Microsoft PowerPoint EM ch1 lecture 02 S1 13 14 ppt 1 Trần Quang Việt – BMCS – Khoa ðiện – ðHBK Tp HCM Tran Quang Viet – Faculty of EEE – HCMUT Semester 1/13 14 Chương 1 Vectơ và trường Lecture[.]
Chương Vectơ trường Lecture-2: Giải tích vectơ (cont) [1 Be familiar with the different vector operators used in Maxwell’s equations] Tran Trần Quang Quang Việt Viet –– BMCS Faculty–of Khoa EEEðiện – HCMUT-Semester – ðHBK Tp.HCM1/13-14 3) Các toán tử Toán tử Gradient (grad) Toán tử Divergence (div) & ðịnh lý Divergence Toán tử Rotation (rot) & ðịnh lý Stokes Toán tử Laplace Các kết hợp toán tử ðịnh lý nghiệm Tran Trần Quang Quang Việt Viet –– BMCS Faculty–of Khoa EEEðiện – HCMUT-Semester – ðHBK Tp.HCM1/13-14 Toán tử Gradient (grad) Φ = Φ (u1 , u2 , u3 ) hai ñiểm lân cận P (u1 , u2 , u3 ) Q (u1 + du1 , u2 + du2 , u3 + du3 ) Ta có: Xét vơ hướng dΦ = ∂Φ ∂Φ ∂Φ du1 + du + du3 ∂u1 ∂u ∂ u3 ∂Φ ∂Φ ∂Φ ⇒ dΦ = a1 + a2 + a3 d ℓ h2 ∂u h3 ∂u3 h1 ∂u1 Toán tử gradient: (VH VT) ∂Φ ∂Φ ∂Φ a1 + a2 + a3 h1 ∂u1 h2 ∂u h3 ∂u3 ⇒ d Φ = grad Φ.d ℓ grad Φ ≡ ∇Φ = Tran Trần Quang Quang Việt Viet –– BMCS Faculty–of Khoa EEEðiện – HCMUT-Semester – ðHBK Tp.HCM1/13-14 Toán tử Gradient (grad) Ý nghĩa toán tử gradient: d ℓ2 dℓ1 Φ = Φ0 d ℓ.a ℓ = d ℓ d ℓ3 d ℓ4 dn = dnan α an Q2 Φ = Φ0 hướng gradΦ P grad Φ ≡ ∇Φ = Φ = Φ0 + d Φ an ðộ lớn gradΦ P tốc ñộ tăng cực ñại Φ P ∂Φ an ∂n ∂Φ = grad Φ a ℓ ≡ ∇Φ a ℓ ∂ℓ Tran Trần Quang Quang Việt Viet –– BMCS Faculty–of Khoa EEEðiện – HCMUT-Semester – ðHBK Tp.HCM1/13-14 Tốn tử Gradient (grad) Ví dụ: cho mặt kín trường vơ hướng Φ=x2+2y2+z2 Xác định vectơ đơn vị pháp tuyến hướng khỏi mặt kín Φ=4 P(1,1,1) grad Φ = xa x + ya y + za z ⇒ grad Φ P = a x + a y + a z grad Φ P a x + a y + a z ⇒ an = = grad Φ P + 16 + ax + ay + az = 6 Tran Trần Quang Quang Việt Viet –– BMCS Faculty–of Khoa EEEðiện – HCMUT-Semester – ðHBK Tp.HCM1/13-14 Toán tử Divergence (div) & định lý Divergence ðịnh nghĩa tốn tử Divergence: div A ≡ ∇ A = lim ∆V → ∫ ∆S AdS ∆V Ý nghĩa tốn tử Divergence: mật độ nguồn ∆V → ∆V → Khơng có Mð nguồn div A = Có Mð nguồn dương div A > ∆V → Có Mð nguồn âm div A < Tran Trần Quang Quang Việt Viet –– BMCS Faculty–of Khoa EEEðiện – HCMUT-Semester – ðHBK Tp.HCM1/13-14 Tốn tử Divergence (div) & định lý Divergence Biểu thức tính tốn tử Divergence: div A ≡ ∇ A = ∂ ( h2 h3 A1 ) ∂ ( h1h3 A2 ) ∂ ( h1h2 A3 ) + + h1 h2 h3 ∂u1 ∂u ∂ u3 ðịnh lý Divergence: trường liên tục thể tích V ∫ S AdS = ∫ divAdV V Tran Trần Quang Quang Việt Viet –– BMCS Faculty–of Khoa EEEðiện – HCMUT-Semester – ðHBK Tp.HCM1/13-14 Toán tử Divergence (div) & định lý Divergence Ví dụ: tìm thơng lượng trường vectơ hệ toạn độ cầu khỏi mặt cầu tâm trùng gốc tọa độ bán kính 2m A = a) r b) A = ar r2 (ñịnh lý Divergence ñúng) (không áp dụng ñược ñịnh lý Divergence) Tran Trần Quang Quang Việt Viet –– BMCS Faculty–of Khoa EEEðiện – HCMUT-Semester – ðHBK Tp.HCM1/13-14 Toán tử Rotation (rot) & định lý Stokes ðịnh nghĩa tốn tử rotation: Ad ℓ ∫ ∆ ℓ an rot A ≡ ∇ × A = lim ∆S → ∆S Max Ý nghĩa toán tử rotation: mật độ nguồn trường có tính chất xốy ∆S → ∆S → ∆S → rot A ≠ 0; IN rot A = rot A ≠ 0; OUT Tran Trần Quang Quang Việt Viet –– BMCS Faculty–of Khoa EEEðiện – HCMUT-Semester – ðHBK Tp.HCM1/13-14 Tốn tử Rotation (rot) & định lý Stokes Biểu thức tính tốn tử rotation: h1 a1 h2 a h3 a rot A ≡ ∇ × A = ∂ h1h2 h3 ∂u1 ∂ ∂u ∂ ∂ u3 h1 A1 h2 A2 h3 A3 ðịnh lý Stokes: trường phải liên tục S ∫ C Ad ℓ = ∫ rot AdS S Tran Trần Quang Quang Việt Viet –– BMCS Faculty–of Khoa EEEðiện – HCMUT-Semester – ðHBK Tp.HCM1/13-14 Toán tử Rotation (rot) & định lý Stokes Ví dụ: tìm lưu số trường vectơ hệ tọa độ trụ đường trịn bán kinh 2m mp z=const, tâm trục z hướng hợp với +z theo quy tắc ñinh ốc thuận a) A = r a φ b) A = 5 aφ r (ñịnh lý Stokes ñúng) (khơng áp dụng định lý Stokes) Tran Trần Quang Quang Việt Viet –– BMCS Faculty–of Khoa EEEðiện – HCMUT-Semester – ðHBK Tp.HCM1/13-14 Toán tử Laplace Tác dụng lên vô hướng: ∆Φ ≡ ∇ Φ = div ( grad Φ ) ∆Φ ≡ ∇ Φ = h1h2 h3 ∂ h2 h3 ∂Φ ∂ h1h3 ∂Φ ∂ h1h2 ∂Φ + + ∂u1 h1 ∂u1 ∂u h2 ∂u ∂u h3 ∂u Tác dụng lên vectơ: ∆ A ≡ ∇ A = grad (divA) − rot (rot A) Tran Trần Quang Quang Việt Viet –– BMCS Faculty–of Khoa EEEðiện – HCMUT-Semester – ðHBK Tp.HCM1/13-14 Các kết hợp toán tử Kết hợp 1: ∫ S rot(gradΦ)dS = ∫ gradΦdℓ = ∫ dΦ=0 C C rot(gradΦ)=0 Kết hợp 2: ∫ V div(rotA)dS = ∫ rotAdS = S div(rotA)=0 Tran Trần Quang Quang Việt Viet –– BMCS Faculty–of Khoa EEEðiện – HCMUT-Semester – ðHBK Tp.HCM1/13-14 ðịnh lý nghiệm Trong không gian liên tục trường vectơ hồn tồn xác định (duy nhất) có rot div xác định Nếu khơng gian khơng liên tục (biên) cần thêm ràng buộc biên vectơ trường miền với (điều kiện biên) Ví dụ: Mơ hình tốn trường điện từ cần phương trình div rot trường điện + phương trình div rot trường từ Hệ pt Maxwell khơng gian liên tục Các điều kiên biên mặt phân cách môi trường Tran Trần Quang Quang Việt Viet –– BMCS Faculty–of Khoa EEEðiện – HCMUT-Semester – ðHBK Tp.HCM1/13-14