wachter a. relativistische quantenmechanik

Springer-Lehrbuch Armin Wachter Relativistische Quantenmechanik Mit 67 Abbildungen, 44 Aufgaben und vollständigen Lösungswegen Dr. Armin Wachter Internet: www.wachter-hoeber.com E-mail: awachter@wachter-hoeber.com Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über <http://dnb.ddb.de> abrufbar. ISBN 3-540-22922-1 Springer Berlin Heidelberg New York DiesesWerk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Überset- zung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderenWegen und der Speicherung in Datenverarbeitungs- anlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. 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Erkenntnis entwickelt sich demnach aus einer Folge von Vermutungen und Widerlegungen, von vorl ¨ aufigen Pro- bleml ¨ osungen, die durch kompromißlose und gr ¨ undliche Pr ¨ ufungen kontrol- liert werden. Wichtig hierbei ist die Feststellung, daß gewonnene Erkennt- nis nie verifizierbar, sondern allenfalls falsifizierbar ist. Mit anderen Worten: Eine naturwissenschaftliche Theorie kann h ¨ ochstens als ” nicht bewiesener- maßen falsch“ angesehen werden, und zwar nur so lange, bis diese Theorie nachpr ¨ ufbar falsche Vorhersagen liefert. Ein hinreichendes Kriterium f ¨ ur ihre Richtigkeit gibt es dagegen nicht. Die Newtonsche Mechanik, zum Beispiel, konnte als ” nicht bewiesenerma- ßen falsch“ angesehen werden, bis Ende des 19. Jahrhunderts erstmals Expe- rimente zur Messung der Lichtgeschwindigkeit durchgef ¨ uhrt wurden, die im Widerspruch zu den Vorhersagen von Newtons Theorie standen. Weil sich innerhalb Albert Einsteins spezieller Relativit ¨ atstheorie bis heute kein Wi- derspruch zur physikalischen Realit ¨ at finden l ¨ aßt (und diese Theorie dar ¨ uber hinaus einfach im Sinne der ihr zugrundeliegenden Annahmen ist), wird die relativistische Mechanik zur Zeit als legitimer Nachfolger der Newtonschen Mechanik angesehen. Dies bedeutet nicht, daß deshalb die Newtonsche Me- chanik v ¨ ollig aufgegeben werden muß. Sie hat lediglich ihren fundamenta- len Charakter verloren, weil ihr G ¨ ultigkeitsbereich nachweislich auf den Be- reich kleiner Geschwindigkeiten im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit einge- schr ¨ ankt ist. Der G ¨ ultigkeitsbereich der Newtonschen Theorie wurde allerdings im er- sten Jahrzehnt des 20. Jahrhunderts noch in anderer Hinsicht eingeschr ¨ ankt, n ¨ amlichinBezugaufdieGr ¨ oße der physikalischen Objekte, die sie beschreibt. In jener Zeit wurden Experimente durchgef ¨ uhrt, aus denen hervorging, daß sich mikroskopische Objekte wie Atome und Molek ¨ ule v ¨ ollig anders verhalten als es die Newtonsche Mechanik vorhersagt. Die Theorie, die diesen neuarti- gen Ph ¨ anomenen in besserer Weise Rechnung tragen konnte, war die im Fol- gejahrzehnt entwickelte nichtrelativistische Quantenmechanik. Von ihr war allerdings schon zum Zeitpunkt ihrer Entstehung abzusehen, daß sie ebenfalls VI Vorwort nur begrenzt g ¨ ultig sein kann, eben weil sie die Prinzipien der Relativit ¨ ats- theorie nicht ber ¨ ucksichtigt. Heute, etwa ein Jahrhundert nach dem Aufkommen der nichtrelativisti- schen Quantentheorie, werden als ” nicht bewiesenermaßen falsche“ Theorien zur Beschreibung mikroskopischer Naturerscheinungen sog. Quantenfeldtheo- rien angesehen. Sie zeichnen sich dadurch aus, daß sie • lorentzkovariant formulierbar sind, also mit der speziellen Relativit ¨ atstheo- rie im Einklang stehen, • Viel-Teilchentheorien mit unendlich vielen Freiheitsgraden sind und u.a. Teilchenerzeugungs- und -vernichtungsprozessen in qualitativ und quanti- tativ exzellenter Weise Rechnung tragen. Der Weg zu diesen modernen Theorien verlief nat ¨ urlich ¨ uber einige Zwischen- schritte. Man ging zun ¨ achst von der nichtrelativistischen Quantenmechanik – mit der zugeh ¨ origen Ein-Teilchen-Wahrscheinlichkeitsinterpretation – aus und versuchte, diese so zu erweitern, daß sie lorentzkovariant ist. Dies f ¨ uhrte als erstes zur Klein-Gordon-Gleichung als relativistische Beschreibung von Spin-0-Teilchen. Mit dieser Gleichung war jedoch ein grundlegender Makel verbunden. In ihr treten n ¨ amlich L ¨ osungen mit negativer Energie auf. Abge- sehen davon, daß sie sich a priori einer vern ¨ unftigen Interpretation zu ent- ziehen scheinen, bedeutet ihre Existenz aus quantenmechanischer Sicht, daß es z.B. keine stabilen Atome geben d ¨ urfte, da ein atomares Elektron durch fortw ¨ ahrende Strahlungs ¨ uberg ¨ ange auf immer tiefere Niveaus des nach un- ten unbeschr ¨ ankten negativen Energiespektrums rutschen k ¨ onnte. Ein weite- res Problem dieser Gleichung besteht in dem Fehlen einer positiv definiten Wahrscheinlichkeitsdichte, welche f ¨ ur die gewohnte quantenmechanisch-sta- tistische Deutung unerl ¨ aßlich ist. Diese Schwierigkeiten waren der Grund daf ¨ ur, daß man lange Zeit nicht an einen physikalischen Sinn der Klein- Gordon-Gleichung glaubte. In dem Bestreben, an einer positiv definiten Wahrscheinlichkeitsdichte festzuhalten, entwickelte Dirac stattdessen eine Gleichung zur Beschreibung von Elektronen (allgemeiner: Spin-1/2-Teilchen), die allerdings auch L ¨ osun- gen mit negativer Energie liefert. Hier war es jedoch aufgrund der guten ¨ Ubereinstimmung der Diracschen Vorhersagen mit experimentellen Befun- den im niederenergetischen Bereich, wo die negativen Energiel ¨ osungen ver- nachl ¨ assigt werden k ¨ onnen (z.B. Energiespektrum des Wasserstoffatoms, gy- romagnetisches Verh ¨ altnis des Elektrons), schwer m ¨ oglich, den physikalischen Sinn dieser Theorie v ¨ ollig zu negieren. Um die Elektronen innerhalb seiner Theorie vor einem Sturz in nega- tive Energiezust ¨ ande zu bewahren, f ¨ uhrte Dirac einen Kunstgriff ein, die sog. L ¨ ochertheorie. In ihr wird davon ausgegangen, daß das Vakuum aus einem vollst ¨ andig besetzten ” See“ von Elektronen mit negativer Energie be- steht, der aufgrund des Paulischen Ausschließungsprinzips mit keinem wei- teren Teilchen gef ¨ ullt werden kann. Diese neuartige Annahme erm ¨ oglicht Vorwort VII dar ¨ uber hinaus eine (zumindest qualitativ akzeptable) Erkl ¨ arung f ¨ ur Teil- chenzahl ¨ andernde Prozesse. So kann z.B. ein Elektron mit negativer Energie Strahlung absorbieren und in einen beobachtbaren Elektronzustand mit posi- tiver Energie angeregt werden. Zus ¨ atzlich hinterl ¨ aßt dieses Elektron ein Loch im See der negativen Energien, zeigt also die Abwesenheit eines Elektrons mit negativer Energie an, das von einem Beobachter relativ zum Vakuum als An- wesenheit eines Teilchens mit entgegengesetzter Ladung und entgegengesetz- ter (also positiver) Energie gedeutet wird. Dieser Prozeß der Paarerzeugung impliziert offensichtlich, daß es neben dem Elektron ein weiteres Teilchen geben muß, welches sich lediglich im Vorzeichen der Ladung vom Elektron unterscheidet (Antiteilchen). Dieses Teilchen, das sog. Positron, wurde kurze Zeit sp ¨ ater tats ¨ achlich gefunden und lieferte eine eindrucksvolle Best ¨ atigung der Diracschen Ideen. Heute weiß man, daß zu jedem Teilchen ein Antiteil- chen mit umgekehrten (nicht unbedingt elektrischen) Ladungsquantenzahlen existiert. In der Klein-Gordon-Theorie konnte schließlich das Problem des Fehlens einer positiv definiten Wahrscheinlichkeitsdichte umgangen werden, indem die Gr ¨ oßen ρ und j als Ladungsdichte und Ladungsstromdichte uminter- pretiert wurden (Ladungsinterpretation). Der Sturz von positiven Energie- zust ¨ anden auf negative Niveaus ließ sich allerdings in diesem Fall nicht durch eine l ¨ ochertheoretische Vorstellung beseitigen, da das Paulische Ausschlie- ßungsprinzip hier nicht greift und es deshalb keinen vollst ¨ andig besetzten See von Spin-0-Teilchen mit negativer Energie geben kann. Die Klein-Gordon- und Dirac-Theorie liefern experimentell verifizierbare Aussagen, solange man sich auf niederenergetische Ph ¨ anomene beschr ¨ ankt, bei denen Teilchenerzeugungs- und -vernichtungsprozesse keine Rolle spie- len. Sobald man allerdings auch hochenergetische Prozesse einzubeziehen versucht, treten in beiden Theorien unweigerlich M ¨ angel und Widerspr ¨ uche zutage. Den erfolgreichsten, weil bisher in keinem Widerspruch zu experimen- tellen Erfahrungen stehenden Ausweg bietet aus heutiger Sicht, wie bereits erw ¨ ahnt, der ¨ Ubergang zu quantisierten Feldern, also zu Quantenfeldtheori- en. Dieses Buch greift einen Ausschnitt des soeben beschriebenen Erkennt- nisprozesses heraus und besch ¨ aftigt sich mit den Theorien von Klein, Gordon und Dirac zur relativistischen Beschreibung von massiven, elektromagnetisch wechselwirkenden Spin-0- bzw. Spin-1/2-Teilchen, und zwar unter weitest- gehender Ausklammerung quantenfeldtheoretischer Aspekte (relativistische Quantenmechanik ” im engeren Sinne“). Hierbei steht vor allem die Beant- wortung folgender Fragen im Vordergrund: • Inwieweit lassen sich die Konzepte der nichtrelativistischen Quantenme- chanik auf relativistische Quantentheorien ¨ ubertragen? • Wo liegen die Grenzen einer relativistischen Ein-Teilchen-Wahrscheinlich- keitsinterpretation? VIII Vorwort • Welche Gemeinsamkeiten und Unterschiede bestehen zwischen der Klein- Gordon- und Dirac-Theorie? • Wie lassen sich relativistische Streuprozesse, insbesondere solche mit Be- teiligung von Paarerzeugungs- und -vernichtungseffekten, im Rahmen der Klein-Gordon- bzw. Dirac-Theorie beschreiben, ohne den Formalismus der Quantenfeldtheorie zu bem ¨ uhen, und wo liegen hier die Grenzen? Im Gegensatz zu manchen anderen Lehrb ¨ uchern, in denen die ” reinen Theo- rien“ von Klein, Gordon und Dirac zusammen mit deren Ein-Teilcheninter- pretation zugunsten einer m ¨ oglichst fr ¨ uhen Einf ¨ uhrung der Feldquantisierung relativ schnell abgehandelt werden, betont das vorliegende Buch gerade die- sen Standpunkt, um so ein tieferes Verst ¨ andnis der damit verbundenen Pro- bleme zu vermitteln und letztlich die Notwendigkeit von Quantenfeldtheorien zu motivieren. Dieses Lehrbuch wendet sich somit an alle Studierenden der Physik, die an einer ¨ ubersichtlich geordneten Darstellung der relativistischen Quanten- mechanik ” im engeren Sinne“ und deren Abgrenzung zur weiterf ¨ uhrenden Quantenfeldtheorie interessiert sind. Seinen Anspruch in Bezug auf Verst ¨ and- lichkeit und physikalische Einordnung priorisierend, bewegt sich dieses Buch mathematisch auf mittlerem Niveau und kann von jedem gelesen werden, der die theoretischen Kursvorlesungen zu den Gebieten der klassischen Mecha- nik, klassischen Elektrodynamik und nichtrelativistischen Quantenmechanik absolviert hat. Das Buch ist in drei Kapitel plus Anhang aufgeteilt. Das erste Kapi- tel besch ¨ aftigt sich mit der Darlegung der Klein-Gordon-Theorie zur rela- tivistischen Beschreibung von Spin-0-Teilchen. Der Schwerpunkt liegt da- bei, wie bereits erw ¨ ahnt, auf den M ¨ oglichkeiten und Grenzen der Ein- Teilcheninterpretation dieser Theorie im Sinne der gewohnten nichtrelativi- stischen Quantenmechanik. Dar ¨ uber hinaus werden umfassende Symmetrie- betrachtungen der Klein-Gordon-Theorie angestellt, ihre nichtrelativistische N ¨ aherung systematisch in Potenzen von v/c entwickelt und schließlich einige einfache Ein-Teilchensysteme diskutiert. Im zweiten Kapitel behandeln wir die Dirac-Theorie zur relativistischen Beschreibung von Spin-1/2-Teilchen, wobei auch hier wieder großer Wert auf ihre Ein-Teilcheninterpretation gelegt wird. Beide Theorien, die ja aus be- stimmten Erweiterungen der nichtrelativistischen Quantenmechanik hervor- gehen, erlauben prinzipiell einen sehr direkten Eins-zu-Eins-Vergleich ihrer Eigenschaften. Dem wird in besonderer Weise dadurch Rechnung getragen, daß die einzelnen Abschnitte dieses Kapitels strukturell gleich aufgebaut sind wie diejenigen des ersten Kapitels – nat ¨ urlich nur bis auf Dirac-spezifische Themen, wie z.B. die L ¨ ochertheorie oder den Spin, die an geeigneten Stellen gesondert betrachtet werden. Das dritte Kapitel enth ¨ alt die Beschreibung relativistischer Streuprozes- se im Rahmen der Dirac- und, weiter hinten, der Klein-Gordon-Theorie. In Anlehnung an die nichtrelativistische Quantenmechanik werden relati- Vorwort IX vistische Propagatorverfahren entwickelt und mit den bekannten Konzep- ten der Streuamplitude und des Wirkungsquerschnittes in Zusammenhang gebracht. Auf diese Weise entsteht ein Streuformalismus, mit dessen Hil- fe sich sowohl Ein-Teilchenstreuungen in Anwesenheit eines elektromagne- tischen Hintergrundfeldes als auch – mit entsprechenden Erweiterungen – Zwei-Teilchenstreuungen approximativ berechnen lassen. Anhand konkreter Betrachtungen von Streuprozessen in den niedrigsten Ordnungen werden die Feynman-Regeln entwickelt, die alle erforderlichen Rechnungen auf eine ge- meinsame Grundlage stellen und graphisch formalisieren. Dabei muß betont werden, daß sich diese Regeln in ihrer Allgemeinheit nicht zwingend aus dem verwendeten Streuformalismus ergeben, sondern in h ¨ oheren Ordnungen auch rein quantenfeldtheoretische Aspekte beinhalten. Genau an dieser Stelle geht dieses Buch also erstmalig ¨ uber die relativistische Quantenmechanik ” im en- geren Sinne“ hinaus! Die anschließende Diskussion der quantenfeldtheoreti- schen Korrekturen (allerdings ohne ihre tiefere Begr ¨ undung) und deren exzel- lente ¨ Ubereinstimmung mit experimentellen Befunden mag in diesem Buch als der vielleicht gr ¨ oßte Motivator zur Besch ¨ aftigung mit Quantenfeldtheorien selbst, als theoretischem Fundament der Feynman-Regeln, dienen. Wichtige Gleichungen und Zusammenh ¨ ange werden in Form von Defini- tions- und Satzk ¨ asten zusammengefaßt, um so dem Leser ein strukturiertes Lernen und schnelles Nachschlagen zu erm ¨ oglichen. Desweiteren befinden sich nach jedem Abschnitt eine Kurzzusammenfassung sowie einige Aufgaben (mit L ¨ osungen), mit deren Hilfe das Verst ¨ andnis des behandelten Stoffes ¨ uberpr ¨ uft werden kann. Der Anhang enth ¨ alt eine kurze Zusammenstellung wichtiger Formeln und Konzepte. Abschließend sei der Hoffnung Ausdruck verliehen, daß dieses Buch dazu beitragen m ¨ oge, die L ¨ ucke zwischen der nichtrelativistischen Quantenmecha- nik und modernen Quantenfeldtheorien zu schließen und die Notwendigkeit quantisierter Felder durch Darlegung der relativistischen Quantenmechanik ” im engeren Sinne“ physikalisch verst ¨ andlich zu motivieren. K ¨ oln im Februar 2005 Armin Wachter Inhaltsverzeichnis Aufgabenverzeichnis XV 1. Relativistische Beschreibung von Spin-0-Teilchen 1 1.1 Klein-Gordon-Gleichung 4 1.1.1 Kanonische und lorentzkovariante Formulierung derKlein-Gordon-Gleichung 4 1.1.2 Hamiltonsche Formulierung der Klein-Gordon-Gleichung 10 1.1.3 Interpretation der negativen L ¨ osungen, Antiteilchen . . 12 Aufgaben 19 1.2 Symmetrietransformationen 23 1.2.1 Aktive und passiveTransformationen 23 1.2.2 Lorentz-Transformationen 25 1.2.3 Diskrete Transformationen 26 Aufgaben 31 1.3 Ein-Teilcheninterpretation der Klein-Gordon-Theorie . . . . . . . . 32 1.3.1 VerallgemeinertesSkalarprodukt 33 1.3.2 Ein-Teilchenoperatoren und Feshbach-Villars-Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.3.3 G ¨ ultigkeitsbereich des Ein-Teilchenkonzeptes . . . . . . . . . 42 1.3.4 Klein-Paradoxon 45 Aufgaben 49 1.4 Nichtrelativistische N ¨ aherung der Klein-Gordon-Theorie . . . . . 54 1.4.1 NichtrelativistischerGrenzfall 55 1.4.2 RelativistischeKorrekturen 56 Aufgaben 63 1.5 EinfacheEin-Teilchensysteme 66 1.5.1 Kastenpotential 66 1.5.2 RadialeKlein-Gordon-Gleichung 71 1.5.3 Freies Teilchen und kugelsymmetrischer Potentialtopf . 73 1.5.4 Coulomb-Potential 78 1.5.5 Oszillator-Coulomb-Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Aufgaben 87 XII Inhaltsverzeichnis 2. Relativistische Beschreibung von Spin-1/2-Teilchen 91 2.1 Dirac-Gleichung 92 2.1.1 Kanonische Formulierung der Dirac-Gleichung . . . . . . . 92 2.1.2 Dirac-Gleichung in lorentzkovarianter Form . . . . . . . . . . 99 2.1.3 Eigenschaften der γ-Matrizen und kovariante Bilinearformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 2.1.4 Spinoperator 107 2.1.5 Projektionsoperatoren 110 2.1.6 Interpretation der negativen L ¨ osungen, Antiteilchen und L ¨ ochertheorie 113 Aufgaben 122 2.2 Symmetrietransformationen 130 2.2.1 EigentlicheLorentz-Transformationen 130 2.2.2 Spin der Dirac-L ¨ osungen 135 2.2.3 Diskrete Transformationen 136 Aufgaben 142 2.3 Ein-TeilcheninterpretationderDirac-Theorie 146 2.3.1 Ein-Teilchenoperatoren und Feshbach-Villars-Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 2.3.2 G ¨ ultigkeitsbereich des Ein-Teilchenkonzeptes . . . . . . . . . 150 2.3.3 Klein-Paradoxon 152 Aufgaben 155 2.4 Nichtrelativistische N ¨ aherungderDirac-Theorie 161 2.4.1 NichtrelativistischerGrenzfall 161 2.4.2 RelativistischeKorrekturen 163 Aufgaben 168 2.5 EinfacheEin-Teilchensysteme 170 2.5.1 Kastenpotential 170 2.5.2 RadialeFormderDirac-Gleichung 174 2.5.3 Freies Teilchen und kugelsymmetrischer Potentialtopf . 177 2.5.4 Coulomb-Potential 180 Aufgaben 186 3. Relativistische Streutheorie 189 3.1 R ¨ uckblick:NichtrelativistischeStreutheorie 191 3.1.1 L ¨ osung der allgemeinen Schr ¨ odinger-Gleichung . . . . . . . 191 3.1.2 Propagatorzerlegung nach Schr ¨ odinger-L ¨ osungen . . . . . 195 3.1.3 Streuformalismus 197 3.1.4 Coulomb-Streuung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 Aufgaben 209 3.2 Streuung von Spin-1/2-Teilchen 216 3.2.1 L ¨ osung der allgemeinen Dirac-Gleichung . . . . . . . . . . . . . 216 3.2.2 Fourier-Zerlegung des freien Fermionpropagators . . . . . 219 3.2.3 Streuformalismus 223 3.2.4 Spurbildungen mit γ-Matrizen 229 [...]... A.1 Spezielle Relativit¨tstheorie a A.2 Bessel-Funktionen, sph¨rische Bessel-Funktionen a A.3 Legendre-Funktionen, Legendre-Polynome, Kugelfl¨chenfunktionen a A.4 Dirac-Matrizen und Bispinoren 369 369 376 377 380 Sachverzeichnis 383 Aufgabenverzeichnis Relativistische. .. 366 1 Relativistische Beschreibung von Spin-0-Teilchen In diesem Kapitel besch¨ftigen wir uns mit der relativistischen Beschreibung a von Spin-0-Teilchen im vorwortlich beschriebenen engeren Sinne“, d.h auf ” der Grundlage einer ad¨quaten Erweiterung der nichtrelativistischen Quana tenmechanik Hierbei wollen wir soweit wie m¨glich an der Ein-Teilcheno Wahrscheinlichkeitsinterpretation der nichtrelativistischen... Klein-Gordon-Theorie ist die relativistische Verallgemeinerung der nichtrelativistischen Quantenmechanik zur Beschreibung von Spin0-Teilchen Ausgehend von der kanonischen bzw lorentzkovarianten £ Aufgaben 19 Darstellung l¨ßt sich diese Theorie durch entsprechende Ersetzungen a in Hamiltonsche Form uberf¨ hren u ¨ • Die Klein-Gordon-Theorie unterscheidet sich in zwei wesentlichen Punkten von der nichtrelativistischen... nichtrelativistische N¨herung der Klein-Gordon-Theorie Es wird zun¨chst der nichtrelativistia a sche Grenzfall diskutiert, der erwartungsgem¨ß zu den Gesetzm¨ßigkeiten der a a nichtrelativistischen Quantenmechanik f¨ hrt Im Anschluß werden (h¨here) u o relativistische Korrekturen einbezogen, indem die Klein-Gordon-Gleichung mittels des Fouldy-Wouthuysen-Verfahrens in Potenzen von v/c entwickelt wird Dieses Kapitel... nichtrelativistisch-quantenmechanischen Rahmen dergestalt, 4 1 Relativistische Beschreibung von Spin-0-Teilchen daß eine konsistente Ein-Teilcheninterpretation m¨glich wird Wir diskutieo ren ferner den G¨ ltigkeitsbereich des Klein-Gordonschen Ein-Teilchenbildes u und zeigen einige Interpretationsschwierigkeiten auf, die sich außerhalb dieses Bereiches ergeben Der vierte Abschnitt behandelt die nichtrelativistische N¨herung der Klein-Gordon-Theorie... Theorie festhalten Bevor wir mit unserem Programm beginnen, bietet es sich an, die dieser Interpretation zugrundeliegenden Prinzipien wie folgt zusammenzufassen: Satz 1.1: Prinzipien der nichtrelativistischen Quantenmechanik 1) Der quantenmechanische Zustand eines physikalischen Systems wird durch einen Zustandsvektor | ψ(t) in einem komplexen unit¨ren Hilberta Raum H beschrieben Auf diesem Raum ist... wickeln hierf¨ r mit Hilfe der Transformation der Ladungskonjugation eine u physikalisch akzeptable Deutung 1.1.1 Kanonische und lorentzkovariante Formulierung der KleinGordon-Gleichung In der nichtrelativistischen Quantenmechanik ist der Ausgangspunkt die Energie-Impuls-Beziehung p2 , 2m welche durch die Korrespondenzregel E= 1.1 Klein-Gordon-Gleichung 5 ∂ , p −→ −i¯ ∇ ⇐⇒ pµ −→ i¯ ∂ µ (Viererimpuls) h h... lorentzkovariant (siehe Fußa note 1 auf Seite 372 im Anhang A.1 ) Das heißt sie ¨ndert ihre Struka ¨ tur beim Ubergang von einem Inertialsystem zu einem anderen und steht somit im Widerspruch zum Relativit¨tsprinzip Um zu einer relativistischa quantenmechanischen Wellengleichung zu gelangen, bietet es sich daher an, von der entsprechenden relativistischen Energie-Impuls-Beziehung i¯ h E= c2 p 2 + m... was die o Klein-Gordon-Theorie als relativistische Verallgemeinerung der Schr¨dingero Theorie zun¨chst unattraktiv erscheinen l¨ßt Wie wir im weiteren Verlauf a a jedoch sehen werden, k¨nnen die negativen L¨sungen mit Antiteilchen in o o Verbindung gebracht werden, die in der Natur auch beobachtet werden, so daß sich hier in der Tat eine fruchtbare Erweiterung der nichtrelativistischen (2) Theorie andeutet... ner relativistischen Wellengleichung von erster Ordnung in der Zeit und mit positiv definiter Wahrscheinlichkeitsdichte suchte, die durch Dirac dann auch gefunden wurde Wir wir in Kapitel 2 sehen werden, liefert allerdings auch die Dirac-Gleichung L¨sungen mit negativen Energieeigenwerten o 3 Bemerkenswerterweise ist die Transformation (1.7) zusammen mit (1.9) gleich derjenigen, die auch in der nichtrelativistischen . Springer-Lehrbuch Armin Wachter Relativistische Quantenmechanik Mit 67 Abbildungen, 44 Aufgaben und vollständigen Lösungswegen Dr. Armin Wachter Internet: www .wachter- hoeber.com E-mail: awachter @wachter- hoeber.com Bibliografische. klassischen Mecha- nik, klassischen Elektrodynamik und nichtrelativistischen Quantenmechanik absolviert hat. Das Buch ist in drei Kapitel plus Anhang aufgeteilt. Das erste Kapi- tel besch ¨ aftigt. Ordnungen auch rein quantenfeldtheoretische Aspekte beinhalten. Genau an dieser Stelle geht dieses Buch also erstmalig ¨ uber die relativistische Quantenmechanik ” im en- geren Sinne“ hinaus! Die anschließende