Giải pháp nâng cao năng lực giải toán cho học sinh chủ đề phương trình lượng giác (đại số và giải tích 11)

Nâng cao năng lực giải quyết vấn đề của học sinh, đặc biệt là năng lực giải Toán là một nhiệm quan trọng vì Toán học có vị trí to lớn trong sự phát triển các ngành kinh tế, khoa học, kĩ thuật và có nhiều ứng dụng vào cuộc sống. Thực tế, hiện nay ở trường phổ thông thì năng lực giải Toán được hình thành một cách tự nhiên, tuy nhiên chưa có giải pháp cụ thể.

MỤC TIÊU NGHIÊN CỨU

Mục tiêu chung

Đề xuất các giải pháp nâng cao năng lực giải toán của học sinh chủ đề phương trình lượng giác (Đại số và Giải tích 11).

Mục tiêu cụ thể

Để đạt được mục tiêu trên, khoá luận có nhiệm vụ làm rõ một số vấn đề sau:

- Trình bày cơ sở lý luận và thực tiễn về năng lực giải toán trong dạy học toán.

- Đề xuất các định hướng và phương pháp cần thiết để nâng cao năng lực giải toán cho học sinh vào dạy học PTLG.

- Tổ chức dạy thực nghiệm để bước đầu kiểm nghiệm tính khả thi của các giải pháp đề ra.

PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Phương pháp nghiên cứu lí luận

Nghiên cứu và phân tích các tài liệu về lí luận dạy học, sách giáo khoa,sách giáo viên và các tài liệu tham khảo liên quan tới môn học.

Phương pháp điều tra

Thăm dò ý kiến học sinh trước, sau khi thực nghiệm sư phạm và thăm dò ý kiến giáo viên có kinh nghiệm về nâng cao năng lực giải toán.

Phương pháp quan sát

Dự giờ, trao đổi với giáo viên trong tổ chuyên môn, học hỏi kinh nghiệm của thầy cô đi trước về phương pháp dạy học môn học; phân tích kết quả học tập của học sinh nhằm tìm hiểu thực trạng về việc dạy và họcPhương trình lượng giác (Đại số và Giải tích 11) bằng việc tiến hành khảo sát giáo viên và học sinh thông qua phiếu khảo sát.

Phương pháp thực nghiệm sư phạm

Kiểm chứng các biện pháp đã đề ra qua một số giờ dạy thực nghiệm ở một số lớp đã chọn Trên cơ sở đó kiểm tra, đánh giá, bổ sung và sửa đổi để tăng thêm tính khả thi của các biện pháp được đề ra.

Phương pháp thống kê Toán học

Xử lý các số liệu kết quả sau khi thực nghiệm sư phạm bằng phần mềmMicrosoft Office Excel.

Ý NGHĨA NGHIÊN CỨU

- Về lý luận: góp phần làm sáng tỏ nội dung “Giải pháp nâng cao năng lực giải toán của học sinh chủ đề Phương trình lượng giác (Đại số và Giải tích 11)”

+ Xây dựng một số phương pháp nâng cao năng lực giải toán của học sinh chủ đề PTLG – Đại số 11.

+ Vận dụng các phương pháp trên vào thực tiễn dạy học giải bài tậpPTLG.

CẤU TRÚC KHÓA LUẬN

Năng lực

Năng lực là là một phạm trù được sử dụng trong mọi lĩnh vực của đời sống xã hội Tuy nhiên không phải ai cũng hiểu rõ khái niệm về năng lực một cách chính xác Khái niệm năng lực được hiểu theo nhiều nghĩa khác nhau.

Theo từ điển Tiếng Việt (2015): “Năng lực” được hiểu là “khả năng, điều kiện chủ quan hoặc tự nhiên sẵn có để thực hiện một hoạt động nào đó” hoặc “là phẩm chất tâm lí và sinh lí tạo cho con người khả năng hoàn thành một hoạt động nào đó với chất lượng cao”.

Theo từ điển tâm lý học (2011): “Năng lực được coi là đặc điểm của cá nhân thể hiện mức độ thông thạo, tức là có thể thực hiện một cách thành thục và chắc chắn một số dạng hoạt động nào đó”.

Theo chương trình giáo dục phổ thông tổng thể năm 2018 của Bộ Giáo dục và Đào tạo: “Năng lực là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí, thực hiện thành công một loạt hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điểu kiện cụ thể” [2].

- Tóm lại, năng lực có những đặc điểm chính sau:

+ Là sự kết hợp giữa tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện của người học.

+ Là kết quả huy động của tổng hợp các kiến thức, kỹ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí, để thực hiện thành công một công việc trong bối cảnh nhất định.

+ Biểu hiện của năng lực là biết sử dụng các nội dung và kỹ thuật trong một tình huống có ý nghĩa chứ không phải tiếp thu lượng tri thức rời rạc.

+ Được hình thành và phát triển thông qua hoạt động và thể hiện ở sự thành công trong hoạt động thực tiễn [9].

Năng lực toán học

Theo V A Krutecxki năng lực Toán học được hiểu theo hai ý nghĩa, hai mức độ:

Một là, theo ý nghĩa năng lực học tập (tái tạo) tức là năng lực đối với việc học Toán, đối với việc nắm giáo trình Toán học ở trường phổ thông, nắm một cách nhanh và tốt các kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo tương ứng.

Hai là, theo ý nghĩa năng lực sáng tạo (khoa học), tức là năng lực hoạt động sáng tạo Toán học, tạo ra những kết quả mới, khách quan có giá trị lớn đối với xã hội loài người [1].

Giữa hai mức độ hoạt động toán học đó không có một sự ngăn cách tuyệt đối Nói đến năng lực học tập Toán không phải là không đề cập tới năng lực sáng tạo Có nhiều em học sinh có năng lực, đã nắm giáo trình Toán học một cách độc lập và sáng tạo, đã tự đặt và giải các bài toán không phức tạp lắm; đã tự tìm ra các con đường, các phương pháp sáng tạo để chứng minh các định lý, độc lập suy ra các công thức, tự tìm ra các phương pháp giải độc đáo những bài toán không mẫu mực Với mức độ học sinh trung bình và khá, khóa luận chỉ chủ yếu tiếp cận năng lực toán học theo góc độ thứ nhất (năng lực học toán) Sau đây là một số định nghĩa về năng lực toán học: Định nghĩa 1: Năng lực Toán học là các đặc điểm tâm lý cá nhân (trước hết là các đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng yêu cầu hoạt động Toán học và giúp cho việc nắm giáo trình toán một cách sáng tạo, giúp cho việc nắm một cách tương đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc kiến thức, kỹ năng và kỹ xảo toán học. Định nghĩa 2: Năng lực Toán học được hiểu là những đặc điểm tâm lý cá nhân (trước hết là những đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng yêu cầu của hoạt động toán học, và trong những điều kiện vững chắc như nhau thì là nguyên nhân của sự thành công trong việc nắm vững một cách sáng tạo toán học với tư cách là một môn học, đặc biệt nắm vững tương đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong lĩnh vực toán học.

Nói đến HS có năng lực Toán học là nói đến HS có trí thông minh trong việc học toán Tất cả mọi HS đều có khả năng và phải nắm được chương trình trung học, nhưng các khả năng đó khác nhau từ HS này qua HS khác Các khả năng này không phải cố định mà luôn thay đổi: Các năng lực này không phải nhất thành bất biến mà hình thành và phát triển trong quá trình học tập, luyện tập để nắm được hoạt động tương ứng; vì vậy, cần nghiên cứu để nắm được bản chất của năng lực và các con đường hình thành, phát triển, hoàn thiện năng lực.

Tuy nhiên, ở mỗi người cũng có khác nhau về mức độ năng lực Toán học Do vậy, trong dạy học toán, vấn đề quan trọng là chọn lựa nội dung và phương pháp thích hợp để sao cho mọi đối tượng HS đều được nâng cao dần về mặt năng lực toán học.

NĂNG LỰC GIẢI TOÁN

1.2.1 Khái niệm năng lực giải toán

Năng lực giải toán là một phần của năng lực Toán học, được hình thành, rèn luyện và phát triển chủ yếu thông qua hoạt động giải toán Có nhiều quan điểm về khái niệm năng lực toán học.

Theo Nguyễn Thị Hương Trang (2002): “Năng lực giải toán là khả năng áp dụng tiến trình phát hiện và giải quyết vấn đề vào giải một bài toán cụ thể, đòi hỏi phương thức tiếp cận sáng tạo và tính hướng đích cao, nhằm đạt kết quả sau khi thực hiện các hoạt động giải toán” [9].

Theo Đỗ Thị Trinh (2017): “Năng lực giải toán là một phần của năng lực toán học, bao gồm tổ hợp các kỹ năng, đảm bảo thực hiện các hoạt động giải toán một cách hiệu quả sau một số bước thực hiện” [9].

Theo Đinh Thị Thu Ngọc (2013) Năng lực giải toán là một thành phần của năng lực Toán học, được hình thành, rèn luyện và phát triển chủ yếu thông qua hoạt động giải toán Do đó, năng lực giải toán có thể hiểu là những đặc điểm tâm lý cá nhân, đáp ứng cao yêu cầu lĩnh hội tri thức, có khả năng độc lập huy động tri thức, kỹ năng, kinh nghiệm trong hoạt động giải toán, hướng đến việc góp phần hình thành, bồi dưỡng và phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh [6].

Tóm lại, năng lực giải toán là thuộc tính cá nhân, đáp ứng yêu cầu giải quyết thành công một vấn đề toán học dựa vào tố chất sẵn có, sự huy động tổng hợp các kiến thức, kỹ năng, kinh nghiệm trong lĩnh vực toán học và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí, Để có được năng lực giải toán, học sinh cần rèn luyện tư duy phân tích, tổng hợp, khái quát hóa,

1.2.2 Bản chất, các thành phần đặc trưng của năng lực giải toán

1.2.2.1 Bản chất của năng lực giải toán

Hiểu rõ nội dung và giới hạn phạm vi của bài toán: cần xác định rõ vấn đề trong các tình huống của bài toán cần phải giải quyết, có thể nhìn bài toán ở nhiều góc độ và tìm tòi các hướng giải khác nhau.

Xác định các mối liên hệ giữa các thành phần chính trong bài toán, tìm kiếm sự liên kết, phối hợp các tình huống bằng cách kết nối các vấn đề cần giải quyết Định hướng cách giải và hoàn tất việc giải toán một cách thích hợp để đi đến kết quả của quá trình giải toán Phân tích, nghiên cứu, đánh giá kết quả của quá trình giải toán.

Có khả năng dự đoán các tình huống bài toán sẽ nảy sinh cùng với các cách giải và lựa chọn phương pháp giải thích hợp, đây là quá trình thu nhận hợp thức hoá bài toán.

1.2.2.2 Các thành phần của năng lực giải toán

Các thành phần của năng lực giải toán gồm ba lĩnh vực: lĩnh vực nhận thức, lĩnh vực cảm xúc và lĩnh vực trí tuệ Mối liên hệ giữa ba lĩnh vựa này tạo nên một cấu trúc của năng lực giải toán gồm:

- Lĩnh vực cảm xúc: có khát vọng giải được bài toán thể hiện ở sự kiên trì và hứng thú, say mê trong giải toán và học toán.

+ Có năng lực nhận thức và tổ chức hoạt động nhận thức trong giải toán: Hiểu rõ bài toán (tiếp nhận, xử lý, ghi nhớ thông tin ), lĩnh hội nhanh chóng cách giải và nội dung bài toán.

+ Có năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, phân tích bài toán, có khả năng xây dựng phương pháp giải và tiến hành các bước giải một bài toán.

+ Có năng lực khái quát hóa, quy lạ thành quen, đề xuất và sáng tạo các bài toán mới.

+ Có khả năng tóm tắt bài toán về đơn giản với thông tin bài toán đưa ra: ký hiệu dấu, số, dữ liệu điều kiện, giả thiết, kết luận

+ Biểu hiện tư duy lôgic, sáng tạo: có tốc độ tư duy tìm ra cách giải nhanh trong quá trình giải toán.

1.2.2.3 Đặc trưng của năng lực giải toán

Năng lực giải toán là một dạng năng lực được nảy sinh, xuất hiện trước những tình huống có vấn đề, mâu thuẫn cần giải quyết; được hiểu là một biểu hiện của năng lực khám phá trong quá trình giải một bài toán cụ thể.

Hoạt động tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo của học sinh; quá trình huy động tri thức và kinh nghiệm trong quá trình giải toán để đi đến lời giải; tìm được hướng giải quyết bài toán đã cho và xác định hướng giải các bài toán mới có từ bài toán ban đầu.

Tính hướng đích và tính kết quả cao: phát hiện, tiếp cận vấn đề, huy động mọi kiến thức để đi đến kết quả bài toán.

1.2.3 Các điều kiện để hình thành năng lực giải toán cho học sinh Điều kiện chung: yêu cầu bài toán được tạo ra thành một tình huống có vấn đề, dưới ảnh hưởng của các câu hỏi, học sinh tiến hành giải quyết vấn đề theo 5 bước của tiến trình giải toán theo nguyên tắc "Thầy chủ đạo - Trò chủ động". Điều kiện bên ngoài: các tác động khách quan (phương tiện, môi trường, ) có ảnh hưởng đến quá trình giải toán của học sinh Bên cạnh đó, người giáo viên với năng lực sư phạm của mình, trong quá trình dạy học định hướng cho học sinh chiếm lĩnh tri thức bằng hoạt động giải toán. Điều kiện bên trong: phản ánh quá trình hình thành, phát triển năng lực giải toán, tự giác chủ động khám phá và giải quyết vấn đề, có ý thức sử dụng các kiến thức và kỹ năng thu nhận được vào các tình huống đặt ra, trở thành chủ thể của quá trình nhận thức.

MỘT SỐ THÀNH TỐ CỦA NĂNG LỰC GIẢI TOÁN

1.3.1 Năng lực dự đoán vấn đề

Trong dạy học môn Toán, khi đề cập vai trò của dự đoán, G.Polia đã cho rằng: “Tất nhiên chúng ta sẽ học chứng minh, nhưng chúng ta cũng sẽ học cả dự đoán nữa Nếu dạy toán phản ánh ở mức độ nào đó việc hình thành toán học như thế thì trong quá trình giảng dạy đó phải dành chỗ cho dự đoán, cho suy luận có lí” [1] Do đó, giáo viên (GV) cần rèn luyện và trang bị cho HS những kiến thức, kĩ năng cần thiết về hoạt động dự đoán Đây là tri thức phương pháp không được giảng dạy một cách rõ ràng ở trường phổ thông, tuy nhiên, nếu GV dành thời gian, tạo cơ hội và môi trường thuận lợi, HS sẽ được rèn luyện khả năng dự đoán thông qua quá trình học tập.

Theo Trương Thị Dung (2014), có thể hiểu dự đoán là dựa trên một số dấu hiệu và đặc điểm đã biết để rút ra kết luận nào đó trước khi tìm hiểu đầy đủ và lập luận chặt chẽ Năng lực dự đoán là sức có được để có thể dựa trên một số dấu hiệu và đặc điểm đã biết của sự vật hoặc hiện tượng, rút ra kết luận Năng lực dự đoán của HS trong học tập môn Toán là sự có được nhờ vào kiến thức, kinh nghiệm, kĩ năng đã có của các em để dựa trên các dấu hiệu, thuộc tính, quá trình, hiện tượng, mối liên hệ, của các đối tượng toán học, sử dụng các thao tác tư duy, rút ra kết luận nào đó về những thuộc tính, mối liên hệ giữa các khái niệm, định lí, mệnh đề, quy luật toán học trước khi tìm hiểu đầy đủ và lập luận chặt chẽ [2].

Quá trình đưa ra một dự đoán phụ thuộc rất nhiều vào sự linh hoạt trong quan sát và phân tích tình hình; sự nhạy cảm trong việc huy động và sử dụng kinh nghiệm sẵn có một cách đúng lúc và hợp lí; sự khéo léo trong liên kết và xâu chuỗi các sự kiện có liên quan.

Theo G Polia: “Dự đoán là những phán đoán dựa trên cơ sở những quan sát đã tiến hành từ trước và sự phù hợp của chúng đối với quy luật đã giả định để đưa ra kết quả của sự quan sát tiếp theo của mình” [1].

Ví dụ 1.1 Giải phương trình

GV yêu cầu HS biến đổi phương trình bằng nhiều cách, mỗi cách minh họa cho một cách nhìn về cấu tạo của bài toán Dưới đây là một số hướng dẫn biến đổi của HS:

- Thêm, bớt, nhóm các số hạng, thu được

Cách biến đổi này không đi đến kết quả.

- Đưa phương trình về dạng chỉ chứa hoặc Nếu phương trình chỉ chứa , ta thu được Đây là phương trình bậc 4 dạng đặc biệt đã có thuật giải.

- Từ mối liên hệ , bằng cách đặt ẩn phụ , HS thu được phương trình dạng

1.3.2 Năng lực chuyển đổi ngôn ngữ Đứng trước một vấn đề, học sinh có thể gặp khó khăn khi tìm cách giải quyết hoặc là muốn có nhiều cách giải quyết khác nhau Một trong những phương án có thể đáp ứng được nhu cầu đó là năng lực chuyển đổi ngôn ngữ của bài toán.

Năng lực chuyển đổi ngôn ngữ là một trong những năng lực quan trọng để huy động kiến thức đối với việc giải toán Nó được thể hiện qua các hoạt động như:

- Hoạt động chuyển đổi ngôn ngữ nhìn nhận một nội dung toán học theo mối liên hệ liên môn: đại số hoá, hình học hoá, lượng giác hoá,

- Hoạt động chuyển đổi ngôn ngữ trong nội tại toán học: từ ngôn ngữ đại số sang ngôn ngữ lượng giác và ngược lại, hoặc từ ngôn ngữ đại số sang ngôn ngữ hình học và ngược lại…Trong hình học có sự chuyển đổi từ ngôn ngữ tổng hợp sang ngôn ngữ véc tơ, ngôn ngữ tọa độ, ngôn ngữ biến hình và ngược lại.

Việc chuyển đổi ngôn ngữ có thực hiện được hay không còn phụ thuộc vào kỹ năng phân tích bài toán tức là bài toán đó có thể chuyển sang được ngôn ngữ nào Tuy nhiên không phải bài toán nào cũng chuyển đổi được ngôn ngữ Nếu sự “phiên dịch” khả thi sẽ giúp học sinh rèn luyện được tư duy linh hoạt và sáng tạo; ngoài ra năng lực chuyển đổi ngôn ngữ còn giúp học sinh có thêm những định hướng, những đường lối cho việc tìm tòi nhiều phương pháp, nhiều cách giải khác nhau, giúp bồi dưỡng năng lực giải toán nói riêng và năng lực toán học nói chung.

Qua quan sát, HS có thể nhận thấy phương trình có chứa , có thể giải bằng phương pháp lượng giác hóa. Điều kiện: Đặt

Khi đó phương trình trở thành

Vậy phương trình đã cho có nghiệm và

1.3.3 Năng lực quy lạ về quen nhờ biến đổi về dạng tương tự

Tương tự là một kiểu giống nhau nào đó, trong toán học hai bài toán được gọi là tương tự nhau nếu hoặc chúng có cùng phương pháp giải; hoặc cùng giả thiết, hoặc cùng kết luận; hoặc được đề cập đến những vấn đề giống nhau, những đối tượng có tính chất giống nhau Khai thác chức năng của bài tập tương tự là một trong những việc làm quan trọng trong dạy học bởi nó có vai trò khắc sâu kiến thức đã học, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo

Biến đổi về dạng tương tự là một hoạt động biến đổi đối tượng, hoạt động này thể hiện trong tiến trình người giải toán phải làm bộc lộ đối tượng của hoạt động (các khái niệm toán học, các qui luật về mối liên hệ giữa các đối tượng toán học, các quan hệ giữa chúng) Những hoạt động đó là để biến đổi cấu trúc, nội dung và hình thức của đối tượng, sao cho các tri thức mới tương thích với các tri thức đã có; từ chủ thể xâm nhập vào đối tượng, hiểu và giải thích chúng, vận dụng chúng với tư cách là sản phẩm của hoạt động nhận thức Để sự tìm tòi được thuận lợi, nhiều khi cũng cần có những thủ thuật để biến cái khó thành cái dễ, biến ý đồ thành những việc cụ thể

Biến đổi về dạng tương tự thực chất là đi tìm những điểm tiếp xúc của bài toán với kiến thức đã có thể hiện ở các góc độ khác nhau Việc biến đổi đó có thể thực hiện nhờ biến đổi hình thức để tương thích với tri thức đã có của học sinh hoặc là biến đổi nội dung để có thể tìm ra mối liên hệ giữa bài toán lượng giác sang bài toán đại số Việc làm này thể hiện ở việc xét cái tương tự giữa những vấn đề trong không gian đối với những vấn đề trong mặt phẳng: cái tương tự với mặt phẳng là đường thẳng, mặt cầu là đường tròn, cái tương tự tứ diện là tam giác, Khi nghiên cứu một đối tượng cần phải xem xét nó trong mối liên hệ với các đối tượng khác và cần xét kĩ cái chưa biết để huy động những kiến thức gần nhất với bài toán đang giải hoặc ít ra là đã giải bài toán tương tự

Nhờ quá trình biến đổi vấn đề, biến đổi các bài toán học sinh có thể quy các vấn đề trong tình huống mới, các bài toán lạ về các vấn đề quen thuộc, về các bài toán tương tự đã giải

1.3.4 Năng lực nhìn nhận bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau

Căn cứ vào bản chất của kiến thức toán học vào mối quan hệ duy vật biện chứng ta thấy mỗi nội dung, mỗi một vấn đề có thể nhìn nhận dưới nhiều góc độ, có nhiều hình thức biểu đạt khác nhau Một bài toán có thể ta phải chuyển đổi ngôn ngữ bằng cách: đại số hoá, lượng giác hoá, hình học hoá; hoặc chuyển đổi trong nội tại của một ngôn ngữ như: chuyển đổi ngôn ngữ hình học tổng hợp sang ngôn ngữ véc tơ, toạ độ, biến hình Hoặc có thể nhìn nhận nó dưới nhiều “cái riêng” khác nhau, chẳng hạn nhìn tam giác là một tứ giác có một cạnh bằng không, một tứ giác có một góc bằng , cái tương tự như tứ diện trong không gian, hoặc xem xét, đặt nó trong môi trường không gian khác, chẳng hạn có thể nghiên cứu hình chóp trong hình hộp, đường tròn trong một mặt cầu, Đối với bài toán lượng giác thì ta phải linh hoạt trong việc lựa chọn công cụ, hoặc khả năng nhìn nhận theo nhiều góc độ khác nhau như góc độ đại số, hình học; đồng thời phải lựa chọn phương pháp giải phù hợp dựa vào tri thức phương pháp như sử dụng các phép biến đổi luợng giác, phương pháp đánh giá, phương pháp bất đẳng thức, phương pháp hàm số…

Nếu đứng trước một vấn đề mỗi người làm toán có thói quen nhìn nhận theo nhiều góc độ khác nhau dựa trên những tri thức, những kinh nghiệm đã có thì sẽ hình thành dần nên trong họ một tư duy nhạy bén, sắc sảo một niềm tin sẽ giải quyết được vấn đề bởi lẻ bài toán đang giải đó nó còn tiềm ẩn những cách giải ở những góc độ nào đó mà chúng ta phải khám phá ra.

1.3.5 Năng lực phân chia trường hợp

Trong việc trình bày lý thuyết, hệ thống hoá các kiến thức, cũng như khi giải toán biện luận, ta cần phải phân chia một khái niệm.

DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP TOÁN

1.4.1 Dạy học giải bài tập toán ở trường THPT

1.4.1.1 Mục đích, vai trò, ý nghĩa của bài tập toán ở trường THPT

Mục đích: phát triển ở HS những năng lực và phẩm chất trí tuệ, giúp HS biến tri thức khoa học của nhân loại được tiếp thu thành kiến thức của bản thân Hệ thống những kiến thức và kỹ năng toán học phổ thông cơ bản, hiện đại và có năng lực vận dụng những tri thức đó vào những tình huống cụ thể trong đời sống, trong lao động sản xuất.

Vai trò: là công cụ để HS học tốt các môn học khác, giúp HS hoạt động hiệu quả và rèn luyện những phẩm chất đạo đức của người lao động (tính cẩn thận, kỷ luật, sáng tạo). Ý nghĩa: là hình thức hiệu quả nhất để có thể kiểm tra năng lực về mức độ tiếp thu và khả năng vận dụng kiến thức đã học của HS Việc giải bài tập toán có tác dụng lớn trong việc hứng thú học tập nhằm phát triển trí tuệ và góp phần giáo dục, rèn luyện con người HS về nhiều mặt.

1.4.1.2 Vị trí, chức năng của bài tập toán

- Vị trí: giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học Hoạt động giải toán là điều kiện để thực hiện tốt các nhiệm vụ dạy học toán ở trường phổ thông.

- Các chức năng của bài tập toán: chức năng dạy học, chức năng giáo dục, chức năng phát triển, chức năng kiểm tra.

+ Chức năng dạy học: hình thành, củng cố cho HS những tri thức, kỹ năng, kỹ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học.

+ Chức năng giáo dục: hình thành cho HS thế giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập, sáng tạo.

+ Chức năng phát triển: phát triển năng lực tư duy cho HS và rèn luyện những thao tác trí tuệ nhằm hình thành những phẩm chất của tư duy khoa học.

+ Chức năng kiểm tra: đánh giá kết quả dạy và học, khả năng độc lập học toán, khả năng tiếp thu, vận dụng kiến thức và trình độ phát triển của HS.

1.4.1.3 Dạy học phương pháp giải bài toán

- Dạy học giải bài tập không có nghĩa là GV cung cấp cho HS lời giải bài toán Biết lời giải bài toán không quan trọng bằng làm thế nào để giải được bài toán Để tăng hứng thú học tập của HS, phát triển tư duy, GV phải hình thành cho HS phương pháp tìm lời giải cho một bài toán.

- Theo Polia, phương pháp tìm lời giải cho một bài toán thường được tiến hành theo 4 bước sau:

+ Bước 1: Tìm hiểu nội dung của bài toán Để giải một bài toán, trước hết phải hiểu đề bài và có mong muốn giải được bài toán đó Vì thế người GV cần chú ý gợi động cơ, dẫn dắt trí tò mò, hứng thú của HS đối với bài toán phải giải Phải tìm hiểu bài toán một cách tổng thể để bước đầu hiểu được toàn bộ vấn đề phải giải quyết, tránh vội vàng đi vào các chi tiết Tiếp theo là phân tích bài toán: cái gì đã biết? Cái gì phải tìm? Có mối liên hệ nào giữa cái đã biết với cái phải tìm?

+ Bước 2: Xây dựng chương trình giải Ở bước này, phải chú ý phân tích bài toán thành nhiều bài toán đơn giản hơn, huy động kiến thức có liên quan đến những khái niệm, những quan hệ trong đề toán, rồi lựa chọn trong số đó những kiến thức gần gũi hơn cả với dữ kiện của bài toán, dự đoán, xét các trường hợp đặc biệt,

+ Bước 3: Trình bày lời giải.

+ Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải Cần phải luyện tập cho HS thói quen kiểm tra lời giải bài toán, xem xét có sai lầm, thiếu sót gì không, nhất là các bài toán có đặt điều kiện hay bài toán đòi hỏi biện luận Đồng thời cũng nâng dần yêu cầu đi sâu lời giải, khai thác lời giải Việc này cần yêu cầu

HS tiến hành thường xuyên Chẳng hạn, khi tìm được nghiệm của một phương trình cần lưu ý HS phải đối chiếu với điều kiện đã đặt ra hoặc thay vào phương trình đã cho để kiểm tra kết quả.

1.4.2 Một số tồn tại trong việc bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh

Bồi dưỡng năng lực giải toán có vai trò quan trọng trong việc phát triển khả năng tư duy của học sinh, từ đó HS có khả năng thích nghi khi đứng trước một vấn đề cần giải quyết, giúp HS thấy được mỗi lời giải bài toán như một quá trình suy luận Tư duy của học sinh không chỉ phụ thuộc vào đặc điểm của bài toán mà còn phụ thuộc vào tố chất tâm lý của bản thân người giải, mối liên hệ, dấu hiệu trong bài toán.

Năng lực giải toán chỉ có thể được phát hiện thông qua quá trình phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, so sánh Nguồn gốc của sức mạnh toán học là ở tính chất trừu tượng cao độ của nó Nhờ trừu tượng hóa mà toán học đi sâu vào bản chất của nhiều sự vật, hiện tượng và có ứng dụng rộng rãi Nhờ có khái quát hóa, xét tương tự mà khả năng suy đoán và tưởng tượng của học sinh được phát triển, và có những suy đoán có thể rất táo bạo, có căn cứ dựa trên những quy tắc, kinh nghiệm qua việc rèn luyện các thao tác tư duy Cũng qua thao tác khái quát hóa và trừu tượng hóa mà tư duy độc lập, tư duy sáng tạo, tư duy phê phán của học sinh cũng được hình thành và phát triển Bởi qua các thao tác tư duy đó học sinh tự mình phát hiện vấn đề, tự mình xác định phương hướng, tìm ra cách giải quyết và cũng tự kiểm tra, hoàn thiện kết quả đạt được của bản thân cũng như những ý nghĩ và tư duy của người khác Một mặc các em cũng phát hiện ra được những vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới. Đối với học sinh trung học phổ thông, kỹ năng giải toán thường thể hiện ở khả năng lựa chọn một phương pháp giải toán thích hợp cho mỗi bài toán. Việc lựa chọn một cách giải hợp lý nhất, gắn gọn và rõ ràng, trong sáng, không chỉ dựa vào việc nắm vững các kiến thức đã học, mà một điều khá quan trọng là hiểu sâu sắc mối liên hệ chặt chẽ giữa các phân môn toán học khác nhau trong chương trình học, biết áp dụng nó vào việc tìm tòi phương pháp giải tốt nhất cho bài toàn đặt ra. Ở một số nước trên thế giới trong đó có Việt Nam, cấu trúc truyền thống của sách giáo khoa (SGK) thường có hai phần riêng biệt: phần lý thuyết và tiếp sau đó là phần bài tập Ngay trong phần lý thuyết, kiến thức lý thuyết (định nghĩa, định lý, công thức ) chủ yếu vẫn được trình bày trước, sau đó là các ví dụ minh họa hay bài tập áp dụng Dạy học kiến thức lý thuyết luôn đóng vai trò trung tâm [7].

Cấu trúc này tương thích với môi trường dạy truyền thống, theo đó giáo viên thường truyền thụ trực tiếp kiến thức cho học sinh, cho một vài ví dụ minh họa và yêu cầu học sinh làm các bài tập áp dụng theo mẫu mà giáo viên đã trình bày Nói cách khác đây là kiểu dạy cầm tay chỉ việc [7]. Đó có thể là những nguyên nhân chủ yếu dẫn tới những khó khăn trong quá trình giải toán, và từ đó bó hẹp chức năng của các bài toán chỉ là củng cố và vận dụng các kiến thức đã học, rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo mà chưa thực sự quan tâm đúng mức đến việc rèn luyện, bồi dưỡng và phát triển năng lực giải toán cho học sinh.

THỰC TRẠNG VỀ VIỆC DẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC (ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11) Ở TRƯỜNG THPT

Tham khảo quan điểm của các em HS và GV về việc năng cao năng lực giải toán cho HS thông qua quá trình dạy và học về nội dung “Phương trình lượng giác (Đại số và Giải tích 11)”.

1.5.2 Đối tượng khảo sát Đối với HS tiến hành khảo sát 30 HS của lớp 11A5 khóa học 2022-2023 của Trường Trung học cơ sở (THCS) và Trung học phổ thông (THPT) Đối với GV tiến hành khảo sát 6 GV trong tổ Toán của Trường THCS và THPT

1.5.3 Mô tả phiếu khảo sát

- Phiếu khảo sát đối với học sinh (HS): Khảo sát tình hình học tập và rèn luyện năng lực giải toán của HS thông qua việc học những nội dung trước đó của Đại số và Giải tích 11.

- Phiếu khảo sát đối với GV: Khảo sát tình hình rèn luyện và phát triển năng lực giải toán của GV đối với HS thông qua dạy học về nội dung “Phương trình lượng giác (Đại số và Giải tích 11)”.

1.5.4.1 Kết quả khảo sát của giáo viên

Qua kết quả khảo sát 6 GV trong tổ Toán ở trường THCS và THPT , tôi xin rút ra một số nhận xét như sau:

Rất khó Khó Bình thường Dễ

Hình 1.1 Biểu đồ đánh giá của giáo viên về độ khó của chủ đề phương trình lượng giác (Đại số và Giải tích 11) đối với học sinh. ỉ Nhận xột: Qua khảo sỏt từ hỡnh 1.1 cho thấy GV đỏnh giỏ chủ đề Phương trình lượng giác (Đại số và Giải tích 11) là một chủ đề rất khó (33%) và khó (33%) đối với học sinh, số còn lại cảm thấy bình thường (17%) và dễ (17%).

Bảng 1.1 Phương pháp giảng dạy mà giáo viên sử dụng khi dạy về phương trình lượng giác (Đại số và Giải tích 11)

4 Ý kiến khác 0/6 ỉNhận xột: Qua khảo sỏt từ bảng 1.1 cho thấy cỏc GV tổ Toỏn của trường dùng phương pháp trực quan (6/6), vấn đáp (4/6), thuyết trình (3/6).

17% Đa dạng, phong phú Đơn giản, ngắn gọn Tương đối, vừa phải

Hình 1.2 Đánh giá nội dung các dạng toán chủ đề phương trình lượng giác

(Đại số và Giải tích 11) ỉNhận xột: Qua khảo sỏt từ hỡnh 1.2 cho thấy GV đỏnh giỏ về nội dung cỏc dạng bài tập chủ đề Phương trình lượng giác (Đại số và Giải tích 11) đa dạng, phong phú (67%), trong đó một số GV cho rằng lượng bài tập là tương đối, vừa phải (17%) và đơn giản, ngắn gọn (16%) không nhiều

Bảng 1.2 Cách giáo viên phân chia bài tập khi dạy toán chủ đề Phương trình lượng giác (Đại số và Giải tích 11).

STT Nội dung Số ý kiến

1 Tổng hợp, khái quát hóa thành hệ thống phù hợp với trình độ nhận thức của từng học sinh 3/6

2 Tổng hợp những bài tập đơn giản giúp học sinh nắm cơ bản kiến thức 2/6

3 Tổng hợp tất cả các dạng cho học sinh đều biết nội dung kiến thức từ cơ bản đến nâng cao 1/6

4 Tổng hợp những bài khó 0/6

5 Ý kiến khác 0/6 ỉNhận xột: Qua khảo sỏt từ bảng 1.2 cho thấy khi dạy giải toỏn chủ đềPhương trình lượng giác (Đại số và Giải tích 11), GV chủ yếu tổng hợp, khái quát hóa thành hệ thống phù hợp với trình độ nhận thức của từng học sinh

(3/6) hay tổng hợp những bài tập đơn giản giúp học sinh nắm cơ bản kiến thức (2/6); số ít GV tiến hành tổng hợp tất cả các dạng cho học sinh đều biết nội dung kiến thức từ cơ bản đến nâng cao (1/6).

Bảng 1.3 Số lượng bài tập GV giao cho HS khi dạy giải toán chủ đề Phương trình lượng giác (Đại số và Giải tích 11).

4 Ít khi giao bài tập 0/6

5 Ý kiến khác 0/6 ỉNhận xột: Qua khảo sỏt từ bảng 1.3 cho thấy khi dạy giải toỏn chủ đề Phương trình lượng giác (Đại số và Giải tích 11), GV cho khá nhiều (83%) bài tập cho thấy GV, còn lại là có cho nhưng không nhiều (17%).

Bảng 1.4 Nội dung bài giảng GV sử dụng khi dạy chủ đề Phương trình lượng giác (Đại số và Giải tích 11).

1 Bao gồm lý thuyết, bài tập chính của bài học 2/6

2 Rút gọn tối đa nội dung lý thuyết, chủ yếu tập trung vào giải bài tập 2/6

Rút gọn nội dung lý thuyết, kèm theo những chỉ dẫn về phương pháp và tài liệu tra cứu mà học sinh có thể không có được

4 Bao gồm tất cả lý thuyết, bài tập đơn giản 1/6

5 Ý kiến khác 0/6 ỉNhận xột: Qua khảo sỏt từ bảng 1.4 cho thấy khi dạy chủ đề Phương trình lượng giác (Đại số và Giải tích 11), GV đưa ra lý thuyết, bài tập chính của bài học (33%) hoặc rút gọn tối đa nội dung lý thuyết, chủ yếu tập trung vào giải bài tập (33%).

Bảng 1.5 Những khó khăn mà GV gặp khi dạy chủ đề Phương trình lượng giác (Đại số và Giải tích 11).

STT Nội dung Số ý kiến

1 Mất nhiều thời gian, công sức 4/6

2 Không có nhiều tài liệu 2/6

3 Thời lượng tiết học ngắn, không cho phép đưa ra nhiều kiến thức bên ngoài vào bài dạy 1/6

4 Trình độ của học sinh không đồng đều 2/6

5 Ý kiến khác 0/6 ỉNhận xột: Qua khảo sỏt từ bảng 1.5 cho thấy khi dạy chủ đề Phương trình lượng giác (Đại số và Giải tích 11), GV chủ yếu gặp khó khăn khi phải mất nhiều thời gian, công sức (4/6), bên cạnh đó không có nhiều tài liệu (2/6) và trình độ của HS không đồng đều (2/6).

1.5.4.2 Kết quả khảo sát học sinh

Qua kết quả khảo sát 30 HS lớp 11A5 Trường THCS và THPT , tôi rút ra được cho mình một số nhận xét như sau:

Không thích Hơi thích Khá thích Rất thích

Hình 1.3 Biểu đồ đánh giá mức độ yêu thích của học sinh khi học chủ đề phương trình lượng giác ỉNhận xột: Qua hỡnh 1.3 ta thấy cú đến 43% HS đỏnh giỏ mức độ khụng thích, 33% HS đánh giá mức độ hơi thích, 17% HS đánh giá ở mức độ khá thích và 7% HS đánh giá ở mức độ rất thích

Không Ít gặp Bình thường

Hình 1.4 Biểu đồ đánh giá mức độ khó khăn của học sinh khi học chủ đề phương trình lượng giác. ỉNhận xột: Qua hỡnh 1.3 ta thấy cú đến 56% HS đỏnh giỏ mức độ cú gặp khó khăn , 27% HS đánh giá mức độ bình thường, 10% HS đánh giá ở mức độ ít gặp khó khăn và 7% HS đánh giá ở mức độ không gặp

Bảng 1.6 Bảng đánh giá về khả năng ghi nhớ của học sinh khi học công thức lượng giác.

Hay quên, dễ bị nhầm mặc dù đã làm nhiều dạng bài 1

Dễ nhớ, cách làm đơn giản dù chỉ làm bài tập trên lớp 2/30

Dễ nhớ khi dành nhiều thời gian cho việc làm bài tập 3/30

Khó khăn, chán nản khi học nội dung này 8/30 Ý kiến khác 0/30 ỉNhận xột: Qua bảng 1.6 ta thấy đa số cú đến HS hay quờn, dễ bị nhầm mặc dù đã làm nhiều dạng bài toán (57% ); HS cảm thấy khó khăn, chán nản khi học nội dung này(27% ); còn lại thấy dễ nhớ khi dành nhiều thời gian cho việc làm bài tập (10% ) hoặc dễ nhớ, cách làm đơn giản dù chỉ làm bài tập trên lớp (6%)

Bảng 1.7 Bảng đánh giá về sự chuẩn bị bài của học sinh trước khi học phương trình lượng giác.

Nghiên cứu trước theo nội dung hướng dẫn của giáo viên (nếu có) 1

1/30 Tham khảo, tìm đọc các tài liệu có liên quan đến nội dung chủ đề 4/30

Không chuẩn bị gì cả 1

3/30 Ý kiến khác 2/30 ỉNhận xột: Qua bảng 1.7 ta thấy đa số khụng chuẩn bị gỡ (44% ) hoặc chỉ nghiên cứu trước theo nội dung hướng dẫn của giáo viên (nếu có) (37%) Số còn lại tham khảo, tìm đọc các tài liệu có liên quan đến nội dung chủ đề (13%) hoặc lên lớp mới đọc bài

Bảng 1.8 Bảng đánh giá về sự chủ động rèn luyện của học sinh sau khi học phương trình lượng giác.

Tìm đọc thêm các tài liệu có liên quan đến chủ đề này ở ngoài sách giáo khoa để hiểu rõ hơn các kiến thức đã học 3/30

Chủ động học bài cũ, trả lời câu hỏi và làm bài tập về nhà 3/30

Học bài cũ nhưng chỉ thuộc một cách máy móc 12/30

GIẢI PHÁP NÂNG CAO NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CỦA HỌC SINH CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC (ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11) 2.1 CÁC PTLG THƯỜNG GẶP Ở ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 VÀ CÁCH GIẢI

Nội dung chương trình lượng giác ở trường trung học phổ thông.35 2.1.2 Các PTLG thường gặp ở Đại số và Giải tích 11 và cách giải

Hiện nay, theo chương trình SGK hiện hành thì phần mở đầu về lượng giác đã được giới thiệu ở chương cuối của Đại số 10, bao gồm các vấn đề xây dựng các khái niệm cơ bản như góc và cung lượng giác, các giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác và một số công thức lượng giác Lượng giác lớp 11 là sự nối tiếp chương trình lượng giác lớp 10.

SGK Đại số và Giải tích 11 cơ bản mở đầu bằng chương lượng giác, chương này chỉ còn hai nội dung chủ yếu là khảo sát các hàm số lượng giác và PTLG; ngoài ra, các nội dung cũng được trình bày ngắn gọn, rõ ràng.

Bảng 1.10 Bảng phân phối chương 1: “ Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác – Đại số và Giải tích 11”.

Bài Nội dung Số tiết

1 Các hàm số lượng giác 4

2 Phương trình lương giác cơ bản 3

2 Sử dụng máy tính bỏ túi 1

3 Một số phương trình lượng giác thường gặp 4

3 Ôn tập và kiểm tra chương 1 3

Nội dung SGK Đại số và Giải tích 11 cơ bản phù hợp với hầu hết đối tượng HS vì:

- Chỉ nêu các dạng phương trình đơn giản, không đòi hỏi phải có những thủ thuật biến đổi lượng giác phức tạp, và nếu có các điều kiện kèm theo thì việc thử lại các điều kiện đó khá đơn giản.

- Không yêu cầu giải và biện luận PTLG chứa tham số.

Tuy nhiên, giáo viên cần chú ý rèn luyện cho học sinh năng lực giải các PTLG đơn giản thật thành thạo Đó là cơ sở để học sinh nâng cao năng lực giải các phương trình phức tạp hơn.

2.1.2 Các PTLG thường gặp ở Đại số và Giải tích 11 và cách giải

2.1.2.1 PTLG cơ bản a) Phương trình

- Trường hợp 1: Nếu thì phương trình (1) vô nghiệm vì với mọi

- Trường hợp 2: Nếu , ta xét 2 khả năng.

+ Khả năng 1: Nếu được biểu diễn qua của góc đặc biệt

Khi đó, phương trình sẽ có dạng đặc biệt:

+ Khả năng 2: Nếu không biểu diễn được qua của góc đặc biệt , khi đó đặt

Như vậy, có thể kết luận phương trình có 2 nghiệm.

+ Với là các hàm số:

+ Những trường hợp đặc biệt:

Vậy phương trình có hai họ nghiệm ;

Vậy phương trình có hai họ nghiệm:

- Trường hợp 1: Nếu thì phương trình vô nghiệm.

- Trường hợp 2: Nếu , ta xét 2 khả năng.

+ Khả năng 1: Nếu được biểu diễn qua của góc đặc biệt Khi đó, phương trình sẽ có dạng đặc biệt:

Như vậy, có thể kết luận phương trình có 2 nghiệm.

+ Khả năng 2: Nếu không biểu diễn được qua của góc đặc biệt khi đó đặt

- Nhận xét: Như vậy với mọi giá trị của phương trình luôn có nghiệm.

Vậy phương trình có một họ nghiệm d) Phương trình Điều kiện:

- Nhận xét: Như vậy với mọi giá trị của phương trình luôn có nghiệm.

Vậy phương trình có một họ nghiệm

2.1.2.2 Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

Dạng phương trình: ( trong đó t là một hàm số lượng giác nào đó). Cách làm:

Ta thực hiện biến đổi đại số, ta có (đây là PTLG cơ bản, có thể giải quyết dễ dàng).

. Vậy phương trình đã cho có hai họ nghiệm:

2.1.2.3 Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

Quan sát, dùng các công thức biến đổi để đưa phương trình về cùng một hàm lượng giác ( hoặc ) với cung, góc giống nhau.

+ Đặt hàm số lượng giác bởi ẩn phụ , điều kiện cho ẩn phụ (nếu có), đưa về phương trình bậc hai đại số ẩn

+ Tìm nghiệm , đối chiếu điều kiện, đưa về giải PTLG cơ bản Kết luận nghiệm.

Ví dụ 2.8 Giải phương trình:

Khi đó phương trình đã cho có dạng:

Vậy phương trình có họ nghiệm là

Ta có: Đặt Điều kiện:

Khi đó phương trình đã cho có dạng:

Vậy phương trình có họ nghiệm là

2.1.2.4 Phương trình bậc ba đối với một hàm số lượng giác

+) Dạng phương trình: , trong đó là một trong các hàm số lượng giác:

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm:

2.1.2.5 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

 Khi , phương trình vô nghiệm.

 Khi , phương trình có nghiệm.

Chia hai vế của phương trình cho và đặt

Khi đó phương trình (2) đã cho trở thành , đây chính là PTLG cơ bản.

+ Khi , khi đó phương trình (2) có dạng , đây chính là PTLG cơ bản dạng

+ Khi , khi đó phương trình (2) có dạng , đến đây có thể đưa phương trình về dạng phương trình cơ bản đối với hoặc

+ Công thức được sử dụng:

+ Các dạng có cách giải tương tự:

Ví dụ 2.11 Giải phương trình: (3).

Giải: Ta có thỏa điều kiện để phương trình có nghiệm. Chia hai vế của phương trình (3) cho , ta được:

. Vậy phương trình đã cho có hai họ nghiệm

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là

2.1.2.6 Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx

- Phương trình đẳng cấp bậc hai có dạng:

Bước 1: Kiểm tra có là nghiệm của phương trình hay không?

Bước 2: Với , tiến hành chia hai vế của phương trình

Bước 3: Đặt để đưa về phương trình bậc hai với ẩn , từ đó tìm

Ví dụ 2.13 Giải phương trình: (6)

Với , thay vào phương trình (*) khi đó (vô lí).

Với , chia hai vế của phương trình (6) cho khi đó

Vậy phương trình đã cho có hai họ nghiệm là

2.1.2.7 Phương trình đối xứng với sinx và cosx

Phương pháp giải: Đặt (điều kiện ),

Khi đó phương trình (7) có dạng , giải phương trình bậc 2 theo

Phương pháp giải: Đặt (điều kiện ),

Khi đó phương trình (7) có dạng , giải phương trình bậc 2 theo

Khi , lúc này phương trình trở thành phương trình bậc nhất đối với và Ta tiến hành giải, chia hai vế cho

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là

, Thay vào phương trình đã cho, ta có:

Vậy hàm số đã cho có nghiệm ;

ĐỊNH HƯỚNG XÂY DỰNG VÀ GIẢI PHÁP NÂNG CAO NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CỦA HỌC SINH CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC (ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11)

- Các biện pháp được xây dựng trên cơ sở tôn trọng nội dung chương trình, SGK Toán THPT và tuân theo các nguyên tắc dạy học.

- Các biện pháp xây dựng phải dựa trên định hướng đổi mới phương pháp dạy học hiện nay.

- Các biện pháp phải mang tính khả thi, có thể thực hiện được trong điều kiện thực tế của quá trình dạy học.

- Các biện pháp phải hỗ trợ cho quá trình tự học, tự phát hiện, tự chiếm lĩnh tri thức mới và thực hành theo năng lực của người học.

2.2.2.1 Rèn luyện cho HS kỹ năng thực hiện lược đồ G Polia trong giải toán

Dạy học giải toán là một trong những tình huống dạy học điển hình có vai trò quan trọng trong môn Toán G Polia cho rằng “Bài tập đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm một cách có ý thức phương tiện thích hợp để đạt tới mục đích rõ ràng, nhưng không thể đạt ngay được” Ông chỉ rõ các thành phần cấu tạo của bài toán: “Trong bất cứ bài toán nào cũng có ẩn – nếu tất cả đều đã biết rồi thì không còn phải tìm gì nữa Trong mỗi bài toán lại còn phải có một điều gì đó đã biết, hoặc đã cho (dữ kiện) – nếu không cho trước cái gì cả thì không có một khả năng nào để nhận ra cái cần tìm, cho dù nó có ở ngay trước mắt thì ta cũng không thể nhận ra được Sau cùng, trong bất kỳ bài toán nào cũng phải có điều kiện để cụ thể hóa mối quan hệ giữa ẩn và các dữ kiện Điều kiện là yếu tố căn bản của bài toán” Nhấn mạnh ý nghĩa của việc dạy cho HS biết cách tự phát hiện, tìm tòi cách giải quyết bài toán, G Polia đã viết: “Cách giải này thật đúng, nhưng làm thế nào để nghĩ ra một cách giải khác? Sự kiện này đã được kiểm nghiệm, nhưng làm thế nào để phát hiện ra các sự kiện như vậy? Và làm thế nào để tự mình phát hiện ra được?” [1].

Theo ý tưởng của G Polia, cần phải giúp cho HS biết tiến hành hoạt động giải toán thông qua những thao tác trí tuệ, ông đã đưa ra phương pháp chung để giải bài toán theo quy trình bốn bước:

Bước 1: Tìm hiểu bài toán.

Bước 2: Xây dựng lời giải.

Bước 3: Trình bày lời giải.

Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải đã tìm được.

Nội dung chi tiết từng bước đã được trình bày trong chương 1 của khóa luận.

Ta lấy ví dụ như sau: Khi học xong phương trình bậc nhất đối với và , học sinh đã biết cách giải phương trình: Giáo viên có thể yêu cầu học sinh giải bài toán sau:

Bước 1 Tìm hiểu nội dung bài toán. Đây không phải là PTLG thường gặp Tuy nhiên 2 vế đều có dạng bậc nhất đối với và Hơn nữa nên việc thực hiện cách chia 2 vế cho 5 có thể khả thi

Bước 2 Xây dựng lời giải

Thực hiện phép chia như trên, sau đó đặt và để đưa về phương trình gần cơ bản.

Bước 3 Thực hiện lời giải.

Ta thấy , nên chia cả hai vế của phương tình cho ta được:

Thay vào phương trình ta được:

(Đây là phương trình gần cơ bản).

Bước 4 Kiểm tra và nghiên cứu lời giải đã tìm được.

Từ cách giải ví dụ trên, học sinh đưa ra cách giải phương trình tổng quát hơn: với

Bước 1 Tìm hiểu nội dung bài toán.

Vế trái chứa ẩn và ta có thể đưa về ẩn hoặc Vế phải chứa đưa được về Do đó ta nghĩ tới việc có thể đưa phương trình ban đầu về phương trình phương trình bậc nhất đối với và

Bước 2 Xây dựng lời giải.

(công thức hạ bậc) vào phương trình.

+) Đưa về phương trình quen thuộc:

+) Giải phương trình và kết luận nghiệm.

Bước 3 Thực hiện lời giải.

Phương trình đã cho tương đương với

, chia hai vế cho , ta được

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là ;

Bước 4 Kiểm tra và nghiên cứu lời giải đã tìm được.

Thay các nghiệm đã tìm ra vào phương trình ban đầu ta được nghiệm đúng Để việc vận dụng quy trình giải toán của G Polia vào dạy học giải toán có hiệu quả, trong mỗi bước của quy trình này, GV cần tận dụng mọi cơ hội để lồng ghép các câu hỏi dẫn dắt suy nghĩ của HS, giúp các em tìm lời giải bài toán một cách chủ động, sáng tạo Điều quan trọng không phải ở chỗ HS giải được bài toán mà quan trọng là cách phát hiện, tìm tòi lời giải dựa trên những dữ kiện của bài toán đã cho, khai thác được mối quan hệ giữa bài tập đang xét và các bài tập khác Đặc biệt là giúp HS hình thành khả năng tự đặt và trả lời câu hỏi để giải quyết bài toán.

2.2.2.2 Hướng dẫn học sinh vận dụng một cách linh hoạt công thức lượng giác

Ngoài các công thức đã có trong SGK như:

+ Hằng đẳng thức lượng giác cơ bản.

+ Công thức quy gọn góc (cung liên kết).

+ Công thức biến đổi tổng thành tích; tích thành tổng.

Khi vận dụng các công thức biến đổi lượng giác, giáo viên cần lưu ý học sinh phải biết vận dụng theo cả hai chiều “ngược” và “xuôi” một cách linh hoạt Chẳng hạn: có khi ta thay nhưng cũng có khi ta thay ngược lại 1 thay bởi hoặc bằng những phép suy ra

Còn nhiều các công thức suy ra khác nữa đòi hỏi người giải toán cần phải sáng tạo để sử dụng trong trường hợp cần thiết.

- Khi , chia hai vế cho

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là ;

2.2.2.3 Tổ chức các hoạt động nhằm rèn luyện năng lực liên tưởng và huy động kiến thức

Trong dạy học giải toán, tính sáng tạo, đột phá khi giải quyết vấn đề đóng một vai trò quan trọng Chẳng hạn khi giải quyết vấn đề, HS cần biết huy động những kiến thức, phương pháp nào và xét xem còn có cách giải nào khác không? Còn cách giải nào hay hơn không?

Theo từ điển Tiếng Việt, khái niệm liên tưởng có nghĩa là “Nghĩ tới sự việc, hiện tượng nào đó có liên quan đến sự việc hiện tượng đang xảy ra"

[11] Liên tưởng là năng lực rất quan trọng, cần rèn luyện cho HS Nếu HS có năng lực liên tưởng tốt thì khi cần giải quyết một bài toán khó, các em có thể nghĩ đến một kiến thức nào đó liên quan và định hướng được cách giải Ngược lại, nếu năng lực liên tưởng kém, khi đứng trước một vấn đề nào đó, HS sẽ không biết đặt nó trong mối liên hệ với các kiến thức đã biết nào, dẫn đến việc nhìn nhận vấn đề một cách cục bộ, rời rạc Trong khi đó, Toán học là một hệ thống các kiến thức có quan hệ mật thiết với nhau.

Trong quá trình giải một bài tập, tất nhiên HS không cần huy động tất cả kiến thức đã học mà chỉ cần những kiến thức có thể vận dụng vào giải bài tập đó HS cần trả lời được những vấn đề như: nội dung nào là cần thiết? kiến thức nào có liên quan có liên quan đến bài tập? Với các câu hỏi đặt ra, buộc

HS phải tư duy để trả lời Những kiến thức được tích lũy trong trí nhớ được người học rút ra và vận dụng một cách thích hơp vào giải toán Quá trình nhớ lại có chọn lọc các tri thức là sự huy động kiến thức.

Huy động kiến thức thường được bắt đầu thao tác nhận biết một yếu tố nào đó chứa đựng trong bài tập Chẳng hạn, khi nghiên cứu một công thức đại số, ta nhận thấy một kết hợp quen thuộc nào đó (đã biết công thức, cách thức biến đổi kết hợp đó) để có thể thiết lập mối liên hệ giữa bài tập và vốn kiến thức đã lĩnh hội từ trước Huy động kiến thức được tiếp tục bằng thao tác tư duy nhớ lại các yếu tố khác đã quen thuộc và có liên quan tới các yếu tố vừa được nhận biết Năng lực liên tưởng, huy động kiến thức của từng HS không giống nhau Trước một vấn đề cần giải quyết, một bài tập cụ thể, có HS liên tưởng được nhiều kiến thức, phương pháp đã biết giúp việc giải quyết vấn đề nhanh hơn Tuy nhiên, có HS chỉ liên tưởng được số ít, thậm chí không có liên tưởng nào Huy động kiến thức của HS phụ thuộc vào khả năng tích lỹ kiến thức, phương pháp và sự nhanh nhạy trong khâu phát hiện vấn đề Năng lực liên tưởng và huy động kiến thức ở mỗi HS luôn phát triển dưới sự tác động sư phạm của GV Không có năng lực liên tưởng và huy động kiến thức thì sẽ không có trực giác, năng lực giải quyết sẽ hạn chế, nghèo nàn về ý tưởng. Nhưng, để liên tưởng và huy động kiến thức hiệu quả thì cần có sự sàng lọc kiến thức.

Có thể chia liên tưởng thành 4 loại: Liên tưởng gần nhau về không gian và thời gian, liên tưởng giống nhau về hình thức và nội dung, liên tưởng trái ngược nhau và liên tưởng nhân quả Mỗi loại liên tưởng có vai trò khác nhau trong quá trình tư duy [11].

Phương trình trên là dạng phương trình mà học sinh đã quen thuộc: với và

Gặp bài toán này học sinh thường nghĩ giải bằng phương pháp bình phương: hoặc đặt ẩn phụ

Cách tiến hành hai phương pháp này tuy khác nhau nhưng cùng một mục đích là làm mất căn thức Đối với phương trình trên thì giải theo hai phương pháp đó khá đơn giản Tuy nhiên, một câu hỏi đặt ra là ngoài hai cách nói trên còn có cách nào khác để loại bỏ căn thức nữa hay không? Từ điều kiện của là ta nghĩ tới điều kiện của hàm số lượng giác cơ bản nào? Đó chính là hoặc Vậy ta có thể đặt x bởi ẩn phụ hoặc

Nếu đặt Khi đó phương trình trở thành:

Vậy là nghiệm của phương trình đã cho. Như vậy ta đã biến đổi phương trình đại số về PTLG.

THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 3.1 MỤC ĐÍCH THỰC NGHIỆM

ĐỐI TƯỢNG THỰC NGHIỆM

Tôi chọn đối tượng thực nghiệm là học sinh lớp 11A5 khóa học 2022-

2023 của Trường THCS và THPT với tổng số 30 học sinh để đánh giá sự thay đổi của học sinh trước và sau khi thực nghiệm sư phạm.

NỘI DUNG THỰC NGHIỆM

Dạy học thực nghiệm dựa trên giáo án được biên soạn và có vận dụng các phương pháp nâng cao năng lực giải toán nhằm tạo sự hứng thú cho học sinh khi học về nội dung chương 1 Đại số và Giải tích 11 cơ bản, bài PTLG cơ bản (tiết 1) và PTLG thường gặp Có hướng dẫn giải bài toán và trình bày lời giải theo định hướng nâng cao năng lực giải toán cho học sinh tại lớp 11A5Trường THCS và THPT

PHƯƠNG PHÁP THỰC NGHIỆM

- Kiểm tra, đánh giá mức độ năng lực của học sinh khi học một số nội dung của Đại số và Giải tích 11 trước khi tác giả tiến hành áp dụng các biện pháp thực nghiệm.

- Tiến hành dùng các biện pháp để dạy học thông qua giáo án đã được soạn.

- Kiểm tra, đánh giá lại mức độ năng lực của học sinh sau khi tiến hành dùng các biện pháp để dạy học và đối chứng lại với kết quả ban đầu.

- Xử lí số liệu, phân tích kết quả của các bài kiểm tra và rút ra kết luận về tính hiệu quả của các phương pháp đã được vận dụng.

TỔ CHỨC THỰC NGHIỆM

- Lớp thực nghiệm: Lớp 11A5 Trường THCS và THPT

- Thời gian thực nghiệm: Từ 26/09/2022 đến 21/11/2022.

- Địa điểm thực nghiệm: Tại phòng học lớp 11A5 của Trường THCS và THPT

3.5.2 Tiến trình thực nghiệm Được sự cho phép của Ban giám hiệu Trường THCS và THPT và sự giúp đỡ tận tình của thầy hướng dẫn giảng dạy là thầy Lâm Thành Phương, tác giả đã tiến hành thực nghiệm ở lớp 11A5.

ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM

Qua hai giáo án thực nghiệm sư phạm vẫn còn nhiều thiếu sót và chưa đủ tin cậy để thống kê toán học Nhưng do điều kiện thực nghiệm và thời gian còn hạn chế nên chỉ làm được đến thế Do đó chỉ có thể xem năng lực, khả năng làm bài kiểm tra 40 phút của HS để minh họa thực tế cho các biện pháp này

Sau khi chấm xong các bài kiểm tra 40 phút của các bạn HS lớp 11A5, tôi được một số kết quả sau

Bảng 3.1 Kết quả điểm kiểm tra của 30 học sinh lớp 11A5 trước và sau khi thực nghiệm sư phạm. Điểm Số lượng HS đạt điểm

Số lượng HS đạt điểm

5,2 6,3 ỉ Nhận xột: Qua bảng 3.1 ta cú thể thấy điểm trung bỡnh của lớp 11A5 trước khi thực nghiệm là 5,2 và sau khi thực nghiệm là 6,3 Điều này chứng tỏ mức độ và năng lực học tập của các em có sự cải thiện rõ ràng khi học theo phương pháp mới Cụ thể như sau:

- Trước thực nghiệm có 10 bài kiểm tra dưới trung bình và sau thực nghiệm giảm xuống còn 9 bài.

- Trước thực nghiệm có 15 bài kiểm tra ở mức độ trung bình sau khi thực nghiệm giảm xuống còn 13 bài.

- Trước thực nghiệm có 5 bài kiểm tra đạt được điểm khá - giỏi và sau khi thực nghiệm có sự tăng lên đáng kể với 10 bài

Bảng 3.2 Bảng phân phối tỷ lệ phần trăm trước và sau thực nghiệm theo mức độ đánh giá.

Lớp 11A5 Yếu - Kém Trung bình Khá Giỏi

Yếu - Kém Trung bình Khá Giỏi

Trước thực nghiệm Sau thực nghiệm

Hình 3.1 Biểu đồ thể hiện tỷ lệ phần trăm theo mức độ đánh giá trước và sau khi thực nghiệm. ỉ Nhận xột: Nhỡn vào bảng 3.2 và hỡnh 3.1 ta cú thể nhận xột tỡnh hỡnh học tập của 30 học sinh lớp 11A5 theo các mức độ đánh giá như sau:

- Mức độ yếu - kém: Trước thực nghiệm là 33% và sau thực nghiệm giảm còn 30%.

- Mức độ trung bình: Trước thực nghiệm là 57% và sau thực nghiệm giảm còn 50%.

- Mức độ khá: Trước thực nghiệm là 13% và sau thực nghiệm tăng lên23%.

- Mức độ giỏi: Trước thực nghiệm là 3% và sau khi thực nghiệm tăng lên 10%

Sau khi vận dụng các biện pháp nhằm nâng cao năng lực giải toán cho học sinh trong dạy học Phương trình lượng giác (Đại số và Giải tích 11), tôi nhận thấy rằng:

- Học sinh trở nên tích cực, tiếp thu tốt và khắc phục được tính thụ động, tiếp thu kém trong khi học toán.

- Phần lớn học sinh hiểu bài, nắm vững kiến thức khi học và giải được hầu hết các bài tập được giao về nhà.

- Sau khi thực nghiệm thì đa số học sinh cảm thấy hứng thú với việc học môn toán nói chung và hình học nói riêng, đặt biệt là các dạng bài tập trong chương này.

Tuy quá trình thực nghiệm còn nhiều hạn chế do thời gian thực nghiệm ngắn ngủi nhưng qua đó tác giả nhận thấy rằng trong một tiết học không thể truyền đạt được hết các kiến thức cần nói cho học sinh Do vậy để khắc phục tình trạng này thì người giáo viên cần tạo một môi trường học tập thân thiện, tích cực bằng các biện pháp sư phạm lồng ghép vào nhau trong quá trình truyền đạt kiến thức PTLG là một chương có nhiều nội dung, các dạng bài tập đa dạng, kiến thức đan xen nên đòi hỏi học sinh phải có năng lực giải toán tốt thì mới có thể học tốt đã gây ra không ít khó khăn khi học cho học sinh nên việc áp dụng các biện pháp sư phạm nhằm nâng cao năng lực giải toán trong quá trình dạy và học là rất cần thiết Nhận thấy được tầm quan trọng của các biện pháp sư phạm nên tác giả đã đưa ra một số biện pháp nhằm nâng cao năng lực giải toán cho học sinh và đã thực nghiệm nó trong suốt quá trình dạy và học ở Trường THCS và THPT

Qua quá trình thực hiện Khóa luận, tôi rút ra được một số kết luận sau:

- Khóa luận đã hệ thống hóa được một số vấn đề về năng lực toán học nói chung và năng lực giải toán nói riêng, đặc biệt phát huy vai trò của các biện pháp sư phạm trong quá trình dạy học nhằm nâng cao năng lực giải toán cho học sinh phổ thông.

- Tạo sự hứng thú học tập, phát huy tính tích cực, độc lập và sáng tạo của học sinh khi học toán nói chung và hình học nói riêng.

- Khóa luận được tiến hành thực nghiệm sư phạm, bước đầu thể hiện tính khả thi của đề tài Qua kết quả kiểm tra của học sinh trước và sau khi thực nghiệm sư phạm thì có thể khẳng định rằng: Việc vận dụng các biện pháp sư phạm nhằm nâng cao năng lực giải toán đã giúp các em có nhiều hứng thú hơn khi học, năng lực tư duy được nâng cao, chủ động, tự tin, sáng tạo và giải quyết được nhiều bài toán khó với nhiều cách giải khác nhau Từ đó khắc phục được tình trạng thụ động và tiếp thu kém của học sinh.

- Giúp các em chủ động trao đổi kiến thức với giáo viên giảng dạy góp phần làm cho tiết học trở nên thân thiện và đạt hiệu quả cao hơn.

- Tuy nhiên, đề tài không thể tránh khỏi những thiếu sót nhất định Bên cạnh những thành quả đã đạt được là giúp nâng cao năng lực giải toán của học sinh, cũng cần sự tương tác nhiều hơn từ GV và sự tích cực học tập của học sinh, nhất là đối tượng HS yếu, kém Rất mong sự đóng góp của đề tài sẽ được phát huy sau này, giúp các tiết học dễ dàng và hứng thú hơn

[1] G Polia, 1997 Giải bài toán như thế nào, NXB Giáo dục, Hà Nội.

[2] Trương Thị Dung, 2014 Một số biện pháp bồi dưỡng năng lực dự đoán cho học sinh trong dạy học môn toán ở trường trung học phổ thông Tạp chí

[3] Nguyễn Trung Hiếu, 2010 Nâng cao năng lực tự học và kỹ năng giải toán cho học sinh lớp 10 trung học phố thông qua dạy học giải phương trình Luận văn thạc sĩ Đại học Quốc gia Hà Nội.

[4] Nguyễn Bá Kim, 2009 Phương pháp dạy học bộ môn Toán NXB Đại Học Sư phạm Hà Nội.

[5] PGS.TS Phạm Văn Linh, 2021 Những điểm mới trong văn kiện Đại hội

XIII của Đảng về giáo dục và đào tạo.

[6] Đỗ Đình Ngân, 2015 Rèn luyện kỹ năng giải toán PTLG cho học sinh lớp

11 Trung học phổ thông Luận văn thạc sĩ Đại học Quốc gia Hà Nội.

[7] Đinh Thị Thu Ngọc, 2013 Các biện pháp bồi dưỡng năn lực giải toán cho học sinh thông qua dạy học nội dung phương trình lượng giác ở trường THPT Luận văn thạc sĩ Đại học Vinh.

[8]Bộ Giáo dục và Đào tạo, 2018 Chương trình giáo dục phổ thông –

[9] Nguyễn Anh Thương 2020 Phát triển năng lực giải toán cho học sinh khá, giỏi trong dạy học giải phương trình, hệ phương trình ở trung học phổ thông.

Tạp chí Giáo dục, Số 490 (Kì 2 – 11/2020), tr 24-28.

[10] Nguyễn Cảnh Toàn, 1997 Phương pháp luận duy vật biện chứng với việc học, dạy, nghiên cứu toán học, tập 1, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.

[11] Nguyễn Thụy Thùy Trang, 2019 Rèn luyện năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh trong dạy học toán phần lượng giác ở trường trung học phổ thông Tạp chí Giáo dục, Số đặc biệt tháng 4/2019, tr 181-183; 243

[12] Đào Văn Trung, 2001 Làm thế nào để học tốt toán phổ thông NXB Đại học quốc gia Hà Nội.

PHIẾU THAM KHẢO Ý KIẾN GIÁO VIÊN

Kính chào quý thầy cô !

Hiện nay, tôi đang thực hiện đề tài “ Giải pháp nâng cao năng lực giải toán của học sinh chủ đề Phương trình lượng giác (Đại số và Giải tích 11) ” Nhằm tìm hiểu thực trạng của việc dạy học PTLG hiện nay ở trường THPT, qua đó đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài trong việc góp phần nâng cao hiệu quả giảng dạy môn Toán ở trường THPT Kính mong quý thầy cô vui lòng trả lời các câu hỏi sau đây bằng cách đánh dấu

“x” vào ô mà thầy (cô) cho là thích hợp nhất Đối với câu hỏi xin ý kiến, quý thầy (cô) vui lòng trình bày ngắn gọn ý kiến của mình

Xin Thầy/Cô vui lòng cho biết một số thông tin cá nhân:

Trình độ đào tạo:  Đại Học  Sau đại Học

Tuổi:  Dưới 30 tuổi  Từ 30 đến 39 tuổi

 Từ 40 đến 49 tuổi  Từ 50 tuổi trở lên

Số năm trực tiếp giảng dạy:

 Dưới 5 năm  Từ 5 đến 14 năm

 Từ 14 đến 24 năm  Trên 25 năm Nơi công tác:

- Xã/Phường, Quận/Huyện, Tỉnh/Thành phố:

Xin trân trọng cảm ơn!

Câu 1 Quý thầy (cô) cho rằng chủ đề Phương trình lượng giác (Đại số và Giải tích 11) là một chủ đề như thế nào với học sinh?

 Rất khó  Khó  Bình thường  Dễ

Câu 2 Để dạy học chủ đề Phương trình lượng giác (Đại số và Giải tích

11), thầy (cô) đã sử dụng phương pháp giảng dạy nào (Có thể lựa chọn nhiều đáp án)

 Thuyết trình  Vấn đáp  Trực quan

Câu 3 Theo quý thầy (cô) thì các dạng bài tập ở nội dung Phương trình lượng giác (Đại số và Giải tích 11) như thế nào?

 Đa dạng, phong phú  Đơn giản, ngắn gọn

 Tương đối, vừa phải  Khá ít

Câu 4 Trong quá trình giảng dạy chủ đề Phương trình lượng giác (Đại số và Giải tích 11), thầy (cô) phân chia bài tập cho học sinh như thế nào?

 Tổng hợp, khái quát hóa thành hệ thống phù hợp với trình độ nhận thức của từng học sinh

 Tổng hợp những bài tập đơn giản giúp học sinh nắm cơ bản kiến thức

 Tổng hợp tất cả các dạng cho học sinh đều biết nội dung kiến thức từ cơ bản đến nâng cao

 Tổng hợp những bài khó

Câu 5 Số lượng bài tập thầy (cô) giao cho học sinh khi dạy học chủ đề Phương trình lượng giác (Đại số và Giải tích 11)

 Có, rất nhiều  Có, khá nhiều

 Có, không nhiều  Ít khi giao bài tập

Câu 6 Nội dung bài giảng thầy cô soạn khi dạy học chủ đề Phương trình lượng giác (Đại số và Giải tích 11)

 Bao gồm lý thuyết, bài tập chính của bài học

 Rút gọn tối đa nội dung lý thuyết, chủ yếu tập trung vào giải bài tập

 Rút gọn nội dung lý thuyết, kèm theo những chỉ dẫn về phương pháp và tài liệu tra cứu mà học sinh có thể không có được

 Bao gồm tất cả lý thuyết, bài tập đơn giản

Câu 7 Những khó khăn mà quý thầy (cô) gặp phải khi dạy học chủ đề

PTLG – Đại số và Giải tích 11 là gì ?

 Mất nhiều thời gian, công sức

 Không có nhiều tài liệu

 Thời lượng tiết học ngắn, không cho phép đưa ra nhiều kiến thức bên ngoài vào bài dạy

 Trình độ của học sinh không đồng đều

Câu 8 Thầy (cô) cho biết khi dạy chủ đề Phương trình lượng giác (Đại số và Giải tích 11) học sinh hay mắc phải những sai lầm nào trong quá trình giải toán?

Câu 9 Theo quý thầy (cô), nguyên nhân dẫn đến những sai lầm đó là gì?

Định dạng
Số trang	119
Dung lượng	1,22 MB
File đính kèm	Nâng cao năng lực giải toán.rar (1 MB)