Cac khai niem co ban

Chương I Sunday, October 05, 2008 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TRUYỀN NHIỆT PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DẪN NHIỆT A CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Nhiệt lượng ⇒ Là lượng trao đổi có chênh lệch nhiệt độ Nguyễn toàn phong Page of 24 Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhiệt Nguyễn toàn phong Page of 24 Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhiệt Nhiệt lượng trao đổi theo ba hình thức bản: dẫn nhiệt, trao đổi nhiệt đối lưu trao đổi nhiệt xạ I DẪN NHIỆT ⇒ Nhiệt lượng truyền hai vật tiếp xúc trực tiếp với có chênh lệch nhiệt độ ⇒ vùng có nhiệt độ khác vật Nguyễn toàn phong Page of 24 Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhiệt II TRAO ĐỔI NHIỆT ĐỐI LƯU ⇒ Nhiệt lượng trao đổi lưu chất bề mặt rắn có chênh lệch nhiệt độ Nguyễn toàn phong Page of 24 Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhiệt Nguyễn toàn phong Page of 24 Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhiệt III TRAO ĐỔI NHIỆT BỨC XẠ ⇒ Nhiệt lượng trao đổi hai vật có nhiệt độ chênh lệch không tiếp xúc môi trường chất khí chân không IV Nguyễn toàn phong Page of 24 Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhiệt V TRAO ĐỔI NHIỆT PHỨC TẠP ⇒ Nhiệt lượng truyền hai đối tượng có chênh lệch nhiệt độ từ hai cách trở lên Quá trình truyền nhiệt có liên quan chặt chẽ với phân bố nhiệt độ (hay gradient nhiệt độ) Nguyễn toàn phong Page of 24 Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhiệt VI TRƯỜNG NHIỆT ĐỘ Nhiệt độ Là thông số trạng thái biểu thị mức độ nóng lạnh vật Là yếu tố định phương hướng chuyển động dòng nhiệt Trường nhiệt độ Mô tả giá trị nhiệt độ vật theo thời gian Trong trường hợp tổng quát nhiệt độ hàm số tọa độ thời gian t = f (x, y, z, τ ) t = f (r, φ, z, τ ) (1-1) t = f (r, φ, θ, τ ) Nguyễn toàn phong Page of 24 Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhiệt • Trường nhiệt độ ổn định t = f (x , y , z ) ∂t =0 ∂τ • Trường nhiệt độ biến thiên chiều t = f (x , y , τ ) ∂t =0 ∂z (1-2) (1-3) • Trường nhiệt độ ổn định biến thiên theo chieàu t = f (x, y ) (1-4) ∂t ∂t =0 = ∂z ∂τ • Trường nhiệt độ ổn định biến thiên chiều t = f (x ) ∂t ∂t ∂t = = vaø =0 ∂y ∂z ∂τ Nguyễn toàn phong Page of 24 (1-5) Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhiệt VII GRADIENT NHIỆT ĐỘ Mặt đẳng nhiệt: Tập hợp điểm có nhiệt độ giống thời điểm ¾ Mặt đẳng nhiệt không cắt ¾ Nhiệt độ thay đổi qua mặt đẳng nhiệt Gradient nhiệt độ: Độ biến thiên nhiệt độ theo phương pháp tuyến Là vectơ trùng với phương pháp tuyến bề mặt đẳng nhiệt theo chiều tăng nhiệt độ t + Δt n ∂t ∂n s ϕ ∂t ∂s t ∂t r ∂t r ∂t r grad t = ⋅ i + ⋅ j + ⋅ k = ∇t ∂x ∂y ∂z Nguyễn toàn phong Page 10 of 24 (1-6) Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhiệt Hay grad t = n o grad t (1-7) no Vectơ pháp tuyến đơn vị theo chiều tăng nhiệt độ với bề mặt đẳng nhiệt r r r n o = cos(n, x) ⋅ i + cos(n, y) ⋅ j + cos(n, z) ⋅ k (1-8) Độ lớn grad t = t '2x + t'2y + t '2z (1-9) VIII NGUỒN NHIỆT Nguồn nhiệt lượng chuyển hóa từ dòng điện, phản ứng nguyên tử từ phản ứng hóa học thành lượng nhiệt, tính cho đơn vị thể tích qv, W m Nhiệt lượng sinh từ thể tích V nguồn nhiệt bên Q V = ∫ q v ⋅ dV (1-10) V Nguyễn toàn phong Page 11 of 24 Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhiệt B ĐỊNH LUẬT FOURIER Đây định luật dẫn nhiệt vật chất “Nhiệt lượng dQτ truyền qua phần tử bề mặt đẳng nhiệt dF khoảng thời gian dτ tỷ lệ thuận với gradient nhiệt độ” ∂t ∂Q τ = − λ ⋅ ⋅ dF ⋅ dτ J (1-11) ∂n Daáu “ −” Do nhiệt lượng từ nơi có nhiệt độ cao đến nơi có nhiệt độ thấp λ Hệ số dẫn nhiệt, thông số vật lý đặc trưng cho khả dẫn nhiệt vật liệu W/(m.K) Mật độ dòng nhiệt nhiệt lượng truyền qua đơn vị bề mặt đẳng nhiệt đơn vị thời gian: dQ τ ∂t = − λ⋅ qF = W/m2 (1-12) dF ⋅ dτ ∂n r r r qF = qx ⋅ i + qy ⋅ j + qz ⋅ k (1.13) Với ∂t ⎧ q = − λ ⋅ ⎪ x ∂x ⎪ ∂t ⎪ q = − λ ⋅ ⎨ y ∂y ⎪ ⎪ ∂t q = − λ ⋅ ⎪⎩ z ∂z (1-14) q F = − λ ⋅ grad t hay q F = − λ ⋅ ∇t (1-15) Trường hợp tổng quát: Nguyễn toàn phong Page 12 of 24 Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhiệt Dòng nhiệt truyền qua mặt đẳng nhiệt F đơn vị thời gian: Q = − ∫ λ ⋅ grad t ⋅ dF W (1-16) F Nhieät lượng truyền qua mặt đẳng nhiệt F sau khoảng thời gian τ: τ Q = − ∫ ∫ λ ⋅ grad t ⋅ dF ⋅ dτ J (1-17) F Nguyễn toàn phong Page 13 of 24 Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhiệt C PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DẪN NHIỆT Hiện tượng dẫn nhiệt liên quan với chuyển động vi mô vật chất Trong chất khí ⇒ khuếch tán phân tử nguyên tử Trong chất lỏng chất cách điện ⇒ tác dụng sóng đàn hồi Trong kim loại ⇒ khuếch tán điện tử tự (dao động đàn hồi mạng tinh thể đóng vai trò thứ yếu) Các giả thuyết thiết lập phương trình vi phân dẫn nhiệt: + Vật đồng chất đẳng hướng + Thông số vật lý số + Vật xem hoàn toàn cứng (sự thay đổi thể tích nhiệt độ gây nên bé) + Các phần vó mô vật chuyển động tương đối vơí + Nguồn nhiệt bên phân bố đều: q v = const , W/m3 Nguyễn toàn phong Page 14 of 24 Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhiệt Phương trình vi phân dẫn nhiệt xây dựng dựa sở định luật bảo toàn lượng định luật Fourier Định luật bảo toàn lượng: “Nhiệt lượng δQ1 đưa vào phần tử thể tích dV sau khoảng thời gian dτ dẫn nhiệt nguồn nhiệt bên phát biến thiên nội phần tử thể tích vật” ∂ Q + ∂Q = ∂ Q (1-18) δQ1 Nhiệt lượng đưa vào phần tử thể tích dẫn nhiệt sau khoảng thời gian dτ δQ2 Nhiệt lượng phát sinh phần tử thể tích sau khoảng thời gian dτ nguồn nhiệt bên δQ Độ biến thiên nội phần tử thể tích dv sau khoảng thời gian dτ Nguyễn toàn phong Page 15 of 24 Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhiệt Theo phương x, nhiệt lượng đưa vào vị trí x đưa vị trí x + dx laø: ∂Q x = q x ⋅ dy ⋅ dz ⋅ dτ ∂Q x + dx = q x + dx ⋅ dy ⋅ dz ⋅ dτ Nhiệt lượng tích tụ lại phần tử thể tích theo phương x sau khoảng thời gian dτ : ∂Q1x = ∂Q x − ∂Q x + dx = (q x − q x + dx ) ⋅ dy ⋅ dz ⋅ dτ (1-19.a) Hàm q x + dx liên tục khoảng dx, khai triển theo chuổi Taylor nhö sau: q x + dx ∂ n q x dx n ∂q x ∂ q x dx ⋅ + + ⋅ = qx + ⋅ dx + n ∂x 2! n! ∂x ∂x Neáu lấy số hạng đầu, vào (a) ta coù: ∂q ∂Q1x = − x ⋅ dx ⋅ dy ⋅ dz ⋅ dτ ∂x (1-19.b) Tương tự, nhiệt lượng tích tụ theo phương y z là: ∂q y ∂Q 1y = − ⋅ dx ⋅ dy ⋅ dz ⋅ dτ ∂y ∂Q1z = − ∂q z ⋅ dx ⋅ dy ⋅ dz ⋅ dτ ∂z Như vậy, nhiệt lượng tích tụ lại phần tử thể tích dv sau khoảng thời gian dτ dẫn nhiệt là: Nguyễn toàn phong Page 16 of 24 Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhiệt ∂Q1 = ∂Q1x + ∂Q1y + ∂Q1z (1-19.c) ⎛ ∂q x ∂q y ∂ q z ⎞ ⎟⎟ ⋅ dV ⋅ dτ = −∇q ⋅ dV ⋅ dτ = −⎜⎜ + + ∂ ∂ ∂ x y z ⎝ ⎠ Nhiệt lượng tỏa nguồn nhiệt bên q v [W/m3] (phân bố ñeàu): ∂Q = q v ⋅ dV ⋅ dτ Biến thiên nội phần tử thể tích dv: Cv ≡ Cp ≡ C ∂t ∂t ∂Q = C ⋅ dm ⋅ ⋅ dτ = C ⋅ ρ ⋅ ⋅ dV ⋅ dτ ∂τ ∂τ (1-19.d) (1-19.e) Thay 1-19.c, 1-19.d, 1-19.e vào 1-18 Ta được: q ∂t =− ⋅ ∇q + v ∂τ C.ρ C.ρ (1-20) Thế phương trình 1-15 vào 1-20 q λ ∂t Ta = ⋅ ∇2 t + v ∂τ C.ρ C.ρ q ∂t = a ⋅ ∇2 t + v ∂τ C.ρ Hay a= (1-21) λ hệ số khuếch tán nhiệt, thông số vật lý tồn C.ρ trình dẫn nhiệt không ổn định đặc trưng cho tốc độ biến thiên nhiệt độ vật Nguyễn toàn phong Page 17 of 24 Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhiệt Trong hệ tọa độ trụ Ta quan heä sau ⎧x = r ⋅ cos φ ⎪ ⎨y = r ⋅ sin φ ⎪z = z ⎩ (1-22) vào phương trình 1-21, phương trình vi phân dẫn nhiệt hệ tọa độ trụ có dạng: ⎛ ∂ t ∂t ∂ t ∂ t ⎞ q v ∂t = a⋅⎜ + ⋅ + ⋅ + ⎟ + ∂τ r ∂r r ∂φ ∂z ⎠ C.ρ ⎝ ∂r Nguyễn toàn phong Page 18 of 24 (1-23) Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhiệt Trong hệ tọa độ cầu: Ta quan hệ sau ⎧x = r ⋅ cos φ ⋅ sin θ ⎪ ⎨y = r ⋅ sin φ ⋅ sin θ ⎪z = r ⋅ cos θ ⎩ (1-24) vào phương trình 1-21, phương trình vi phân dẫn nhiệt hệ tọa độ cầu có dạng: ⎡1 ∂ ∂ ⎛ ∂t ⎞ ∂ 2t ⎤ qv ∂t 1 ⋅ ⎜ sin θ ⋅ ⎟ + ⋅ 2⎥+ = a ⋅ ⎢ ⋅ (r ⋅ t ) + 2 ∂τ ∂θ ⎠ r sin θ ∂φ ⎦ c.ρ r sin θ ∂θ ⎝ ⎣ r ∂r (1-25) Nguyễn toàn phong Page 19 of 24 Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhiệt D PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DẪN NHIỆT ỔN ĐỊNH MỘT CHIỀU KHÔNG CÓ NGUỒN NHIỆT BÊN TRONG I TRONG HỆ TỌA ĐỘ VUÔNG GÓC P/trình 1-21 q ∂t = a ⋅ ∇2 t + v ∂τ C.ρ Trường hợp mặt đẳng nhiệt mặt phẳng song song → nhiệt độ thay đổi theo phương x, ta có ∂t ∂t ⎫ = 0⎪ =0 d2t ∂z ∂y ⎪ =0 (1-26) ⎬⇒ dx ∂t = q v = ⎪⎪ ⎭ ∂τ II TRONG HỆ TỌA ĐỘ TRỤ ⎛ ∂ t ∂t ∂ t ∂ t ⎞ q v ∂t = a⋅⎜ + ⋅ + ⋅ + ⎟ + P/t 1-23: ∂τ r ∂r r ∂φ ∂z ⎠ C.ρ ⎝ ∂r Trường hợp mặt đẳng nhiệt mặt trụ đồng tâm → nhiệt độ thay đổi theo phương bán kính ∂t ∂t ⎫ =0 = 0⎪ d t dt ∂φ ∂z ⎪ + ⋅ =0 ⎬ ⇒ r dr dr ∂t = q v = ⎪⎪ ⎭ ∂τ ⇒ Nguyễn toàn phong d ⎛ dt ⎞ ⎜r⋅ ⎟ = dr ⎝ dr ⎠ Page 20 of 24 (1-27) Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhiệt III TRONG HỆ TỌA ĐỘ CẦU Phương trình tổng quát 1-25 ⎡1 ∂ ∂t ∂ ⎛ ∂t ⎞ ∂ 2t ⎤ qv = a ⋅ ⎢ ⋅ (r ⋅ t ) + ⋅ ⎜ sin θ ⋅ ⎟ + ⋅ 2⎥+ ∂τ r ∂ θ ∂ θ ∂ r r sin θ r sin θ ∂φ ⎦ c.ρ ⎝ ⎠ ⎣ Trường hợp mặt đẳng nhiệt mặt cầu đồng tâm → nhiệt độ thay đổi theo phương bán kính ∂t ∂t ⎫ =0 = 0⎪ d2 d t dt ∂φ ∂θ ⎪ ⎬ ⇒ ⋅ (r ⋅ t ) = ⇔ + ⋅ = r dr r dr dr ∂t ⎪ = qv = ⎪ ⎭ ∂τ ⇒ d ⎛ dt ⎞ ⎜r ⋅ ⎟ = dr ⎝ dr ⎠ (1-28) IV TRƯỜNG HP TỔNG QUÁT d ⎛ n dt ⎞ ⎜r ⋅ ⎟ = dr ⎝ dr ⎠ (1-29) i Toïa độ vuông góc ⎧n = ⇒ ⎨ ⎩x ≡ r ii Tọa độ trụ ⇒ n =1 iii Tọa độ cầu ⇒ n=2 Nguyễn toàn phong Page 21 of 24 Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhiệt E ĐIỀU KIỆN ĐƠN TRỊ I ĐIỀU KIỆN HÌNH HỌC Đặc trưng hình dáng, kích thước vật tham gia trình II ĐIỀU KIỆN VẬT LÝ Cho biết thông số vật lý vật: λ, C, ρ … cho biết qui luật phân bố nguồn nhiệt bên vật III ĐIỀU KIỆN THỜI GIAN HAY ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU Điều kiện cần thiết khảo sát trình không ổn định, cho biết qui luật phân bố nhiệt độ vật thời điểm Trong trường hợp chung, điều kiện biểu diễn dạng: Khi τ=0 t = (x, y, z ) Nếu thời điểm ban đầu phân bố nhiệt độ đồng thì: Khi τ=0 t = t o = const IV ĐIỀU KIỆN BIÊN Cho biết đặc điểm tiến hành trình bề mặt vật Có thể biểu thị dạng số học, dạng hàm số dạng phương trình vi phân Nguyễn toàn phong Page 22 of 24 Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhiệt Điều kiện biên loại Cho biết nhiệt độ bề mặt vật tw, cần xác định nhiệt lượng truyền qua δQ Điều kiện biên loại Cho biết nhiệt lượng truyền qua δQ, cần tìm quy luật phân bố nhiệt độ bề mặt vật tw Điều kiện biên loại Cho biết nhiệt độ môi trường xung quanh tf quy luật trao đổi nhiệt bề mặt với môi trường (trong trình làm nguội hay gia nhiệt) Định luật Newton-Rieman cho trường hợp trao đổi nhiệt đối lưu q = α ⋅ (t f − t w ) (1-30) Nhiệt lượng nhiệt lượng dẫn nhiệt (tại bề mặt): ⎛ ∂t ⎞ (1-31) q = − λ ⋅⎜ ⎟ ⎝ ∂n ⎠ w từ 1.30 1.31 biểu diễn điều kiện biên loại sau: α ⎛ ∂t ⎞ = ⋅ (t w − t f ) ⎜ ⎟ ⎝ ∂n ⎠ w λ Nguyễn toàn phong Page 23 of 24 (1-32) Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhiệt Điều kiện biên loại Điều kiện đặc trưng cho qui luật truyền nhiệt hai vật tiếp xúc Giả thuyết vật có tiếp xúc lý tưởng (nhiệt độ chổ tiếp xúc đồng nhất) thì: ⎛ ∂t ⎞ ⎛ ∂t ⎞ λ1 ⋅ ⎜ ⎟ = λ ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ ∂n ⎠ w ⎝ ∂n ⎠ w Nguyễn toàn phong Page 24 of 24 (1-33) Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhiệt