vành sigma đối xứng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐAN ĐÌNH TRÚC VÀNH SIGMA ĐỐI XOẮN Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. NGUYỄN VIẾT ĐÔNG Thành phố Hồ Chí Minh - 2012 Lời cám ơn Em xin gửi lời cám ơn chân thành đến tất cả thầy cô trong khoa Toán- Tin học, đặc biệt là các thầy PGS.TS. Bùi Xuân Hải, TS. Trần Ngọc Hội, TS. Nguyễn Viết Đông đã tận tình dạy dỗ và truyền đạt cho em những kiến thức quý báu trong suốt những năm cao học. Hơn hết, em xin bày tỏ lòng biết ơn đến TS. Nguyễn Viết Đông, thầy đã tận tình hướng dẫn em trong quá trình làm luận văn. Em cũng xin gửi lời cám ơn đến gia đình, đặc biệt là cha mẹ, những người đã tạo mọi điểu kiện để em có thể tập trung học tập. Cuối cùng, xin gửi lời cám ơn đến các anh chị khóa trên, cùng những người bạn đã học tập và giúp đỡ tôi rất nhiều trong thời gian qua. Đan Đình Trúc Mục lục Lời cảm ơn 3 Mục lục 4 Lời mở đầu 5 Bảng ký hiệu 7 1 Kiến thức chuẩn bị 8 1.1 Các module đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Các vành đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Các hàm tử Ext n và Tor n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4 Giới hạn tới, giới hạn ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5 Bao và phủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 Module Σ-đối xoắn và thuần khiết mạnh 18 3 Căn Jacobson của vành tự đồng cấu 26 4 Vành nửa địa phương 34 Tài liệu tham khảo 42 4 Lời mở đầu Nội dung chính của luận văn là nghiên cứu về module Σ-đối xoắn và vành Σ-đối xoắn, dựa trên bài báo [10] của P.A. Guil Asensio, I. Herzog. Trong suốt luận văn, khi nói đến module M mà không nói rõ thì ta hiểu M là module phải. Khi nói đến một vành bất kì, ta qui ước đó là vành kết hợp có đơn vị. Luận văn gồm có 4 chương. Chương 1 trình bày các kiến thức chuẩn bị mà chúng ta sẽ sử dụng trong suốt luận văn, đặc biệt là các định nghĩa và định lý liên quan đến các hàm tử T or n và Ext n . Cũng trong chương 1, chúng tôi trình bày các tính chất của các module nội xạ thuần khiết, module dẹt, vành hoàn hảo phải, và vành nửa hoàn hảo phải. Chương 2 nói về Module Σ-đối xoắn và khái niệm thuần khiết mạnh. Cụ thể, ta chứng minh được các kết quả chính sau đây. Định lý 2.11. Cho vành R và M R là R-module phải. Ta có các điều sau: 1) Bao đối xoắn C(M) là mở rộng thuần khiết mạnh cốt yếu tối đại của M. Hơn nữa, m : M R → C(M) là đơn cấu F -thuần khiết và duy nhất theo nghĩa đẳng cấu. 2) Nếu N R là mở rộng thuần khiết mạnh cốt yếu của M R , thì phép nhúng i : M R → N R là đơn cấu F-thuần khiết. Hơn nữa, nếu N R ⊂ C(N) là bao đối xoắn của N R thì C(N) cũng là bao đối xoắn của M R . 3) Nếu M ⊂ N ⊂ C(M) và phép nhúng i : M R → N R là đơn cấu F -thuần khiết thì N R là mở rộng thuần khiết mạnh cốt yếu của M R . Định lý 2.12. Cho vành R. Giả sử rằng phạm trù các R-module phải xạ ảnh là đóng đối với mở rộng thuần khiết mạnh cốt yếu, khi đó C(R R ) là module Σ-đối xoắn. Chương 3 trình bày về căn Jacobson của vành tự đồng cấu của các module dẹt đối xoắn. Trong chương này, ta chứng minh được rằng, vành R thỏa mãn R R là module Σ-đối xoắn khi và chỉ khi R là vành hoàn hảo phải. Ngoài ra, ta cũng chứng minh được kết quả sau. Định lý 3.16. Cho vành R, R R ⊂ C là bao đối xoắn của R R , và S = End R (C) là vành tự đồng cấu của C. Giả sử đồng cấu f ∈ S thỏa 6 mãn f(1) ∈ CJ, thì f ∈ J(S), với J(S) là căn Jacobson của S. Hơn nữa, nếu C  là hạng tử trực tiếp của C R thỏa mãn C  J = C  thì C  = 0. Chương 4 trình bày về lớp vành nửa địa phương và quan hệ giữa lớp vành này và module Σ-đối xoắn. Trong chương này, ta chứng minh được rằng nếu bao đối xoắn của R R là module Σ-đối xoắn, thì R là vành nửa địa phương. Ta cũng chứng minh được kết quả sau. Mệnh đề 4.12. Cho vành R và ℵ = max{ℵ 1 , |R|}. Khi đó, nếu mọi R-module con thuần khiết của R (ℵ) R là module con thuần khiết mạnh cốt yếu của một hạng tử trực tiếp nào đó của R (ℵ) R , thì R là vành hoàn hảo phải. Trong thời gian gần đây, hướng nghiên cứu về module Σ-đối xoắn đang được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới. Nhiều kết quả mới và thú vị trong lĩnh vực này đã được công bố và cũng có nhiều vấn đề mở đòi hỏi cần phải giải quyết. Tuy nhiên do hạn chế về thời gian và năng lực nên tác giả bản luận văn này chỉ mới đạt được ở mức độ nắm được một số kết quả mới mà chưa thể giải quyết được các câu hỏi đặt ra. Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng trong luận văn vẫn không tránh khỏi sai sót. Em rất mong nhận được góp ý của của các thầy cô, anh chị và các bạn. Xin chân thành cảm ơn. Bảng ký hiệu ⊂, ⊆ chứa trong  chứa trong ngặt |A| lực lượng của tập hợp A M ⊕ N tổng trực tiếp của M và N R (I) tổng trực tiếp của của các R-module R theo tập chỉ số I M (I) tổng trực tiếp của của các R-module M theo tập chỉ số I End R (M) vành các R-tự đồng cấu của M  i R i tích trực tiếp của các vành {R i } C(M) bao đối xoắn của module M Ext n R (A, B) tích mở rộng n-chiều trên R của các module A và B Ext n (A, B) tích mở rộng n-chiều các module A và B khi vành R xác định Ext(A, B) tích mở rộng 1-chiều các module A và B khi vành R xác định T or R n (A, B) tích xoắn n-chiều trên R của các module A và B T or n (A, B) tích xoắn n-chiều các module A và B khi vành R xác định T or(A, B) tích xoắn 1-chiều các module A và B khi vành R xác định R M M là R-module trái M R M là R-module phải S M R M là R-module phải và S-module trái A ⊗ R B tích tenxơ của hai module A R và R B 7 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các module đặc biệt Định nghĩa 1.1. Dãy khớp các R-module phải 0 −−→ A  λ −−→ A −−→ A  −−→ 0 được gọi là khớp thuần khiết nếu với mọi R-module trái B, ta có dãy sau là khớp: 0 −−→ A  ⊗ B λ⊗1 −−→ A ⊗ B −−→ A  ⊗ B −−→ 0 Khi đó A  được gọi là module con thuần khiết của A, và λ : A  → A được gọi là đơn cấu thuần khiết. Định nghĩa 1.2. Một R-module M được gọi là nội xạ thuần khiết nếu với mọi module con thuần khiết S của một R-module phải N, dãy sau đây là khớp: Hom(N, M) −−→ Hom(S, M) −−→ 0 Định nghĩa 1.3. R-module phải A được gọi là module dẹt phải nếu hàm tử A ⊗ − là hàm tử khớp. Nói cách khác A là module dẹt nếu với mỗi dãy khớp ngắn các R-module trái: 0 −−→ X −−→ Y −−→ Z −−→ 0 8 CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 9 thì dãy các nhóm tenxơ sau cũng khớp: 0 −−→ A ⊗ X −−→ A ⊗ Y −−→ A ⊗ Z −−→ 0 Module dẹt trái được định nghĩa hoàn toàn tương tự. Định lý 1.4. ([2], Mệnh đề 4.85) Cho vành R, và R-module phải C, ta có các điều sau tương đương. 1. C là R-module dẹt phải 2. Mọi dãy khớp ε : 0 −−→ A λ −−→ B −−→ C −−→ 0 đều là khớp thuần khiết. Định lý 1.5. ([2], Mệnh đề 4.86) Cho vành R và dãy khớp các R-module phải ε : 0 → A → B → C → 0. Ta có: 1. Giả sử B là module dẹt. Khi đó, ε là khớp thuần khiết khi và chỉ khi C là module dẹt. 2. Giả sử C là module dẹt. Khi đó, B là module dẹt khi và chỉ khi A là module dẹt. Định nghĩa 1.6. Cho vành R và M R là R-module phải. Khi đó R-module phải S được gọi là module con bé của M R nếu với mọi L ⊂ M thỏa mãn L + S = M thì L = M. Bổ đề 1.7. Cho R là vành địa phương với ideal tối đại J. Nếu M R là R-module phải hữu hạn sinh thì MJ là module con bé của M. CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 10 1.2 Các vành đặc biệt Định nghĩa 1.8. Một vành R được gọi là nửa hoàn hảo phải (trái) nếu mọi R-module phải (trái) hữu hạn sinh đều có phủ xạ ảnh. Định nghĩa 1.9. Một vành R được gọi là hoàn hảo phải (trái) nếu mọi R-module phải (trái) đều có phủ xạ ảnh. Định nghĩa 1.10. Một vành R được gọi là chính quy von Neumann nếu với mọi a ∈ R tồn tại phần tử a  sao cho aa  a = a. Định lý 1.11. ([3], Định lý 4.16, trang 120) Vành R là chính quy von Neumann nếu và chỉ nếu mọi R-module phải là dẹt. Mệnh đề 1.12. ([7], Mệnh đề 27.6) Cho vành R, và J(R) là căn Jacobson của R. Ta có các điều sau là tương đương: 1) R là vành nửa hoàn hảo phải. 2) R/J(R) là vành nửa đơn và mọi lũy đẳng x+J(R) của R/J(R) đều có dạng e + J(R) với e là một lũy đẳng của R. 3) R có một hệ lũy đẳng trực giao e 1 , e 2 , , e n với mỗi e i Re i là vành địa phương. 4) Mọi R-module phải đơn đều có phủ xạ ảnh. Mệnh đề 1.13. ([7], Mệnh đề 28.4) Cho vành R, và J(R) là căn Jacobson của R. Ta có các điều sau là tương đương: 1) R là vành hoàn hảo phải. 2) R/J(R) là vành nửa đơn và J(R) là T-lũy linh phải. 3) R/J(R) là vành nửa đơn và mọi R-module phải khác không đều có module con tối đại. 4) Mọi R-module dẹt phải đều là module xạ ảnh. 5) R không chứa bất kì hệ lũy đẳng trực giao vô hạn nào và mọi R- module phải khác không đều chứa module con tối tiểu. CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 11 1.3 Các hàm tử Ext n và T or n Định nghĩa 1.14. Cho A là R-module phải và X : . . . −−→ X n+1 −−→ X n −−→ X n−1 −−→ . . . −−→ X 0 −−→ A −−→ 0 là phép giải xạ ảnh bất kỳ của A. Phép giải thu gọn tương ứng với phép giải xạ ảnh X là: X : . . . −−→ X n+1 −−→ X n −−→ X n−1 −−→ . . . −−→ X 0 −−→ 0 Với mỗi R-module trái B ta có dãy nửa khớp: X ⊗ B : . . . ∂ ∗ −−→ X n+1 ⊗ B −−→ X n ⊗ B −−→ . . . −−→ X 0 ⊗ B −−→ 0 trong đó ∂ ∗ là tích tenxơ ∂⊗1 B . Với mỗi n ≥ 0, ta định nghĩa H n (X ⊗B) là tích xoắn n-chiều trên R của các module A và B. Và ký hiệu T or R n (A, B). Khi vành R đã rõ, ta sẽ viết gọn là T or n (A, B). Trong trường hợp n=1, ta sử dụng kí hiệu T or(A, B). Định lý 1.15. ([1], Định lý 2, trang 155) Nếu A hay B là R-module xạ ảnh thì T or R n (A, B) = 0, n ≥ 1. Định lý 1.16. ([1], Định lý 5, trang 160) Với mọi R-module phải A và mọi dãy khớp ngắn bất kỳ các R-module trái: 0 −−→ B  −−→ B −−→ B  −−→ 0 ta có dãy khớp: . . . −−−→ T or n (A, B  ) −−−→ T or n (A, B) −−−→ T or n (A, B  ) −−−→ T or n−1 (A, B  ) −−−→ . . . −−−→ T or(A, B  ) −−−→ A ⊗ B  −−−→ A ⊗ B −−−→ A ⊗ B  −−−→ 0 Định lý 1.17. ([1], Định lý 6, trang 161) Với mọi R-module trái B và mọi dãy khớp ngắn bất kỳ các R-module trái: 0 −−→ A  −−→ A −−→ A  −−→ 0 [...]... e = 0 Suy ra C = 0 Chương 4 Vành nửa địa phương Định nghĩa 4.1 Cho vành R, và J là căn Jacobson của R Khi đó, vành R được gọi là vành nửa địa phương nếu vành thương R/J là vành artinian nửa đơn Định lý 4.2 Cho vành R và C = C(RR ) là bao đối xoắn của RR Nếu tổng trực tiếp C (N) là module đối xoắn thì R là vành nửa địa phương Do đó, nếu C là module Σ -đối xoắn, thì R là vành nửa địa phương Chứng minh... Module Σ -đối xoắn và thuần khiết mạnh Định nghĩa 2.1 Cho vành R có đơn vị, khi đó: 1) R-module phải CR được gọi là module đối xoắn nếu Ext(F,C)=0, với mọi R-module dẹt phải FR Nếu RR là module đối xoắn thì ta gọi R là vành đối xoắn phải 2) R-module phải MR được gọi là Σ -đối xoắn nếu với mọi tập chỉ số I, tổng trực tiếp M (I) là module đối xoắn Nếu RR là module Σ -đối xoắn thì ta gọi R là vành Σ -đối xoắn... tổng trực tiếp của những R-module không phân tích được Bổ đề 3.3 ([11], Mệnh đề 7) Cho R là vành đối xoắn phải Nếu RR là R-module không phân tích được thì R là vành địa phương Bổ đề 3.4 Cho CR là R-module dẹt đối xoắn Khi đó vành các tự đồng cấu S = EndR C của CR là vành đối xoắn phải Chứng minh Gọi C(S) là bao đối xoắn của S Ta đã biết C(S)/S là Smodule dẹt, do đó dãy khớp: 0 G i G SS C(S)S G C(S)/S... Cho vành R sao cho RR là module Σ -đối xoắn, khi đó R là vành hoàn hảo phải Chứng minh Theo Định lý 3.6, ta có RR có thể phân tích thành tổng trực tiếp của các module không phân tích được có các vành tự đồng cấu là vành địa phương Do đó, trong R tồn tại một hệ các lũy đẳng trực giao e1 , e2 , , en thỏa mãn ei Rei là vành địa phương Mặt khác, ta lại có J(R) là T-lũy linh do R ∼ EndR (R) Suy ra R là vành. .. Nhận xét 3.14 Cho R là vành hoàn hảo phải, khi đó mọi R-module dẹt phải đều xạ ảnh, và do đó mọi R-module MR là module đối xoắn Suy ra RR là module Σ -đối xoắn Để tiện cho việc trình bày, từ phần này trở đi của chương, ta kí hiệu CR = C(RR ) là bao đối xoắn của RR , với R là vành có đơn vị Ta cũng kí hiệu S = EndR (C) là vành các tự đồng cấu của CR CHƯƠNG 3 CĂN JACOBSON CỦA VÀNH TỰ ĐỒNG CẤU 32 Dễ nhận... module đối xoắn: Ví dụ 2.2 Module nội xạ là module đối xoắn Ví dụ 2.3 Module nội xạ thuần khiết là module đối xoắn Ví dụ 2.4 Cho MR là R-module phải, F (M ) là phủ dẹt của MR và p : F (M ) → MR là đồng cấu tương ứng Khi đó, ta có Kerp là R-module phải đối xoắn ([4, Ví dụ 1.4]) Bổ đề 2.5 Cho vành R, MR là R-module đối xoắn Với mỗi tập chỉ số I, ký kiệu M (I) là tổng trực tiếp tương ứng Nếu bao đối xoắn... > do R ⊂ (1 − rs)R Vì R là vành đối xoắn phải nên tồn tại lũy đẳng e khác không thỏa mãn < e >≤< rs > , nghĩa là rR chứa một lũy đẳng khác không Bây giờ, gọi CR là module dẹt đối xoắn, ta có S = EndR (C) là vành đối xoắn phải Kí hiệu J(S) là căn Jacobson của S và f : C → C là một tự đồng cấu của C Khi đó, f nằm trong căn Jacobson J(S) nếu với mọi CHƯƠNG 3 CĂN JACOBSON CỦA VÀNH TỰ ĐỒNG CẤU 29 hạng tử... JACOBSON CỦA VÀNH TỰ ĐỒNG CẤU 30 Mệnh đề 3.10 ([12], Mệnh đề 2.25) Cho vành R, và MR là R-module phải Giả sử rằng MR có phân tích MR = Mi với Si = EndR (Mi ) là i∈I vành địa phương Khi đó, mỗi hạng tử trực tiếp địa phương của MR là hạng tử trực tiếp của MR khi và chỉ khi (Mi )i∈I là T-lũy linh nửa địa phương Định nghĩa 3.11 Cho vành R có đơn vị, MR là R-module phải, và S = EndR (M ) là vành tự đồng... Bổ đề 3.2, CR có phân tích C = Ci với Ci là i các R-module không phân tích được Nhận xét thấy rằng, do EndR (Ci ) là vành đối xoắn phải nên EndR (Ci ) chứa một lũy đẳng khác không (theo Bổ đề 3.4 và Nhận xét 3.5) Theo Bổ đề 3.3, EndR Ci là vành địa phương Nhận xét 3.7 Giả sử R là vành đối xoắn phải, gọi J(R) là căn Jacobson của R và I là ideal phải của R Khi đó, I nằm trong J(R) khi và chỉ khi trong... 2.12 Cho vành R và MR là R-module phải Ta có các điều sau: 1) Bao đối xoắn C(M ) là mở rộng thuần khiết mạnh cốt yếu tối đại của M Hơn nữa, m : MR → C(M ) là đơn cấu F -thuần khiết và duy nhất theo nghĩa đẳng cấu 2) Nếu NR là mở rộng thuần khiết mạnh cốt yếu của MR , thì phép nhúng i : MR → NR là đơn cấu F -thuần khiết Hơn nữa, nếu NR ⊂ C(N ) là bao đối xoắn của NR thì C(N ) cũng là bao đối xoắn của . R là vành đối xoắn phải. 2) R-module phải M R được gọi là Σ -đối xoắn nếu với mọi tập chỉ số I, tổng trực tiếp M (I) là module đối xoắn. Nếu R R là module Σ -đối xoắn thì ta gọi R là vành Σ -đối. bày về lớp vành nửa địa phương và quan hệ giữa lớp vành này và module Σ -đối xoắn. Trong chương này, ta chứng minh được rằng nếu bao đối xoắn của R R là module Σ -đối xoắn, thì R là vành nửa địa. 2.12. Cho vành R. Giả sử rằng phạm trù các R-module phải xạ ảnh là đóng đối với mở rộng thuần khiết mạnh cốt yếu, khi đó C(R R ) là module Σ -đối xoắn. Chương 3 trình bày về căn Jacobson của vành tự