Phần I: giới thiệu đề tài: A.Lý do chọn đề tài: “Giải toán là một nghệ thuật thực hành;giống như bơi lội,trượt tuyết,hay chơi đàn …”Vì vậy để có kỹ năng giải bài tập phải qua quá trình
Trang 1Phần I: giới thiệu đề tài:
A.Lý do chọn đề tài:
“Giải toán là một nghệ thuật thực hành;giống như bơi lội,trượt tuyết,hay chơi đàn …”Vì vậy để có kỹ năng giải bài tập phải qua quá trình luyện tập Tuy rằng,không phải là cứ giải bài tập là có kỹ năng.Việc luyện tập sẽ có hiệu quả,nếu như biết khéo léo khai thác từ một bài tập sang một loạt bài tập tương tự,nhằm vận dụng một tính chất nào đó,nhằm rèn luyện một phương pháp chứng minh nào đó Thực tiễn cho thấy học sinh thường học toán không chú ý đến phương pháp giải nên khi gặp những bài toán có sử dụng phương pháp tương tự gặp nhiều lúng túng
Vậy không ngoài tâm huyết với các em học sinh,niềm đam mê dành cho
bộ môn toán học và sự mong muốn nâng cao chất lượng –tôi đQ tiến hành học tập tích luỹ soạn ra đề tài này”….”
B.nhiệm vụ:
+Cơ sở lý luận của đề tài:
việc khai thác bài tập toán có ý nghĩa hay không?
+Vận dụng lý luận vào thực tiễn:
khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8
C.Phương pháp nghiên cứu:
+phương pháp nghiên cứu thực tiễn,lý thuyết
+phương pháp tổng kết kinh nghiệm
+phương pháp thực nghiệm sư phạm
D.Giới hạn đề tài và mục đích nghiên cứu:
-Giới hạn đề tài khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8:áp dụng để dạy học sinh lớp 6,7,8
-Mục đích đề tài:Phục vụ cho công tác bồi dưỡng các khối 6,7,8 và làm tài liệu
tự học cho các em giúp các em tìm cho mình phương pháp học tập tích cực
Phần 2: nội dung A.Cơ sở lý luận của đề tài:
Giải bài tập toán là quá trình suy luận,nhằm khám phá ra quan hệ lôgic giữa cái
đQ cho (giả thiết) với cái phải tìm (.kết luận).Nhưng các quy tắc suy luận,cũng như các phương pháp chứng minh chưa được dạy tường minh.Do đó,học sinh thường gặp nhiều khó khăn khi giải bài tập.Thực tiễn dạy học cũng cho thấy:HS khá giỏi thường đúc kết những tri thức,phương pháp cần thiết cho mình bằng con
đường kinh nghiệm;cònHS trung bình ,yếu, kém gặp nhiều lúng túng.Để có kĩ năng giải bài tập phải qua quá trình luyện tập.Tuy rằng,không phải cứ giải nhiều bài tập là có nhiều kĩ năng.Việc luyên tập sẽ có nhiều hiệu quả,nếu như biết khéo léo khai thác từ một bài tập sang một loạt bài tập tương tự,nhằm vận dụng
Trang 2một tính chất nào đó,nhằm rèn luyện một phương pháp chứng minh nàođó Quan sát đặc điểm bài toán,khái quát đặc điểm đề mục là vô cùng quan
trọng,song quan trọng hơn là sự khái quát hướng suy nghĩ và phương pháp
giải.Sự thực là khi giải bài tập thì không chỉ là giải một vấn đề cụ thể mà là giải
đề bài trong một loạt vấn đề nào đó.Do đó hướng suy nghĩ và phương pháp giải
bài tập cũng nhất định có một ý nghĩa chung nào đó.Nếu ta chú ý từ đó mà khái
quát được hướng suy nghĩ và cách giải của vấn đề nào đó là gì thì ta sẽ có thể
dùng nó để chỉ đạo giải vấn đề cùng loại và sẽ mở rộng ra.Nhà toán học Đềcác
nói rất đúng rằng: “Mỗi vấn đề mà tôi giải quyết đều sẽ trở thành ví dụ mẫu mực
dùng để giải quyết vấn đề khác”.Do đó sau khi giải một bài toán nên chú ý khai
thác hướng suy nghĩ và cách giải
B.Vận dụng lý luận vào thực tiễn:
xét bài toán 28 trang 21 sách bài tập toán 8 –tập 1:
a.Chứng minh:
) 1 (
1 1
1 1
+
= +
ư
x x x
x (1) b.Đố: Đố em tính nhẩm được tổng sau:
) 5 )(
4 (
1 )
4 )(
3 (
1 )
3 )(
2 (
1 )
2 )(
1 (
1 )
1
(
1
+ +
+ + +
+ + +
+ + +
+
x
-Hướng dẫn:a.Biến đổi vế trái thành vế phải :
) 1 (
1 )
1 (
1 1
1 1
+
= +
ư +
= +
ư
x x x
x
x x x
x b.Xét đặc điểm đẳng thức ở câu a:VP có mẫu là 1tích 2biểu thức cách nhau 1;1
chính là tử thì có
) 1 (
1 1
1 1
+
= +
ư
x x x
x Tương tự với đặc điểm như VP ở câu a;ta có:
) 5 )(
4 (
1 )
4 )(
3 (
1 )
3 )(
2 (
1 )
2 )(
1 (
1 )
1
(
1
+ +
+ + +
+ + +
+ + +
+
x
5
1 +
x x
x x
x x
x x
x x
x
x
1 5
1 5
1 4
1 4
1 3
1 3
1 2
1 2
1 1
1
1
1
1
= +
+ +
ư +
+ +
ư +
+ +
ư +
+ +
ư +
+
+
-Cách phát biểu khác của bài toán:
a.Viết phân thức
) 1 (
1 + x
x thành hiệu của hai phân thức có tử bàng 1 b.Vận dụng kết quả câu a,hQy rút gọn biểu thức sau:
) 5 )(
4 (
1 )
4 )(
3 (
1 )
3 )(
2 (
1 )
2 )(
1 (
1 )
1
(
1
+ +
+ + +
+ + +
+ + +
+
x
5
1 +
x I.khai thác ứng dụng bài 28 trong tính toán;trong toán
rút gọn;toán chứng minh đẳng thức:
Từ(1),nếu thay x=1 thì ta có các bài toán sau:
Trang 3Bài1:Tính:
a
100 99
1
6 5
1 5 4
1 4 3
1 3
.
2
1
2
1
+ + + + + +
Hướng dẫn:
100 99
1
6 5
1 5 4
1 4
.
3
1
3
.
2
1
2
1
+ + + + +
100
99 100
1 1 100
1 99
1
5
1 4
1 4
1 3
1
3
1
2
1
2
1
=
ư
=
ư + +
ư +
ư +
ư
+
+ Từ đó có bài toán tổng quát :b.Tính tổng
) 1 (
1
4 3
1 3 2
1 2
1
+ + + + +
n
n với n≥ 1 Hướng dẫn:tương tự câu a;ta có kết quả
là:1-1 1
1
+
=
n n
*)Nhận xét đặc điểm mẫu các phân thức để từ đó ta có các dạng bài toán khác:các hạng tử trong tổng trên đều là những phân thức có dạng:mẫu là một tích 2nhân tử cách nhau 1 đơn vị chính bằng tử.Vậy mẫu là tích 2nhân tử cách nhau 2 hay 3 hay 4…thì giải bài toán như thế nào?chẳng hạn:
Bài2:Tính tổng:
a
2007 2005
1
7 5
1 5
.
3
1
3
.
1
1
+ + +
2.5 +5.8+8.11+ +(3n 2)(3n 5) + + với n≥ 0 Hướng dẫn:a.Viết mỗi hạng tử trong tổng dưới dạng hiệu 2phân thức:
) 2007
1 2005
1 ( 2
1 2007 2005
1 );
7
1 5
1 ( 2
1 7 5
1 );
5
1 3
1 ( 2
1 5 3
1 );
3
1
1
1
(
2
1
3
.
1
1
ư
=
ư
=
ư
=
ư
2007 2005
1
7
.
5
1
5
.
3
1
3
.
1
1
+ + +
2007
1003 )
2007
1 1 ( 2
1 ) 2007
1 2005
1
7
1 5
1 5
1 3
1
3
1
1
1
(
2
1
=
ư
=
ư +
+
ư +
ư
+
ư
b.Phương pháp làm tương tự như câu a
(3n 2)(3n 5) + + =3 3n 2 3n 5 + ư + nên ta có:
2.5+5.8+8.11+ +(3n 2)(3n 5) + + =
3 2 5 5 8 8 11 3n 2 3n 5 3 2 3n 5 3n 5
+
+Tương tự như vậy có thể đề xuất một loạt bài toán cùng loại và giải quyết với cùng phương pháp
*)Chú ý đến đặc điểm tử và mẫu các phân thức ta có bài toán tổng quát hơn:tử là một số(biểu thức) bất kỳ,mẫu là tích của 2 số(biểu thức) cách đều nhau thì giải quyết bài toán như thế nào?chẳng hạn:
Trang 4Bài3:Tính tổng:
a
100 98
5
10 8
5 8 6
5 6
.
4
5
4
.
2
5
+ + +
+ +
b
+
1 2 2 3 3 4 k k 1
Hướng dẫn:a.Phương pháp làm:viết các hạng tử trong tổng dưới dạng hiệu(tương
100
1 98
1 ( 2
5 100 98
5 ); ;
8
1 6
1 ( 2
5 8 6
5 );
6
1 4
1 ( 2
5 6 4
5 );
4
1 2
1 ( 2
5 4
.
2
5
ư
=
ư
=
ư
=
ư
100 98
5
10 8
5 8
6
5
6
.
4
5
4
.
2
5
+ + +
+
100
1 98
1
8
1 6
1 6
1 4
1 4
1 2
1 ( 2
5
ư + +
ư +
ư +
=
20
49 ) 100
1 2
1 ( 2
5
=
ư b.Phương pháp làm tương tự câu a.Đây chính là bài toán tổng quát rút ra từ các
bài toán trên.Vậy ta xét các trường hợp sau:
Bài toán này giải được dễ dàng theo cách phân tích của bài 1 vì khi đó:
= ư
1 2 1 2
a a a a ………
a a a a Cộng từng vế ta có:
1 2 2 3 3 4 k k 1
k k 1
ư
a a a a a a a a = b≠ n
Ta có
1 2 2 3 3 4 k k 1
b 1 2 2 3 3 4 k k 1
)
a a a a a a a a +
Bài toán này thực chất đQ đưa về dạng bài 2;bài3.Do đó ta có kết quả là
k k 1
n 1 1
b a a +
ư
-Nếu mẫu là tích của 3 số tự nhiên cách đều nhau thì sao?Từ đó ta có các bài
toán khó hơn :
1.2.3 2.3.4 3.4.5+ + + +(n 1).n.(n 1) ư + với n≥ 1 ,n∈ N
1.3.5 3.5.7 5.7.9+ + + +(2n 1)(2n 1)(2n 3) ư + + với n∈ N ; ≥ n 2
Hướng dẫn: Phương pháp giải tương tự như các bài trên:viết các hạng tử dưới
dạng hiệu
Trang 5Nhận xét: 2 1 1
(n 1)n(n 1)ư + =(n 1).nư ưn.(n 1)+ Do đó ta có:
2 1.2 2.3 2.3 3.4ư + ư + +(n 1).n ư ưn.(n 1) + =2 2ưn.(n 1) +
(2n 1)(2n 1)(2n 3) ư + + =(2n 1)(2n 1) (2n 1)(2n 3) ư + ư + + Do đó ta có:
4 1.3 3.5 3.5 5.7 5.7 7.9ư + ư + ư + +(2n 1)(2n 1) (2n 1)(2n 3) ư + ư + +
4 3 (2n 1)(2n 3)ư + +
*)Nhận xét: Từ (1) ta có đẳng thức tổng quát hơn:1 1 b a
ư
ư = với a≠ 0 ; b ≠ 0 thì
việc áp dụng ngược công thức trên trong thực tế được sử dụng rất nhiều Chẳng
hạn với bài toán sau:
Bài 5: Cho biết a,b,c là các số thực khác nhau.Chứng minh:
(a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b) a b b c c a
Hướng dẫn:Đối với đề này nếu dùng cách hoà đồng mẫu số vế trái để
chứng minh thì quá trình tính phức tạp.Có cách gì ngắn gọn không?Quan sát các
số hạng ở vế trái ta thấy tử số vừa đúng bằng hiệu của 2 thừa số ở mẫu số:
b-c=(a-c)-(a-b);c-a=(b-a)-(b-c);a-b=(c-b)-(c-a).Điều đó gợi cho ta nhớ đến dùng
ngược công thức b a 1 1
a.b a b
ư
(a b)(a c) a b a c
ư
(a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b) a b a c b c b a c a c b
a b ư +c a ư +b c ư +a b ư +c a ư +b c ư = a b ư + b c ư +c a ư (ĐPCM)
*)Chú ý đến mẫu: nếu ta thay x.(x+1)=x 2 + x; (x+1)(x+2)=x 2 + 3x 2 + ;….ta sẽ có
các bài toán luyện cho học sinh kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử:
Bài6:Rút gọn các biêủ thức sau:
x + x+x + 3x 2 + +x + 5x 6 + +x + 7x 12 + +x + 9x 20 +
x ư 5x 6 + +x ư 7x 12 + +x ư 9x 20 + +x ư 11x 30 +
Hướng dẫn:a.Để rút gọn M cần phân tích các mẫu thành nhân tử
Ta có: x 2+x = x(x+1); x 2 + 3x 2 x + = 2 + x 2x 2 + + = (x+1)(x+2);
x + 5x 6 x + = + 2x 3x 6 + + =(x+2)(x+3);x 2 + 7x 12 x + = 2 + 3x 4x 12 + + =(x+3)(x+4);
x + 9x 20 x + = + 4x 5x 20 + + =(x+4)(x+5) Do đó:
Trang 6(x 1)x + +(x 1)(x 2) + + +(x 2)(x 3) + + +(x 3)(x 4) + + +(x 4)(x 5) + +
xưx 1 x 1 x 2 + + + ư + +x 2 + ưx 3 + +x 3 x 4 + ư + +x 4 + ưx 5 +
xưx 5 + =x(x 5) +
b.Tương tự ta có:
(x 2)(x 3) ư ư +(x 3)(x 4) ư ư +(x 4)(x 5) ư ư +(x 5)(x 6) ư ư
x 2 ư ưx 3 ư +x 3 ư ưx 4 ư +x 4 ư ưx 5 ư +x 5 ư ưx 6 ư
x 2 x 6 (x 2)(x 6)
ư
Bài 7: Rút gọn:
x + a.x+ x + 3a.x 2a + + x + 5.a.x 6a + +x + 7.a.x 12a + +x 4a +
x + ax +x + 3ax 2a + +x + 5ax 6a + + +x + 19ax 90a + + x 10a +
Hướng dẫn:
x(x a) + +(x a)(x 2a) + + +(x 2a)(x 3a) + + +(x 3a)(x 4a) + + +x 4a +
xưx a + + x a + ưx 2a + +x 2a + ưx 3a + +x 3a + ưx 4a + +x 4a +
=
x
1
x(x a) + +(x a)(x 2a) + + +(x 2a)(x 3a) + + +(x 3a)(x 4a) + + +x 4a +
x 5a + + +(x 9a)(x 10a) + + + x 10a +
xưx a + +x a + ưx 2a + + x 2a + ưx 3a + +x 3a + ưx 4a + +x 4a +
x 5a + + +x 9a + ưx 10a + +x 10a +
H= 1
x
*)Xét biểu thức sau: (x 1) + 2 ư x 2 = 2x 1 + nên ta có: 22x 1 2 12 1 2
x (x 1) x (x 1)
+
Do đó ta có bài toán sau:
Trang 7Bài8:Rút gọn biểu thức sau:
A= 3 2 5 2 2x 1 2
(1.2) (2.3) [x(x 1)]
+
+ Hướng dẫn:
-Nhận xét: 22x 1 2 12 1 2
x (x 1) x (x 1)
+
A= 12 12 12 12 12 12 12 1 2
1 ư2 +2 ư3 +3 ư 4 + +x ư(x 1) +
=1- 1 2
( x + 1 ) =x ( x 2 )2
( x 1)
+ + II.khai thác các ứng dụng bài 28 trong chứng minh bất
đẳng thức:
Bài9:Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n≥ 1:
a.A = 12 12 12 12 1 2 1
2 + 4 + 6 +8 + + (2n) < 2
b.B = 12 12 12 1 2 1
3 +5 + 7 + +(2n 1) + < 4
Hướng dẫn:
a.Nhận xét: 1 2 1 . 12
(2 n ) = 4 n < 1 . 1
4 ( n ư 1).n mà 1 1 1
(n 1).n ư = n 1 n ư ư nên ta có:
A= 12 12 12 12 1 2 1 1( 2 12 12 12)
2 + 4 + 6 + 8 + +(2n) = 4 1 + 2 +3 + + n nên
A<1(1 1 1 1 1 1 1 1 1)
A<1(1 1 1)
4 + ưn hay A <1 1
2ư4n hay A<
2
1 (ĐPCM) b.Nhận xét:
(2n 1)+ <(2n 1)+ ư1⇔ (2n 1)+ < 2n.(2n 2)+ ⇔ (2n 1)+ < 2 2n ư2n 2+ nên ta có:
B < 21 21 21 1 2
4.2+ 4.6+6.8+ +2n(2n 2) + hay
Trang 8B < ( )
2 2ư4+4 6ư +6 8ư + +2nư2n 2 + hay
Bài10:Chứng minh với n nguyên,n>1 thì:
A= 12 12 12 12 2 1
1 + 2 + 3 + + n < ư n
Hướng dẫn:Để áp dụng (1) cần sử dụng phương pháp làm trội,tương tự như bài 9
-Nhận xét: Với k=2;3;4;…;n ta có: 12 1 hay 12 1 1
k < (k 1).k ư k < k 1 k ư ư (2) Lần lượt cho k=2;3;4;…;n trong (2) rồi cộng lại vế theo vế ta được:
1 +2 +3 + 4 + + n < +1 2ư +2 3ư + + n 1 nư ư hay
A<2-n
1
(ĐPCM)
-Từ bài 10 ta có thể ra bài tập sau:
Bài11: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n;n≥ 2 thì:
B = 12 12 12 12 1
2 + 3 + 4 + + n < Hướng dẫn: áp dụng kết quả bài 10 ta có A<2-1
n mà B = A-1 hay A = B+1 khi
đó: B+1 < 2-1
n hay B < 1-1
n hay B < 1 (ĐPCM) Bài12: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n; n ≥ 2 thì:
2 + 3 + 4 + + n < 3 Hướng dẫn:Để áp dụng (1) cần sử dụng phương pháp làm trội.Vậy vận dụng nó
như thế nào?có giống với bài 11 không?(với bài 11 thì chưa đánh giá được
C<
3
2
).HQy xem nhận xét sau:
n = 4n < 4n ư1⇔ n < 2n 1 2n 1ư ư + Do đó:
3 5 5 7ư + ư + +2n 1 2n 1ư ư + hay
C < 1 1
2(
3 2n 1) ư + ) hay
Trang 9C <
3 (ĐPCM)
Bài13: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n;n≥ 2 ta có:
D= 13 13 13 13 1
2 +3 +4 + + n < 4
Hướng dẫn:Để áp dụng (1) cần sử dụng phương pháp làm trội.Vậy sử dụng như
thế nào?HQy xem nhận xét sau:
k < k ưk k < (k 1)k(k 1)ư + k < 2 (k 1)kư ư k(k 1)+ Do đó ta có:
D< 31 31 31
2 ư 2 3+ ư 3+ +n ư nhayD<1 1( 1 1 1 1 1 )
2 1.2 2.3 2.3 3.4ư + ư + +(n 1)n ư ư n.(n 1) + hay
D<1 1( 1 )
2 2ưn(n 1) + hay D <
4
1 (ĐPCM) Bài14: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n;n≥ 3 ta có:
E= 13 13 13 13 1
3 +4 +5 + +n <12
Hướng dẫn:Ta có: 13 31 hay 13 1 hay 13 1( 1 1 )
n < n ư n n < (n 1)n(n 1) ư + n < 2 (n 1)n ư ưn(n 1) +
Do đó :
2 2.3 3.4ư +3.4 ư4.5+ +(n 1)nư ưn(n 1)+ hay
E < 1 1 1
2 2.3 n(n 1)ư + hay E <
12
1 (ĐPCM) Bài15:Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n;n≥ 2 ta có:
H= 1 2 3 n 1 1
ư
Hướng dẫn:Ta có:
ư
ư Do đó:
2! 2! 3!+ ư + +(n 1)! n!ư ư hay H=1- 1
n! hay H<1 (ĐPCM)
Bài16:Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có:
Trang 10K= 1 5 11
2! 3! 4!+ + +….+
n!
+ −
<2
H−íng dÉn:Ta cã:
2
(n 1)! (n 1)! (n 1)! (n 1)! (n 1)!
2!+ 1! 3!− + 2! 4!− + 3! 5!− + + (n 1)! (n 1)! − − + hay
2!+ 1! 2! 3!+ + + +(n 1)!+ − 3!+ +(n 1)!+ hay
2! 1! 2! n! (n 1)!+ + − − + hay K = 2- 1 1
n! (n 1)!− + VËy K < 2 (§PCM)
Bµi17: Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn d−¬ng n ta cã:
+
+
n (n 1) n (n 1)
+
Bµi18:Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n ta cã:
5 13 25+ + + + n +(n 1)+ < 20
k + (k 1) + = 2k + 2k 1 + <2 k(k 1) + = 2 k −k 1 +
3
1 2
1 ( 2
1 13
1
−
<
4
1 3
1 ( 2
1 25
1
−
………
k = n: 2 2
n +(n 1)+ < 2 n−n 1+
5 2 2 3 3 4+ − + − + + n − n 1+ hay N<1 1 1( 1 )
5+2 2−n 1+ hay N<1 1hayN 9
5+4 < 20 (§PCM)
Trang 11III.khai th¸c c¸c øng dông bµi 28 trong gi¶i ph−¬ng
tr×nh,bÊt ph−¬ng tr×nh:
Bµi19:Gi¶i ph−¬ng tr×nh:
x(x 1)
2
+
H−íng dÉn:a.XÐt
110 10
1
102 2
1 101 1
1
+ +
110
1 10
1
102
1 2
1 101
1 1 ( 100
1
− + +
− +
−
110
1
102
1 101
1 ( 100
1 ) 10
1
3
1 2
1
1
(
100
1
+ + +
− + + +
+
110
1 100
1
12
1 2
1 11
1 1
1 ( 10
1 110 100
1
12
.
2
1
11
1
− + +
− +
−
= +
+ +
110
1
100
1
12
1 11
1 100
1
3
1
2
1
1
(
10
1
−
−
−
−
−
− + + +
+
110
1
102
1 101
1 10
1
2
1
1
(
10
1
−
−
−
− + +
x= 10
100
1 : 10
1
=
99
1 97
1
7
1 5
1 5
1 3
1 3
1 1 ( 2
1 99 97
1
7 5
1 5 3
1 3
.
1
1
− + +
− +
− +
−
= +
+ + +
=
99
49 ) 99
1 1 ( 2
1
=
99
98 99
148 )
2
(
99
49
−
= +
49x+99x-148x=0 hay 0.x=0 hay x∈R
c
2009 2007 2
) 1 (
1
10
1
6
1
3
1
= + + + +
+
x
⇔2(1 1 ) 2007
2−x 1+ = 2009
⇔1- 2 2007
x 1 + = 2009
⇔
2009
2 1
2
= + x
⇔x=2008(tho¶ mQn
x≠ o ; x ≠ −1 )
Trang 12Bµi21:Gi¶i ph−¬ng tr×nh:
a.(
10
9 10
1 ) 1 )(
10 9
1
4 3
1 3
.
2
1
2
.
1
1
−
= +
− +
+ +
b.(
60 50
1
13 3
1 12 2
1 11 1
1 ( ) 60 10
1
53 3
1 52
.
2
1
51
.
1
1
+ + +
+
= +
+ +
H−íng dÉn:a (
10
9 10
1 ) 1 )(
10 9
1
4 3
1 3 2
1 2 1
1
−
= +
− +
+ +
10
1 9
1
4
1 3
1 3
1 2
1
2
1
10
9 10
1
−
= x
⇔
10
9 10
1 )
1
(
10
9
−
= +
b .(
60 50
1
13 3
1 12 2
1 11 1
1 ( ) 60 10
1
53 3
1 52
.
2
1
51
.
1
1
+ + +
+
= +
+ +
60
1 50
1
12
1 2
1 11
1 1
1 ( 10
1 ) 60
1 10
1
53
1 3
1 52
1 2
1 51
1 1
(
50
1
− + +
− +
−
=
− + +
− +
− +
60
1
12
1 11
1 50
1
2
1 1 ( 10
1 ) 60
1
52
1 51
1 10
1
3
1 2
1
1
(
50
1
−
−
−
− + + +
=
−
−
−
− + + +
60
1
52
1 51
1 10
1
2
1 1 ( 10
1 ) 60
1
52
1 51
1 10
1
2
1
1
(
50
1
−
−
−
− + + +
=
−
−
−
− + +
50
1 : 10
1
=
Bµi22:Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau:
x +4x 3 x+ + +8x 15+ = 6
−
H−íng dÉn:
a.NhËn xÐt: x2+4x+3=(x+1)(x+3)
x2+8x+15=(x+3)(x+5)
§KX§:x≠ −1;x≠ −3;x ≠ −5
(x 1)(x 3) (x 3)(x 5) + + + + + = 6
2 x 1 x 3 x 3 x 5 + − + + + − + = 6