BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP HCM ĐH QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH KHOA KHOA HỌC VÀ ỨNG DỤNG BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 2 ĐỀ 3 Giảng viên hướng dẫn NGUYỄN ĐÌNH DƯƠNG Nhóm 11 TP Hồ Ch[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP.HCM ĐH QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH KHOA KHOA HỌC VÀ ỨNG DỤNG BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH ĐỀ: Giảng viên hướng dẫn: NGUYỄN ĐÌNH DƯƠNG Nhóm: 11 TP Hồ Chí Minh, ngày tháng năm 2022 L03_Nhóm 11 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP.HCM ĐH QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH KHOA KHOA HỌC VÀ ỨNG DỤNG BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN CHỦ ĐỀ 3: Constrained Optimization Lớp L03 - Nhóm 11 GV hướng dẫn: Thầy Nguyễn Đình Dương TP.HCM, 05/2022 L03_Nhóm 11 Lớp L03_Nhóm 11 Danh sách thành viên STT HỌ TÊN MSSV Phân công công việc Trần Phạm Nhật Anh 2112819 Cơ sở lý thuyết + Maple Trương Việt Hoàng 2110186 Cơ sở lý thuyết + Báo cáo Hà Nguyên Chương 2110863 Powerpoint + Thuyết trình Đặng Trung Kiên 2113811 Cơ sở lý thuyết + Bài tập L03_Nhóm 11 TĨM TẮT BÁO CÁO Giải tích chương trình nâng cao với kiến thức tảng học từ năm cấp 3, Phương pháp “Tối ưu hóa có giới hạn” ( Constrained Optimization ) thuộc chương trình đề tài hay thú vị mang giá trị nghiên cứu mang tính học thuật cao Cùng với u thích mơn Giải tích mong muốn tìm tịi học hỏi lý nhóm em định thực đề tài Đề tài yêu cầu tìm hiểu kiến thức từ bản, mang tính tảng đến nâng cao phương pháp tốn học – phương pháp Tối ưu hóa có giới hạn, từ giải số liệu, tập kèm Để thực tốt tiêu chí đề ra, giải u cầu đề tài, nhóm em cần tìm hiểu cặn kẽ tài liệu tiếng Việt lẫn tiếng Anh để có nhìn bao qt đề tài Song song cần vận dụng kiến thức thầy cô giảng dạy để hồn thành đề tài cách tốt Sau thực đề tài, nhóm em có nhìn sâu sắc gắn kết lý thuyết thực tiễn Bên cạnh góp phần củng cố kiến thức chuyên đề Constrained Optimization, cách làm việc nhóm, cách sử dụng phối hợp phần mềm liên quan cho thuyết trình lẫn báo cáo, nâng cao hiểu biết phục vụ cho cơng việc học tập sau L03_Nhóm 11 LỜI MỞ ĐẦU Giải tích mơn học có tầm quan trọng sinh viên ĐH Bách Khoa TPHCM nói riêng sinh viên ngành khối khoa học kỹ thuật – cơng nghệ nói chung Do đó, việc dành cho môn học khối lượng thời gian định thực hành điều tất yếu để giúp cho sinh viên có sở vững môn KHTN làm tiền đề để học tốt mơn khác chương trình đào tạo Trong suốt q trình thực tập lớn nói trên, nhóm chúng em nhận nhiều quan tâm ủng hộ, giúp đỡ tận tình thầy cơ, anh chị bạn bè Ngồi ra, nhóm xin gửi lời tri ân chân thành đến Thầy Nguyễn Đình Dương, giảng viên hướng dẫn cho đề tài Nhờ có thầy hết lịng bảo mà nhóm hoàn thành tiểu luận tiến độ giải tốt vướng mắc gặp phải Sự hướng dẫn thầy chìa khóa cho hành động nhóm phát huy tối đa mối quan hệ hỗ trợ thầy trị mơi trường giáo dục Lời cuối, xin lần gửi lời biết ơn sâu sắc đến cá nhân, thầy dành thời gian dẫn cho nhóm Đây niềm tin, nguồn động lực to lớn để nhóm đạt kết L03_Nhóm 11 Mục lục Chương 1: Mở đầu : Maple Yêu cầu Điều kiện Nhiệm vụ Chương 2: Cơ sở lý thuyết: Khái niệm lí thuyết “Nhân tử Lagrange”: • Khái niệm: • Phân tích lí thuyết: • Mở rộng: 13 • Kết luận: 14 Khái niệm phương pháp “Tối ưu hóa có giới hạn”: 14 • Khái niệm: 14 • Hình thức chung: 15 • Phương pháp giải quyết: 15 Chương 3: Ứng dụng giải toán: 17 Chương 4: Kết luận: 20 L03_Nhóm 11 Danh mục hình ảnh minh họa Hình 1: Đồ thị đường mức Hình 2: Đường đồng mức chiếu xuống 10 Hình 3: Đường đồng mức ví dụ 11 Hình 4: Bản đồ lớp phủ đường viền trường độ dốc 12 Hình 5: Gradient tương ứng điểm tiếp xúc song song 12 Hình 6: Constrained optimization 14 Hình 7: Minh họa tốn 17 Hình 8: Minh họa tốn 18 Hình 9: Minh họa toán 18 Hình 10: Minh họa toán 19 L03_Nhóm 11 Chương 1: Mở đầu 1.1-Maple Một mặt, Maple phần mềm dựa toán học, hỗ trợ giảng dạy trường học, dành cho giáo dục, kĩ thuật nghiên cứu Ta định nghĩa điểm, vectơ, đoạn thẳng, đường thẳng,… hàm số thay đổi chúng cách linh động kết hợp với giao diện làm cho việc phân tích, khám phá, hình dung giải vấn đề toán học dễ dàng Mặt khác, phương trình tọa độ 2D, 3D nhập trực tiếp, lập trình Vì thế, Maple xử lý biến số, vectơ điểm, tìm đạo hàm tích phân hàm số đưa lệnh nghiệm hay cực trị, cho phép tính tốn vẽ đồ thị hàm số mà không cần phải chuyên gia lập trình 1.2-Yêu cầu đề bài: Mục tiêu dự án minh họa số khái niệm đằng sau việc tối ưu hóa hàm bị ràng buộc cách sử dụng nhân tử Lagrange 1.3-Điều kiện: • Sinh viên cần có kiến thức tảng phương pháp Tối ưu hóa có giới hạn kiến thức lí thuyết nhân tử Lagrange • Tìm hiểu ví dụ minh họa từ áp dụng giải tốn đặt 1.4-Nhiệm vụ: • Xây dựng sở lí thuyết từ phương pháp Tối ưu hóa có giới hạn dựa lí thuyết nhân tử Lagrange • Giải tập liên quan qua Maple, đồ thị, L03_Nhóm 11 Chương 2: Cơ sở lý thuyết 2.1-Khái niệm lí thuyết nhân tử Lagrange: 1) Khái niệm: Trong ngành tối ưu hóa, phương pháp nhân tử Lagrange (đặt theo tên nhà toán học Joseph Louis Lagrange) phương pháp để tìm cực tiểu cực đại địa phương hàm số chịu điều kiện giới hạn 2) Phân tích lý thuyết: Chiếu đồ thị 𝑓 (𝑥) 𝑔(𝑥) = 𝑐 qua dạng đường đồng mức Đầu tiên ta thấy giá trị cực trị hàm 𝑓(𝑥) bị buộc 𝑔(𝑥) = 𝑐 điểm tiếp xúc đường đồng mức chúng ( đường đồng mức 𝑓 (𝑥, 𝑦) tập hợp điểm (𝑥, 𝑦) để 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑘 với 𝑘 số Ví dụ, với 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 𝑦, 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 𝑦 c =1, ta có mơ hình đồ thị sau Hình 1.Đồ thị đường mức Đường đồng mức chiếu xuống có dạng: L03_Nhóm 11 Hình 2.Đường đồng mức chiếu xuống Nhìn vào biểu đồ ta thấy điểm cực trị điểm tiếp xúc đường đồng mức hàm mục tiêu ràng buộc Tuy nhiên, khơng phải lúc 𝑓 (𝑥) thẳng, cịn phụ thuộc vào dạng hàm Ví dụ 𝑓 (𝑥) = 2𝑥 + √5𝑦 đường đồng mức là: 10 L03_Nhóm 11 Hình Đường đồng mức ví dụ Nhưng dù nữa, 𝑘 điểm cực trị hàm 𝑓 đường đồng mức 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑘 tiếp xúc với đường đồng mức 𝑔(𝑥) = 𝑐 điểm Mặt khác, gradient lại ln vng góc với đường đồng mức điểm tương ứng 11 L03_Nhóm 11 Hình Bản đồ lớp phủ đường viền trường độ dốc Như vậy, đường đồng mức tiếp xúc gradient tương ứng chúng điểm tiếp xúc song song với Hình Gradient tương ứng điểm tiếp xúc song song 12 L03_Nhóm 11 Nói cách khác, giả sử điểm tiếp xúc (𝑥0 ; 𝑦0 ) ta biểu diễn quan hệ gradient chúng sau: 𝛻𝑓 (𝑥0 ; 𝑦0 ) = 𝜆0 𝛻𝑔(𝑥0 , 𝑦0 ) Trong 𝜆 số Qua phép biểu diễn ta quy thành hệ phương trình ẩn phương trình hồn tồn giải dễ dàng: 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑐 { 𝛻𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝜆𝛻𝑔(𝑥, 𝑦) Nghiệm hệ phương trình (𝑥0 ; 𝑦0 ; 𝜆0 ) thay lại hàm 𝑓 (𝑥, 𝑦) cho ta kết mong muốn Từ hệ phương trình trên, Lagrange gom lại thành phương trình Lagrangian nhất: ℒ (𝑥, 𝑦, 𝜆) = 𝑓 (𝑥) − 𝜆(𝑔(𝑥, 𝑦) − 𝑐 ) Để ý rằng, đạo hàm riêng theo 𝜆 điều kiện ràng buộc: ℒ𝜆 (𝑥, 𝑦, 𝜆) = 𝑔(𝑥, 𝑦) − 𝑐 Đạo hàm theo x,y là: ℒ 𝑥 (𝑥, 𝑦, 𝜆) = 𝜆𝑔𝑥 (𝑥, 𝑦) { ℒ 𝑦 (𝑥, 𝑦, 𝜆) = 𝜆𝑔𝑦 (𝑥, 𝑦) Gom lại ta có: 𝛻𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝜆𝛻𝑔(𝑥, 𝑦) Như vậy, toán ta biến đổi thành dạng tối ưu hàm ℒ khơng có điều kiện buộc Việc tương đương với giải phương trình gradient vecto 0: 𝛻ℒ = 3) Mở rộng: Từ phép biểu diễn ta hồn tồn tổng quát cho trường hợp có nhiều đẳng thức ràng buộc, hàm ℒ định nghĩa sau: ℒ (𝑥, 𝑦, 𝜆) = 𝑓 (𝑥, 𝑦) − ∑𝑛𝑖=1 𝜆𝑖 (𝑔𝑖 (𝑥, 𝑦) − 𝑐𝑖 ) Trong đó, 𝑔𝑖 (𝑥, 𝑦) − 𝑐𝑖 đẳng thức buộc, 𝜆𝑖 số thành phần tương ứng với đẳng thức Việc tối ưu hàm 𝑓 (𝑥, 𝑦) giải gián tiếp qua gradient ℒ : 𝛻ℒ = 13 L03_Nhóm 11 4) Kết luận: Các bước thực kỹ thuật nhân tử Lagrange: Bước 1: Thêm biến nhân tử Lagrange 𝜆 định nghĩa hàm Lagrangian ℒ sau: ℒ (𝑥, 𝜆) = 𝑓(𝑥) − 𝜆(𝑔(𝑥) − 𝑐 ) với số hạng 𝜆 cộng trừ Bước 2: Giải đạo hàm (gradient) ℒ vecto 0: 𝛻ℒ (𝑥, 𝜆) = Bước 3: Dựa vào nghiệm (𝑥, 𝜆) tìm , vào hàm 𝑓 (𝑥) chọn giá trị lớn ( nhỏ nhất) ta tìm giá trị cần tìm: 𝑓 = 𝑓 (𝑥) { 𝑚𝑖𝑛 𝑓𝑚𝑎𝑥 = max 𝑓(𝑥) Lưu ý có nhiều đẳng thức buộc nên 𝑔(𝑥) − 𝑐 vecto có bậc số đẳng thức nhân tử Lagrange tương ứng vecto 𝜆 có bậc tương đương 2.2-Khái niệm phương pháp Tối ưu hóa có giới hạn: 1) Khái niệm: Hình Constrained optimization 14 L03_Nhóm 11 Trong tối ưu hóa tốn học, tối ưu hóa có ràng buộc ( số ngữ cảnh gọi tối ưu hóa ràng buộc ) q trình tối ưu hóa hàm mục tiêu số biến với diện ràng buộc biến Hàm mục tiêu hàm chi phí hàm lượng cần tối thiểu hóa, hàm phần thưởng hàm tiện ích cần tối đa hóa Các ràng buộc ràng buộc cứng, đặt điều kiện cho biến yêu cầu phải thỏa mãn, ràng buộc mềm, có số giá trị biến bị lỗi hàm mục tiêu dựa mức độ mà điều kiện biến không thỏa mãn Bài tốn tối ưu hóa có ràng buộc tổng qt hóa đáng kể mơ hình tốn thỏa mãn ràng buộc cổ điển, toán thỏa mãn ràng buộc bao gồm chức mục tiêu cần tối ưu hóa Nhiều thuật toán sử dụng để xử lý phần tối ưu hóa 2) Hình thức chung: Một tốn gọi Constrained Optimization viết sau: subject to f(x) 𝑔𝑖 (𝑥) = 𝑐𝑖 for i = 1,…,n Equality constraints ℎ𝑗 (𝑥) ≥ ⅆ𝑗 for j = 1,…,m Inequality constraints đây, ràng buộc bình đẳng bất bình đẳng ràng buộc bắt buộc phải thỏa mãn ( ràng buộc cứng ), f(x) hàm mục tiêu cần tối ưu hóa tùy theo ràng buộc Trong số toán, thường gọi tốn tối ưu hóa ràng buộc, hàm mục tiêu thực tổng hàm chi phí, hàm ảnh hưởng đến mức độ ( có ) mà ràng buộc mềm ( ràng buộc ưu tiên không bắt buộc phải thỏa mãn ) bị vi phạm 3) Phương pháp giải quyết: • Ràng buộc bình đẳng: Đối với toán đơn giản, chẳng hạn hàm hai biến chịu ràng buộc nhất, thực tế áp dụng phương pháp thay Ý tưởng thay ràng buộc thành hàm mục tiêu để tạo hàm tổng hợp kết hợp tác động ràng buộc 15 L03_Nhóm 11 Ví dụ: giả sử mục tiêu tối đa hóa f(x,y) = x.y tùy thuộc vào x+y = 10 Ràng buộc ngụ ý y = 10 – x, thay vào hàm mục tiêu để tạo p(x) = x(10 – x) = 10x - 𝑥 Điều kiện cần thiết bậc đưa 𝜕𝑃 𝜕𝑥 = 10 − 2𝑥 = giải x = y = 10 – = • Ràng buộc bất bình đẳng: Với ràng buộc bất đẳng thức, toán đặc trưng dạng điều kiện tối ưu hình học, theo tốn đơn giản giải • Nhân tử Lagrange: Nếu tốn có ràng buộc có ràng buộc đẳng thức, phương pháp nhân Lagrange sử dụng để chuyển thành tốn khơng bị ràng buộc có số biến số biến ban đầu trừ số ràng buộc đẳng thức ban đầu Ngoài ra, ràng buộc tất ràng buộc bình đẳng tất tuyến tính, chúng giải cho số biến theo biến khác, biến trước thay khỏi hàm mục tiêu, xóa bỏ giới hạn số lượng nhỏ biến • Ngồi cịn có phương pháp Lập trinh tuyến tính, đại số ma trận, thuật toán rẽ nhánh ràng buộc,… 16 L03_Nhóm 11 Chương 3: Ứng dụng để giải toán a) ># Project: Constrained Optimization > restart: with(plots): >plot0:=contourplot(3*x^2-x*y+y^2-3*x-5*y+9,x=-2 2,y=2 2,color=red,contours=8) : > plot1 := implicitplot(x^2+y^2=1,x=-2 2,y=-2 2,color=blue): >display(plot0,plot1); 13 12 b) (x,y)=(0,1) (x,y)=( , )→f(x,y)=5 17 17 (x,y)=(0,0) (x,y)=(1,0)→ f(x,y)=9 (x,y)=(0, −11 17 13 −11 ) (x,y)=( , 17 17 )→f(x,y)=12,6 Hình Minh họa tốn 17 L03_Nhóm 11 c) Hình Minh họa tốn Hình Minh họa tốn 18 L03_Nhóm 11 d) (x, y) = (0,1) ∇𝑓 (0,1) = (−4, −3) (1) 13 12 13 12 15 −74 𝑓 ′ 𝑥 = 6𝑥 − 𝑦 − (x, y) = ( , ) ∇𝑓 ( , ) = ( , ) (2) { ′ & => 17 17 17 17 17 17 𝑓 𝑦 = 2𝑦 − 𝑥 − (x, y) = (0,0) ∇𝑓 (0,0) = (−3, −5) (3) { (x, y) = (1,0) ∇𝑓 (1,0) = (3, −6) (4) { Hình 10 Minh họa tốn 19 L03_Nhóm 11 Chương 4: Kết luận Qua đề tài tìm hiểu Phương pháp Tối ưu hóa có giới hạn, nhóm chúng em có nhìn sâu sắc gắn kết lý thuyết thực tiễn mơn Giải tích Trong q trình thực đề tài, nhóm chúng em tìm hiểu trang bị cho kiến thức bổ ích sâu sắc ý tưởng, lý thuyết, công thức phương pháp Tối ưu hóa có giới hạn cách sử dụng hay mặt có ích, phần chưa hiệu phương pháp Bên cạnh đó, nhóm chúng em cịn tìm hiểu sử dụng phần mềm Maple, phần mềm chuyên dùng để tính toán vẽ đồ thị Việc sử dụng phần mềm Maple cơng cụ học tập giúp nhóm em nâng cao kỹ công nghệ, kết hợp mạng internet kiến thức tảng mơn Việc tìm hiểu phần mềm mới, đề tài khiến chúng em gặp nhiều khó khăn, vừa thử thách vừa động lực thúc đẩy chúng em cố gắng ngày Việc sử dụng thành thạo phần mềm mức độ giúp chúng em tiết kiệm thời gian việc minh họa cho toán cách rõ ràng, sinh động nhiều Việc chọn vào nhóm tập lớn khiến chúng em gặp nhiều bỡ ngỡ Nhưng sau đó, chúng em học cách phân chia nhiệm vụ nhau, học tính trách nhiệm tinh thần làm việc tập thể, song song với cố gắng khơng ngừng nghỉ nhằm hoàn thiện than hoàn thành trách nhiệm Một lần nữa, xin cảm ơn thầy, tạo điều kiện cho chúng em có để làm việc phát triển nhau, giúp đỡ tiến đường học tập 20 L03_Nhóm 11 Tài liệu tham khảo: [1] Bộ mơn Tốn ứng dụng – Khoa Khoa học ứng dụng: Giáo trình Giải Tích (Tài liệu lưu hành nội bộ), trường ĐH Bách Khoa – ĐH Quốc gia TPHCM [2] METHOD OF LAGRANGE MULTIPLIERS _ đienantoanhoc.net [3] Mécanique analytique: Lagrange, J L (Joseph Louis), 1736-1813: Free Download & Streaming: Internet Archive [4]https://en.wikipedia.org/wiki/Constrained_optimization#:~:text=In%20mathematical% 20optimization%2C%20constrained%20optimization,of%20constraints%20on%20those %20variables [5] Martins, J R R A.; Ning, A (2021) Engineering Design Optimization Cambridge University Press ISBN 978-1108833417 21