Đang tải... (xem toàn văn)
Microsoft PowerPoint ToiUuHamMotBien ÑAÏI HOÏC QUOÁC GIA THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC BAÙCH KHOA oOo TOÁI ÖU HAØM MOÄT BIEÁN TREÂN MICROSOFT EXCEL BOÄ MOÂN QUAÙ TRÌNH VAØ THIEÁT BÒ CN HO[.]
ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA _oOo _ TỐI ƯU HÀM MỘT BIẾN TRÊN MICROSOFT EXCEL BỘ MÔN: QUÁ TRÌNH VÀ THIẾT BỊ CN HÓA - TP Đặt vấn đề: •Hãy tìm giá trị biến độc lập chưa biết x, khoảng [a,b] cho hàm f(x) nhận giá trị cực tiểu Nếu cần tìm cực đại hàm g(x), dùng hàm ngược F(x) = g(x) đưa đến toán tìm cực tiểu F(x) Hàm cần cho trước dạng công thức giải tích Nếu tồn đạo hàm f’(x) đưa đến giải phương trình tuyến tính hay phi tuyến trình bày trước Bài toán tìm tối ưu hàm biến phương pháp số sử dụng hàm số đạo hàm, có nghóa hàm không trơn chí không liên tục, tức làø hàm bị gián đoạn loại I theo Dirắc Đặt vấn đề: Điều kiện hàm f(x) đơn điệu đoạn [a,b], tức khoảng [a,b] tồn cực tiểu cực đại hay điểm uốn Hàm f(x) gọi đơn điệu đoạn [a,b] đoạn tồn điểm x* biến số x cho khi: x1 < x2 < x* < x3 < x4 … thì: f(x1) > f(x2) > f(x*) < f(x3) < f(x4) Khi toán tối ưu hóa đặt trở thành toán tìm kiếm khoảng [a,b] thu hẹp dần từ khoảng ban đầu không xác định đoạn [a,b] với sai số Có nhiều phương pháp tiến hành: •Thu hẹp phương pháp phân đôi; •Thu hẹp theo phương pháp lát cắt vàng; Phương pháp phân đôi: •Để tìm cực trị phương pháp phân đôi cần biết trước: •Công thức giải tích hàm số; •Giá trị số khoảng có cực trị [a, b]; •Giá trị sai số cần đạt được; Bản chất phương pháp chọn giá trị x1 x2 để tính giá trị hàm lân cận trung điểm khoảng [a, b]: Để tiến gần đến cực trị ta thường chọn x1 = c – x2 = c + với = /3 hay /4 tùy thuộc vào cấp máy tính Sau k lần tính lặp khoảng giá trị xác định ban đầu thu hẹp thành: 2K ba K g K 1 2 •Tính toán kết thúc nếu: ≤ Phương pháp phân đôi: Trình tự phương pháp thực sau: Theo giá trị cho trước a, b tiến hành tính trung điểm: c = (a+b)/2 • x1 = c – /3 vaø x2 = c + /3 Tính giá trị f(x1) f(x2) so sánh với nhau; Nếu f(x1) > f(x2) thay a = x1; ngược lại b = x2; Kiểm tra điều kiện: = (b – a) ≤ Nếu thỏa mãn kết thúc, nghiệm toán giá trị nhận x nằm [a,b] vừa xác định được; Ngược lại thực lặp lại với [a,b] mới; Ví dụ: Tìm cực trị hàm f(x) = 2x2 + exp(–x) với độ xác = 104? Trước hết ta tìm khoảng [a, b] biến số mà tồn cực trị hàm Để thực điều bảng Excel đặt chuỗi giá trị biến x cột A từ (giả sử) – 1, đến 1, cột B ta tính hàm theo công thức f(x) = 2x2 + exp(–x) Sau vẽ đồ thị f(x) – x ta thu được: Phương pháp phân đôi: Cho: f(x) Khoảng [a, b] Độ xác Tính: c a b x1 = c – /3 x2 2= c + /3 Đúng f(x1) < f(x2) Thay b = c Sai Thay a = c Tính: = b - a Giá trị tối ưu Kết thúc •Từ ta thấy hàm cho có cực tiểu khoảng [0, 1]: a = 0; b = 1 Phương pháp phân đôi: Để tìm cực tiểu khoảng [0, 1] hàm cho ta làm sau: Trong bảng ta đặt: a, b, x1, x2, f(x1), f(x2), theo haøng Phương pháp phân đôi: Kết tính toán thể bảng sau: Phương pháp phân đôi: Xây dựng đồ thị mô trình tính tốc độ hội tụ sau: Phương pháp phân đôi: Như từ kết tính toán đồ thị ta thấy hàm số cho đạt cực tiểu f(x)MIN = 0,898694 tại: 0,203859 0,203926 0,203892 2 Phương pháp lát cát vàng: Lát cắt vàng (tỷ số) điểm chia đoạn thẳng thành hai đoạn lập nên tỷ số đoạn lớn với tỷ số đoạn nhỏ với đoạn lớn Rõ ràng, đoạn [a,b] có hai điểm đối xứng chia đoạn theo tỷ số vàng, là: 5 x = a + L(b – a) vaø x = b – L(b – a), với L 2 Như vậy, điểm x1 lại chia đoạn [a, x2] theo tỷ số vàng, x2 chia đoạn [x1,b] theo tỷ số vàng … Phương pháp lát cát vàng: Thuật toán lát cắt vàng mô tả sau: điểm x1 x2 chia đoạn [a,b] theo tỷ số vàng, tính giá trị f(x1) f(x2) So sánh giá trị tính toán với khoảng [a, x2] [x1, b] xem chia đoạn thành tỷ số vàng Rồi tính toán với điểm thứ coi kết thúc vòng lặp thứ Khi bước sang vòng lặp thứ hai cần tính giá trị hàm khoảng giá trị xác định giảm giá trị: 3 0,382 Phép lặp thưc đến khoảng xác định [a, b] không nhỏ độ xác cho trước Ví dụ: Tìm cực trị hàm f(x) = 2x2 + exp(–x) với độ xác = 10 phương pháp lát cắt vàng? •Ta lập bảng tính sau Phương pháp phân đôi: Cho: f(x) Khoảng [a, b] Độ xác Tính: L 3 x = x0 + L x1 = c – /3 x2 = c + /3 Đúng f(x1) < f(x2) Thay b = c Sai Thay a = c Tính: = b - a Giá trị tối ưu Keát thúc Phương pháp lát cát vàng: Ví dụ: Tìm cực trị hàm f(x) = 2x2 + exp(–x) với độ xác = 10 phương pháp lát cắt vàng? Ta lập bảng tính sau Phương pháp lát cát vàng: Ví dụ: Tìm cực trị hàm f(x) = 2x2 + exp(–x) với độ xác = 10 phương pháp lát cắt vàng? Kết tính toán Phương pháp lát cát vàng: Ví dụ: Tìm cực trị hàm f(x) = 2x2 + exp(–x) với độ xác = 10 phương pháp lát cắt vàng? Mô trình hội tụ Như vậy, ta có cực tiểu 0,898694 0,203826 Phương pháp lát cát vàng: Ví dụ: Tìm cực trị hàm f(x) = 2x2 + exp(–x) với độ xác = 10 phương pháp lát cắt vàng? Sử dụng công cụ (thủ tục) có sẵn Excel: •Để sử dụng thủ tục Solver cần lưu ý tùy chọn sau: •Set Target Cell: Hàm mục tiêu; •Equal to: Max, Min, Value of; •By Changing Cells: Các biến; •Subject to the constraints: Các ràng buộc (điều kiện); •Để thay đổi tuỳ chọn Solver ta ấn chuột vào Options … Phương pháp lát cát vàng: •Để sử dụng thủ tục Solver cần lưu ý tùy chọn sau: •Set Target Cell: Hàm mục tiêu; •Equal to: Max, Min, Value of; •By Changing Cells: Các biến; Phương pháp lát cát vàng: Độ hồ tan vôi theo nhiệt độ: C 0,1394 0,000649 t 0,00000157 t * Bài tập: lấy phần dư phép chia số thứ tự danh sách lớp chia 10 cộng làm số đề sau giải toán: TT f(x) TT x 2x 5arctg(2,5x) 10 2 x 2,5x 1,5arctg(10x) 10 3 x 2x 0,7arctg(3x) 10 -4 -4 -4 -4 -4 x 2,1x 0,8arctg(4x) 10 f(x) -4 -4 -4 -4 -4 x 2,9x 0,7arctg(2x) 10 x 2,2x 1,7arctg(0,8x) 10 x 1,8x 0,7arctg(,2x) 10 x 1,5x 1,5arctg(5x) 10 x 2,8x 0,2arctg(5x) 10 10 x 2,1x 5arctg(1,5x) 10