điểm) Cho hình chóp tam giác S ABC có mặt tam giác Gọi O trung điểm đường cao SH hình chóp Chứng minh rằng: góc AOB = BOC = COA = 900 Cấn Văn Thắm - Hà Nội Đề cho Học sinh giỏi Toán Bài (2đ): Cho biểu thức: A = ĐỀ SỐ xy x x 1 1 : xy 1 xy xy x xy a Rút gọn biểu thức b Cho x xy 1 6 Tìm Max A x y Chứng minh với số nguyên dương n ta có: 1 1 1 từ tính tổng: n (n 1) n n 1 S= 1 1 1 1 2 2 2005 2006 Bài (2đ): Phân tích thành nhân tử: A = (xy + yz + zx) (x + y+ z) – xyz Bài (2đ): Tìm giá trị a để phương trình sau có nghiệm: x 6a 5a( 2a 3) x a 1 ( x a )( x a 1) Giả sử x1,x2 nghiệm phương trình: x2+ 2kx+ = Tìm tất giá trị k cho có bất đẳng thức: 2 x1 x 3 x2 x1 Bài 4: (2đ) Cho hệ phương trình: m x y 2 3m 1 y x 1 Giải hệ phương trình với m = Tìm m để hệ cho có nghiệm Bài (2đ) : Giải phương trình: 3x x x 10 x 14 4 x x 2 Giải hệ phương trình: y x 27 x 27 0 z y 27 y 27 0 x z 27 z 27 0 Bài (2đ): Trên mặt phẳng toạ độ cho đường thẳng (d) có phương trình: 2kx + (k – 1)y = (k tham số) Cấn Văn Thắm - Hà Nội Đề cho Học sinh giỏi Toán Tìm k để đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = 3.x ? Khi tính góc tạo (d) tia Ox Tìm k để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng (d) lớn nhất? Bài (2đ): Giả sử x, y số dương thoả mãn đẳng thức: x y 10 Tìm giá trị x y để biểu thức: P ( x 1)( y 1) đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Bài (2đ): Cho ABC với BC = 5cm, AC= 6cm; AB = 7cm Gọi O giao điểm đường phân giác, G trọng tâm tam giác Tính độ dài đoạn OG Bài 9(2đ) Gọi M điểm đường thẳng AB Vẽ phía AB hình vng AMCD, BMEF a Chứng minh AE vng góc với BC b Gọi H giao điểm AE BC Chứng minh ba điểm D, H, F thẳng hàng c Chứng minh đường thẳng DF luôn qua điểm cố định M chuyển động đoạn thẳng AB cố định d Tìm tập hợp trung điểm K đoạn nối tâm hai hình vng M chuyển động đường thẳng AB cố định khác góc bẹt điểm M thuộc miền góc Bài 10 (2đ): Cho xOy Dựng đường thẳng qua M cắt hai cạnh góc thành tam giác có diện tích nhỏ …………………………………………………………… Cấn Văn Thắm - Hà Nội Đề cho Học sinh giỏi Toán ĐẾ SỐ Bài 1: Chứng minh: 3 -1 = (2 điểm) 3 + 9 Bài 2: Cho 4a + b = ab (2a > b > 0) Tính số trị biểu thức: M = (2 điểm) ab 4b b 2 Bài 3: (2 điểm) Chứng minh: a, b nghiệm phương trình: x + px + = c,d nghiệm phương trình: x2 + qx + = ta có: (a – c) (b – c) (a+d) (b +d) = q2 – p2 Bài 4: (2 điểm) Giải tốn cách lập phương trình Tuổi anh em cộng lại 21 Hiện tuổi anh gấp đôi tuổi em lúc anh tuổi em Tính tuổi anh, em Bài 5: (2 điểm) Giải phương trình: x + x 2006 = 2006 Bài 6: (2 điểm) x2 Trong hệ trục toạ độ vng góc, cho parapol (P): y = đường thẳng (d): y = mx – 2m – 1 Vẽ (P) Tìm m cho (d) tiếp xúc với (P) Chứng tỏ (d) qua điểm cố định A (P) Bài 7: (2 điểm) Cho biểu thức A = x – xy + 3y - x + Tìm giá trị nhỏ mà A đạt Bài 8: (4 điểm) Cho hai đường tròn (O) (O’) Kẻ tiếp tuyến chung AB tiếp tuyến chung EF, A,E (O); B, F (O’) a Gọi M giao điểm AB EF Chứng minh: ∆ AOM ∾ ∆ BMO’ b Chứng minh: AE BF c Gọi N giao điểm AE BF Chứng minh: O,N,O’ thẳng hàng Bài 9: (2 điểm) Dựng hình chữ nhật biết hiệu hai kích thước d góc nhọn đường chéo Cấn Văn Thắm - Hà Nội Đề cho Học sinh giỏi Toán ĐẾ SÔ Câu 1(2đ) : Giải PT sau : a, x4 - 3x3 + 3x2 - 3x + = b, x x x x = Câu 2(2đ): a, Thực phép tính : 13 100 53 90 b, Rút gọn biểu thức : B= a2 b2 c2 a2 b2 c2 b2 c2 a2 c2 a2 b2 Với a + b + c = Câu 3(3đ) : a, Chứng minh : 1 1 10 2 50 b, Tìm GTNN P = x2 + y2+ z2 Biết x + y + z = 2007 Câu 4(3đ) : Tìm số HS đạt giải nhất, nhì, ba kỳ thi HS giỏi toán K9 năm 2007 Biết : Nếu đưa em từ giải nhì lên giải số giải nhì gấp đơi giải Nếu giảm số giải xuống giải nhì giải số giải 1/4 số giải nhì Số em đạt giải ba 2/7 tổng số giải Câu (4đ): Cho ABC : Góc A = 900 Trên AC lấy điểm D Vẽ CE BD a, Chứng minh : ABD ECD b, Chứng minh tứ giác ABCE tứ giác nội tiếp c, Chứng minh FD BC (F = BA CE) d, Góc ABC = 600 ; BC = 2a ; AD = a Tính AC, đường cao AH ABC bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác ADEF Câu (4đ): Cho đường tròn (O,R) điểm F nằm đường tròn (O) AB A'B' dây cung vng góc với F a, Chứng minh : AB2 + A'B'2 = 8R2 - 4OF2 b, Chứng minh : AA'2 + BB'2 = A'B2 + AB'2 = 4R2 c, Gọi I trung điểm AA' Tính OI2 + IF2 Cấn Văn Thắm - Hà Nội Đề cho Học sinh giỏi Toán ĐẾ SỐ Câu1: Cho hàm số: y = x x + x x a.Vẽ đồ thị hàm số b.Tìm giá trị nhỏ y giá trị x tương ứng c.Với giá trị x y 4 Câu2: Giải phương trình: a 12 x x = b 3x 18 x 28 + x 24 x 45 = -5 – x2 + 6x c x 2x + x-1 x 3 Câu3: Rút gọn biểu thức: a A = ( -1) 2 12 18 128 bB= 1 + 2 + + 2006 2005 2005 2006 + 2007 2006 2006 2007 Câu4: Cho hình vẽ ABCD với điểm M bên hình vẽ thoả mãn MAB =MBA=150 Vẽ tam giác ABN bên ngồi hình vẽ a Tính góc AMN Chứng minh MD=MN b Chứng minh tam giác MCD Câu5: Cho hình chóp SABC có SA SB; SA SC; SB SC Biết SA=a; SB+SC = k Đặt SB=x a Tính Vhchóptheo a, k, x b Tính SA, SC để thể tích hình chóp lớn Cấn Văn Thắm - Hà Nội Đề cho Học sinh giỏi Toán ĐẾ SỐ I - PHẦN TRẮC NGHIỆM : Chọn đáp án : a) Rút gọn biểu thức : a (3 a) với a ta : A : a2(3-a); B: - a2(3-a) ; C: a2(a-3) ; D: -a2(a-3) b) Một nghiệm phương trình: 2x2-(k-1)x-3+k=0 k1 k1 k k ; B ; C; D 2 2 x c) Phương trình: x - -6=0 có nghiệm là: A - A X=3 ;B X=3 ; C=-3 ; D X=3 X=-2 d) Giá trị biểu thức: 2 : 2 2 A ; B ; C ; D 3 II - PHẦN TỰ LUẬN : Câu : a) giải phương trình : x 16 x 64 + x = 10 x y 8 b) giải hệ phương trình : x y 1 x x x x x Câu 2: Cho biểu thức : A = x 2 x x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị x để A > -6 Câu 3: Cho phương trình : x2 - 2(m-1)x +2m -5 =0 a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với giá trị m b) Nếu gọi x1, x2 nghiệm phương trình Tìm m để x1 + x2 =6 Tìm nghiệm Câu 4: Cho a,b,c số dương Chứng minh 1< a b c CÂU IV : Cho tam giác ABC có góc nhọn Dựng phía ngồi tam giác vuông cân đỉnh A ABD ACE Gọi M;N;P trung điểm BC; BD;CE a) Chứng minh : BE = CD BE với CD b) Chứng minh tam giác MNP vuông cân CÂU V : a b 3 c 5a- 3b -4 c = 46 Xác định a, b, c a c 2a 3ab 5b 2c 3cd 5d 2) Cho tỉ lệ thức : Chứng minh : b d 2b 3ab 2d 3cd 1) Cho Với điều kiện mẫu thức xác định CÂU VI :Tính : S = 42+4242+424242+ +424242 42 Cấn Văn Thắm - Hà Nội