ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ MAI LOAN TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT VÀ TÍNH COFINITE CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN T[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ MAI LOAN TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT VÀ TÍNH COFINITE CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ MAI LOAN TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT VÀ TÍNH COFINITE CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 60.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN HỒNG THÁI NGUN - 2016 Lời cam đoan Tơi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, ngày tháng năm Người viết Luận văn Hà Mai Loan i Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học Tiến sĩ NGUYỄN VĂN HOÀNG - Giảng viên Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên Nhân dịp tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy, người hướng dẫn phương pháp nghiên cứu khoa học đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc dành nhiều thời gian, công sức giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo Viện Tốn học Đại học Thái Nguyên, người tận tình giảng dạy khích lệ, động viên tơi vượt qua khó khăn học tập Tôi xin cảm ơn ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Khoa Sau đại học tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ suốt thời gian học tập Cuối xin cảm ơn bạn bè, người thân giúp đỡ, động viên, ủng hộ để hồn thành tốt khóa học Thái Nguyên, ngày tháng năm 2016 Người viết luận văn Hà Mai Loan ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Iđêan nguyên tố liên kết 1.2 Biểu diễn thứ cấp 1.3 Môđun Ext môđun Tor 1.4 Môđun đối đồng điều địa phương 10 Tính hữu hạn tập iđêan nguyên tố liên kết tính cofinite môđun đối đồng điều địa phương 2.1 13 Tính hữu hạn tập iđêan nguyên tố liên kết môđun đối đồng điều địa phương iii 13 2.2 Tính cofinite môđun đối đồng điều địa phương 25 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 iv Mở đầu Cho R vành Noether, a iđêan R, M R−môđun Một vấn đề quan trọng đại số giao hoán xác định tập iđêan nguyên tố liên kết môđun đối đồng điều địa phương thứ i, Hai (M ) M ứng với iđêan a hữu hạn Nếu R vành địa phương quy chứa trường, Hai (R) có hữu hạn iđêan nguyên tố liên kết với i ≥ (trong [10] [13]) Trong [20] Singh đưa ví dụ vành Noether R khơng địa phương iđêan a cho Ha3 (R) có vơ hạn iđêan ngun tố liên kết Cũng [11] Katzman đưa ví dụ vành địa phương Noether R với đặc số dương iđêan a cho Ha2 (R) có vơ hạn iđêan nguyên tố liên kết Trong [2, Định lý 2.2] Brodmann Lashgari môđun đối đồng điều địa phương không hữu hạn sinh Hai (M ) môđun hữu hạn sinh M ứng với iđêan a có hữu hạn iđêan nguyên tố liên kết Một R−môđun M gọi a-cofinite SuppR (M ) ⊆ V(a) ExtiR (R/a, M ) hữu hạn sinh với i ≥ Gần M T Dibaei S Yassemi mở rộng kết Brodmann Lashgari, cụ thể định lý sau: Định Lý ([6, Định lý 2.1]) Cho a iđêan vành Noether R Cho s số nguyên không âm Cho M R−môđun cho ExtsR (R/a, M ) R−môđun hữu hạn sinh Nếu Hai (M ) a−cofinite với i < s, HomR (R/a, Has (M )) hữu hạn sinh Mặt khác, [12] Khashyarmanesh Salarian môđun đối đồng điều địa phương thứ t, Hat (M ) môđun hữu hạn sinh M ứng với iđêan a có hữu hạn iđêan nguyên tố liên kết SuppR (Hai (M )) hữu hạn với i < t Gần đây, P H Quý kết hợp kết Brodmann-Lashgari kết KhashyarmaneshSalarian, cụ thể định lý sau: Định lý ([18, Định lý 3.2]) Cho a iđêan vành Noether R, cho M R−môđun hữu hạn sinh Cho t ∈ N cho Hai (M ) hữu hạn sinh SuppR (Hai (M )) hữu hạn với i < t Khi AssR (Hat (M )) tập hữu hạn Trong phần ta tìm hiểu số kiến thức tính chất cofinite mơđun Cho (R, m) vành địa phương Noether, cho M R−môđun hữu hạn sinh a iđêan R, [6] Dibaei Yassemi định nghĩa q(a, M ) số nguyên nhỏ n ≥ −1 cho môđun Hai (M ) m-cofinite với i > n, đưa kết số nguyên q(a, M ), cụ thể định lý sau: Định lý ([6, Định lý 3.9]) Cho a iđêan R i ≥ số nguyên cho trước cho Hai (R/b) m−cofinite với iđêan b R Khi q(a, R/p) < i với p ∈ Spec R Đặc biệt, q(a, M ) < i với R−môđun hữu hạn sinh M Mục đích luận văn trình bày lại chi tiết chứng minh Định lý 1, 2, nêu trên, chứng minh dựa ba báo [6], [17], [18] Luận văn chia làm hai chương Chương dành để trình bày kiến thức chuẩn bị cần thiết bao gồm: iđêan nguyên tố liên kết, biểu diễn thứ cấp, môđun Ext Tor, môđun đối đồng điều địa phương, bao đầy đủ môđun Chương chương luận văn dành để chứng minh chi tiết Định lý 1, Định lý 2, Định lý nêu trên, bên cạnh số hệ định lý số kiến thức tính chất cofinite mơđun trình bày Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương ta giả thiết R vành giao hốn Noether, M R−mơđun a iđêan R 1.1 Iđêan nguyên tố liên kết Các kiến thức mục trích theo sách [14] Định nghĩa 1.1.1 (Iđêan nguyên tố liên kết) Một iđêan nguyên tố p R gọi iđêan nguyên tố liên kết M có phần tử 6= x ∈ M cho AnnR (x) = p Tập tất iđêan nguyên tố liên kết M kí hiệu AssR (M ) (hoặc Ass(M )) Định nghĩa 1.1.2 (Tập giá môđun) Đặt SuppR (M ) = {p ∈ Spec(R) | Mp 6= 0} Khi SuppR (M ) gọi tập giá M Sau số tính chất tập iđêan nguyên tố liên kết