Trong chương trình môn toán lớp 12, nội dung kiến thức chiếm một tỉ trọng rất lớn trong đề thi. Để giúp các em học sinh nắm được các phần kiến thức trọng tâm, các dạng toán từ cơ bản đến nâng cao. Tác giả tổng hợp và biên soạn bộ sách tham khảo tổng hợp đầy đủ các bài tập và dạng toán Giải tích lớp 12 Bộ sách này được biên soạn theo nội dung chuẩn kiến thức, kĩ năng. Trong sách được trình bày từng vấn đề, tương ứng từng chương, bài gần giống sách giáo khoa và cấu trúc đề thi của Bộ giáo dục và Đào tạo để bạn đọc tiện tham khảo. Mỗi vấn đề sẽ có: Tóm tắt các kiến thức lí thuyết cơ bản. Lời giải chi tiết các dạng toán thường gặp và ví dụ minh họa. Các bài tập rèn luyện kỹ năng, có hướng dẫn chi tiết hoặc đáp số.
Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk Giải tích 12 1. Đinh nghóa: Hàm số f đồng biến trên K ⇔ (∀x 1 , x 2 ∈ K, x 1 < x 2 ⇒ f(x 1 ) < f(x 2 ) Hàm số f nghòch biến trên K ⇔ (∀x 1 , x 2 ∈ K, x 1 < x 2 ⇒ f(x 1 ) > f(x 2 ) 2. Điều kiện cần: Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I. a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì f′(x) ≥ 0, ∀x ∈ I b) Nếu f nghòch biến trên khoảng I thì f′(x) ≤ 0, ∀x ∈ I 3. Điều kiện đủ: Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I. a) Nếu f′ (x) ≥ 0, ∀x ∈ I (f′(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên I. b) Nếu f′ (x) ≤ 0, ∀x ∈ I (f′(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f nghòch biến trên I. c) Nếu f′(x) = 0, ∀x ∈ I thì f không đổi trên I. Chú ý: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục trên đó. VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên của hàm số Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau: – Tìm tập xác đònh của hàm số. – Tính y ′ . Tìm các điểm mà tại đó y ′ = 0 hoặc y ′ không tồn tại (gọi là các điểm tới hạn) – Lập bảng xét dấu y ′ (bảng biến thiên). Từ đó kết luận các khoảng đồng biến, nghòch biến của hàm số. Bài 1. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: a) 2 2 4 5 y x x = − + + b) 2 5 4 4 x y x = + − c) 2 4 3 y x x = − + d) 3 2 2 2 y x x x = − + − e) 2 (4 )( 1) y x x = − − f) 3 2 3 4 1 y x x x = − + − g) 4 2 1 2 1 4 y x x = − − h) 4 2 2 3 y x x = − − + i) 4 2 1 1 2 10 10 y x x = + − k) 2 1 5 x y x − = + l) 1 2 x y x − = − m) 1 1 1 y x = − − n) 2 2 26 2 x x y x + + = + o) 1 3 1 y x x = − + − − p) 2 4 15 9 3 x x y x − + = CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀ M SỐ Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 1/232 Giải tích 12 Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk Bài 2. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: a) 4 3 2 6 8 3 1 y x x x = − + − − b) 2 2 1 4 x y x − = − c) 2 2 1 1 x x y x x − + = + + d) 2 2 1 x y x − = e) 2 3 2 x y x x = − + f) 3 2 2 y x x = + + − g) 2 1 3 y x x = − − − h) 2 2 y x x = − i) 2 2 y x x = − k) sin 2 2 2 y x x = − < < π π l) sin 2 2 2 y x x x = − − < < π π VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghòch biến trên tập xác đònh (hoặc trên từng khoảng xác đònh) Cho hàm số ( , ) y f x m = , m là tham số, có tập xác đònh D. • Hàm số f đồng biến trên D ⇔ y ′ ≥ 0, ∀ x ∈ D. • Hàm số f nghòch biến trên D ⇔ y ′ ≤ 0, ∀ x ∈ D. Từ đó suy ra điều kiện của m. Chú ý: 1) y ′ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm. 2) Nếu y ax bx c 2 ' = + + thì: • •• • 0 0 ' 0, 0 0 a b c y x R a = = ≥ ≥ ∀ ∈ ⇔ > ≤ ∆ • 0 0 ' 0, 0 0 a b c y x R a = = ≤ ≤ ∀ ∈ ⇔ < ≤ ∆ 3) Đònh lí về dấu của tam thức bậc hai 2 ( ) g x ax bx c = + + : • Nếu ∆ < 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a. • Nếu ∆ = 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a (trừ x = 2 b a − ) • Nếu ∆ > 0 thì g(x) có hai nghiệm x 1 , x 2 và trong khoảng hai nghiệm thì g(x) khác dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a. 4) So sánh các nghiệm x 1 , x 2 của tam thức bậc hai 2 ( ) g x ax bx c = + + với số 0: • 1 2 0 0 0 0 x x P S > < < ⇔ > < ∆ • 1 2 0 0 0 0 x x P S > < < ⇔ > > ∆ • 1 2 0 0 x x P < < ⇔ < 5) Để hàm số 3 2 y ax bx cx d = + + + có độ dài khoảng đồng biến (nghòch biến) (x 1 ; x 2 ) bằng d thì ta thực hiện các bước sau: • Tính y ′ . • Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghòch biến: 0 0 a ≠ > ∆ (1) Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 2/232 Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk Giải tích 12 • Biến đổi 1 2 x x d − = thành 2 2 1 2 1 2 ( ) 4 x x x x d + − = (2) • Sử dụng đònh lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m. • Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm. Bài 1. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn đồng biến trên từng khoảng xác đònh (hoặc tập xác đònh) của nó: a) 3 5 13 y x x = + + b) 3 2 3 9 1 3 x y x x = − + + c) 2 1 2 x y x − = + d) 2 2 3 1 x x y x + − = + e) 3 sin(3 1) y x x = − + f) 2 2 1 x mx y x m − − = − Bài 2. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn nghòch biến trên từng khoảng xác đònh (hoặc tập xác đònh) của nó: a) 5 cot( 1) y x x = − + − b) cos y x x = − c) sin cos 2 2 y x x x = − − Bài 3. Tìm m để các hàm số sau luôn đồng biến trên tập xác đònh (hoặc từng khoảng xác đònh) của nó: a) 3 2 3 ( 2) y x mx m x m = − + + − b) 3 2 2 1 3 2 x mx y x = − − + c) x m y x m + = − d) 4 mx y x m + = + e) 2 2 1 x mx y x m − − = − f) 2 2 2 3 2 x mx m y x m − + = − Bài 4. Tìm m để hàm số: a) 3 2 3 y x x mx m = + + + nghòch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1. b) 3 2 1 1 2 3 1 3 2 y x mx mx m = − + − + nghòch biến trên một khoảng có độ dài bằng 3. c) 3 2 1 ( 1) ( 3) 4 3 y x m x m x = − + − + + − đồng biến trên một khoảng có độ dài bằng 4. Bài 5. Tìm m để hàm số: a) 3 2 ( 1) ( 1) 1 3 x y m x m x = + + − + + đồng biến trên khoảng (1; +∞). b) 3 2 3(2 1) (12 5) 2 y x m x m x = − + + + + đồng biến trên khoảng (2; +∞). c) mx y m x m 4 ( 2) + = ≠ ± + đồng biến trên khoảng (1; +∞). d) x m y x m + = − đồng biến trong khoảng (–1; +∞). e) 2 2 2 3 2 x mx m y x m − + = − đồng biến trên khoảng (1; +∞). f) 2 2 3 2 1 x x m y x − − + = + nghòch biến trên khoảng 1 ; 2 − +∞ . Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 3/232 Giải tích 12 Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức Để chứng minh bất đẳng thức ta thực hiện các bước sau: • Chuyển bất đẳng thức về dạng f(x) > 0 (hoặc <, ≥ , ≤ ). Xét hàm số y = f(x) trên tập xác đònh do đề bài chỉ đònh. • Xét dấu f ′ (x). Suy ra hàm số đồng biến hay nghòch biến. • Dựa vào đònh nghóa sự đồng biến, nghòch biến để kết luận. Chú ý: 1) Trong trường hợp ta chưa xét được dấu của f ′ (x) thì ta đặt h(x) = f ′ (x) và quay lại tiếp tục xét dấu h ′ (x) … cho đến khi nào xét dấu được thì thôi. 2) Nếu bất đẳng thức có hai biến thì ta đưa bất đẳng thức về dạng: f(a) < f(b). Xét tính đơn điệu của hàm số f(x) trong khoảng (a; b). Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) 3 sin , 0 6 x x x x với x − < < > b) 2 1 sin tan , 0 3 3 2 x x x với x + > < < π c) tan , 0 2 x x với x < < < π d) sin tan 2 , 0 2 x x x với x + > < < π Bài 2. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) tan , 0 tan 2 a a với a b b b < < < < π b) sin sin , 0 2 a a b b với a b − < − < < < π c) tan tan , 0 2 a a b b với a b − < − < < < π Bài 3. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) 2 sin , 0 2 x x với x > < < π π b) 3 3 5 sin , 0 6 6 120 x x x x x x với x − < < − + > c) x x x với xsin cos 1, 0 2 π + > < < Bài 4. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) 1 , 0 x e x với x > + > b) ln(1 ) , 0 x x với x + < > c) 1 ln(1 ) ln , 0 1 x x với x x + − > > + d) ( ) 2 2 1 ln 1 1 x x x x + + + ≥ + Bài 5. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) 0 tan 55 1,4 > b) 0 1 7 sin 20 3 20 < < c) 2 3 log 3 log 4 > HD: a) 0 0 0 tan 55 tan(45 10 ) = + . Xét hàm số 1 ( ) 1 x f x x + = − . b) Xét hàm số 3 ( ) 3 4 f x x x = − . f(x) đồng biến trong khoảng 1 1 ; 2 2 − và 0 1 7 ,sin 20 , 3 20 ∈ 1 1 ; 2 2 − . c) Xét hàm số ( ) log ( 1) x f x x = + với x > 1. Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 4/232 Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk Giải tích 12 VẤN ĐỀ 4: Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất Để chứng minh phương trình f(x) = g(x) (*) có nghiệm duy nhất, ta thực hiện các bước sau: • Chọn được nghiệm x 0 của phương trình. • Xét các hàm số y = f(x) (C 1 ) và y = g(x) (C 2 ). Ta cần chứng minh một hàm số đồng biến và một hàm số nghòch biến. Khi đó (C 1 ) và (C 2 ) giao nhau tại một điểm duy nhất có hoành độ x 0 . Đó chính là nghiệm duy nhất của phương trình (*). Chú ý: Nếu một trong hai hàm số là hàm hằng y = C thì kết luận trên vẫn đúng. Bài 1. Giải các phương trình sau: a) 5 5 x x+ − = b) 5 3 1 3 4 0 x x x + − − + = c) 5 7 16 14 x x x x + − + + + + = d) 2 2 15 3 2 8 x x x + = − + + Bài 2. Giải các phương trình sau: a) 5 5 5 1 2 3 0 x x x + + + + + = b) ln( 4) 5 x x − = − c) 3 4 5 x x x + = d) 2 3 5 38 x x x + + = Bài 3. Giải các bất phương trình sau: a) 3 4 5 1 5 7 7 5 13 7 8 x x x x + + − + − + − < b) 2 2 7 2 7 35 x x x x x + + + + + < Bài 4. Giải các hệ phương trình sau: a) 3 2 3 2 3 2 2 1 2 1 2 1 x y y y y z z z z x x x + = + + + = + + + = + + b) 3 2 3 2 3 2 2 2 2 x y y y y z z z z x x x = + + − = + + − = + + − c) 3 2 3 2 3 2 6 12 8 6 12 8 6 12 8 y x x z y y x z z = − + = − + = − + d) x y y x x y x y tan tan 5 2 3 4 , 2 2 π π π − = − + = − < < e) x y x y x y x y sin sin 3 3 5 , 0 π − = − + = > f) x y y x x y x y sin 2 2 sin 2 2 2 3 0 , 2 π π − = − + = < < g) x y x y x y x y cot cot 5 7 2 0 , π π − = − + = < < h) HD: a, b) Xét hàm số 3 2 ( ) f t t t t = + + c) Xét hàm số 2 ( ) 6 12 8 f t t t = − + d) Xét hàm số f(t) = tant + t I. Khái niệm cực trò của hàm số Giả sử hàm số f xác đònh trên tập D (D ⊂ R) và x 0 ∈ D. a) x 0 – điểm cực đại của f nếu tồn tại khoảng (a; b) ⊂ D và x 0 ∈ (a; b) sao cho I I . CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 5/232 Giải tích 12 Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk f(x) < f(x 0 ), với ∀x ∈ (a; b) \ {x 0 }. Khi đó f(x 0 ) đgl giá trò cực đại (cực đại) của f. b) x 0 – điểm cực tiểu của f nếu tồn tại khoảng (a; b) ⊂ D và x 0 ∈ (a; b) sao cho f(x) > f(x 0 ), với ∀x ∈ (a; b) \ {x 0 }. Khi đó f(x 0 ) đgl giá trò cực tiểu (cực tiểu) của f. c) Nếu x 0 là điểm cực trò của f thì điểm (x 0 ; f(x 0 )) đgl điểm cực trò của đồ thò hàm số f. II. Điều kiện cần để hàm số có cực trò Nếu hàm số f có đạo hàm tại x 0 và đạt cực trò tại điểm đó thì f′ (x 0 ) = 0. Chú ý: Hàm số f chỉ có thể đạt cực trò tại những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm. III. Điểu kiện đủ để hàm số có cực trò 1. Đònh lí 1: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x 0 và có đạo hàm trên (a; b)\{x 0 } a) Nếu f′ (x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x 0 thì f đạt cực tiểu tại x 0 . b) Nếu f′ (x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x 0 thì f đạt cực đại tại x 0 . 2. Đònh lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa điểm x 0 , f′ (x 0 ) = 0 và có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x 0 . a) Nếu f′′ (x 0 ) < 0 thì f đạt cực đại tại x 0 . b) Nếu f′′ (x 0 ) > 0 thì f đạt cực tiểu tại x 0 . VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trò của hàm số Qui tắc 1: Dùng đònh lí 1. • Tìm f ′ (x). • Tìm các điểm x i (i = 1, 2, …) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm. • Xét dấu f ′ (x). Nếu f ′ (x) đổi dấu khi x đi qua x i thì hàm số đạt cực trò tại x i . Qui tắc 2: Dùng đònh lí 2. • Tính f ′ (x). • Giải phương trình f ′ (x) = 0 tìm các nghiệm x i (i = 1, 2, …). • Tính f ′′ (x) và f ′′ (x i ) (i = 1, 2, …). Nếu f ′′ (x i ) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x i . Nếu f ′′ (x i ) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x i . Bài 1. Tìm cực trò của các hàm số sau: a) 2 3 3 2 y x x = − b) 3 2 2 2 1 y x x x = − + − c) 3 2 1 4 15 3 y x x x = − + − d) 4 2 3 2 x y x = − + e) 4 2 4 5 y x x = − + f) 4 2 3 2 2 x y x = − + + Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 6/232 Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk Giải tích 12 g) 2 3 6 2 x x y x − + + = + h) 2 3 4 5 1 x x y x + + = + i) 2 2 15 3 x x y x − − = − Bài 2. Tìm cực trò của các hàm số sau: a) 3 4 ( 2) ( 1) y x x = − + b) 2 2 4 2 1 2 3 x x y x x + − = + − c) 2 2 3 4 4 1 x x y x x + + = + + d) 2 4 y x x = − e) 2 2 5 y x x = − + f) 2 2 y x x x = + − Bài 3. Tìm cực trò của các hàm số sau: a) 3 2 1 y x = + b) 3 2 2 1 x y x = + c) 4 x x y e e − = + d) 2 5 5 2ln y x x x = − + + e) 2 4sin y x x = − f) 2 ln(1 ) y x x = − + VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trò 1. Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trò tại điểm x 0 thì f ′ (x 0 ) = 0 hoặc tại x 0 không có đạo hàm. 2. Để hàm số y = f(x) đạt cực trò tại điểm x 0 thì f ′ (x) đổi dấu khi x đi qua x 0 . Chú ý: • Hàm số bậc ba 3 2 y ax bx cx d = + + + có cực trò ⇔ Phương trình y ′ = 0 có hai nghiệm phân biệt. Khi đó nếu x 0 là điểm cực trò thì ta có thể tính giá trò cực trò y(x 0 ) bằng hai cách: + 3 2 0 0 0 0 ( ) y x ax bx cx d = + + + + 0 0 ( ) y x Ax B = + , trong đó Ax + B là phần dư trong phép chia y cho y ′ . • Hàm số 2 ' ' ax bx c y a x b + + = + = ( ) ( ) P x Q x (aa ′≠ 0) có cực trò ⇔ Phương trình y ′ = 0 có hai nghiệm phân biệt khác ' ' b a − . Khi đó nếu x 0 là điểm cực trò thì ta có thể tính giá trò cực trò y(x 0 ) bằng hai cách: 0 0 0 ( ) ( ) ( ) P x y x Q x = hoặc 0 0 0 '( ) ( ) '( ) P x y x Q x = • Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trò cần phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai. • Khi giải các bài tập loại này thường ta còn sử dụng các kiến thức khác nữa, nhất là đònh lí Vi–et. Bài 1. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn có cực đại, cực tiểu: a) 3 2 2 3 3 3( 1) y x mx m x m = − + − − b) 3 2 2 3(2 1) 6 ( 1) 1 y x m x m m x = − + + + + c) 2 2 4 ( 1) 1 x m m x m y x m + − − + = − d) 2 2 1 x mx m y x m + − + = − + Bài 2. Tìm m để hàm số: a) 3 2 ( 2) 3 5 y m x x mx = + + + − có cực đại, cực tiểu. b) 3 2 2 3( 1) (2 3 2) ( 1) y x m x m m x m m = − − + − + − − có cực đại, cực tiểu. c) 3 2 2 3 ( 1) 2 y x mx m x = − + − + đạt cực đại tại x = 2. Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 7/232 Giải tích 12 Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk d) 4 2 2( 2) 5 y mx m x m = − + − + − có một cực đại 1 . 2 x = e) 2 2 2 x mx y x m − + = − đạt cực tiểu khi x = 2. f) 2 2 ( 1) 4 2 1 x m x m m y x − + − + − = − có cực đại, cực tiểu. g) 2 1 x x m y x − + = − có một giá trò cực đại bằng 0. Bài 3. Tìm m để các hàm số sau không có cực trò: a) 3 2 3 3 3 4 y x x mx m = − + + + b) 3 2 3 ( 1) 1 y mx mx m x = + − − − c) 2 5 3 x mx y x − + + = − d) 2 2 ( 1) 4 2 1 x m x m m y x − + − + − = − Bài 4. Tìm a, b, c, d để hàm số: a) 3 2 y ax bx cx d = + + + đạt cực tiểu bằng 0 tại x = 0 và đạt cực đại bằng 4 27 tại x = 1 3 b) 4 2 y ax bx c = + + có đồ thò đi qua gốc toạ độ O và đạt cực trò bằng –9 tại x = 3 . c) 2 1 x bx c y x + + = − đạt cực trò bằng –6 tại x = –1. d) 2 ax bx ab y bx a + + = + đạt cực trò tại x = 0 và x = 4. e) 2 2 2 1 ax x b y x + + = + đạt cực đại bằng 5 tại x = 1. Bài 5. Tìm m để hàm số : a) 3 2 2 2 2( 1) ( 4 1) 2( 1) y x m x m m x m = + − + − + − + đạt cực trò tại hai điểm x 1 , x 2 sao cho: 1 2 1 2 1 1 1 ( ) 2 x x x x + = + . b) 3 2 1 1 3 y x mx mx = − + − đạt cực trò tại hai điểm x 1 , x 2 sao cho: 1 2 8 x x − ≥ . c) 3 2 1 1 ( 1) 3( 2) 3 3 y mx m x m x = − − + − + đạt cực trò tại hai điểm x 1 , x 2 sao cho: 1 2 2 1 x x + = . Bài 6. Tìm m để hàm số : a) 2 2 1 x mx m y x m + − + = − + có cực đại, cực tiểu và các giá trò cực đại, cực tiểu cùng dấu. b) 2 2 ( 1) 4 2 1 x m x m m y x − + − + − = − có cực đại, cực tiểu và tích các giá trò cực đại, cực tiểu đạt giá trò nhỏ nhất. c) 2 3 4 x x m y x − + + = − có giá trò cực đại M và giá trò cực tiểu m thoả 4 M m − = . Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 8/232 Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk Giải tích 12 d) 2 2 3 2 2 x x m y x + + − = + có 12 CĐ CT y y − < . Bài 7. Tìm m để đồ thò hàm số : a) 3 2 4 y x mx = − + − có hai điểm cực trò là A, B và 2 2 900 729 m AB = . b) 4 2 4 y x mx x m = − + + có 3 điểm cực trò là A, B, C và tam giác ABC nhận gốc toạ độ O làm trọng tâm. c) 2 2 x mx m y x m + + − = − có hai điểm cực trò nằm hai phía đối với trục tung. Chứng minh hai điểm cực trò luôn luôn nằm cùng một phía đối với trục hoành. d) 2 1 x mx y x + = − có khoảng cách giữa hai điểm cực trò bằng 10. e) 2 2 5 1 x mx y x − + + = − có hai điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với đường thẳng y = 2x. f) 2 2 3 x x m y x m + + + = − có hai điểm cực trò và khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất. Bài 8. Tìm m để đồ thò hàm số : a) 3 2 2 12 13 y x mx x = + − − có hai điểm cực trò cách đều trục tung. b) 3 2 3 3 4 y x mx m = − + có các điểm cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất. c) 3 2 3 3 4 y x mx m = − + có các điểm cực đại, cực tiểu ở về một phía đối với đường thẳng (d): 3 2 8 0 x y − + = . d) 2 2 (2 1) 1 1 x m x m y x + + + + = + có hai điểm cực trò nằm ở hai phía đối với đường thẳng (d): 2 3 1 0 x y − − = . Bài 9. Tìm m để đồ thò hàm số : a) 2 ( 1) 2 1 x m x m y x m − + + − = − có hai điểm cực trò ở trong góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng toạ độ. b) 2 2 2 2 (4 1) 32 2 2 mx m x m m y x m + + + + = + có một điểm cực trò nằm trong góc phần tư thứ hai và điểm kia nằm trong góc phần tư thứ tư của mặt phẳng toạ độ. c) 2 2 2 ( 1) 4 mx m x m m y x m − + + + = − có một điểm cực trò nằm trong góc phần tư thứ nhất và điểm kia nằm trong góc phần tư thứ ba của mặt phẳng toạ độ. d) 2 2 (2 1) 1 1 x m x m y x + + + + = + có hai điểm cực trò nằm ở hai phía của trục hoành (tung). VẤN ĐỀ 3: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trò 1) Hàm số bậc ba 3 2 ( ) y f x ax bx cx d = = + + + . Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 9/232 Giải tích 12 Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk • Chia f(x) cho f ′ (x) ta được: f(x) = Q(x).f ′ (x) + Ax + B. • Khi đó, giả sử (x 1 ; y 1 ), (x 2 ; y 2 ) là các điểm cực trò thì: 1 1 1 2 2 2 ( ) ( ) y f x Ax B y f x Ax B = = + = = + ⇒ Các điểm (x 1 ; y 1 ), (x 2 ; y 2 ) nằm trên đường thẳng y = Ax + B. 2) Hàm số phân thức 2 ( ) ( ) ( ) P x ax bx c y f x Q x dx e + + = = = + . • Giả sử (x 0 ; y 0 ) là điểm cực trò thì 0 0 0 '( ) '( ) P x y Q x = . • Giả sử hàm số có cực đại và cực tiểu thì phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trò ấy là: '( ) 2 '( ) P x ax b y Q x d + = = . Bài 1. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trò của đồ thò hàm số : a) 3 2 2 1 y x x x = − − + b) 2 3 3 2 y x x = − c) 3 2 3 6 8 y x x x = − − + d) 2 2 1 3 x x y x − + = + e 2 1 2 x x y x − − = − Bài 2. Khi hàm số có cực đại, cực tiểu, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trò của đồ thò hàm số: a) 3 2 2 3 3 3( 1) y x mx m x m = − + − − b) 2 6 x mx y x m + − = − c) 3 2 2 3( 1) (2 3 2) ( 1) y x m x m m x m m = − − + − + − − d) 2 2 1 x mx m y x m + − + = − + Bài 3. Tìm m để hàm số: a) 3 2 2 3( 1) 6( 2) 1 y x m x m x = + − + − − có đường thẳng đi qua hai điểm cực trò song song với đường thẳng y = –4x + 1. b) 3 2 2 3( 1) 6 (1 2 ) y x m x m m x = + − + − có các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thò nằm trên đường thẳng y = –4x. c) 3 2 7 3 y x mx x = + + + có đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng y = 3x – 7. d) 3 2 2 3 y x x m x m = − + + có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng ( ∆ ): 1 5 2 2 y x = − . 1. Đònh nghóa: Giả sử hàm số f xác đònh trên miền D (D ⊂ R). a) 0 0 ( ) , max ( ) : ( ) D f x M x D M f x x D f x M ≤ ∀ ∈ = ⇔ ∃ ∈ = III. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 10/232 [...]... −1 c) (C ) : y = Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 32/232 Giải tích 12 Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk VẤN ĐỀ 7: Các bài toán khác về tiếp tuyến Bài 1 Cho hypebol (H) và điểm M bất kì thuộc (H) Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận Tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B 1) Chứng minh M là trung điểm của đoạn AB 2) Chứng minh diện tích của ∆IAB là một hằng số 3) Tìm điểm... (1) • Giải phương trình (1), tìm được x0 và tính y0 = f(x0) Từ đó viết phương trình của ∆ Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc • Phương trình đường thẳng ∆ có dạng: y = kx + m Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 26/232 Giải tích 12 Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk • ∆ tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm: f ( x ) = kx + m (*) f '( x ) = k • Giải hệ... x2 − x + 2 e) y = x −1 x2 + 3x + 3 f) y = x+2 Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 19/232 Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk Giải tích 12 VII MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ 1 SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ THỊ 1 Cho hai đồ thò (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) Để tìm hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) ta giải phương trình: f(x) = g(x) (*) (gọi là phương trình hoành độ giao... (*) về một trong các dạng như trên, trong đó lưu ý y = f(x) là hàm số đã khảo sát và vẽ đồ thò Bài 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số Dùng đồ thò (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình: a) y = x 3 − 3 x + 1; x 3 − 3 x + 1 − m = 0 Tài liệu lưu hành nội bộ b) y = − x 3 + 3 x − 1; x 3 − 3 x + m + 1 = 0 Trang 22/232 Giải tích 12 Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu... (C ) : y = 2 x 3 − 9 x 2 + 12 x − 4; (T ) : y = 2 x − 9 x 2 + 12 x − 4; 2 x − 9 x 2 + 12 x + m = 0 e) (C ) : y = ( x + 1)2 (2 − x ); (T ) : y = ( x + 1)2 2 − x ;( x + 1)2 2 − x = (m + 1)2 (2 − m) Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 23/232 Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk Giải tích 12 x2 + 1 x2 + 1 ; (T ) : y = ; (m − 1) x 2 + 2 x − 1 = 0 x x x+2 Bài 6 Cho hàm số y = f ( x )... b' • Tập xác đònh D = R \ − a' 5 Hàm số hữu tỷ y = b' và một tiệm cận xiên Giao điểm của hai a' tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thò hàm số • Các dạng đồ thò: • Đồ thò có một tiệm cận đứng là x = − a.a′ > 0 Tài liệu lưu hành nội bộ a.a′ < 0 Trang 18/232 Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk Giải tích 12 y′ = 0 có 2 nghiệm phân biệt y y′ = 0 vô nghiệm y 0 x 0 x Bài 1... trục hoành 4 4 Bài 3 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với đường được chỉ ra: f) (C): y = a) (C): y = 2 x 3 − 3 x 2 + 9 x − 4 và d: y = 7 x + 4 b) (C): y = 2 x 3 − 3 x 2 + 9 x − 4 và (P): y = − x 2 + 8 x − 3 Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 27/232 Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk Giải tích 12 c) (C): y = 2 x 3 − 3 x 2 + 9 x − 4 và (C’): y = x... = Số giao điểm của (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) Nghiệm của phương trình (1) là hoành độ giao điểm của (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) • Để biện luận số nghiệm của phương trình F(x, m) = 0 (*) bằng đồ thò ta biến đổi (*) về một trong các dạng sau: Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 21/232 Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk Giải tích 12 Dạng 1: F(x, m) = 0 ⇔ f(x) = m (1)... Cách 1: Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 33/232 Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk Giải tích 12 • Gọi M(x0; y0) là điểm cố đònh (nếu có) của họ (Cm) M(x0; y0) ∈ (Cm), ∀m ⇔ y0 = f(x0, m), ∀m (1) • Biến đổi (1) về một trong các dạng sau: • Dạng 1: (1) ⇔ Am + B = 0, ∀m • Dạng 2: (1) ⇔ Am2 + Bm + C = 0 , ∀m ⇔ A = 0 A = 0 ⇔ B = 0 (2b) C = 0 • Giải hệ (2a) hoặc (2b) ta tìm... nghiệm m (1) • Biến đổi (1) về một trong các dạng sau: (2a) • Dạng 1: (1) ⇔ Am + B = 0 vô nghiệm m ⇔ A = 0 B ≠ 0 Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 34/232 Giải tích 12 Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk A = B = 0 C ≠ 0 2 • Dạng 2: (1) ⇔ Am + Bm + C = 0 vô nghiệm m ⇔ (2b) A ≠ 0 2 B − 4 AC < 0 Chú ý: • Kết quả là một tập hợp điểm • Những điểm nằm trên tiệm . 2 3 2 2 2 2 x y y y y z z z z x x x = + + − = + + − = + + − c) 3 2 3 2 3 2 6 12 8 6 12 8 6 12 8 y x x z y y x z z = − + = − + = − + d) x y y x x y x y tan tan 5 2 3 4 , 2. 8/232 Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk Giải tích 12 d) 2 2 3 2 2 x x m y x + + − = + có 12 CĐ CT y y − < . Bài 7. Tìm m để đồ thò hàm số : a) 3 2 4 y x mx =. + + + + + (1) Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 12/ 232 Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk Giải tích 12 Theo bất đẳng thức Cô–si: 1 1 2 . 1 4 4 x x x x +