Tìm hiểu lý thuyết và các ứng dụng của bộ lọc kalman

Tìm hiểu lý thuyết và các ứng dụng của bộ lọc kalman

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI VIỆN CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG

HÀ NỘI 8-2012

LỜI GIỚI THIỆU 3

I LÝ THUYẾT BỘ LỌC KALMAN 4

1 Lý thuyết về ước lượng 4

1.1 Khái niệm 4

1.2 Đánh giá chất lượng 4

1.3 Kỳ vọng (Expectation) 5

1.4 Phương sai (Variance) 6

1.5 Độ lệch chuẩn 7

1.6 Hiệp phương sai (Covariance) 7

1.7 Ma trận hiệp phương sai 8

1.8 Phân phối chuẩn (phân phối Gaussian) 8

1.9 Ước lượng của trung bình và phương sai 10

1.10 Phương pháp bình phương tối thiểu 11

2 Bộ lọc Kalman 12

2.1 Giới thiệu chung về bộ lọc Kalman 12

2.2 Mô hình toán học 15

2.2.1 Hệ thống và mô hình quan sát 15

2.2.2 Giả thiết 15

2.2.3 Nguồn gốc 16

2.2.4 Điều kiện không chệch 17

2.2.5 Hiệp phương sai sai số 19

2.2.6 Độ lời Kalman 20

2.2.7 Tóm tắt các phương trình của bộ lọc Kalman 21

II ỨNG DỤNG CỦA BỘ LỌC KALMAN 24

III CÀI ĐẶT THỬ NGHIỆM 26

1 Tao nhiễu Gaussian 26

2 Cài đặt bộ lọc Kalman 27

2.1 Mô phỏng hoạt động của bộ lọc Kalman 27

2.2 Mô phỏng hoạt động của bộ lọc Kalman mở rộng 31

IV KẾT LUẬN 32

LỜI GIỚI THIỆU

Ngày nay, nền công nghệ thế giới đang phát triển nhanh chóng và hàng loạt các giải pháp công nghệ ra đời mỗi năm Theo đó, các sinh viên ngành công nghệ ngoài việc tiếp thu các kiến thức ở giảng đường còn phải tìm hiểu nghiên cứu thêm các công nghệ tiên tiến trên thế giới để có thể đáp ứng được yêu cầu cao của thị trường lao động Trong những năm gần đây các loại cảm biến, thiết bị đo lường được sử dụng rộng rãi trong dân dụng cũng như trong công nghiệp Thế nhưng nhiều loại thiết bị lại rất nhạy với nhiễu, vấn đề làm sao để loại nhiễu ra khỏi tín hiệu là một vấn đề thực sự không đơn giản

Với những ưu điểm vượt trội, tiềm năng ứng dụng của thuật toán Kalman vào thực tế trong việc áp dụng để lọc nhiễu trong tín hiệu là rất khả quan, vì vậy việc nghiên cứu để năm rõ và tiến tới làm chủ phương pháp này là rất cần thiết và bổ ích Ngoài ra với mong muốn áp dụng và lập trình thuật toán Kalman vào thực tế nên nhóm chúng em

chọn đề tài: “TÌM HIỂU LÝ THUYẾT VÀ CÁC ỨNG DỤNG CỦA BỘ LỌC

KALMAN”

I LÝ THUYẾT BỘ LỌC KALMAN

Vào năm 1960, R.E Kalman đã công bố bài báo nổi tiếng về một giải pháp truy hồi để giải quyết một bài toán lọc thông tin rời rạc truyến tính (discrete data linear filtering) Tên đầy đủ của bài báo là “A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems” Từ đó đến nay cùng với sự phát triển của tính toán kỹ thuật số, bộ lọc Kalman

đã trở thành chủ đề nghiên cứu sôi nổi và được ứng dụng trong nhiều ngành kỹ thuật công nghệ khác nhau: trong tự động hóa, trong định vị cũng như trong viễn thông và trong nhiều lĩnh vực khác

Một cách khái quát, bộ lọc Kalman là một tập hợp các phương trình toán học mô

tả một phương pháp tính toán truy hồi hiệu qủa cho phép ước đoán trạng thái của một quá trình sao cho trung bình phương sai của độ là nhỏ nhất Bộ lọc Kalman rất hiệu quả trong việc ước đoán các trạng thái trong quá khứ, hiện tại và tương lai thậm chí ngay cả khi tính chính xác của hệ thống mô phỏng không được khẳng định

1 Lý thuyết về ước lượng

1.1 Khái niệm

Trong thống kê, một ước lượng là một giá trị được tính toán từ một mẫu thử và người ta hy vọng đó là giá trị tiêu biểu cho giá trị cần xác định trong tập hợp Người ta luôn tìm một ước lượng sao cho đó là ước lượng “không chệch”, hội tụ, hiệu quả và vững(robust)

1.2 Đánh giá chất lượng

Một ước lượng là một giá trị x được tính toán trên một mẫu được lấy một cách

ngẫu nhiên, do đó giá trị của x là một biến ngẫu nhiên với kì vọng E(x) và phương sai V(x) Nghĩa là giá trị x có thể dao động tùy theo mẫu thử, nó có ít cơ hội để có thể bằng đúng chính xác giá trị X mà nó đang ước lượng Mục đích ở đây là ta muốn có thể kiểm soát sự sai lệch giá trị x và giá trị X

Một biến ngẫu nhiên luôn dao động xung quanh giá trị kì vọng của nó Ta muốn là

kì vọng của x phải bằng X Khi đó ta nói ước lượng là không chệch Trung bình tích lũy trong ví dụ về chiều cao trung bình của trẻ 10 tuổi một ước lượng đúng, trong khi ước

lượng về tổng số cá trong hồ được tính như trong ví dụ là một ước lượng không đúng, đó

là ước lượng thừa: trung bình tổng số cá ước lượng được luôn lớn hơn tổng số cá có thực trong hồ

Ta cũng muốn là khi mẫu thử càng rộng, thì sai lệch giữa x và X càng nhỏ Khi đó

ta nói ước lượng là hội tụ Định nghĩa theo ngôn ngữ toán học là như sau:

(xn) hội tụ nếu lim

𝑛→∞𝑝(|𝑥𝑛− 𝑋| > 𝜀) = 0 với mọi số thực dương (xác suất để sai lệch với giá trị thực cần ước lượng lớn hơn tiến về 0 khi kích cỡ của mẫu thử càng lớn)

Biến ngẫu nhiên dao động quanh giá trị kì vọng của nó Nếu phương sai V(x) càng

bé, thì sự dao động càng yếu Vì vậy ta muốn phương sai của ước lượng là nhỏ nhất có thể Khi đó ta nói ước lượng là hiệu quả

Cuối cùng, trong quá trình điều tra, có thể xuất hiện một giá trị “bất thường” (ví dụ

có trẻ 10 tuổi nhưng cao 1,80 m) Ta muốn giá trị bất thường này không ảnh hưởng quá nhiều đến giá trị ước lượng Khi đó ta nói ước lượng là vững Có thể thấy trung bình tích lũy trong ví dụ về chiều cao trung bình trẻ 10 tuổi không phải là một ước lượng vững

1.3 Kỳ vọng (Expectation)

Định nghĩa: Giả sử 𝑋 là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có thể nhận các giá trị

𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 với các xác suất tương ứng 𝑃1, 𝑃2, … , 𝑃𝑛

Khi đó kỳ vọng của X, ký hiệu là 𝐸(𝑋) hay 𝜇 được xác định bởi công thức

ii 𝐸(𝐶 𝑋) = 𝐶 𝐸(𝑋), với 𝐶 là hằng số

iii 𝐸(𝑋 + 𝑌) = 𝐸(𝑋) + 𝐸(𝑌)

iv Nếu X và Y là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập thì:

𝐸(𝑋 𝑌) = 𝐸(𝑋) 𝐸(𝑌)

- Ý nghĩa: Kỳ vọng của một đại lượng ngẫu nhiên chính là giá trị trung bình

(theo xác suất) của đại lượng ngẫu nhiên đó Nó là điểm trung tâm của phân phối mà các giá trị cụ thể của X sẽ tập trung quanh đó

1.4 Phương sai (Variance)

Định nghĩa: Phương sai (trung bình bình phương độ lệch) của đại lượng ngẫu

nhiên X, ký hiệu 𝑉𝑎𝑟(𝑋) hay 𝑉(𝑋) được xác định bởi công thức:

trị của đại lượng ngẫu nhiên quanh giá trị trung bình hay kỳ vọng Đại lượng ngẫu nhiên

có phương sai càng lớn thì giá trị càng phân tán và ngược lại

1.5 Độ lệch chuẩn

Định nghĩa: Độ lệch chuẩn của đại lượng ngẫu nhiên X, ký hiệu 𝜎(𝑋) được xác

định bởi công thức:

𝜎(𝑋) = √𝑉𝑎𝑟(𝑋) (1.8)

1.6 Hiệp phương sai (Covariance)

Cho 2 biến ngẫu nhiên X và Y, ta có định nghĩa hiệp phương sai của X và Y, ký hiêu 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌):

𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 𝐸[(𝑋 − 𝜇𝑥)(𝑌 − 𝜇𝑦)] (1.9) trong đó 𝜇𝑥, 𝜇𝑦 lần lượt là kỳ vọng của X, Y

Một công thức tương đương của hiệp phương sai:

𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 𝐸[𝑋𝑌] − 𝜇𝑥𝜇𝑦 (1.10)

Ý nghĩa của hiệp phương sai là sự biến thiên cùng nhau của 2 biến ngẫu nhiên: Nếu 2 biến có xu hướng thay đổi cùng nhau (nghĩa là, khi một biến có giá trị cao hơn kỳ vọng thì biến kia cũng có xu hướng cao hơn kỳ vọng), thì hiệp phương sai của hai biến này có giá trị dương Mặt khác, nếu một biến nằm trên giá trị kỳ vọng còn biến kia có xu hướng nằm dưới giá trị kỳ vọng, thì hiệp phương sai của hai biến có giá trị âm

Nếu 2 biến ngẫu nhiên là độc lập thì 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 0 tuy nhiên điều ngược lại không đúng Các biến ngẫu nhiên mà có hiêp phương sai bằng 0 được gọi là không tương quan (uncorrelated), chúng có thể độc lập nhau hoặc không

Như vậy nếu X, Y độc lập ta có 𝐸[𝑋𝑌] = 𝜇𝑥𝜇𝑦

Tính chất

- 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 𝑉𝑎𝑟(𝑋)

- 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 𝐶𝑜𝑣(𝑌, 𝑋)

- 𝐶𝑜𝑣(𝑎𝑋, 𝑏𝑌) = 𝑎𝑏𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌)

- 𝐶𝑜𝑣(𝑋1+ 𝑋2, 𝑌1+ 𝑌2) = 𝐶𝑜𝑣(𝑋1, 𝑌1) + 𝐶𝑜𝑣(𝑋2, 𝑌1) + 𝐶𝑜𝑣(𝑋1, 𝑌2) +

𝐶𝑜𝑣(𝑋2, 𝑌2)

- 𝑉𝑎𝑟(𝑋 + 𝑌) = 𝑉𝑎𝑟(𝑋) + 𝑉𝑎𝑟(𝑌) + 2𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌)

1.7 Ma trận hiệp phương sai

Như chúng ta vừa trình bày, hiệp phương sai là đại lượng tính toán sự tương quan giữa 2 biến ngẫu nhiên

Vậy giả sử chúng ta có một vector biến ngẫu nhiên có 3 phần tử 𝑋1, 𝑋2, 𝑋3 Nếu ta muốn tính toán sự tương quan giữa tất cả các cặp biến ngẫu nhiên thì ta phải tính tất cả 3 hiệp phương sai 𝐶𝑜𝑣(𝑋1, 𝑋2), 𝐶𝑜𝑣(𝑋1, 𝑋3), 𝐶𝑜𝑣(𝑋2, 𝑋3)

Một cách tổng quát, ma trận hiệp phương sai đã ra đời để cho phép ta tính tất cả các 𝐶𝑜𝑣 giữa 2 biến ngẫu nhiên trong một vector biến ngẫu nhiên

Cho một vector biến ngẫu nhiên X chứa n biến ngẫu nhiên, ma trận hiệp phương sai của X, kỹ hiệu là ∑, được định nghĩa là:

∑ = [

𝐶𝑜𝑣(𝑋1, 𝑋1) 𝐶𝑜𝑣(𝑋1, 𝑋2)𝐶𝑜𝑣(𝑋2, 𝑋1) 𝐶𝑜𝑣(𝑋2, 𝑋2) ⋯

𝐶𝑜𝑣(𝑋1, 𝑋𝑛)𝐶𝑜𝑣(𝑋2, 𝑋𝑛)

Quan sát trên đường chéo của ma trận hiệp phương sai (i=j) ta thấy tại đó là các phương sai, vì 𝐶𝑜𝑣(𝑋𝑖, 𝑋𝑖) = 𝑉𝑎𝑟(𝑋𝑖)

1.8 Phân phối chuẩn (phân phối Gaussian)

Trong thực tế, người ta thường sử dụng phân phối xác suất có tên là phân phối chuẩn (normal distribution) hay phân phối Gaussian

Một biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Gaussian khi nó có hàm mật độ

là hàm Gaussian, ký hiệu là 𝑋~𝒩(𝜇, 𝜎) gọi là X có phân phối chuẩn với tham số 𝜇, 𝜎 Khi đó hàm mật độ của X là:

Với phân phối xác suất như trên, người ta tính được 𝜇, 𝜎 lần lượt là kỳ vọng và độ lệch chuẩn của X

Dưới đây là đồ thị của một số phân phối chuẩn

Quan sát đồ thị ta thấy phân phối chuẩn có dạng chuông Giá trị kỳ vọng của X là

𝑋 = 𝜇 là trục đối xứng Độ lệch chuẩn 𝜎 (hay phương sai 𝜎2) càng lớn thì đồ thị càng bẹt, nghĩa là các giá trị càng phân tán ra xa kỳ vọng

Trong thực tế, các loại nhiễu trong các hệ thống đo lường có thể được mô phỏng một cách chính xác bằng nhiễu trắng cộng Hay nói cách khác tạp âm trắng Gaussian là loại nhiễu phổ biến nhất trong hệ thống đo lường Loại nhiễu này có mật độ phổ công suất đồng đều trên miền tần số và biên độ tuân theo phân bố Gaussian Theo phương thức tác động thì nhiễu Gaussian là nhiễu cộng Vậy các hệ thống đo lường phổ biến chịu tác động của nhiễu Gaussian trắng cộng (AWGN)

Hình 1.1: Đồ thị của một số phân phối chuẩn

1.9 Ước lượng của trung bình và phương sai

Ta chọn ngẫu nhiên n cá thể trong một dân số gồm N cá thể Ta quan tâm đến đặc trưng định lượng Y của dân số với trung bình 𝑌̅ và phương sai V(Y) Trong mẫu đó, đặc trưng Y có trung bình và phương sai đo được lần lượt là 𝑦̅ và 𝜎2= 1

𝑛∑𝑛𝑖=1(𝑦𝑖− 𝑦̅)2 Lưu ý là các giá trị 𝑦̅ và σ2 thay đổi tùy theo mẫu thử, do đó chúng là các biến ngẫu nhiên với trung bình và phương sai riêng khác nhau

Ước lượng trung bình của Y:

Thông thường trung bình của Y, tức là 𝑌̅ được ước lượng bởi: 𝑦̅ = 1

𝑛∑𝑛𝑖=1𝑦𝑖, còn được gọi là trung bình tích lũy (hay trung bình cộng) Ta chứng minh được đây là ước lượng không chệch (unbiased), nghĩa là 𝐸(𝑦̅) = 𝑌

Ước lượng phương sai của Y:

σ2 là một ước lượng của V(Y), nhưng là ước lượng không đúng, ta chứng minh được kì vọng của σ2 luôn nhỏ hơn V(Y), tức ước lượng là thiếu

Các ước lượng đúng của V(Y) là:

Hình 1.2: Nhiễu Gaussian

𝑁−1 xấp xỉ bằng 1 Vì vậy trong trường hợp tổng quát ước lượng đúng của V(Y) là: 𝑠2 = 1

𝑛−1∑𝑛𝑖=1(𝑦𝑖− 𝑦̅)2 được gọi là phương sai tích lũy của Y

1.10 Phương pháp bình phương tối thiểu

Trong toán học, phương pháp bình phương tối thiểu, còn gọi là bình phương nhỏ nhất hay bình phương trung bình tối thiểu, là một phương pháp tối ưu hóa để lựa chọn một đường khớp nhất cho một dải dữ liệu ứng với cực trị của tổng các sai số thống kê (error) giữa đường khớp và dữ liệu

Phương pháp này giả định các sai số (error) của phép đo đạc dữ liệu phân phối ngẫu nhiên Định lý Gauss-Markov chứng minh rằng kết quả thu được từ phương pháp bình phương tối thiểu không thiên vị và sai số của việc đo đạc dữ liệu không nhất thiết phải tuân theo, ví dụ, phân bố Gauss Một phương pháp mở rộng từ phương pháp này là bình phương tối thiểu có trọng số

Phương pháp bình phương tối thiểu thường được dùng trong khớp đường cong Nhiều bài toán tối ưu hóa cũng được quy về việc tìm cực trị của dạng bình phương, ví dụ như tìm cực tiểu của năng lượng hay cực đại của entropy

Giả sử dữ liệu gồm các điểm (xi, yi) với i = 1, 2, , n Chúng ta cần tìm một hàm

χ2 = 1

𝑛∑(𝑦𝑖 − 𝑓(𝑥𝑖))2 𝑛

𝑖=1

(1.16) Điều này dẫn đến tên gọi bình phương trung bình tối thiểu

Trong hồi quy tuyến tính, người ta thay biểu thức

𝑓(𝑥𝑖) ≈ 𝑦𝑖bằng

𝑓(𝑥𝑖) = 𝑦𝑖+ 𝜀𝑖 (1.17)

với hệ số nhiễu ε là biến ngẫu nhiên có giá trị kỳ vọng bằng 0

Trong biểu thức của hồi quy tuyến tính x được đo chính xác, chỉ có y chịu nhiễu loạn ε

Thêm nữa, hàm f tuyến tính với các tham số p j Nếu f không tuyến tính với các tham số,

ta có hồi quy phi tuyến, một bài toán phức tạp hơn nhiều hồi quy tuyến tính

2 Bộ lọc Kalman

2.1 Giới thiệu chung về bộ lọc Kalman

Được đề xuất từ năm 1960 bởi giáo sư Kalman để thu thập và kết hợp linh động các thông tin từ cảm biến thành phần Một khi phương trình định hướng và mẫu thống kê nhiễu trên mỗi cảm biến được biết và xác định, bộ lọc Kalman sẽ cho ước lượng giá trị tối ưu (chính xác do đã được loại sai số, nhiễu) như là đang sử dụng một tín hiệu “tinh khiết” và có độ phân bổ không đổi Trong hệ thống này, tín hiệu cảm biến vào bộ lọc gồm hai tín hiệu: từ cảm biến góc (inclinometer) và cảm biến vận tốc góc (gyro) Tín hiệu đầu ra của bộ lọc là tín hiệu của inclinometer và gyro đã được loại nhiễu nhờ hai nguồn tín hiệu hỗ trợ và xử lý lẫn nhau trong bộ lọc, thông qua quan hệ (vận tốc góc = đạo hàm/vi phân của giá trị góc

Bô lọc Kalman đơn giản là thuật toán xử lý dữ liệu hồi quy tối ưu Có nhiều cách xác định tối ưu, phụ thuộc tiêu chuẩn lựa chọn trình thông số đánh giá Nó cho thấy rằng

bộ lọc Kalman tối ưu đối với chi tiết cụ thể trong bất kỳ tiêu chuẩn có nghĩa nào Một khía cạnh của sự tối ưu này là bộ lọc Kalman hợp nhất tất cả thông tin được cung cấp tới

nó Nó xử lý tất cả giá trị sẵn có, ngoại trừ độ sai số, ước lượng giá trị hiện thời của những giá trị quan tâm, với cách sử dụng hiểu biết động học thiết bị giá trị và hệ thống,

mô tả số liệu thống kê của hệ thống nhiễu, gồm nhiễu ồn, nhiễu đo và sự không chắc chắn trong mô hình động học, và những thông tin bất kỳ về điều kiện ban đầu của giá trị quan tâm

Hình 1.3: Mô hình đo lường ước lượng của bộ lọc Kalman

Hình 1.3 trên mô hình hóa hoạt động của mạch lọc Kalman Chúng ta có tín hiệu

đo được, chúng ta có mô hình của tín hiệu đo được (đòi hỏi tuyến tính) và sau đó là áp dụng vào trong hệ thống phương trình của mạch lọc để ước lượng trạng thái quan tâm Thực ra tín hiệu đo là không khó, phương trình đã có sẵn, cái chung ta cần chính là mô hình hoá hệ thống Để có thể ứng dụng một cách hiểu quả mạch lọc Kalman thì chúng ta phải mô hình hóa được một cách tuyến tính sự thay đổi của trạng thái cần ước lượng hoặc

dự đoán

Hình 1.4: Tín hiệu thu trước và sau khi lọc qua Kalman

2.2 Mô hình toán học

2.2.1 Hệ thống và mô hình quan sát

Chúng ta giả sử rằng có thể mô hình hóa bởi phương trình chuyển trạng thái

𝑥𝑘+1 = 𝑭𝑘𝑥𝑘 + 𝑮𝑘𝒖𝑘 + 𝑤𝑘 (2.1) Trong đó 𝑥𝑘 là trạng thái tại thời điểm k, 𝒖𝑘 là vector điều khiển đầu vào, 𝑤𝑘 là hệ thống cộng hay nhiễu quá trình – thường là nhiễu Gaussian trắng cộng (AWGN) , 𝑮𝑘 là

ma trận chuyển đổi đầu vào và 𝑭𝑘 là ma trận chuyển trạng thái

Ngoài ra chúng ta giả sử rằng, khả năng quan sát trạng thái được thực hiện thông qua một hệ thống đo lường có thể được biểu diễn bởi một phương trình tuyến tính như sau

𝑧𝑘 = 𝑯𝑘𝑥𝑘 + 𝒗𝑘 (2.2) Trong đó 𝑧𝑘 là thông tin quan sát hay đo lường thực hiện tại thời điểm 𝑘, 𝑥𝑘 là trạng thái tại thời điểm 𝑘, 𝑯𝑘 là ma trận quan sát và 𝒗𝑘 là nhiễu cộng trong quá trình đo lường

2.2.2 Giả thiết

Chúng ta giả thiết như sau

 Nhiễu quá trình và nhiễu đo lường 𝒘𝑘 và 𝒗𝑘 là không tương quan, là nhiễu Gaussian trắng cộng (AWGN) có giá trị trung bình bằng không và ma trận hiệp phương sai đã biết

Hình 2.1: Mô hình không gian trạng thái

Khi đó, 𝐸[𝑤𝑘𝑤𝑙𝑇] = {𝑸𝑘 𝑘 = 𝑙

0 𝑜𝑡ℎ𝑒𝑟𝑤𝑖𝑠𝑒, (2.3) 𝐸[𝑣𝑘𝑣𝑙𝑇] = {𝑹𝑘 𝑘 = 𝑙

0 𝑜𝑡ℎ𝑒𝑟𝑤𝑖𝑠𝑒, (2.4) 𝐸[𝑤𝑘𝑣𝑙𝑇] = 0 𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙 𝑘, 𝑙 (2.5)

Trong đó 𝑸𝑘 và 𝑹𝑘 là các ma trận đối xứng nửa xác định dương

 Trạng thái khởi tạo hệ thống 𝑥0 là một vector ngẫu nhiên không tương quan với cả hệ thống và nhiễu đo lường

 Trạng thái khởi tạo hệ thống có giá trị trung bình và ma trận hiệp phương sai đã biết

𝑥̂0|0 = 𝐸[𝑥0] 𝑣à 𝑃0|0 = 𝐸[(𝑥̂0|0− 𝑥0)(𝑥̂0|0− 𝑥0)𝑇] (2.6)

Đưa ra những giả định trên với mục đích để xác định, đưa ra tập giá trị quan sát

𝑧1, … , 𝑧𝑘+1, bộ lọc ước lượng ở thời điểm 𝑘 + 1 tạo ra một ước lượng tối ưu của trạng thái 𝑥𝑘+1 mà chúng ta ký hiệu bởi 𝑥̂𝑘+1, tối thiểu hóa kỳ vọng của hàm tổn thất bình phương lỗi

𝐸[‖𝑥𝑘+1 − 𝑥̂𝑘+1‖2] =𝐸[(𝑥𝑘+1 − 𝑥̂𝑘+1)𝑇(𝑥𝑘+1 − 𝑥̂𝑘+1)] (2.7)

2.2.3 Nguồn gốc

Ký hiệu ước lượng dự đoán của trạng thái 𝑥𝑘+1 dựa trên quan sát ở thời điểm 𝑘,

𝑧1, … , 𝑧𝑘 là 𝑥̂𝑘+1|𝑘 Đó được gọi là một bước trước dự đoán hay đơn giản là dự đoán Bây

giờ, giải pháp để tối thiểu hóa phương trình (2.7) là kỳ vọng của trạng thái ở thời điểm

𝑘 + 1 được ước định dựa trên quan sát ở thời điểm 𝑘 Như vậy,

𝑥̂𝑘+1|𝑘 = 𝐸[𝑥𝑘+1|𝑧1, … , 𝑧𝑘] = 𝐸[𝑥𝑘+1|𝚭𝑘] (2.8) Khi đó trạng thái dự đoán được cho bởi

𝑥̂𝑘+1|𝑘 = 𝐸[𝑥𝑘+1|𝚭𝑘] = 𝐸[𝑭𝑘𝑥𝑘+ 𝑮𝑘𝑢𝑘 + 𝑤𝑘|𝚭𝑘] = 𝑭𝑘𝐸[𝑥𝑘|𝚭𝑘] + 𝑮𝑘𝑢𝑘 + 𝐸[𝑤𝑘|𝚭𝑘] = 𝑭𝑘𝑥̂𝑘|𝑘 + 𝑮𝑘𝑢𝑘 (2.9) Khi sử dụng trong thực tế, nhiễu quá trình có giá trị trung bình là 0 và 𝑢𝑘 đã được biết chính xác