Các bài giảng về toán cho Mirella

GS. Nguyễn Tiến Dũng Các bài giảng về toán cho Mirella � Quyển I i Ảnh bìa: Tranh do Mirella vẽ, 06/2012 Về tác giả: GS. Nguyễn Tiến Dũng tốt nghiệp Đại học Quốc gia Moskva mang tên Lomonosov (Liên Bang Nga) năm 1991, bảo vệ luận án tiến sĩ về toán năm 1994 ở Đại học Strasbourg (Cộng hòa Pháp), trở thành nghiên cứu viên của Trung tâm Nghiên cứu Khoa học Quốc gia Pháp (CNRS) vào năm 1995, và được bổ nhiệm làm giáo sư tại Đại học Toulouse (Cộng hòa Pháp) vào năm 2002. Ông là một chuyên gia trong các lĩnh vực hình học vi phân, hệ động lực, và toán tài chính. Tác giả cảm ơn và thân tặng Nguyễn Sương Thu bản e -book này Toulouse Ngày 28 tháng 10 năm 2012 ii Mục lục 1 Bài toán của công chúa Dido . . . . . . . . . . . . . . 5 2 Đường ngắn nhất nối 4 đỉnh hình vuông . . . . . . . . 16 3 Con khỉ đi bán chuối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4 Các hình đa giác và các nhóm đối xứng . . . . . . . . 35 5 Vấn đề lát gạch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 6 Bài toán về các con kiến . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 7 Cắt ghép hình vuông thành tam giác đều . . . . . . . 59 8 Bài toán bò ăn cỏ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 9 Các số Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 10 Tổng bình phương của cấp số cộng . . . . . . . . . . . 82 11 Tích phân là gì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 12 Bánh xe hình vuông! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 iii c � Prof. Dr. Nguyen Tien Zung. Bản quyền của quyển sách thuộc về tác giả. Người sở hữu bản e-book có quyền lưu trữ nó ở một số máy khác nhau và in nó ra để dùng trong phạm vi gia đình. Thông tin thêm liên quan đến quyển sách có thể xem tại: http://zung.zetamu.com/books/mirella-1/ iv Lời giới thiệu Mirella là một cô bé đang học lớp 9 (1) ở thành phố Toulouse miền nam nước Pháp. Cô chưa bao giờ phải đi học thêm các môn đã học ở trường như là ở Việt Nam. Có đi học ngoại khóa chỉ là học đánh đàn và học vẽ theo sở thích thôi. Đi học ở trường về là Mirella có rất nhiều thời gian rảnh rỗi để làm việc mình thích, như là đọc sách, chơi bời, vẽ vời. Gần đây, Mirella đặc biệt tò mò về toán. Một trong các lý do có lẽ là, anh ruột Tito của Mirella nhờ giỏi toán nên năm vừa rồi đã thi đỗ vào trường ENS Paris (Ecole Normale Supérieure de Paris) và được nhận lương công chức tập sự ngay từ lúc còn là sinh viên. Mirella vì “không chịu thua anh” điểm gì, nên cũng muốn biết tất cả mọi thứ mà anh Tito biết về toán. Bởi vậy, Mirella liên tục yêu cầu tác giả của quyển sách này, mà Mirella gọi là papa, dạy toán ở nhà cho Mirella. Gần như ngày nào Mirella cũng hỏi papa “hôm nay có học toán không?”. Mỗi tuần papa đều phải nát óc nghĩ ra, hay đi sưu tập về, một vài đề tài thú vị về toán và hợp trình độ học sinh phổ thông để dạy cho cô con gái của mình. Tất nhiên là Mirella tín nhiệm papa lắm, vì papa không những chỉ là giáo sư toán ở trường đại học, mà còn là người trực tiếp “luyện” cho anh Tito thi đỗ ENS. Nhưng cách “luyện” của papa không giống cách của nhiều “lò luyện thi”. Papa không bắt Tito làm đi làm lại các dạng bài tập quen (1) Ở Pháp gọi là lớp “3ème”, lớp cuối của “collège”, tức là lớp cuối của phổ thông cơ sở. 1 thuộc đến nhàm chán để giải nhanh như cái máy. Papa cho rằng, kiểu học chỉ để thi là lãng phí thời gian mà không tiến bộ nhiều. Trái lại, papa giảng cho Tito các kiến thức rộng hơn, kể cả các kiến thức không nằm trong chương trình kỳ thi, để có cái nhìn rộng hơn, hiểu biểu tốt hơn về toán, thấy được cái hay cái đẹp của các kiến thức toán học, dùng được chúng, khi gặp các vấn đề lạ là có thể tìm cách liên hệ các vấn đề đó với các kiến thức đã có. Papa không chỉ dạy cho Tito kiến thức toán học, mà còn dạy phương pháp toán học: các cách suy luận, đặt vấn đề, tiếp cận và giải quyết vấn đề. Ngoài học ở trường, tự học ở nhà, và thảo luận với papa, Tito cũng không hề phải đi học thêm ở nơi nào khác. Theo cách học với tầm nhìn xa, thời gian đầu ở lớp chuẩn bị (2) , Tito khi làm bài kiểm tra đạt điểm thấp hơn so với nhiều bạn, khiến mẹ của Tito lo lắm, bảo papa dạy kiểu gì mà để Tito như vậy sẽ thi trượt mất thôi. Papa phải trấn an rằng, những điểm kiểm tra ban đầu đó không quan trọng lắm, Tito đạt điểm thấp hơn các bạn không phải là vì kém hơn, mà là vì đề bài quá dài, có những bạn đã được luyện giải các bài cùng dạng từ trước nên làm nhanh được còn Tito cũng làm được nhưng không nhanh bằng thôi. Quả nhiên, càng về sau, khi các vấn đề càng khó lên, càng đòi hỏi kiến thức sâu rộng và suy luận tốt, thì Tito càng tỏ ra xuất sắc, trở thành đứng đầu lớp. Đối với Mirella cũng vậy, các bài giảng về toán của papa cho Mirella không nhằm giúp Mirella đạt điểm cao ở lớp về môn toán (điều này tự Mirella cũng làm được, không cần papa giúp), mà nhằm giúp Mirella hiểu sâu rộng hơn về toán, thấy được sự liên quan chặt chẽ giữa toán học và thế giới xung quanh, phát triển khả năng suy luận logic, và học các phương pháp để tiếp cận và tìm cách giải quyết bất cứ vấn đề nào. (2) Theo hệ thống giáo dục của Pháp hiện tại, có những lớp chuẩn bị học 2 năm sau phổ thông trước khi thi vào những trường lớn như ENS, khi vào các trường đó là vào năm thứ 3 đại học. 2 Quyển sách này chính là xuất phát từ các bài giảng mà tác giả, tức là papa của Mirella, đã giảng miệng cho Mirella, rồi sau đó viết lại, bổ sung và chỉnh lý. Tác giả làm vậy với hy vọng rằng, các bài giảng này sẽ có ích không chỉ cho riêng Mirella, mà còn cho rất nhiều các bạn học sinh khác, và cho cả những người lớn muốn tìm hiểu thêm về toán. Phần lớn các đề tài của các bài giảng cho Mirella là những vấn đề gần gũi với thực tế, cần dùng đến toán để mô hình hóa vấn đề và giải quyết vấn đề. Qua các đề tài đó, ta thấy được các khái niệm, lý thuyết và công cụ toán học nảy sinh một cách tự nhiên thế nào, chứ toán học không hề khô khan vô dụng. Cũng bởi vậy mà các bài giảng này là các bài giảng “không có độ tuổi”: học sinh cấp hai cũng có thể hiểu được các vấn đề đặt ra, và hiểu được một phần lớn các công cụ toán học được đưa vào để giải quyết vấn đề, nhưng những người đã có bằng đại học về toán cũng sẽ tìm thấy nhiều điều mới mẻ trong đó. Một số khái niệm mà papa đưa vào các bài giảng cho Mirella có thể coi là những khái niệm toán học hiện đại và không có trong chương trình phổ thông hiện tại, ví dụ như khái niệm về nhóm, hay khái niệm về biến phân. Trong các sách toán cao cấp, chúng thường được trình bày một cách hình thức, với nhiều ký hiệu và tiên đề rắm rối, khó hiểu. Nhưng papa giải thích chúng trong các bài giảng một cách trực giác, nhẹ nhàng, gắn liền với các thứ gần gũi quen thuộc chứ không quá trừu tượng, để Mirella và các bạn đọc thấy được bản chất của chúng. Do số bài đã giảng khá nhiều và sẽ còn có thêm nhiều bài giảng khác nữa, nên tác giả chia loạt bài giảng thành nhiều quyển sách nhỏ cho dễ đọc. Mỗi quyển sẽ gồm khoảng hơn 10 bài giảng (mỗi bài giảng ứng với một hay vài buổi thảo luận), mỗi bài giảng là về một đề tài, trong đó có một vấn đề cụ thể, các suy luận toán học để giải quyết vấn đề và có thể phát triển lên thành một lý thuyết để giải quyết các vấn đề tương tự, và 3 các bài tập dành cho Mirella và các bạn đọc tự làm để đào sâu suy nghĩ thêm. Sau Quyển 1 này, tác giả sẽ viết thêm các quyển bài giảng tiếp theo. Quyển 1 này gồm có 12 bài giảng, viết thành 12 chương, và có thể chia thành mấy nhóm chủ đề chính. Nhóm thứ nhất, gồm 3 bài đầu tiên, là về các vấn đề cực đại, cực tiểu và phương pháp biến phân. Nhóm thứ hai, gồm 4 bài tiếp theo, là về các bài toán hình học và các nhóm đối xứng. Nhóm thứ ba, gồm 3 bài tiếp theo, là về đại số, với các đa thức và đại số tuyến tính. Hai bài giảng cuối cùng chứa các kiến thức về giải tích, nhưng cũng liên quan đến hình học, đại số, và các vấn đề thực tế, vì dụ như là việc vận chuyển đá để xây kim tự tháp. Thông tin thêm về các bài giảng, cũng như lời giải của các bài tập trong sách, có thể xem và thảo luận tại trang web của tác giả: http://zung.zetamu.com/books/mirella-1/ Những bản thảo đầu tiên của các bài giảng này, khi đưa lên trang web cá nhân của tác giả (http://zung.zetamu.net), đã được rất nhiều bạn bè gần xa hưởng ứng, góp ý, khích lệ tác giả viết lại thành sách. Trong đó có nhiều người là các nhà khoa học hay là giáo viên. Tác giả xin chân thành cảm ơn tất cả những người bạn đã chia sẻ, góp ý cho những bài giảng này. Đặc biệt vinh dự có giáo sư vật lý Đàm Thanh Sơn (Đại học Chicago), là một nhà khoa học cũng rất quan tâm đến việc giáo dục cho các thế hệ trẻ, đã góp cho loạt bài giảng này một số ý tưởng và bài tập có được đưa vào trong quyển sách này. 4 Chương 1 Bài toán của công chúa Dido Công chúa Dido (còn gọi là nữ hoàng Dido, và còn có tên là công chúa Elissar hay Alyssa) là người sáng lập ra thành phố Carthage (một thành phố ven biển Địa Trung Hải, ngày nay là một vùng ngoại ô của thành phố Tunis ở nước Tunisia) từ thời 1000 năm trước công nguyên, tức là cách chúng ta khoảng 3000 năm. Theo lịch sử, công chúa Dido là công chúa ở xứ Tyre (ngày nay là Liban), thuộc một vương quốc rộng lớn ở Địa Trung Hải ngày xưa gọi là Phoenicia. Vua Pygmalion xứ Tyre là anh trai của Dido, nhưng đã giết chồng của Dido để nhằm chiếm tài sản. Dido mới cùng với một đoàn người chạy tỵ nạn khỏi xứ Tyre sang vùng Carthage và lập nên một thành phố mới ở đó. Theo truyền thuyết, khi chạy tỵ nạn đến Carthage, Dido xin vua xứ đó (gọi là vua của dân tộc Berber, là một dân tộc ở Bắc Phi) một mảnh đất nhỏ để ở tạm. Ông vua đồng ý cho Dido một mảnh đất có thể khoanh vùng lại được bằng một tấm da trâu. Dido và những người của mình cắt một tấm da trâu ra thành một dải dây da rất dài. Sau khi đã có dải dây 5 CHƯƠNG 1. BÀI TOÁN CỦA CÔNG CHÚA DIDO Hình 1.1: Một bức tranh vẽ thành phố Carthage thời xưa da trâu, bài toán của Dido là: Với một dải dây đã có, làm sao khoanh được một vùng đất to nhất ở cạnh biển? Chú ý là nếu vùng đất chạm biển thì không cần phải khoanh dây biên giới cả ở ngoài biển, chỉ cần khoanh biên giới cho đến những chỗ giáp biển thôi. Bài toán này có thêm giả thiết là, bờ biển thẳng và rất dài, dài hơn nhiều so với dải dây da trâu của Dido. Papa đố Mirella giải bài toán của công chúa Dido. Mirella liền đưa ra câu trả lời: “Khoanh dây lại thành hình tròn, vì hình tròn là hình to nhất trong các hình có cùng chu vi”. Nếu là trong đất liền thì đây là lời giải đúng. Nhưng vì ở sát biển, có thể tận dụng bờ biển mà không cần khoanh dây chỗ đó, nên lời giải không đúng nữa. Chẳng hạn, ta có thể dịch đường tròn ra sao cho tiếp xúc với biển. Sau đó, ta kéo cái cung 1/4 vòng tròn có 1 đầu giáp biển, từ đầu kia của cung ra thành một đường thẳng vuông góc với biển, thì vừa có được 6 c �Prof. Nguyen Tien Zung [...]...CHƯƠNG 1 BÀI TOÁN CỦA CÔNG CHÚA DIDO thêm đất mà vừa tiết kiệm được dây Xem Hình 1.2 a) Hình 1.2: Hình tròn và hình vuông không tối ưu Mirella đưa ra ý tưởng khác: “Làm một hình vuông một cạnh giáp biển” Nhưng ngay sau đó, Mirella tự nhận ra rằng đây chưa phải là cách tốt nhất, bằng một phương pháp mà có lần papa đã chỉ cho: Cắt 1 góc hình vuông đó (góc mà không chạm... lớn nhất trong các hình cùng chu vi như thế nào?” Mirella có từng được nghe nói đến điều đó, nhưng chưa biết chứng minh nó như thế nào Vì sao lại tròn? Lần này, papa chỉ cho Mirella một cách chứng minh hình tròn là hình có diện tích lớn nhất trong các hình cùng chu vi Ta sẽ chấp nhận mà không chứng minh, rằng tồn tại hình có diện tích lớn nhất trong các hình có cùng chu vi Ở đây ta sẽ chỉ chứng minh... Tien Zung CHƯƠNG 1 BÀI TOÁN CỦA CÔNG CHÚA DIDO diện tích nhỏ hơn là nửa hình tròn nhân đôi, nếu ta chấp nhận rằng hình tròn là hình có diện tích lớn nhất trong các hình cùng chu vi, do đó phương án khác nửa đường tròn thì có diện tích nhỏ hơn là phương án nửa đường tròn Xem hình 1.3 “Hóa ra dễ quá!”, Mirella nhận xét, “thế nhưng chứng minh hình tròn là hình có diện tích lớn nhất trong các hình cùng chu... trên mặt phẳng thỏa mãn cả 3 tính chất trên thì là hình tròn Papa giải thích tỷ mỉ cho Mirella tại sao như vậy Nhưng bạn đọc hãy thử tự nghĩ cách chứng minh khẳng định trên, trước khi xem một cách chứng minh tóm tắt dưới đây: Giả sử ta có một hình thỏa mãn cả 3 tính chất trên Lấy 3 điểm A, B, C khác nhau tùy ý trên hình Kẻ các đường tiếp xúc đi qua A, B, C, cắt nhau thành một tam giác P QR (P đối diện... ơn và thân tặng Nguyễn Sương Thu 9 CHƯƠNG 1 BÀI TOÁN CỦA CÔNG CHÚA DIDO Hình 1.4: Tính chất góc cắt đều bất kỳ trên hình Khi đó hai góc của đường đó với hai đường tiếp xúc tại hai điểm tương ứng là bằng nhau Xem Hình 1.4 Chứng minh cũng hệt như là chứng minh phía trên cho chuyện hình vuông không phải hình tốt nhất vậy: nếu hai góc đó khác nhau, thì bằng cách lật ngược một trong hai mảnh của hình lại... được Mirella liền đưa ra giải pháp: “Thế thì lấy một cung tròn” Nhưng cung tròn nào? Có nhiều cung tròn khác nhau cùng độ dài: cung tròn “bẹt”, cung tròn “hơi bẹt” (nhỏ hơn 1/2 đường tròn, tức là góc tạo bởi cung tròn tính từ tâm hình tròn nhỏ hơn 180 độ), 1/2 đường tròn, và cung tròn lớn hơn 1/2 đường tròn Bản e-book cảm ơn và thân tặng Nguyễn Sương Thu 7 CHƯƠNG 1 BÀI TOÁN CỦA CÔNG CHÚA DIDO Mirella. .. chỉ chứng minh rằng, một hình lớn nhất như vậy bắt buộc phải là hình tròn Để chứng minh điều này, ta xem hình có diện tích lớn nhất thì phải có các tính chất gì? 1) Tính chất lồi là hiển nhiên rồi: Nếu không lồi, thì “lấp cho nó thành lồi”, hay nói theo ngôn ngữ toán học là lấy bao lồi của nó, thì chu vi giảm đi mà diện tích tăng lên 2) Tính chất không gẫy khúc nữa: Nếu bị gẫy khúc ở bất cứ điểm nào,... giác đó lại sao cho cạnh huyền vẫn ở vị trí cũ, chỉ có 2 cạnh góc vuông là chuyển chỗ thôi Khi đó được 1 hình khác cùng diện tích và chu vi với hình vuông, nhưng mà là hình lõm Mà hình lõm thì không thể là có diện tích to nhất được, vì chỉ cần “kéo căng dây ra” lấp đầy chỗ lõm cho thành lồi thì là vừa tăng được diện tích vừa đỡ tốn dây Xem Hình 1.2 b) Cũng theo lý luận tương tự như trên, các hình “có... “nhưng chỉ hơi bẹt một tý thôi, vẫn có nhiều đất, có thể nhiều hơn so với 1/2 vòng tròn thì sao?” Đến đây thì Mirella không nghĩ ra câu trả lời Câu chuyện tạm dừng lúc đó, đến buổi tối mới tiếp tục Vì sao nửa đường tròn là tốt nhất? Hình 1.3: Nửa hình tròn là tốt nhất Buổi tối, papa giải thích cho Mirella vì sao nửa đường tròn là tốt nhất: So sánh một phương án bất kỳ nào khác với phương án nửa đường tròn... tốt nhất” Papa hỏi “thế tại sao hơn 1/2 đường tròn thì không tốt?” Mirella trả lời là, nếu hơn 1/2 đường tròn, thì tình huống cũng tương tự như là cả đường tròn vậy: chỗ giáp với biển bị “hụt vào”, chỉ cần kéo dây vuông góc ra với biển ở gần chỗ đó là vừa thêm được đất vừa tiết kiệm được dây “Thế tại sao cung tròn bẹt thì không tốt?” Mirella cười phá lên “bẹt thì lấy đâu ra đất!” Papa hỏi “nhưng chỉ