Tìm hiểu lý thuyết và các ứng dụng của bộ lọc kalman

Tìm hiểu lý thuyết và các ứng dụng của bộ lọc kalman

Lý thuyết và các ứng dụng của bộ lọc Kalman Page 1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI VIỆN CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG  BÀI TẬP LỚN XỬ LÝ TÍN HIỆU NGẪU NHIÊN ĐỀ TÀI: TÌM HIỂU LÝ THUYẾT VÀ CÁC ỨNG DỤNG CỦA BỘ LỌC KALMAN Nhóm sinh viên thực hiện: Bùi Đình Cường 20080355 Nguyễn Khánh Hưng 20081279 Giáo viên hướng dẫn: PGS.TS Nguyễn Linh Giang HÀ NỘI 8-2012 Lý thuyết và các ứng dụng của bộ lọc Kalman Page 2 LỜI GIỚI THIỆU 3 I. LÝ THUYẾT BỘ LỌC KALMAN 4 1. Lý thuyết về ước lượng 4 1.1. Khái niệm 4 1.2. Đánh giá chất lượng 4 1.3. Kỳ vọng (Expectation) 5 1.4. Phương sai (Variance) 6 1.5. Độ lệch chuẩn 7 1.6. Hiệp phương sai (Covariance) 7 1.7. Ma trận hiệp phương sai 8 1.8. Phân phối chuẩn (phân phối Gaussian) 8 1.9. Ước lượng của trung bình và phương sai 10 1.10. Phương pháp bình phương tối thiểu 11 2. Bộ lọc Kalman 12 2.1. Giới thiệu chung về bộ lọc Kalman 12 2.2. Mô hình toán học 15 2.2.1. Hệ thống và mô hình quan sát 15 2.2.2. Giả thiết 15 2.2.3. Nguồn gốc 16 2.2.4. Điều kiện không chệch 17 2.2.5. Hiệp phương sai sai số 19 2.2.6. Độ lời Kalman 20 2.2.7. Tóm tắt các phương trình của bộ lọc Kalman 21 II. ỨNG DỤNG CỦA BỘ LỌC KALMAN 24 III. CÀI ĐẶT THỬ NGHIỆM 26 1. Tao nhiễu Gaussian 26 2. Cài đặt bộ lọc Kalman 27 2.1. Mô phỏng hoạt động của bộ lọc Kalman 27 2.2. Mô phỏng hoạt động của bộ lọc Kalman mở rộng 31 IV. KẾT LUẬN 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO 33 Lý thuyết và các ứng dụng của bộ lọc Kalman Page 3 LỜI GIỚI THIỆU Ngày nay, nền công nghệ thế giới đang phát triển nhanh chóng và hàng loạt các giải pháp công nghệ ra đời mỗi năm. Theo đó, các sinh viên ngành công nghệ ngoài việc tiếp thu các kiến thức ở giảng đường còn phải tìm hiểu nghiên cứu thêm các công nghệ tiên tiến trên thế giới để có thể đáp ứng được yêu cầu cao của thị trường lao động. Trong những năm gần đây các loại cảm biến, thiết bị đo lường được sử dụng rộng rãi trong dân dụng cũng như trong công nghiệp. Thế nhưng nhiều loại thiết bị lại rất nhạy với nhiễu, vấn đề làm sao để loại nhiễu ra khỏi tín hiệu là một vấn đề thực sự không đơn giản. Với những ưu điểm vượt trội, tiềm năng ứng dụng của thuật toán Kalman vào thực tế trong việc áp dụng để lọc nhiễu trong tín hiệu là rất khả quan, vì vậy việc nghiên cứu để năm rõ và tiến tới làm chủ phương pháp này là rất cần thiết và bổ ích. Ngoài ra với mong muốn áp dụng và lập trình thuật toán Kalman vào thực tế nên nhóm chúng em chọn đề tài: “TÌM HIỂU LÝ THUYẾT VÀ CÁC ỨNG DỤNG CỦA BỘ LỌC KALMAN”. Lý thuyết và các ứng dụng của bộ lọc Kalman Page 4 I. LÝ THUYẾT BỘ LỌC KALMAN Vào năm 1960, R.E Kalman đã công bố bài báo nổi tiếng về một giải pháp truy hồi để giải quyết một bài toán lọc thông tin rời rạc truyến tính (discrete data linear filtering). Tên đầy đủ của bài báo là “A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems”. Từ đó đến nay cùng với sự phát triển của tính toán kỹ thuật số, bộ lọc Kalman đã trở thành chủ đề nghiên cứu sôi nổi và được ứng dụng trong nhiều ngành kỹ thuật công nghệ khác nhau: trong tự động hóa, trong định vị cũng như trong viễn thông và trong nhiều lĩnh vực khác. Một cách khái quát, bộ lọc Kalman là một tập hợp các phương trình toán học mô tả một phương pháp tính toán truy hồi hiệu qủa cho phép ước đoán trạng thái của một quá trình sao cho trung bình phương sai của độ là nhỏ nhất. Bộ lọc Kalman rất hiệu quả trong việc ước đoán các trạng thái trong quá khứ, hiện tại và tương lai thậm chí ngay cả khi tính chính xác của hệ thống mô phỏng không được khẳng định. 1. Lý thuyết về ước lượng 1.1. Khái niệm Trong thống kê, một ước lượng là một giá trị được tính toán từ một mẫu thử và người ta hy vọng đó là giá trị tiêu biểu cho giá trị cần xác định trong tập hợp. Người ta luôn tìm một ước lượng sao cho đó là ước lượng “không chệch”, hội tụ, hiệu quả và vững(robust) 1.2. Đánh giá chất lượng Một ước lượng là một giá trị x được tính toán trên một mẫu được lấy một cách ngẫu nhiên, do đó giá trị của x là một biến ngẫu nhiên với kì vọng E(x) và phương sai V(x). Nghĩa là giá trị x có thể dao động tùy theo mẫu thử, nó có ít cơ hội để có thể bằng đúng chính xác giá trị X mà nó đang ước lượng. Mục đích ở đây là ta muốn có thể kiểm soát sự sai lệch giá trị x và giá trị X. Một biến ngẫu nhiên luôn dao động xung quanh giá trị kì vọng của nó. Ta muốn là kì vọng của x phải bằng X. Khi đó ta nói ước lượng là không chệch. Trung bình tích lũy trong ví dụ về chiều cao trung bình của trẻ 10 tuổi một ước lượng đúng, trong khi ước Lý thuyết và các ứng dụng của bộ lọc Kalman Page 5 lượng về tổng số cá trong hồ được tính như trong ví dụ là một ước lượng không đúng, đó là ước lượng thừa: trung bình tổng số cá ước lượng được luôn lớn hơn tổng số cá có thực trong hồ. Ta cũng muốn là khi mẫu thử càng rộng, thì sai lệch giữa x và X càng nhỏ. Khi đó ta nói ước lượng là hội tụ. Định nghĩa theo ngôn ngữ toán học là như sau: (x n ) hội tụ nếu           với mọi số thực dương (xác suất để sai lệch với giá trị thực cần ước lượng lớn hơn tiến về 0 khi kích cỡ của mẫu thử càng lớn). Biến ngẫu nhiên dao động quanh giá trị kì vọng của nó. Nếu phương sai V(x) càng bé, thì sự dao động càng yếu. Vì vậy ta muốn phương sai của ước lượng là nhỏ nhất có thể. Khi đó ta nói ước lượng là hiệu quả. Cuối cùng, trong quá trình điều tra, có thể xuất hiện một giá trị “bất thường” (ví dụ có trẻ 10 tuổi nhưng cao 1,80 m). Ta muốn giá trị bất thường này không ảnh hưởng quá nhiều đến giá trị ước lượng. Khi đó ta nói ước lượng là vững. Có thể thấy trung bình tích lũy trong ví dụ về chiều cao trung bình trẻ 10 tuổi không phải là một ước lượng vững. 1.3. Kỳ vọng (Expectation) Định nghĩa: Giả sử  là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có thể nhận các giá trị       với các xác suất tương ứng       . Khi đó kỳ vọng của X, ký hiệu là     hay được xác định bởi công thức              Nếu  là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất là     thì kỳ vọng của  là:               - Tính chất i.      Lý thuyết và các ứng dụng của bộ lọc Kalman Page 6 ii.         , với  là hằng số. iii.              iv. Nếu X và Y là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập thì:              - Ý nghĩa: Kỳ vọng của một đại lượng ngẫu nhiên chính là giá trị trung bình (theo xác suất) của đại lượng ngẫu nhiên đó. Nó là điểm trung tâm của phân phối mà các giá trị cụ thể của X sẽ tập trung quanh đó. 1.4. Phương sai (Variance) Định nghĩa: Phương sai (trung bình bình phương độ lệch) của đại lượng ngẫu nhiên X, ký hiệu     hay     được xác định bởi công thức:            Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có thể nhận các giá trị       với xác xác suất tương ứng là       thì:                   Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất là     thì:                    Trong thực tế ta thường tính phương sai bằng công thức:                  Tính chất: i.      ii.           ; iii. Nếu X, Y là 2 biến ngẫu nhiên độc lập thì:                    Ý nghĩa:   là độ lệch khỏi giá trị trung bình. Do đó phương sai     gọi là trung bình bình phương độ lệch. Nên phương sai phản ánh mức độ phân tán của các giá Lý thuyết và các ứng dụng của bộ lọc Kalman Page 7 trị của đại lượng ngẫu nhiên quanh giá trị trung bình hay kỳ vọng. Đại lượng ngẫu nhiên có phương sai càng lớn thì giá trị càng phân tán và ngược lại. 1.5. Độ lệch chuẩn Định nghĩa: Độ lệch chuẩn của đại lượng ngẫu nhiên X, ký hiệu  được xác định bởi công thức:            1.6. Hiệp phương sai (Covariance) Cho 2 biến ngẫu nhiên X và Y, ta có định nghĩa hiệp phương sai của X và Y, ký hiêu     :                 trong đó     lần lượt là kỳ vọng của X, Y. Một công thức tương đương của hiệp phương sai:               Ý nghĩa của hiệp phương sai là sự biến thiên cùng nhau của 2 biến ngẫu nhiên: Nếu 2 biến có xu hướng thay đổi cùng nhau (nghĩa là, khi một biến có giá trị cao hơn kỳ vọng thì biến kia cũng có xu hướng cao hơn kỳ vọng), thì hiệp phương sai của hai biến này có giá trị dương. Mặt khác, nếu một biến nằm trên giá trị kỳ vọng còn biến kia có xu hướng nằm dưới giá trị kỳ vọng, thì hiệp phương sai của hai biến có giá trị âm. Nếu 2 biến ngẫu nhiên là độc lập thì      tuy nhiên điều ngược lại không đúng. Các biến ngẫu nhiên mà có hiêp phương sai bằng 0 được gọi là không tương quan (uncorrelated), chúng có thể độc lập nhau hoặc không. Như vậy nếu X, Y độc lập ta có         . Tính chất -      -         -         Lý thuyết và các ứng dụng của bộ lọc Kalman Page 8 -                                             -                 1.7. Ma trận hiệp phương sai Như chúng ta vừa trình bày, hiệp phương sai là đại lượng tính toán sự tương quan giữa 2 biến ngẫu nhiên. Vậy giả sử chúng ta có một vector biến ngẫu nhiên có 3 phần tử       . Nếu ta muốn tính toán sự tương quan giữa tất cả các cặp biến ngẫu nhiên thì ta phải tính tất cả 3 hiệp phương sai                   . Một cách tổng quát, ma trận hiệp phương sai đã ra đời để cho phép ta tính tất cả các  giữa 2 biến ngẫu nhiên trong một vector biến ngẫu nhiên. Cho một vector biến ngẫu nhiên X chứa n biến ngẫu nhiên, ma trận hiệp phương sai của X, kỹ hiệu là , được định nghĩa là:                                                                         Với         Quan sát trên đường chéo của ma trận hiệp phương sai (i=j) ta thấy tại đó là các phương sai, vì             1.8. Phân phối chuẩn (phân phối Gaussian) Trong thực tế, người ta thường sử dụng phân phối xác suất có tên là phân phối chuẩn (normal distribution) hay phân phối Gaussian. Một biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Gaussian khi nó có hàm mật độ là hàm Gaussian, ký hiệu là  gọi là X có phân phối chuẩn với tham số . Khi đó hàm mật độ của X là:                Lý thuyết và các ứng dụng của bộ lọc Kalman Page 9 Với phân phối xác suất như trên, người ta tính được  lần lượt là kỳ vọng và độ lệch chuẩn của X. Dưới đây là đồ thị của một số phân phối chuẩn. Quan sát đồ thị ta thấy phân phối chuẩn có dạng chuông. Giá trị kỳ vọng của X là  là trục đối xứng. Độ lệch chuẩn  (hay phương sai   ) càng lớn thì đồ thị càng bẹt, nghĩa là các giá trị càng phân tán ra xa kỳ vọng. Trong thực tế, các loại nhiễu trong các hệ thống đo lường có thể được mô phỏng một cách chính xác bằng nhiễu trắng cộng. Hay nói cách khác tạp âm trắng Gaussian là loại nhiễu phổ biến nhất trong hệ thống đo lường. Loại nhiễu này có mật độ phổ công suất đồng đều trên miền tần số và biên độ tuân theo phân bố Gaussian. Theo phương thức tác động thì nhiễu Gaussian là nhiễu cộng. Vậy các hệ thống đo lường phổ biến chịu tác động của nhiễu Gaussian trắng cộng (AWGN). Hình 1.1: Đồ thị của một số phân phối chuẩn Lý thuyết và các ứng dụng của bộ lọc Kalman Page 10 1.9. Ước lượng của trung bình và phương sai Ta chọn ngẫu nhiên n cá thể trong một dân số gồm N cá thể. Ta quan tâm đến đặc trưng định lượng Y của dân số với trung bình   và phương sai V(Y). Trong mẫu đó, đặc trưng Y có trung bình và phương sai đo được lần lượt là  và              . Lưu ý là các giá trị  và σ 2 thay đổi tùy theo mẫu thử, do đó chúng là các biến ngẫu nhiên với trung bình và phương sai riêng khác nhau. Ước lượng trung bình của Y: Thông thường trung bình của Y, tức là   được ước lượng bởi:         , còn được gọi là trung bình tích lũy (hay trung bình cộng). Ta chứng minh được đây là ước lượng không chệch (unbiased), nghĩa là      Ước lượng phương sai của Y: σ 2 là một ước lượng của V(Y), nhưng là ước lượng không đúng, ta chứng minh được kì vọng của σ 2 luôn nhỏ hơn V(Y), tức ước lượng là thiếu. Các ước lượng đúng của V(Y) là: Hình 1.2: Nhiễu Gaussian [...]... khởi tạo của Kalman Lý thuyết và các ứng dụng của bộ lọc Kalman Page 22 Cùng với các điều kiện ban đầu trong ước lượng và ma trận hiệp phương sai lỗi của nó (phương trình 2.6) đã định nhĩa một giải thuật rời rạc hóa về thời gian và đệ quy để xác định hiệp phương sai ước lượng tuyến tính tối thiểu được gọi là bộ lọc Kalman Lý thuyết và các ứng dụng của bộ lọc Kalman Page 23 ỨNG DỤNG CỦA BỘ LỌC KALMAN. .. phỏng hoạt động của bộ lọc Kalman mở rộng  Các thông số cài đặt Lý thuyết và các ứng dụng của bộ lọc Kalman Page 31 IV KẾT LUẬN Về lý thuyết  Nắm rõ được bộ lọc Kalman  Có khả năng phát triển hệ thống ước lượng dùng bộ lọc Kalman  Hiểu được cách mô hình hóa hệ thống trong bộ lọc Kalman Về ứng dụng  Bằng những kiến thức về bộ lọc Kalman đã mô phỏng được quá trình ước lượng chuyển động của mục tiêu... đo lường vị trí của mục tiêu được thể hiện bởi đường màu đỏ Bộ lọc Kalman sẽ cho kết quả là đường màu xanh chính là dữ liệu đã được ước lượng tối ưu Chúng ta có thể thay đổi các thông số để đạt kết quả tối ưu Kết quả  Quỹ đạo thực của mục tiêu: Lý thuyết và các ứng dụng của bộ lọc Kalman Page 29  Quỹ đạo đo lường  Quỹ đạo sau khi qua lọc Kalman Lý thuyết và các ứng dụng của bộ lọc Kalman Page 30... đầu của giá trị quan tâm Hình 1.3: Mô hình đo lường ước lượng của bộ lọc Kalman Lý thuyết và các ứng dụng của bộ lọc Kalman Page 13 Hình 1.4: Tín hiệu thu trước và sau khi lọc qua Kalman Hình 1.3 trên mô hình hóa hoạt động của mạch lọc Kalman Chúng ta có tín hiệu đo được, chúng ta có mô hình của tín hiệu đo được (đòi hỏi tuyến tính) và sau đó là áp dụng vào trong hệ thống phương trình của mạch lọc. .. nhiễu nhờ hai nguồn tín hiệu hỗ trợ và xử lý lẫn nhau trong bộ lọc, thông qua quan hệ (vận tốc góc = đạo hàm/vi phân của giá trị góc Lý thuyết và các ứng dụng của bộ lọc Kalman Page 12 Bô lọc Kalman đơn giản là thuật toán xử lý dữ liệu hồi quy tối ưu Có nhiều cách xác định tối ưu, phụ thuộc tiêu chuẩn lựa chọn trình thông số đánh giá Nó cho thấy rằng bộ lọc Kalman tối ưu đối với chi tiết cụ thể trong... Trong hình vẽ trên, đồ thị bên trái là hàm mật độ xác suất và phân bố của 1000 điểm Gaussian Đồ thị bên phải thể hiện sự thay đổi giữa phương sai và kỳ vọng Từ hình vẽ ta thấy phương sai càng lớn thì giá trị càng phân tán Lý thuyết và các ứng dụng của bộ lọc Kalman Page 26 2 Cài đặt bộ lọc Kalman 2.1 Mô phỏng hoạt động của bộ lọc Kalman  Các thông số cài đặt Ở đây chúng ta sẽ mô hình hóa một mục tiêu... lọc Kalman đã mô phỏng được quá trình ước lượng chuyển động của mục tiêu Hướng phát triển  Ứng dụng bộ lọc Kalman vào hệ thống bắt mục tiêu trong mạng cảm biến không dây, giúp quản lý trạng thái của các cảm biến, tăng chất lượng theo dõi và kéo dài thời gian sống của mạng Lý thuyết và các ứng dụng của bộ lọc Kalman Page 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Giáo trình xác suất thống kê, Tống Đình Quỳ, NXB Giáo... phương trình đã có sẵn, cái chung ta cần chính là mô hình hoá hệ thống Để có thể ứng dụng một cách hiểu quả mạch lọc Kalman thì chúng ta phải mô hình hóa được một cách tuyến tính sự thay đổi của trạng thái cần ước lượng hoặc dự đoán Lý thuyết và các ứng dụng của bộ lọc Kalman Page 14 2.2 Mô hình toán học 2.2.1 Hệ thống và mô hình quan sát Chúng ta giả sử rằng có thể mô hình hóa bởi phương trình chuyển... hình dạng, phụ thuộc vào một số tham số, pj với j = 1, 2, , m 𝑓( 𝑥) ≈ 𝑓(𝑝 𝑗 , 𝑥) (1.14) Nội dung của phương pháp là tìm giá trị của các tham số pj sao cho biểu thức sau đạt cực tiểu: Lý thuyết và các ứng dụng của bộ lọc Kalman Page 11 𝑛 χ2 = ∑(𝑦 𝑖 − 𝑓(𝑥 𝑖 ))2 (1.15) 𝑖=1 Nội dung này giải thích tại sao tên của phương pháp là bình phương tối thiểu Đôi khi thay vì tìm giá trị nhỏ nhất của tổng bình phương,... [3] Ngoài ra bộ lọc Kalman còn được áp dụng nhiều vào hệ thống theo dõi mục tiêu di động trong mạng cảm biến không dây Do nhiễu đo lường trên các cảm biến nên kết quả thu được thường không chính xác, có sai số lớn so với thực tế Bộ lọc Kalman được áp dụng để lọc nhiễu, dự đoán, ước lượng trạng thái của mục tiêu như vị trí, tốc độ và quỹ đạo Nhờ có quá trình dự đoán và điều chỉnh của bộ lọc Kalman đã góp . thiết và bổ ích. Ngoài ra với mong muốn áp dụng và lập trình thuật toán Kalman vào thực tế nên nhóm chúng em chọn đề tài: “TÌM HIỂU LÝ THUYẾT VÀ CÁC ỨNG DỤNG CỦA BỘ LỌC KALMAN . Lý thuyết. Mô phỏng hoạt động của bộ lọc Kalman 27 2.2. Mô phỏng hoạt động của bộ lọc Kalman mở rộng 31 IV. KẾT LUẬN 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO 33 Lý thuyết và các ứng dụng của bộ lọc Kalman Page 3 LỜI. PGS.TS Nguyễn Linh Giang HÀ NỘI 8-2012 Lý thuyết và các ứng dụng của bộ lọc Kalman Page 2 LỜI GIỚI THIỆU 3 I. LÝ THUYẾT BỘ LỌC KALMAN 4 1. Lý thuyết về ước lượng 4 1.1. Khái niệm 4 1.2.