Lý thuyết và bài tập chương chuỗi

Lý thuyết chuỗi Blog: www.caotu28.blogspot.com CHƯƠNG: LÝ THUYẾT CHUỖI Un n    1 lim    e *Chú ý: nlim Dạng tổng quát:    n U n      Un  e Chuỗi số Cho dãy số vô hạn Un n1 : u1  u2  u3   un     u 1 gọi chuỗi số n n 1 - u1: gọi số hạng đầu un: số hạng tổng quát chuỗi (1) - Sn  u1  u2  u3   un  gọi tổng riêng thứ n chuỗi (1) - Chú ý: -  Nếu lim Sn tồn hữu hạn ta nói chuỗi (1) hội tụ  Nếu không tồn lim Sn lim Sn   ta nói chuỗi (1) chuỗi phân kỳ  Nếu chuỗi (1) hội tụ lim Sn  S Khi ta viết n n n n u n n 1 Điều kiện cần để chuỗi số hội tụ:   u Định lý 1: Nếu chuỗi số n 1  -  n hội tụ lim un  n Định lý 2: (chú ý) Từ định lý (1) ta thấy lim un  chuỗi n  u n 1 n phân kỳ Các tính chất chuỗi hội tụ:   Nếu chuỗi  un hội tụ có tổng S chuỗi n 1   Nếu chuỗi  un n 1   k.u n n 1 hội tụ có tổng k.S  vn hội tụ có tổng S1 S2 chuỗi n1  u n 1 n   hội tụ có tổng S1  S2 Chuỗi số dương  Chuỗi số u n 1 n gọi chuỗi số dương un  0n  *  *) Nhận xét: Sn  dãy tăng, Sn  bị chặn Suy Sn  hội tụ   un hội tụ n 1 (***) Các quy tắc xét hội tụ chuỗi số dương  Định lý 1(Quy tắc so sánh): Cho hai chuỗi số dương un  n  n0  n0  BS: Cao Văn Tú *   un n 1  thì: Page  v n1 n Nếu Email: caotua5lg3@gmail.com Lý thuyết chuỗi Blog: www.caotu28.blogspot.com  - Nếu chuỗi   un hội tụ suy v n 1  - Nếu chuỗi  vn phân kỳ suy u n1  hội tụ n n1 phân kỳ n n 1 Định lý 2(Quy tắc tương đương): Cho hai chuỗi số dương   un n 1  u lim n  k  Khi hai chuỗi n v n Chú ý: Chuỗi Riman   n  un n 1  v n1 n  v n1 n thỏa mãn hội tụ phân kỳ hội tụ α > 1và phân kỳ   n 1  Định lý 3(Quy tắc Đalambe): Cho chuỗi số dương  u n 1 - Nếu r  chuỗi un1 r n u n có lim  u n 1 - Nếu r  chuỗi n n  u n 1 n hội tụ phân kỳ - Nếu r  chưa có kết luận hội tụ, phân kỳ chuỗi  u n 1   u Quy tắc côsi: Cho chuỗi số dương - Nếu r  chuỗi n   u n 1 - Nếu r  chuỗi thỏa mãn điều kiện lim n un  r n n 1 n n  u n 1 n hội tụ phân kỳ - Nếu r  chưa có kết luận hội tụ, phân kỳ chuỗi  u n 1 n Chuỗi số 3.1 Hội tụ tuyệt đối bán hội tụ *)Định lý 1: Nếu chuỗi   un hội tụ chuỗi tổng n 1 *) Điều kiện cần đủ để chuỗi số hội tụ  u n 1   0, n0  * : m, n  ; u n 1 n hội tụ hội tụ khi: Sn  Sm   *) Hội tụ tuyệt đối bán hội tụ: Chuỗi số  u n 1 BS: Cao Văn Tú n  n Page gọi hội tụ tuyệt đối chuỗi  u n 1 n hội tụ Email: caotua5lg3@gmail.com Lý thuyết chuỗi Blog: www.caotu28.blogspot.com  -Chuỗi số  un gọi hội tụ hội tụ n 1  u n n 1 phân kỳ 3.2 Chuỗi đan dấu  Chuỗi đan dấu chuỗi có dạng: u1  u2  u3   un     1 n1  Quy tắc Lepnit: Cho chuỗi đan dấu   1 n 1 n 1 n   chuỗi đan dấu   1 n 1 n 1 n1 un với un  0n  * un Nếu dãy (un) giảm hội tụ un hội tụ có tổng S  u1 Chuỗi hàm số Phương pháp tìm miền hội tụ chuỗi hàm số:  Bước 1: Xét un  x    x1 , x2 , thay vào chuỗi (1) xét hội tụ  Bước 2: Xét un  x   Tìm lim n un1  x   r  x un  x  - Nếu r  x    x   a; b  (1) hội tụ - Nếu r  x    x1 , x2 , thay vào chuỗi (1) Xét hội tụ *) Hội tụ điểm hội tụ - Hội tụ điểm:   u  x  gọi hội tụ tập X hội tụ điểm x  X Khi n n 1  tổng f(x) hàm số xác định X ta viết S  x    un  x  x  X n 1 - Hội tụ đều:   u  x  gọi hội tụ X đến S(x) dãy hàm S  x  hội tụ n 1 n n X, tức   n0  * cho n  n0 ta có Sn  x   S  x   x  X Chuỗi lũy thừa Chuỗi hàm số có dạng:   a x n 0 n n  a0  a1  a2  an xn  ( Trong đó: an số khơng phụ thuộc vào x) Được gọi chuỗi lũy thừa  Định lý 1: (Định lý Abel) - Nếu chuỗi lũy thừa   a x n 0 - Nếu chuỗi lũy thừa   a x n 0  BS: Cao Văn Tú n n n n hội tụ x0  hội tụ điểm cho x  x0 phân kỳ x0  phân kỳ x thỏa mãn x  x0 Định lý 2: (Tìm bán kính hội tụ) Page Email: caotua5lg3@gmail.com Lý thuyết chuỗi Blog: www.caotu28.blogspot.com Cho chuỗi lũy thừa   a x n 0  an1  l (hoặc lim n an  l ) bán kính hội tụ n an lim n n n 1  l    l l   xác định: 0  l   Tính chất chuỗi lũy thừa  Định lý 1: Chuỗi lũy thừa   a x n n 1  n hội tụ a; b   R; R  Định lý 2: Tổng S(x) chuỗi lũy thừa   a x n 1 n n hàm số liên tục  R; R  '   '     Định lý 3:   an xn     an xn    n.an x n1 x    R; R  n 0  n 0  n 0  b    n  Định lý 4:    an x  dx     an x n dx  x   R; R  n 0  a  a  n 0  Phương pháp tính tổng chuỗi:    xn   x  x2   xn   x   1;1 (*) 1 x n 0 b    x n  x  x2  x3   xn   n1    n.x n 1  BS: Cao Văn Tú n 1    x n 1  n ' ' x x   1;1 (**) 1 x     x     xn     x   1;1   n1    x  1  x  ' x xn1   x n  x   n      x dx      x  dx   dx x   1;1  n 0 n  n 0  0 1 x   n 0   Page Email: caotua5lg3@gmail.com Lý thuyết chuỗi Blog: www.caotu28.blogspot.com BÀI TẬP VÍ DỤ CÁC DẠNG Chuỗi số dương  Bài 1: Xét hội tụ chuỗi số sau:  n 1 - Xét chuỗi  n n 1 (1) n 2 (2) chuỗi số dương n - Chuỗi số (1) chuỗi số dương n1 1 n 1 n2  1 u n n n  n  lim n  lim n  lim n   lim  lim n v n n  n  n   2 n     n n 1   1   n n  n   n  Do chuỗi (2) hội tụ nên chuỗi (1) hội tụ Áp dụng quy tắc Đalambe  n Bài 2: Xét hội tụ chuỗi:  n (1) n1 - Ta có chuỗi (1) chuỗi số dương 3n  n  1 u n n 1 - un  n ; un1  n1  n1  3 un n.3n1 3n  n  1 un1 n 1  lim  lim  1 n  n u n n.3 n 3n n Vậy chuỗi (1) hội tụ theo tiêu chuẩn Đalambe Áp dụng quy tắc Côsi - lim  1 n  Bài 3: Xét hội tụ chuỗi:  n   n 1  n   n2 (1) n2 1 n   n  - Ta có chuỗi (1) chuỗi số dương un  n   n   * n2 1 n  1  lim   - lim un  lim   n n n  n  3 n   3e  n 1  1  n    Vậy chuỗi (1) hội tụ theo tiêu chuẩn Côsi Áp dụng quy tắc so sánh  sin n Bài 4: Xét hội tụ chuỗi  n 1 n  n - Ta có: un  BS: Cao Văn Tú n sin n 1   n  n 1 n 1 n * mà chuỗi  n 1 Page n hội tụ Email: caotua5lg3@gmail.com Lý thuyết chuỗi Blog: www.caotu28.blogspot.com  Theo quy tắc so sánh   un hội tụ Suy n 1  sin n hội tụ 1 n n 1 Áp dụng quy tắc Lepnit (Chuỗi đan dấu)   Bài 5: Xét hội tụ chuỗi số sau: n 1   1  1n1 n n 1 1      Suy chuỗi cho chuỗi đan dấu n n 1 1 - an  ; an1   an  an1 suy dãy an  dãy giảm n n 1 Mà lim an  lim  n n n Suy chuỗi cho hội tụ theoc tiêu chuẩn Lepnit Áp dụng phương pháp chuỗi hàm  xn n Bài 6: Xét hộ tụ chuỗi :   1 (1) 2n  n 1 - Ta có:   Trường hợp 1: Nếu x   x x2 xn n Ta có: Sn  x        1 Suy Sn  0   lim Sn  0  n 2n  Với x  chuỗi (1) hội tụ Trường hợp 2: Nếu x  , ta có: un1  x  n 1 1 x n1  2n  1   2n  1 lim  lim  lim  x   n  u  x  n  2n  2n   1n xn n n - x   1  x    1;1 khoảng hội tụ chuỗi (1) - Với x  1 suy chuỗi (1)   n 1 đương với   1n  1n 2n   lim n   2n  1 x  2n  x  chuỗi số phân kỳ tương n 1 2n   n n 1 - Với x  suy chuỗi (1)   n 1  1n 1n  2n    1n  2n  chuỗi số đan dấu n 1 1 lim an  lim an   an1   suy chuỗi n n 2n  2n  2n  tắc Lepnit Vậy miền hội tụ chuỗi (1) là:  1;1 Bài 7: Tìm miền hội tụ tính tổng chuỗi: BS: Cao Văn Tú Page   1n  2n  hội tụ theo quy n 1 x n 3 (2)  n 1 4n   Email: caotua5lg3@gmail.com Lý thuyết chuỗi   Blog: www.caotu28.blogspot.com Miền hội tụ: Giải tương tự cách ta thấy miền hội tụ chuỗi (2) (-1;1) Tính tổng: x   x  x  x4n3      x4n4 dx      x4 n1  dx   dx x   1;1 ta có: S x    x n 1 4n  n 1  n     2 x 1  x   1  x  x dx x dx   dx =   1  x2 1  x2  1  x2  0 1  x2  x 1 1 x x   1;1  arctan x   arctan x  ln 1 x 1 x Vậy S x  arctan x  ln x   1;1 1 x  BS: Cao Văn Tú Page Email: caotua5lg3@gmail.com Lý thuyết chuỗi Blog: www.caotu28.blogspot.com BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Xét hội tụ chuỗi số:  b a  n(n  1) n 1 2n  3n  n n 1  2n e  g  2  n sin n1 f 2 n n 1 n ( n 1) n 1 sin    n!   i (1 )n n n 1 Bài 2: Xét hội tụ chuỗi số có dấu sau: n   n2 n  3n   a  (1)n n b  (1)   n 1 n 1  2n     cos n cos n2 d  e  n n2 n1 n 1 j  c  3n (n!)2  n 1 (2n)!  n 1  h    n 1  n   k 1 (1 )n  n n n1  (1  cos )  n n 1   d  7n (n!)2  n2 n n 1 l n  c  (1) n 1  f  n 1 n n 1 2n2  cos n n2  n  Bài 3: Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa sau: ( x  2)n a  n2 n 1  xn b  n n n 1  (1)n1 n x  n n 1 n.2  d ( x  4)n c  n n 1   ( x  5)2 n  n n 1 n  n  n 1  2n e     ( x  2) n  n 1    f HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP ÁP DỤNG PHẦN CHUỖI SỐ Bài 1: nên chuỗi phân kỳ n b un ~ v n  nên chuỗi hội tụ 2n 1  nên chuỗi hội tụ c un ~ v n   n n n2 a un ~ v n  n 3n   nên chuỗi hội tụ  4n   u e Dùng tiêu chuẩn D’Alembert n1  nên chuỗi hội tụ un d un ~ v n  BS: Cao Văn Tú Page Email: caotua5lg3@gmail.com Lý thuyết chuỗi f Blog: www.caotu28.blogspot.com un ~ v n   v mà n1  nên chuỗi n g Dùng tiêu chuẩn Cauchy n vn hội tụ Vậy n1  u hội tụ n n 1 1 nên chuỗi hội tụ un   (1 )n  5 5e n 1  n 1  h un     nên chuỗi hội tụ e  n 1  un1 i  nên chuỗi hội tụ un e n n j n 1 1 e un  1   nên chuỗi phân kỳ 2 n Bài 2:   n2 a Xét chuỗi trị tuyệt đối  un   n n 1 n 1 n2 n Đặt:  n ,  nên 2 b Xét chuỗi  n1  3n     u   2n 1  n n 1   u n ; n   (1) n n 1 un  d  , mà n2 n un  e  n n 1 1 mà  2n    n 1 n n 1 c Dùng tiêu chuẩn Leibnitz hội tụ   (1)n un  nên 1    hội tụ Mà n 1   n n1  u n 1 n phân kỳ hội tụ   un hội tụ tuyệt đối n 1    un hội tụ   un hội tụ tuyệt đối n 1 f Ta có: cos n  (1)n dùng tiêu chuẩn Leibnitz n 1   n 1 Bài 3: a b c d phân k  n  u n 1 n  u n 1 hội tụ 2n2   hội tụ Vậy n2 hội tụ tuyệt đối 2n cos n n2  n  hội tụ Bán kính hội tụ là: R = 1; Miền hội tụ chuỗi là: ≤ x ≤ Bán kính hội tụ là: R = 3; Miền hội tụ chuỗi là: -3 < x